【真题】17年北京市海淀区高三(上)数学期中试卷含答案(理科)

北京市海淀区2017届高三数学上学期期中试题 文本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A.{1}x x >B.{23}x x <<C.{13}x x <<D.{2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,),(2,4)x =-=-a b . 若a b ，则x 的值为A.2-B.12-C.12D.2 3. 已知命题p ：0x ∀>，1x x+≥2命题q ：若a b >，则ac bc >.下列命题为真命题的是 A.q B.p ⌝ C. p q ∨ D.p q ∧ 4.若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan(π)θ+= A.34 B.34- C.43 D.43-5.已知函数,log a b y x y x ==的图象如图所示，则 A.1b a >> B.1b a >> C.1a b >> D.1a b >>6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 给定条件：①0x ∃∈R ,00()()f x f x -=-；②x ∀∈R ,(1)(1)f x f x -=+的函数个数是下列三个函数：3,|1|,cos πy x y x y x ==-=中，同时满足条件①②的函数个数是 A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在R 上的函数错误！未找到引用源。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A.{1}x x >B.{23}x x <<C.{13}x x <<D.{2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,),(2,4)x =-=-a b . 若a b ，则的值为A.2-B.12-C.12D.2 3. 已知命题p ：0x ∀>，1x x+≥2命题q ：若a b >，则ac bc >.下列命题为真命题的是 A.q B.p ⌝ C. p q ∨ D.p q ∧ 4.若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan(π)θ+= A.34 B.34- C.43 D.43-5.已知函数,log a b y x y x ==的图象如图所示，则 A.1b a >> B.1b a >> C.1a b >> D.1a b >>6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 给定条件：①0x ∃∈R ,00()()f x f x -=-；②x ∀∈R ,(1)(1)f x f x -=+的函数个数是下列三个函数：3,|1|,cos πy x y x y x ==-=中，同时满足条件①②的函数个数是A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在R 上的函数若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是A.1122a -≤≤ B.102a ≤< C.01a ≤< D.12a -<≤第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

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2017北京师大附中高三（上）期中数学（理）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 设命题，则为（）A. B.C. D.3. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则=（）A. 6B. 12C. 15D. 184. 设函数，则“”是“函数为奇函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 设函数的图象为C，下面结论中正确的是（）A. 函数的最小正周期是B. 图象C关于点对称C. 图象C可由函数的图象向右平移个单位得到D. 函数在区间上是增函数6. 若则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.7. 设D为不等式组表示的平面区域，点B（1，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则b的最大值等于（）A. 1B. 2C. 0D. 38. 已知函数，。

若函数恰有6个不同的零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.9. 若等比数列满足，则前n项和=______________.10. 若，且，则的最小值是___________.11. 已知向量a，b不共线，若∥，则实数=___________.12. 设向量，向量，向量，若∥且，则与的夹角大小为_______.13. 在△ABC中，∠C=120°，，则_______________14. 对有限数列，定义集合，集合S中不同的元素个数记为（1）若，则=_________；（2）若有限数列是单调递增数列，则最小值为_____________三、解答题：本大题共6小题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数，其中向量，，，且的图象经过点.（I）求实数m的值；（II）求函数的最小值及此时x值的集合.16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角C；（2）若,△ABC的面积为，D为AB的中点，求sin∠BCD.17. 已知数列的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18. 已知函数，，且.（1）求b的值；（2）判断对应的曲线的交点个数，并说明理由.19. 设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求a的最小值.20. 现有m个（）实数，它们满足下列条件：①，②记这m个实数的和为，即.（1）若，证明：；（2）若m=5，满足题设条件的5个实数构成数列.设C为所有满足题设条件的数列构成的集合.集合，求A中所有正数之和；（3）对满足题设条件的m个实数构成的两个不同数列与，证明：.数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.1.【答案】B【解析】由得，解得：，即，∵，∴，则集合中元素的个数为2，故选B.2.【答案】B【解析】试题分析：根据命题的否定和全称命题的否定是特称命题，可知命题：，则为.考点：命题的否定.3.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，∵，，∴，，解得，，则，故选A.4.【答案】C【解析】试题分析：当时，函数，此时函数为奇函数；反之函数为奇函数，则，所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.考点：1.充分必要条件的判断；2.函数的奇偶性.5.【答案】B【解析】试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.6.【答案】D【解析】∵，，，则，，的大小关系是，故选D.7.【答案】A【解析】由作出平面区域D如图，联立，解得，联立，解得，联立，解得，由，得，即，即的最大值为1，故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题；作出不等式组所表示的区域，根据当目标函数为线性时，其最值一定在交点处取得列出不等式组，解出即可.8.【答案】D点睛：本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，此题最大的难点在于讨论与1的关系，得到的解析式.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.9.【答案】【解析】∵等比数列满足，，∴，解得，，∴前项和，故答案为.10.【答案】64【解析】∵，∴，即，由，，当且仅当时等号成立，即的最小值是64，故答案为64.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．11.【答案】【解析】∵向量，不共线，由，则存在非零实数，使，即，解得：，故答案.12.【答案】【解析】根据题意，向量，，若∥，则有，解可得，若，则有，解可得；则，；设与的的夹角为，，，则有，又∵，∴，即与的夹角大小为，故答案为.13. 在△ABC中，∠C=120°，，则_______________【答案】214.【答案】 (1). 6 (2).【解析】（1）当时，有限数列为，故，由的意义可知，，故答案为6；（2）由的定义可知，当是等差数列时，最小，∴集合，∴集合中的元素个数，故答案为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)的最小值为，x值的集合为.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的表达式，通过函数的图象经过点，求实数的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数的最小值及此时值的集合.试题解析：（I），由已知，得.（II）由（I）得，∴当时，的最小值为，由，得x值的集合为.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.16.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）首先根据正弦定理边化为角，得到，求得 ;（2）由条件可知三角形为等腰三角形，并且顶角为，这样根据面积可求得三角形的边长，在内可根据余弦定理求得 ,最后根据正弦定理求.试题解析：（1）由，得，由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以．（2）因为，故为等腰三角形，且顶角，故，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以．【点睛】解三角形问题，是高考考查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，一般多根据正弦定理把边转化为角 ,或是 ;第三步：求结果.17.【答案】(1)，.(2)【解析】试题分析：（1）利用当时，，验证时也适合，可得数列通项公式；（2）分为为奇数和为偶数两种情形，利用并项求和得数列的前项和.试题解析：（1）由，当时，.当时，，而，所以数列的通项公式，.（2）由（1）可得，当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，.综上，点睛：本题主要考查了等差数列概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，并项求和主要用于正负相间的摆动数列，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.【答案】(1)；(2)对应的曲线只有1个交点，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由得：函数的对称轴为，故可得的值；（2）令，对函数进行二次求导，先判断先减后增，在处取得最小值0，故可得单调递增，且，由以上可得交点个数.试题解析：（1）由已知可得的对称轴是，因此（2）考虑，列表可知，仅有一个根x=0，先减后增，在处取得最小值0，即.因此单调递增，注意到，可得对应的曲线只有1个交点19.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）设切线的斜率为，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程；（2）要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，利用函数的导数，通过①当时，利用，说明不满足题意．②当时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可.试题解析：（I）设切线的斜率为，因为，切点为.切线方程为，化简得：.（II）要使：在区间恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在（0，+∞）恒成立因为①当时，，不满足题意②当时，令，则或（舍）.所以时，在上单调递减；时，在上单调递增；当时当时，满足题意所以，得到的最小值为20.【答案】(1)证明见解析；(2)256；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由为等比数列可得或，当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，经计算的最大值为不满足题意，而当时，同理计算的最小值为，满足题意；（2）结合（1）中结论，而，，共种情形，根据其规律得A中正数之和为；（3）不失一般性设使得，，，，…，计算得结论成立.试题解析：（1）证明：由题意知，，所以或.当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，所以的最大值为.不合题意，舍去.当时，.所以，.（2）解：若，由（I）知，.由题意知，.所以满足题意的所有数列为1,2,4,8,16；-1,2,4,8,16；1，-2,4,8,16；1,2，-4,8,16；…共16个.在这16个数列中，除最后一项外，其他各项正、负各取8次，求和时正负相抵.从而，A中正数之和为16×16=256.（3）证明：设使得，，，，…，则，所以.。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2017.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1B ．2C ．3D ．53．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．1522y x =-+B ．152y x =- C ．322y x =- D ．23y x =-+6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1]B ．13[,]22C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．ABCD1D 1A 1B 1C E F开始是否是否a a b=-b b a=-a输出结束,a b输入a b≠a b>10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是__． 14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B =，且∆ABC 面积为32． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一．．．．周期．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期85%92%95%96%（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三俯视图2左视图211主视图角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠=，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-=，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．(Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；(Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区AOBCD1图ODCB2图1A高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；3(1)3y x =+和3(1)3y x =-+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==1332222a a ⨯⨯=，解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,7b b >∴=. (不写b>0不扣分) （Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：1321sin sin 2147a A B b ==⨯=， 又120B =，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=） 所以217557cos 1sin 19614A A =-==， 所以sin 213tan .cos 557A A A === 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X ==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P 1327321532932171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分.情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的.例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1ADC 平面1A OB m =所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则1(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(3,1,2)A D =-.设(3,,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅=，即(3,1,2)(3,,0)30m m -⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即320,330,x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则3,1x z ==， 所以(3,1,1)=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=1115cos ,5A O n A O n A O n⋅<>==⋅.法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，ODCBG1A zxy M所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D =，所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠=，所以160OAG ∠=， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),(1,3,0),(0,0,2)O A B D -（， 所以11(2,0,2),(3,3,0,)A D A B =-=- 设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,330,x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则3,1y z ==，所以(1,3,1)n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则 sin θ=1115cos ,5AO n AO n AO n ⋅<>==⋅.18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=， 解得212,23a a ==.所以2228,22c a b c =-==， 所以椭圆G 的离心率是6.3c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，O DCBG1A zxy由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x 0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列， 所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=-，故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤=，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥=，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥=. 又因为1110b a a =-=， 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-，--所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-=，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++，(1,2,3,,)k n =由1(1,2,3,)n n b b n +≥=可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤=又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k =， 所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++-，--即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++≤+等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -===，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）精品文档考试教学资料施工组织设计方案。

2016-2017年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷及参考答案（文科）预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）已知向量=（﹣1，x），=（﹣2，4）．若∥，则x的值为（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）已知命题p：?x＞0，x+≥2命题q：若a＞b，则ac ＞bc．下列命题为真命题的是（）A．q B．￢p C．p∨q D．p∧q4．（5分）若角θ的终边过点P（3，﹣4），则tan（θ+π）=（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y=x a，y=log b x的图象如图所示，则（）A．b＞1＞a B．b＞a＞1 C．a＞1＞b D．a＞b＞16．（5分）设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“?＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）给定条件：①?x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）；②?x∈R，f（1﹣x）=f（1+x）的函数个数是下列三个函数：y=x3，y=|x﹣1|，y=cosπx中，同时满足条件①②的函数个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=，若方程f（x）=有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．﹣≤a＜ B．C．0≤a＜1 D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）计算lg2﹣lg+3lg5=．10．（5分）已知sinα=，则cos2α=．11．（5分）已知函数y=f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数y=f（x）在x=处取得极值．12．（5分）在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若=λ+μ，则λ﹣μ=．13．（5分）在△ABC中，cosA=，7a=3b，则B=．14．（5分）去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+φ）（a，b为常数，0＜φ＜）．其中三个月份的月平均气温如表所示：。

2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|e x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=ln|x|B．f（x）=2﹣x C．f（x）=x3D．f（x）=﹣x23．（5分）已知向量=（1，0），=（﹣1，1），则（）A．∥B．⊥C．（）∥D．（）⊥4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=05．（5分）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．D．6．（5分）设α∈R，则“α是第一象限角”是“sinα+cosα＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设f（x）=e sinx+e﹣sinx（x∈R），则下列说法不正确的是（）A．f（x）为R上偶函数 B．π为f（x）的一个周期C．π为f（x）的一个极小值点D．f（x）在区间上单调递减8．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件．（ⅰ）A∪B={1，2，3，4，5，6}，A∩B=∅；（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．10 B．12 C．14 D．16二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分的值等于．10．（5分）设在海拔x（单位：m）处的大气压强y（单位：kPa），y与x的函数关系可近似表示为y=100e ax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为kPa．11．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为．12．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①=；②若，则x+y=．13．（5分）已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω=，φ=．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．①f（﹣1）=；②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a2=6，a3=﹣18，数列{b n}满足b1=2，且{2b n+a n}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．17．（13分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e是自然对数的底数）18．（13分）如图，在四边形ACBD中，，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求cos∠BAD的值；（Ⅱ）若CD=4，，求AB和AD的长．19．（14分）已知函数（0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m ∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：1是g（x）的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），满足f（a）=g（b），求m的取值范围．（只需写出结论）20．（14分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（Ⅰ）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x，y；（Ⅱ）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（Ⅲ）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n0，记M=max{a1，a2，…，a n0}，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|e x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）【解答】解：集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|e x＞1}={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜2}=（0，2）．故选：C．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=ln|x|B．f（x）=2﹣x C．f（x）=x3D．f（x）=﹣x2【解答】解：函数f（x）=ln|x|是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意；函数f（x）=2﹣x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f（x）=x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）=﹣x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，不满足题意；故选：A．3．（5分）已知向量=（1，0），=（﹣1，1），则（）A．∥B．⊥C．（）∥D．（）⊥【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、向量=（1，0），=（﹣1，1），1×1≠0×（﹣1），则∥不成立，A 错误；对于B、向量=（1，0），=（﹣1，1），•=1×（﹣1）+0×1≠0，则⊥不成立，B错误；对于C、向量=（1，0），=（﹣1，1），﹣=（2，﹣1），2×1≠（﹣1）×（﹣1），则（﹣）∥不成立，C错误；对于D、向量=（1，0），=（﹣1，1），﹣=（0，1），（+）•=0×1+1×0=0，则（+）⊥成立，D正确；故选：D．4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=0【解答】解：数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），n=1时，a1=2a2；n=2时，a1+a2=2a2，可得a2=0．故选：D．5．（5分）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．D．【解答】解：的图象向左平移个单位，得y=sin[2（x+）+]，即y=sin[2x+]=cos2x，∴所得图象的函数解析式为y=cos2x．故选：B．6．（5分）设α∈R，则“α是第一象限角”是“sinα+cosα＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵α是第一象限角，∴根据正弦和余弦线知，sinα+cosα＞1，是充分条件，由“sinα+cosα＞1“，也可推出α是第一象限角，是必要条件，故选：C．7．（5分）设f（x）=e sinx+e﹣sinx（x∈R），则下列说法不正确的是（）A．f（x）为R上偶函数 B．π为f（x）的一个周期C．π为f（x）的一个极小值点D．f（x）在区间上单调递减【解答】解：∵f（x）=e sinx+e﹣sinx，∴f（﹣x）=e sin﹣x+e﹣sin﹣x=e sinx+e﹣sinx=f（x），即f（x）为R上偶函数，故A正确；f（x+π）=e sin（x+π）+e﹣sin（x+π）e sinx+e﹣sinx=f（x），故π为f（x）的一个周期，故B正确；f′（x）=cosx（e sinx﹣e﹣sinx），当x∈（，π）时，f′（x）＜0，当x∈（π，）时，f′（x）＞0，故π为f（x）的一个极小值点，故C正确；x∈时，f′（x）＞0，故f（x）在区间上单调递增，故D错误；故选：D．8．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件．（ⅰ）A∪B={1，2，3，4，5，6}，A∩B=∅；（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则1∉A，5∉B，即5∈A，1∈B，此时有C40=1，若集合A中只有2个元素，则集合B中只有4个元素，则2∉A，4∉B，即4∈A，2∈B，此时有C41=4，若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则3∉A，3∉B，不满足题意，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有2个元素，则4∉A，2∉B，即2∈A，4∈B，此时有C43=4，若集合A中只有5个元素，则集合B中只有1个元素，则5∉A，1∉B，即1∈A，5∈B，此时有C44=1，故有序集合对（A，B）的个数是1+4+4+1=10，故选：A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分的值等于0．【解答】解：∵==﹣=0故答案为：010．（5分）设在海拔x（单位：m）处的大气压强y（单位：kPa），y与x的函数关系可近似表示为y=100e ax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为81kPa．【解答】解：∵在海拔1000m处的大气压强为90kPa，∴90=100e1000a，即a=，当x=2000时，y=100e ax=100=81，故答案为：8111．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为2．【解答】解：令x=2，则，故答案为：212．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①=3；②若，则x+y=．【解答】解：∵△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①==•2•=3，②若，则==，即x=﹣，y=2，故x+y=故答案为：（1）3（2）13．（5分）已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω=2，φ=﹣．【解答】解：由图象可知f（x）的周期为T==π，∴=π，解得ω=2．由图象可知f（）=1，即=1，∴+φ=+kπ，k∈Z．∴φ=﹣+kπ，又，∴φ=﹣．故答案为：2，．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．①f（﹣1）=﹣1；②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R，f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1﹣a+a）=﹣1；②若f（x）的值域是R，由f（x）的图象关于原点对称，可得当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，图象与x轴有交点，可得△=a2﹣4a≥0，解得a≥4或a≤0，即a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．故答案为：①﹣1 ②（﹣∞，0]∪[4，+∞）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，=，=1．（Ⅱ），=，=2sinxcosx+2cos2x﹣1，=sin2x+cos2x，=，因为，所以，所以，故当，即时，f（x）有最大值当，即时，f（x）有最小值﹣1．16．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a2=6，a3=﹣18，数列{b n}满足b1=2，且{2b n+a n}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．【解答】（本题13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，则…（2分）解得a1=﹣2，q=﹣3…（3分）所以，…（5分）令c n=2b n+a n，则c1=2b1+a1=2，c n=2+（n﹣1）×2=2n…（7分）…（9分）（Ⅱ）∵，∴数列{b n}的前n项和：S n=（1+2+3+…+n）+[（﹣3）0+[（﹣3）+（﹣3）2+（﹣3）3+…+（﹣3）n﹣1] =+，∴．…（13分）17．（13分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e是自然对数的底数）【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，，，…（1分）此时，f（1）=﹣1，f'（1）=0，…（2分）故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．…（3分）（Ⅱ）的定义域为（0，+∞）…（4分）…（5分）令f'（x）=0得，x=a或x=1…（6分）①当0＜a≤1时，对任意的1＜x＜e，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增…（7分）f（x）最小=f（1）=1﹣a…（8分）②当1＜a＜e时，x（1，a）a（a，e）f'（x）﹣0+f（x）↘极小↗…（10分）f（x）最小=f（a）=a﹣1﹣（a+1）•lna…（11分）②当a≥e时，对任意的1＜x＜e，f'（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减…（12分）…（13分）由①、②、③可知，．18．（13分）如图，在四边形ACBD中，，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求cos∠BAD的值；（Ⅱ）若CD=4，，求AB和AD的长．【解答】解：（Ⅰ）因为，∠CAD∈（0，π）所以所以cos∠BAD====（Ⅱ）设AB=AC=BC=x，AD=y，在△ACD和△ABD中由余弦定理得代入得解得或（舍）即，19．（14分）已知函数（0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m ∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：1是g（x）的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），满足f（a）=g（b），求m的取值范围．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）因为=，令f'（x）=0，得因为0＜x＜π，所以…（3分）当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：xf'（x）+0﹣f（x）↗极大值↘…（5分）故f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递减区间为…（6分）（Ⅱ）证明：∵g（x）=（x﹣1）lnx+m∴（x＞0），…（7分）设，则故g'（x）在（0，+∞）是单调递增函数，…（8分）又∵g'（1）=0，故方程g'（x）=0只有唯一实根x=1…（10分）当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下：x（0，1）1（1，+∞）g'（x）﹣0+g（x）↘极小值↗…（12分）故g（x）在x=1时取得极小值g（1）=m，即1是g（x）的唯一极小值点．（Ⅲ）…（14分）20．（14分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（Ⅰ）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x，y；（Ⅱ）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（Ⅲ）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n0，记M=max{a1，a2，…，a n0}，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【解答】（本题14分）解：（Ⅰ）∵数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．+1数列1，x，y，7为“U﹣数列”，∴所有可能的x，y为，或．…（3分）（Ⅱ）n的最大值为65，理由如下…（4分）+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1一方面，注意到：a k+1对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k ≥b k+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（★）﹣1当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得b i=（b i﹣b i﹣1）+（b i﹣1﹣b i）+…+（b2﹣b1）+b1≥i﹣1（2≤i≤n﹣1）﹣2此时即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65…（7分）另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时a65=1+0+1+2+…+63=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．…（9分）（Ⅲ）M的最小值为，证明如下：…（10分）当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）一方面：由（★）式，b k+1+…+（b k﹣b k）≥m．+1此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m﹣1﹣b m﹣1）≥m（m﹣1）•故…（13分）另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，…，b2m﹣1=m ﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且此时．综上，M的最小值为．…（14分）。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2017.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1 BCD3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A．12y x =- B．12y x =C．2y x =- D．2y x =-6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14B ．16C ．18D ．208．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13[,]22 C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____________．13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是________．14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．俯视图主视图ABCD1D 1A 1B 1C E F三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B = ，且∆ABC． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期．．．．．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95%96%（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠= ，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠= ，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．AOBCD1图ODCB2图1A18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-= ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． (Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； (Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = ，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；1)y x =+和1)y x =+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==122a a ⨯=解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,b b >∴=. (不写b>0不扣分)（Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：sin sin a A B b == 又120B = ，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=）所以cos A ==所以sin tan cos A A A == 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P 1327321532932171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分. 情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的. 例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1A DC 平面1A OB m = 所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则11,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(,2)A D =.设,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅=，即(,2),0)30m m ⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则A110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,30,y z y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1x z =，所以=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,A O n A O n A O n⋅<>==⋅法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D = ， 所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠= ，所以160OAG ∠= ， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),((0,0,2)O A B D -（，所以11(2,0,2),(A D A B =-=-设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,30,x z x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令1x =，则1y z ==，所以n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,AO n AO n AO n ⋅<>=⋅18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==， 所以椭圆G的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=②将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++ 2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即 存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x 0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列，所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=- ，故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤= ，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥= ，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥= . 又因为1110b a a =-=，所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-= ， 所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-， 所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+ ， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠ ，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-= ，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑ ，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++ ，(1,2,3,,)k n = 由1(1,2,3,)n n b b n +≥= 可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤= 又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k = ，所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++- ，即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -=== ，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）。