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1 （第4题图）
浦东新区2019学年第一学期初中学业质量监测
初三数学 试卷
考生注意：
1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟．
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果BC =5，AB =13，那么sin A 的值为
（A ）
5
13
； （B ）
5
12
； （C ）
1213
； （D ）
125
． 2．下列函数中，是二次函数的是 （A ）21y x =-；
（B ）2
2y x =
； （C ）12
+=x y ；
（D ）()2
21y x x =--．
3．抛物线245y x x =-+的顶点坐标是 （A ）（?2,1）；
（B ）（2,1）；
（C ）（?2, ?1）；
（D ）（2,?1）．
4．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，下列各比例式 不一定能推得DE ∥BC 的是
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2 （A ）AD AE BD CE =；
（B ）
AD DE AB BC =；
（C ）
AB AC BD CE
=；
（D ）
AD AE AB AC
=．
5．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶3，它把物体从地面点A 处送到离地面3米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为 （A ）310米； （B ）210米；
（C ）10米；
（D ）9米．
6．下列说法正确的是
（A ）()0a a +-=r r
；
（B ）如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r r
；
（C ）如果||||a b =r r ，那么a b =r r ； （D ）如果12
a b =-r r (b r
为非零向量)，那么a r //b r ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．已知x =3y ，那么 = ▲ ．
8．已知线段AB =2cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，P A >PB ，那么线段P A 的长度等于 ▲ cm ． 9．如果两个相似三角形对应边之比是2∶3，那么它们的对应中线之比是 ▲ ． 10．如果二次函数223y x x k =-+-的图像经过原点，那么k 的值是 ▲ ． 11．将抛物线23y x =-向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为 ▲ ． 12．如果抛物线经过点A （?1,0）和点B （5,0），那么这条抛物线的对称轴是直线 ▲ ． 13．二次函数22(1)y x =-+的图像在对称轴左侧的部分是 ▲ ．（填“上升”或“下降”） 14．如图，在△ABC 中，AE 是BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心，过点G 作GF ∥AB
（第5题图） 传送带
EF EB
2x y
x y ++
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3 交BC 于点F ，那么 = ▲ ．
15．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD =6，DF =3，BC =7，那么线段CE 的长度等于 ▲ ． 16．如图，将△ABC 沿射线BC 方向平移得到△DEF ，边DE 与AC 相交于点G ，如果
BC = 6cm ，△ABC 的面积等于9cm 2，△GEC 的面积等于4cm 2，那么CF = ▲ cm ．
17．用“描点法”画二次函数2y a x b x c =++的图像时，列出了如下的表格：
x
… 0 1 2 3 4 … 2y a x b x c =++
…
?3
1
?3
…
那么当= 5时，该二次函数y 的值为 ▲ ．
18．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，
将△BDE 绕着点B 旋转，点D 、E 旋转后的对应点分别为点D ’、E ’，当直线D ’E ’ 经过点A 时，线段CD ’的长为 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
计算：
2tan 45cos60cot 602sin30?-?
+??
．
20．（本题满分10分，其中每小题各5分）
x G
C
（第14题图）
（第16题图）
（第15题图）
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4 （第21题图） 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD
的延长线于点F ，设=，b BC ρ
=．
（1）用、b ρ表示BE u u u r 、DF u u u r
；
（2）先化简，再求作：)(2)2
3
(++．
（不要求写作法，但要写明结论）
21．（本题满分10分，其中每小题各5分）
如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8． （1）如果BC =7，求线段DE 的长；
（2）设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积．（用a 的代数式表示）
22．（本题满分10分）
为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC 的长度，在地面上点A 处测得避雷针底部B 和顶部C 的仰角分别为55°58＇和57°．已知点A 与楼底中间部位D 的距离约为80米．求避雷针
（第20题图）
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5 BC 的长度．（参考数据：sin5558'0.83?≈，cos5558'0.56?≈，tan5558' 1.48?≈，sin570.84?≈，
cos570.54?≈，tan57 1.54?≈）
23．（本题满分12分，其中每小题各6分）
如图，已知△ABC 和△ADE ，点D 在BC 边上，DA =DC ，∠ADE =∠B ，边DE 与AC 相交于点F ．
（1）求证：AB AD DF BC ?=?； （2）如果AE ∥BC ，求证：BD DF
DC FE
=
．
24．（本题满分12分，其中每小题各4分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为 A （?1,0）、B （3,0），与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的表达式；
（2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正切值；
（第23题图）
（3）点P在抛物线上且∠P AB=∠ACB，求点P的坐标．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD．过点D作DE⊥DC交边BC于点E．
（1）如图，当ED=EB时，求AD的长；
（2）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；
（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB’，联结AB’．当△CAB’是等腰三角形时，直接写出AD的长．
（第25题图）
（备用图）
（第24题图）
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浦东新区2019学年第一学期初中学业质量监测
初三数学试卷参考答案及评分说明
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A ； 2．C ；
3．B ；
4．B ；
5．A ；
6．D ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．
4
5
； 8
．1)； 9．2∶3；
10．k =3； 11．2
34y x =--；
12．x =2； 13．上升； 14．13； 15．7
2
； 16．2； 17．-8； 18
．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解： 原式=
2
332
1221-1???? ??+?
……………………………………………………（各2分） =
3
1
21+ ………………………………………………………………（1分） =6
5
．……………………………………………………………………（1分）
20．解：（1）∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∵ AD = BC ．
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8 ∵ AE=2ED ，∵AD AE 3
2=．∵ 2
3AE BC =． …………………………（1分）
∵ b ρ
=，∴23
AE b =u u u r r ． ………………………………………………（1分）
∵ ，∵ AE BA BE +=3
2
+=． …………………………………（1分）
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∵ AB // CD ．
∵ 12DF DE AB AE ==．∵ 1
2DF AB =． ………………………………………（1分）
∵ ，∵ a DF 2
1
=． ………………………………………………（1分）
（2）原式=b a b a 222
3
-++-
………………………………………………（1分） =2223-++-
=-2
1
．……………………………… （1分） 作图正确．
……………………………………………………………（2分）
结论． ……………………………………………………………………（1分）
21. 证明：（1）∵AD =3，AC =6，AE =4，AD =8，∴
1
2
AD AE AC AB ==．…………… （2分） ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ．…………………………………………（1分） ∴
DE AD
BC AC
=
． ……………………………………………………………（1分） ∵BC =7，∴2
7
=
DE ． ……………………………………………………（1分） （2）∵AE =4，AC =6，∴EC =2． ∵△ADE 与△CDE 同高，∴
2
1
ADE DEC S AE S EC ==△△． ………………………（1分） ∵S △DEC =a ，∴S △ADE =2a ．
…………………………………………………（1分）
==
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9 ∵△ADE ∽△ACB ，∴4
12
=
??? ??=AC AD S S ACB ADE △△．………………………………（1分） ∴S △ACB =8a ． …………………………………………………………………（1分） ∴S △BDC =8a ―2a ―a =5a ． …………………………………………………（1分）
22．解：根据题意，得∠ADC=90°，∠BAD=55°58＇，∠CAD=57°，AD =80．（各1分）
在Rt △CAD 中，
∵∠ADC=90°，，∵
1.54CD
AD
≈，即 1.5480CD ≈． …（1分） ∴CD =123.2． ……………………………………………………………（1分） 在Rt △BAD 中，
∵∠ADC=90°，，∵
1.48BD
AD
≈，即 1.4880BD ≈．… （1分） ∴BD =118.4． ……………………………………………………………（1分） ∴BC=DC ―BD =123.2―118.4=4.8． ……………………………………（1分） 答：避雷针BC 的长度为4.8米． ………………………………………（1分）
23. 证明：（1）∵DA =DC ，∴∠DCA=∠DAC ．……………………………………（1分）
∵∠B=∠ADE ，∴△ABC ∽△FDA ． ……………………………………（3分） ∴
AB BC
FD DA
=
． ……………………………………………………………（1分） ∴AB DA FD BC ?=?．………………………………………………………（1分） （2）∵AE // BC ，∴
DF DC
EF EA
=
，∠BDA=∠DAE ． ……………………（2分） ∵∠B=∠ADE ，∴△ABD ∽△EDA ．………………………………………（1分）
tan57 1.54?≈tan5558' 1.48?≈
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10 ∴
AD
BD
AE AD =
． ……………………………………………………………（1分） ∵DA =DC ，∴
AE
DC
DC BD =
．…………………………………………………（1分） ∴
FE
DF
DC BD =
． ……………………………………………………………（1分） 24．解：（1）把A （?1,0）、B （3,0）分别代入得
{
10,
930b c b c --+=-++=．…………………………………………………………（2分）
解得b =2，c =3． …………………………………………………………（1分） ∴抛物线的表达式是2
23y x x =-++． ………………………………（1分） （2）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．
∵抛物线2
23y x x =-++与y 轴相交于点C ,∴C （0, 3）．……………（1分） ∵B （3,0）、A （?1,0）、C （0, 3），∴OC =OB =3， AB =4． 在Rt △BOC 中，BC
=ABC =45°． 在Rt △HAB 中， ∵sin AH
ABH AB
∠=
，AB =4
，∴AH BH == ……………………（1分）
∵BC =
CH = ． ……………………………………………（1分） ∴tan 2AH
ACB CH
∠=
=． ……………………………………………（1分） （3）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ．
设P （x ，-x 2+2x +3），则PM =2
23x x -++，AM ＝x ＋１．
∵∠PAB=∠ACB ，tan 2ACB ∠=，∴tan 2PAB ∠=． ……………（1分） （i ）P 在x 轴上方时，-x 2+2x +3=2(x +1) .
2
y x bx c =-++
解得：x1=1，x2=-1（舍）. …………………………………………（1分）（ii）P在x轴下方时，-（-x2+2x+3）=2(x+1) .
解得：x1=5，x2=-1（舍）. …………………………………………（1分）∴P的坐标为（1，４）或（5，-12）.………………………………（1分）
25．解：（1）∵ED=EB，∴∠B=∠BDE．……………………………………………（1分）∵DE⊥CD，∴∠BDE+∠ADC=90°．
∵∠A=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°．
∴∠BDE=∠ACD．…………………………………………………………（1分）
∴∠ACD=∠B．…………………………………………………………（1分）
在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∴
3 tan
4
AC
B
AB
==．
∴
3
tan
4
ACD
∠=．…………………………………………………………（1分）
在Rt△ADC中，
3
tan
4
AD
ACD
AC
∠==，AC=3，
∴
9
4
AD=．……………………………………………………………（1分）
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为点H．
∴∠EDH=∠A=90°．
∵∠BDE=∠ACD，∴△ACD∽△DEH．………………………………（1分）
∴HD HE AC AD
=．
在Rt△BEH中，可得
3
5
EH y
=，
4
5
BH y
=．…………………………（1分）
11/ 13
11
∴
4
4
5
DH x y
=--．……………………………………………………（1分）
∴
43
4
55
3
x y y
x
--
=．
∴
2
205
49
x x
y
x
-
=
+
．……………………………………………………（1分）
（0 < x < 4）．……………………………………………………（1分）
（3）AD
AD
………………………（各2分）
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2020年上海浦东初三数学一模试卷和答案
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