全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）
1.定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==?,,|.设{}0,2=A ，{}8,0=B ，则集合B A ?的所有元素之和为（ ）
A.16
B.18
C. 20
D.22 2.已知{}n a 是等比数列，4
1,252=
=a a ，则()
*+∈+???++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（ ） A.[)16,12 B.[)16,8 C. ??????332,
8 D. ??
?
???332,316 3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ）
A.
53 B.151 C.85 D.81
50
４．已知、为非零的不共线的向量，设条件:M ()
b a b -⊥；条件:N 对一切R x ∈，不等式
≥-M 是N 的（ ）
Ａ．必要而不充分条件 Ｂ．充分而不必要条件 Ｃ．充分而且必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 5．设函数)(x f 定义在R 上，给出下述三个命题：
①满足条件4)2()2(=-++x f x f 的函数图象关于点()2,2对称；②满足条件
)2()2(x f x f -=+的函数图象关于直线2=x 对称；③函数)2(-x f 与)2(+-x f 在同一坐标系
中，其图象关于直线2=x 对称.其中，真命题的个数是
（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于72和34，
M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1
其中真命题为（ ）
A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
7.设)2008sin(sin 0
=a ，)2008sin(cos 0
=b ，)2008cos(sin 0
=c ，)2008cos(cos 0
=d ,则
d c b a ,,,的大小关系是（ ）
Ａ．d c b a <<< Ｂ．c d a b <<< Ｃ．a b d c <<< Ｄ．b a c d <<<
8. 设函数1463)(23+++=x x x x f ，且1)(=a f ，19)(=b f ，则=+b a （ ）
A.2
B.1
C.0
D.2-
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）
9．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为
.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实
数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 ． 10.已知集合(){}
2008|,22≤+=Ωy x y x ，若点),(y x P 、点),(y x P '''满足x x '≤且
y y '≥，则称点P 优于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，则
所有这样的点Q 构成的集合为 ． 11.多项式()3
100
21x x x +???+++的展开式在合并同类项后，150
x
的系数为 .（用数字作
答）
12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为
8
9
，底面周长为3，则这个球的体积为 . 13.将一个44?棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 不同的染法.（用数字作答）
14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k y x P ,处，其中1,111==y x ，当2≥k 时，
???
???
???????--??????-+=??????-+??????--+=--.
5251;525515111k k y y k k x x k k k k 其中，[]a 表示实数a 的整数部分，例如[]26.2=，[].06.0= 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .
三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）
15．（本小题满分14分）设实数[]βα,,∈b a ，求证：
β
α
αβ+≤+b a a b 其中等号当且仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立，βα,为正实数.
１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为
32，乙获胜的概率为3
1
．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．
17. （本小题满分16分）已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()
*∈N n n ,0上的最小值为n b ，令
()n n b n a -+=1ln ，()
*-∈??????=
N k a a a a a a p k
k k 2421
231，
求证：.11221-+<+???++n n a p p p
18. （本小题满分18分）过直线07075:=--y x l 上的点P 作椭圆
19
252
2=+y x 的切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ，联结.MN
（1）当点P 在直线l 上运动时，证明：直线MN 恒过定点Q ； （2）当MN ∥l 时，定点Q 平分线段.MN
参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）
1.解：集合B A ?的元素：0021=?=z ，16822=?=z ，0003=?=z ，0804=?=z ，故集合B A ?的所有元素之和为16. 选A .
2. 解: 设{}n a 的公比为q ，则8
1241253
===a a q ，进而21=q .
所以，数列{}1+n n a a 是以821=a a 为首项，以4
1
2
=
q 为公比的等比数列. ()
n n n n a a a a a a -+-=-?
?? ??
-=+???++41332
4
1141181
3221.
显然，3
32
81322121<
+???++≤=+n n a a a a a a a a . 选C . 3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为24335
=种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为
60223513=??A C C 种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为90
2
41513=??C C C 种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为81
50
2439060=+=
P .选D . ４． 解：设=，=，则x 表示与OB
-表示点A 到直线OB 上任一点C 的距离AC
-表示点A 到B 的距离. 当(b a b -⊥时，.OB AB ⊥由点与直线之间垂直距离最短知，AB AC ≥，即对一切R x ∈
，不等式-≥-恒成立．反之，如果
AB AC ≥恒成立，则()AB AC ≥min ，故AB 必为点A 到OB 的垂直距离，AC OB ⊥，即()
-⊥.
选C .
5．解：用2-x 代替4)2()2(=-++x f x f 中的x ，得4)4()(=-+x f x f .如果点()y x ,在
)(x f y =的图象上，则)4(4x f y -=-，即点()y x ,关于点()2,2的对称点()y x --4,4也在)(x f y =的图象上.反之亦然，故①是真命题.用2-x 代替)2()2(x f x f -=+中的x ，得
)4()(x f x f -=.如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(x f y -=，即点()y x ,关于点2=x 的
对称点()y x ,4-也在)(x f y =的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.
6. 解：假设AB 、CD 相交于点N ，则AB 、CD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，而过圆的弦CD 的中点N 的弦AB 的长度显然有CD AB ≥，所以②是错的．容易证明，当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN 最大为５，故③对．当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN 最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．
7. 解：因为0
2818036052008++?=，所以，
0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ； 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d ．
又0
028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.
8. 解：由()()101311463)(3
23++++=+++=x x x x x x f ，令y y y g 3)(3
+=，则)(y g 为奇
函数且单调递增.
而()()110131)(3
=++++=a a a f ,()()1910131)(3
=++++=b b b f ,
所以9)1(-=+a g ,9)1(=+b g ,9)1(-=--b g ,从而)1()1(--=+b g a g , 即11--=+b a ,故2-=+b a .选D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）
9． 解：由条件得 9631-+-=-+-y x y x ①
当9≥y 时，①化为661-=+-x x ，无解； 当3≤y 时，①化为661-+=-x x ，无解；
当93≤≤y 时，①化为 16122---=-x x y ②
若1≤x ，则5.8=y ，线段长度为１；若61≤≤x ，则5.9=+y x ，线段长度为25；若6≥x ，
则5.3=y ，线段长度为４．综上可知，点C 的轨迹的构成的线段长度之和为
()1254251+=++．填()
125+．
10. 解:P 优于P '，即P 位于P '的左上方，“不存在Ω中的其它点优于Q ”，即“点Q 的左上方不存在Ω中的点”.故满足条件的点的集合为
(){}00,2008|,22
≥≤=+y x y x
y x 且.填(){}
00,2008|,22≥≤=+y x y x y x 且．
11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程
150=++r t s ①
的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为.2
152C
下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设100>s .将方程①化为
49)101(=++-r t s
记101-='s s ，则方程49=++'r t s 的自然数解的组数为.2
51C
因此，150
x
的系数为76512
51132152=-C C C .填7651.
12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为
21，底面面积为8
3
3=S . 又因为体积为8
9，所以高为3.该球的直径为()
2312
2
=+
，球的体积ππ3
4
343==R V .
填
π3
4
. 13.解：第一行染2个黑格有2
4C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况：
（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；
（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有2
4C 种染法，第四行的染法随之确定；
（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.
因此，共有染法为()9024616=?++?种.填90. 14.解：令??
?
???--??????-=5251)(k k k f ，则 )(5251521511525515)5(k f k k k k k k k f =???
???--??????-=??????-+-?????
?-+=??????-+-??????-+=+
故)(k f 是周期为5的函数.
计算可知：0)2(=f ；0)3(=f ；0)4(=f ；0)5(=f ；1)6(=f . 所以，
)2008(5120072008f x x -+=；)2007(5120062007f x x -+=；…；)2(5112f x x -+=.
以上各式叠加，得[])2008()3()2(5200712008f f f x x +???++-+=
[]{})3()2()6()3()2(401
520071f f f f f x +++???++-+= 3401520071=?-+=x ；
同理可得4022008=y .
所以，第2008棵树的种植点为()402,3.填()402,3.
三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）
15．证明：由对称性，不妨设b a ≤，令
t b
a
=，则因βα≤≤≤b a ，可得 .α
β
βα≤=≤b a t …………………………（3分） 设t t t f 1)(+
=???
?
??≤≤αββαt ，则对t 求导，得211)(t t f -='.…………（6分） 易知，当?
??
??
??∈1,βαt 时，0)(<'t f ，)(t f 单调递减；当??? ??∈αβ,1t 时，0)(>'t f ，)(t f 单调递增. …………………………………………………………………（9分） 故)(t f 在βα=
t 或αβ=t 处有最大值且α
ββαβα+=???? ??f 及βα
αβαβ+=??? ??f 两者相等. 故)(t f 的最大值为
βααβ+，即β
α
αβ+≤+=t t t f 1)(.………………（12分） 由
t b a =，得β
α
αβ+≤+b a a b ，其中等号仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立. …………………………………………………………………………（14分）
１6． 解：如果某方以1:3或0:3获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…………（3分）
乙胜五局的概率为5
31??
?
??；………………………………………………（6分）
乙胜四局负一局的概率为32314
15???? ??C ；………………………………（9分）
乙胜三局负二局的概率为.32312
3
25
??
?
?????? ??C ……………………………（12分）
以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为
.81
17
……………（14分） 17. 解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分）
又x
x
x x f +-=-+=
'1111)(.……………………………………………（5分） 当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()
*∈N n n ,0上是减函数，故
().1ln )(n n n f b n -+==
()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（8分）
因为()()()
141
4212122
22<-=+-k k k k k ,所以 ()()()()()121121212126754532312421253122222
+<+?+-??????????=??
??????????-???????k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分） 又容易证明
12121
21
--+<+k k k ，所以 ()()()
*-∈--+<+
N k k k k k k a a a a a a p k k k 12121
21
242125312421231，
………………………………………………………………（14分）
n p p p +???++21()()(
)
12123513--++???+-+-<
n n
112-+=
n 112-+=n a .
即 .11221-+<+???++n n a p p p ……………………（16分）
18. 证明：（1）设()00,y x P 、()11,y x M 、()22,y x N . 则椭圆过点M 、N 的切线方程分别为
192511=+y y x x ，19
2522=+y y x x .…………………………………………（3分） 因为两切线都过点P ，则有
19250101=+y y x x ，19
250202=+y
y x x . 这表明M 、N 均在直线
19
2500=+y
y x x ①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线MN 的方程，其中()00,y x 满足直线l 的方程.…………………（6分）
（1）当点P 在直线l 上运动时，可理解为0x 取遍一切实数，相应的0y 为
.107
5
00-=
x y 代入①消去0y 得
0163
7052500=--+y x x x ② 对一切R x ∈0恒成立. …………………………………………………………（9分）
变形可得 01910635250=??
?
??+-???
??+y y x x 对一切R x ∈0恒成立.故有?????=+=+.019
10,
063525y y
x
由此解得直线MN 恒过定点??
?
??-109,1425Q .……………………………（12分） （2）当MN ∥l 时，由式②知.70
176370
552500--≠---x x 解得.53343750
=x 代入②，得此时MN 的方程为035
533
75=--y x ③ 将此方程与椭圆方程联立，消去y 得
.01225
128068
7533255332=--x x …………………………………………（15分） 由此可得，此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点??
?
??-109,1425Q 的横坐标，即
.142525
53327533
2
21=?
--=+=x x x
代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点???
?
?-109,1425Q 的纵坐标，即 .10
9
25332125491357533142575-=??? ??-=?-?=
y 这就是说，点???
?
?-109,1425Q 平分线段MN .……………………………（18分）