常微分方程期终考试试卷(1)
一、 填空题(30%)
1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
2、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________。 3、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________。
4、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________。
5、形如___________________的方程称为欧拉方程。
6、若()t φ和()t ψ都是'
()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________。 二、计算题(60%) 1、3
()0ydx x y dy -+=
2、sin cos 2x x t t ''+=-
3、若
2114A ??=?
?
-??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??
==????并求expAt 4、3
2
(
)480
dy
dy xy y dx
dx
-+=
5、求方程2
dy
x y
dx
=+经过(0,0)的第三次近似解
6.求1,
5
dx
dy
x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三、证明题(10%)
1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案
一填空题
1、
()
M N y
x
x N
???-??=
()
M N y
x
y M
???-
??=-
2、 2
()()()
dy
p x y Q x y R x dx
=++
y y z
=+
3、 ()()n
dy
p x y Q x y
dx
=+
(1)
(
)(,)n p x d x
n u x y y e
-
-?=
4、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠
5、
11
1
1
n
n n
n n n
n d y d
dy x
a a a y dx
dx
dx
---++++=
6、()()t t C ψφ=
7、零 稳定中心 二计算题
1、解:因为
1,
1
M N y
x
??==-??,所以此方程不是恰当方程,方程有积分因子
2
2
ln 2
1
()dy
y
y y e
e
y μ--?===
,两边同乘2
1
y 得3
2
dx
x y dy y
y
+-
=
所以解为
32
1x x y y dx dy c y y y ?
?
?
??
-++-=????
???????
2
2
x y
c
y +=即
2
2()x y y c =+另外y=0也是解
2、线性方程0x x ''+=的特征方程2
10λ+=故特征根i λ=±
1()sin f t t = i λ=是特征单根,原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程
A=-1
2B=0 2
()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根,原方程有特解
c o s 2s i n 2
x A t
B t =+代入原方程1
3A =
B=0 所以原方程的解为1211
cos sin cos cos 223x c t c t t t t
=+-+ 3、解:
2
2
1
()690
1
4
p λλλλλ--=
=-+=-解得
1,23
λ=此时 k=1
12n =
12v ηηη??==????
111123322120()()(3)()!i t i t
i t t t e A E e
t i ηηηη?ηηηη=??+-+????
=-=??????+-+??????∑
由公式expAt=
10
()
!i
n t i
i t e A E i λλ-=-∑得
[]3331
0111exp (3)01111t
t
t
t
t At e
E t A E e
t e t
t ?-?-??????=+-=+=????????--+??????
??
4、解:方程可化为
3
2
8
4
dy
y
dx
x
dy
y
dx
??
+
?
??
=
令
dy
p
dx
=
则有
32
8
4
p y
x
yp
+
=
(*)
(*)两边对y求导:
32232 2(4)(8)4
dp
y p y p y p y p
dy
-+-=
即
32
(4)(2)0
dp
p y y p
dy
--=
由
20
dp
y p
dy
-=
得
1
2
p cy
=即
2
()
p
y
c
=
将y代入
(*)
2
2
2
4
c p
x
c
=+
即方程的含参数形式的通解为:
2
2
2
2
4
()
c p
x
c
p
y
c
?
=+
??
?
?=
??
p为参数
又由
32
40
p y
-=
得
1
23
(4)
p y
=代入(*)得:
3
4
27
y x
=
也是方程的解
5、解:
00
2
10
225
20
410725118
30
2
()
4220
()
4400202204400160 x
x
x
y
x
y xdx
x x x
y x dx
x x x x x x x y x dx
?
?
?
?
==
=+=
=++=+
=++++=+++?
?
?
6、解:由
10
50
x y
x y
--+=
?
?
--=
?解得奇点(3,-2)令X=x-3,Y=y+2则
dx
x y
dt
dy
x y
dt
?
=--
??
?
?=-
??
因为
11
11
--
-
=1+1 ≠0故有唯一零解(0,0)
由
22
11
211220
11
λ
λλλλ
λ
+
=+++=++=
-+
得1i
λ=-±故(3,-2)为稳
定焦点。
三、证明题
由解的存在唯一性定理知:n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解:
10200'
'
102001
1
1
1
02
00()1,()0,,()0()0,()1,,()0()0,()0,,()1n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---=========
考虑
10200100010[(),(),,()]10
1n w x t x t x t =
=≠
从而()(1,2,)i x t i n = 是线性无关的。
常微分方程期终试卷(2)
一、填空题 30%
1、 形如____________的方程,称为变量分离方程,这里.)().(y x f ?分别为x.y 的连
续函数。
2、 形如_____________的方程,称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函
数.n ,可化为线性方程。
是常数。引入变量变换-------≠1.0
3、 如果存在常数
使得不等,0 L _____________对于所有
称为利普希兹都成立,(L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于
y 满足利普希兹条件。
4、 形如_____________-的方程,称为欧拉方程,这里是常数。,,21a a
5、 设是的基解矩阵,是)()(t Ax x t ?φ=')()(t f x t A x +='的某一解,则它的任一解可表为)(t γ_____________-。
二、计算题40%
1、 求方程的通解。
2
6xy x
y dx
dy
-=
2、 求方程xy
e
x
y dx
dy
=+的通解。
3、 求方程t
e x x x 25'6''=++的隐式解。 4、 求方程)的第三次近似解。
、通过点(002
y x dx dy
+=
三、证明题30% 1.试验证()t Φ=??
?
??
?122t t t 是方程组x '=???
?????-t t
22
10
2
x,x=???
???21x
x ,在任何不包含原点的区间
a b t ≤≤上的基解矩阵。
2.设()t Φ为方程x '
=Ax (A 为n ?n 常数矩阵)的标准基解矩阵(即Φ(0)=E ),证明: ()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.
《常微分方程》期终试卷答卷
一、填空题(每空5分)
1)
()(y x f dx dy
?= 2、n
y
x Q y x P dx
dy
)()(+= z=n
y
-1
3
),(),(21y x f y x f -2
1y y L -≤ 4、
11
1
1
1=++++----y a dx
dy x
a dx
y
d x
a dx
y d x
n n n n n n
n
n
5、)()()(t t t ?φγ+= 二、计算题(每题10分)
1、这是n=2时的伯努利不等式,令z=1
-y
,算得dx dy y
dx
dz
2
--=
代入原方程得到x
z x
dx
dz
+-
=6,这是线性方程,求得它的通解为z=82
6
x
x c
+
带回原来的变量y ,得到y 1
=82
6
x
x c
+或者c
x
y
x
=-
8
8
6
,这就是原方程的解。
此外方程还有解y=0.
2、
解:x
y
xe
xy e
dx
dy
xy
xy
-=
-=
dx y xe
xdy xy
)(-= dx xe ydx xdy xy
=+
dx xe
dxy xy
=
xdx
e
dxy xy
=
积分:
c
x
e
xy
+=--2
2
1
故通解为:0
21
2
=++-c e x
xy
3、
解:齐线性方程05'6''=++x x x 的特征方程为0562
=++λλ,
5,121-=-=λλ,故通解为t t e c e c t x 521)(--+=
2=λ不是特征根,所以方程有形如t
Ae
t x 2)(=
把)(t x 代回原方程 t
t
t
t
e
Ae Ae
Ae
22225124=++
211
=
A 于是原方程通解为t t
t
e e
c e
c t x 2521211)(++=--
4、
解 0)(0=x ?
?=
+=x
x
dx x x x 02
2
012)]([)(?? 202)]([)(5
02
2
12x
x
dx x x x x
+=
+=??? 4400
160
202
)]([)(11
8
5
2
2
23x
x
x
x
dx x x x x
+
++
=
+=???
三、证明题(每题15分)
1、证明:令()t Φ的第一列为1?(t)=???? ??t t 22,这时'
1?(t)=
???? ??22t =?
??? ??-t t
221021?(t)故1?(t)
是一个解。同样如果以2?(t)表示()t Φ第二列,我们有2?(t)=?
??? ??01= ?
??? ??-t t
2210
22?(t)
这样2?(t)也是一个解。因此()t Φ是解矩阵。又因为det ()t Φ=-t 2
故()t Φ是基解矩阵。 2、证明:(1)()t Φ,Φ(t- t 0)是基解矩阵。
(2)由于()t Φ为方程x '
=Ax 的解矩阵,所以()t Φ1
-Φ
(t 0)也是x '
=Ax 的解矩阵,
而当t= t 0时,Φ(t 0)1
-Φ
(t 0)=E, Φ(t- t 0)=Φ(0)=E. 故由解的存在唯一性定
理,得()t Φ1
-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)
常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)
1. 1. 2xylnydx+{2
x
+2
y
2
1y
+}dy=0
2. dx dy
=6x y
-x 2
y
3. '
y =22)12(-++y x y 4. x '
y =2
2y
x ++y
5. 5. tgydx-ctydy=0
6. 6. {y-x(2
x +2
y )}dx-xdy=0
7.一质量为m 质点作直线运动,从速度为零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为1k )
的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数为2k )。试求此质点的速度与时间的关系。
8. 已知f(x)?x
dt
t f 0)(=1,x ≠0,试求函数f(x)的一般表达式。
二. 证明题(10%*2=20%)
9. 试证:在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M 、N 试同齐次函数,且xM+yN ≠0,则)
(1
yN xM +是该方程的一个积分因子。
10. 证明:如果已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等方法求得它的通解。
试题答案: 1. 解:M y ??=2xlny+2x , N y ??=2x,则 M N
y x M
??-
??-=2ln 2ln x y xy y -=-1y ,故方
程有积分因子()
y μ=1dy
y
e
?-
=
1
y
,原方程两边同乘以
1y
得
2ln xy y
y
dx+
2
y y
x
+
dy=0
是恰当方程. d(2
x
两边积分得方
程的解为2
x
lny+()
32
1
2
3
1y +=C 。
2. 解:1)y=0是方程的特解。2)当y ≠0时,令z=
1
y
-得
d z d x =
6
x -z+x. 这是线性方程,解得它的通解为z=2
6
8c
x
x
+
代回原来的变量y 得方程解为1
y =2
6
8c
x
x
+
;y=0.
3. 解:令x=u+3, y=v -2, 可将原方程变为dv
du =
2
2
v u v ?? ?+??
,
再令z=v
u ,得到z+
dz u
u =
2
2
1z z ??
?+??
,即dz u u =
()()22
11z z z +
-+, 分离变量并两端积分得2121dz
z z ??
?+ ? ?
+?
?=du u -?+lnC 即ln z
+2arctgz=
ln u
-+lnC ,
ln zu
=-2arctgz+lnC 代回原变量得v=C 2v arctg
u
e
-
所以,原方程的解为y+2=C 223
y arctg
x e
+--.
4. 解:将方程改写为 '
y =
2
1x
y -
+ x y (*) 令u=x y
,得到x '
y =x '
u + u,则(*)变为x
dx du =
u
-1, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln
u
+lnC, 故方程的解为
arcsin x y
=lnCx 。
5. 解:变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= -ln x
cos +C 或sinycosx=C (*)
另外,由tgy=0或ctgx=0得 y=k π(k=0、1…) ,x=t π+2π
(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况,故原方程的解为sinycosx=C 。
6. 解:ydx-xdy-x(2
x +
2
y
)dx=0,两边同除以2
x +2
y
得
2
2
ydx xdy
y
x
-+
-xdx=0,即d(arctg x
y )-1
2d
2
x
=0,故原方程的解为arctg x
y -1
2
2
x
=C 。
7.
解:因为F=ma=m d v
d t ,又F=1
F
2
F
-=12t v k k -,
即m d v
d t =12t v
k k -(v(0)=0),即d v
d t =12t v k k -(v(0)=0),
解得v=1
2
2
m
k k 2t
m
k e
+12k k (t 2
m k
-).
8. 解:令f(x)=y ,1
()f x =0()x
f t dt
?,两边求导得
()
'
1
y -=y ,
即
'
1y
y
-=y ,即
3
1
dy
y
-
=dx ,两边求积得2
1
y
=2x+C ,
从而
y=±
,故
f(x)= ±
.
9. 证明:如M 、N 都是n 次齐次函数,则因为 x x
M
+y y
M
=nM ,x x N +y y N =nN ,故有
M
N
y xM yN
x xM yN ??-
?+?+=
2
()()()
y
y
y xM yN M x N y xM yN N M
M
+-+++2
()()
()
x
x
x xM yN N x M y xM yN N N M
+-++-
+
=2
()()
()
x
x y M x yN N x y xM yN N N M
+-+-
+
=2
()()()
M nN N nM xM yN --
+=0.
故命题成立。
10. 解:1)先找到一个特解y= y 。
2)令y=
y
+z ,化为n=2的伯努利方程。
证明:因为y= y 为方程的解,
所以 d y
dx =P(x)
2
y
+Q(x)
y +R(x) (1)
令y= y +z ,则有
d y
dx +d z
d x = P(x)2
()
y
z + +Q(x)()y z +
+R(x) (2)
(2)-(1)得d z
d x = P(x)2
(2)yz z + +Q(x)z
即d z
d x =[2P(x)
y +Q(x)]z+P(x)2z
此为n=2的伯努利方程。
常微分方程期终试卷(4)
一、填空题 1、( )称为变量分离方程,它有积分因子( )。
2、当( )时,方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程,或称全微分方程。
3、函数),(y x f 称为在矩形域R上关于y 满足利普希兹条件,如果( )。
4、对毕卡逼近序列,())()(1≤--x x k k ??。
5、解线性方程的常用方法有( )。
6、若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程的n 个线性无关解,则这一齐线性方程的所有解可表为( )。
7、方程组x t A x )(='( )。 8、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵,则)(t φ和)(t ψ具有关系:( )。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部( )时,零解是稳定的,对应的奇点称为( )。
10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时,则当( )时,零解是渐近稳定的,对应的奇点称为( )。当( )时,零解是不稳定的,对应的奇点称为( )。
11、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵,则x t A x )(=')(t f =满足η
=)(0t x 的解( )。
二、计算题
求下列方程的通解。
1、1
sin 4-=-x e
dx
dy
y
。
2、1
)(122=??????
-dx dy y 。
3、求方程2
y
x dx dy
+=通过)0,0(的第三次近似解。
求解下列常系数线性方程。 4、0=+'+''x x x 。
5、t
e x x =-'''。
试求下列线性方程组的奇点,并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型及稳定性:
6、5
,
!--=+--=y x dt
dy y x dt
dx 。 三、证明题。
1、1、设)(t φ为方程Ax x ='(A为n n ?常数矩阵)的标准基解矩阵(即))0(E =φ,
证明)(t φ)()(001
t t t -=-φφ其中0t 为某一值。 答案:
一、填空题
1、形如)
()(x g x f dx
dy
=的方程
)(1y g u =
2、
x N y
M
??=??
3、存在常数L>0,对于所有R
y x y x ∈)(),,(2,211都有使得不等式
2
12,211)(),(y y L y x f y x f -≤-成立
4、k
k h
k ML
!1
-
5、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法
6、
)
()(1
t x c
t x i n
i i
∑==
,其中
n
c c c ,,2,1 是任意常数
7、n 个线性无关的解)
(),(),(21t x t x t x n 称之为x t A x )(='的一个基本解组
8、)(t ψ=)(t φc (b t a ≤≤c 为非奇异常数矩阵 9、等于零 稳定中心 10、两根同号且均为负实数 稳定结点 两根异号或两根同号且均为正实数 不稳
定鞍点或不稳定结点
11、
ds
s f s t t t t
t )()()()()(0
1
01
?--+=φ
φηφ
φ
二、计算题
1、解:方程可化为
1
sin 4-+-=x e
dx
de
y
y
令y
e z =,得x
z dx
dz
sin 4+-=
由一阶线性方程的求解公式,得
[]x
x
x
dx
dx
ce
x x c e x x e
c dx xe
e z ----
-+-=+-=+??
=?)cos (sin 2)cos (sin
2)sin 4()1()1(所以原方程为:y
e =x
ce
x x -+-)cos (sin 2
2、解
:设
t p d
x
d
y
s i
n
==,
则有
t y s
e
c =,
从而
c
g t
t t d t
c t
d t t
g t t x +=+=+?=
??2
s
e
c s e s
i
n
1
,故方程的解为
2
2
1)(y c x =++,另外1±=y 也是方程的解
3、解:0)(0=x ? 2
012
1)(x
x d x x x
==
?
?
5
2
4
220
121)4
1()(x
x dx x x x x
+
=
+
=
?
?
dx x x x x dx x x x x x
x
?
?
??? ??++
+=??????
++=
710
40
2523201400141)20121()(? 8
11
5
2
160
14400
120
12
1x
x
x x +
+
+
=
4、解:对应的特征方程为:012
=++λλ,解得
i
i 2
3,232
122
1
1-
-=+-
=λλ
所以方程的通解为:)
2
3sin
2
3cos
(212
1t c t c e
x t +=-
5、解:齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013
=-λ,解得
231,13,21i
±
-=
=λλ,
故齐线性方程的基本解组为:
i
e
i e
e t
2
3sin
,2
3cos
,2
12
1-
-
,因为1=λ是特征根,
所以原方程有形如t tAe t x =)(,代入原方程得,t
t t t e Ate Ate Ae =-+3,所以
31
=
A ,所以原方程的通解为2
121-
+=e
c e c x t
t
te
i e
c i 3
12
3sin
2
3cos
2
13+
+-
6、解: ??
?=--=+--0
50!y x y x 解得???-==23y x 所以奇点为()2,3- 经变换,??
?+=-=33y Y x X
方程
组化
为
?????-=--=Y X dt
dy Y X dt dx
因为
,
01
1
11≠---又
1)1(1
1
1
1
2
=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ,故奇点为稳定
焦点,所对应的零解为渐近稳定的。
三、证明题
1、证明:)(t φ为方程Ax x ='的基解矩阵)
(01
t -φ
为一非奇异常数矩阵,所以
)(t φ)
(01
t -φ
也是方程Ax x ='的基解矩阵,且)(0t t -φ也是方程Ax x =' 的基解矩阵,
且都满足初始条件)(t φ)(01
t -φ
E
=,E t t ==-)0()(00φφ
所以)(t φ)
()(001
t t t -=-φφ
常微分方程期终考试试卷(5)
一. 填空题 (30分)
1.)
()(x Q y x P dx
dy
+=称为一阶线性方程,它有积分因子 ?
-dx x P e )( ,其通解为
_________ 。
2.函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件,如果 _______ 。
3. 若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限,则有)()(x x n ??-≤______ 。
4.方程2
2y
x dx dy
+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上,则经过点(0,0)的解
的存在区间是 _______ 。
5.函数组t
t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6.若)
,,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,)(t x -
为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7.若)(t Φ是x t A x )('
=的基解矩阵,则向量函数)(t ?= _______是)()('
t f x t A x +=的满足初始条件
)(0=t ?的解;向量函数)(t ?= _____
是)()('
t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。
8.若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n
v v v ,,,21 ,它们对应的特征值分别为
n
λλλ ,,21,那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='
的一个基解矩阵。
9.满足 _______ 的点),(*
*
y x ,称为驻定方程组。
二. 计算题 (60分)
10.求方程0)1(243
2
2
=-+dy y x dx y x 的通解。
11.求方程0
=-+x e dx
dy
dx dy
的通解。
12.求初值问题?????=--=0)1(2
2y y x dx
dy 1
,11:≤≤+y x R 的解的存在区间,并求第二次近似解,
给出在解的存在区间的误差估计。 13.求方程t t x x 3sin 9'
'=+的通解。 14.试求方程组)('
t f Ax x +=的解).(t ?
?
?????=???
???=??????-=1)(,3421,11)0(t e t f A ? 15.试求线性方程组5
2,1972+-=+-=y x dt dy
y x dt dx 的奇点,并判断奇点的类型及稳定
性。
三.证明题 (10分)
16.如果)(t ?是Ax x ='
满足初始条件η?=)(0t 的解,那么[]η?)(exp )(0t t A t -=
常微分方程期终考试试卷答案 一.填空题 (30分)
1.
)
)(()()(?+??=-c dx e x Q e y dx
x P dx x P
2.),(y x f 在R 上连续,存在0>L ,使2
121),(),(y y L y x f y x f -≤-,对于任意R y x y x ∈),(),,(21
3.1
)!1(++n n h
n ML
4.414
1≤
≤-x 5.
t
t
t
t t
t t t t e
e
e
e e e
e
e
e 22242----
6.
)
()()(1
t x t x c
t x i n
i i
-
=+=
∑
7.
ds
s f s t t
t )()()(1
-Φ
Φ?
ds
s f s t t t t
t )()()()()(0
1
01
?--Φ
Φ+Φ
Φη
8.
[]n
t
t
t
v e v e
v e
n λλλ,,,2121
9.0),(,0),(==y x Y y x X 二.计算题 (60分)
10.解:y
x x N y x y M 2
26,8=??=??
y M
x
N y
M 21
-
=-??-?? 积分因子2
121
)(-
-
=?=y
e
y dy
y μ
两边同乘以)(y μ后方程变为恰当方程:0)1(243
2
13
22
=-+-
dy y x y
dx y x
3
2
2
4y x M x
u
==?? 两边积分得:)
(3
423
3
y y x u ?+=
2
121
3
'
213
22)(2-
-==+=??y
y x N y y x y
u
?
得:2
1
4)(y y -=?
因此方程的通解为:c y x y =-)3(3
2
1
11.解:令p
y dx
dy
=='
则0=-+x e p p
得:p
e p x += 那么
??+=
=dp
e
p pdx
y p
)1(
c
e
pe p
p
p
+-+=
2
2
因此方程的通解为:???
??+-+=+=c e p p y e p x p
p )1(22
12.解:
4
),(max ),(==∈y x f M R
y x
b
y y a x x =≤-=≤-1,100,
41),
min(=
=M b a h
解的存在区间为
4110=≤+=-h x x x
即434
5-
≤≤-x
令0
)(00==y x ?
313
0)(3
1
2
1+
=
+
=?
-x
dx x x x
?
4211
918633)313(0)(4
7312322+
---=??????+-+=?-x x x x dx x x x x
? 又L y y
f
=≤-=??22
误差估计为:241)!
1()()(1
2=
+≤
-+n n
h
n ML
x x ??
13.解:i i 3,309212
-==?=+λλλ
i 3=λ是方程的特征值, 设it
e B At t t x 3)()(+=-
得:it
e At Bi Ait Bt A x 32
"
)961292(-++-=
则t Bi Ait A =++6122
得:
361,12
1=
-
=B i A
因此方程的通解为:t
t t t t c t c t x 3sin 36
13cos 12
13sin 3cos )(2
21+
-
+=
14.解:
)5)(1(3
4
2
1)det(=-+=----=
-λλλλλA E
5,121=-=λλ
0)(11=-v A E λ 得
?
???
??-=αα
1v 取
???
???-=111v 0)(22=-v A E λ 得 ??????=ββ22v 取
?
?????=212v 则基解矩阵
???
???-=Φ-t t
t
t
e e e
e t 552)(
????
?
?-=??????-?????
?????????-=Φ
Φ-----t t t t
t
t
e e e e
e
e t 112121012)0()(551
η
??
???
??
???+--+=ΦΦ?-51211035241203)()()(551
0t t t t t t e e e e ds s f s t 因此方程的通解为:
?--ΦΦ+ΦΦ=t
t ds
s f s t t t 0
)()()()0()()(1
1
η?
?????????
?++---+=--5121103524120
355t t t t t t e e e e e e
15.解:
??
?==????=+-=+-31
05201972y x y x y x (1,3)是奇点
令
25,2
19-
=+
=y Y x X
Y
x dt
dY y X dt
dX
2,72-=-=
0230
722
1
72
≠--=--,那么由
2
30
7
2
2
17
2
2
=-+-=
+--λλλλλ
可得:i i 3,321-==λλ 因此(1,3)是稳定中心
三.证明题 (10分) 16.证明:由定理8可知
ds
s f s t t t t t
t )()()()()()(0
1
01
?--ΦΦ+ΦΦ=η?
又因为)exp()(exp )(,exp )(01
001At At t At t -==Φ=Φ--
0)(=s f
所以η?)exp(exp )(0At At t -?= 又因为矩阵)()()()(00At At At At ?-=-?
所以[]η?)(exp )(0t t A t -=
常微分方程期终考试试卷(6)
三. 填空题 (共30分,9小题,10个空格,每格3分)。
1、 当_______________时,方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程,或称全 微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求dx
dy =f(x,y)满足
0)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G 内连续,且关于y 满足利普希兹条件,则方程)
,(y x f dx
dy
=的解
y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。
5、若)
(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组x t A x )(/
=的_________________称之为x t A x )(/
=的一个基本解组。
7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/
的基解矩阵,则expAt =____________。 8、满足___________________的点(*
*
,y x ),称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部________时,零解是稳定 的,对应的奇点称为___________。 二、计算题(共6小题,每题10分)。
1、求解方程:dx dy
=31
2
+++-y x y x
2、 2、解方程: (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程23
=
dx
dy
3
1
y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解
4、求解常系数线性方程:
e
x x x
t
cos 32///
-=+- 5、试求方程组Ax x =/
的一个基解矩阵,并计算
???? ?
?34
21
,为其中A e
At
6、试讨论方程组cy
dt
dy by ax dt
dx
=+=,
(1)的奇点类型,其中a,b,c 为常数,且
ac ≠0。
三、证明题(共一题,满分10分)。
试证:如果Ax x t =/
)是(?满足初始条件η?=)(0t 的解,那么
=)(t ?[]η)
(0t t A e
-
常微分方程期末考试答案卷
一、 一、 填空题。(30分)
1、x y x N y y x M ??=
??)
,(),(
2、)
(
x y
f dx
dy
=
3、y=0y +dx
y x f x
x ?
0),(
4、连续的
5、w []0)(),...,,(),(21≠t x t x t x n
6、n 个线性无关解
7、)0()(1
-Φ
Φt
8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0
9、为零 稳定中心 二、计算题。(60分) 1、解: (x-y+1)dx-(x+2
y +3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0
即21
d 2
x -d(xy)+dx-3
3
1dy
-3dy=0
所以C
y y x xy x =--
+-33
12
1
3
2
2、解:2)(1
)(2-+-+-
=y x y x dx
dy
,令z=x+y
则dx dy dx
dz
+
=1
,
2
12
121+-+=
---
=z z z z dx
dz dx
dz z z =++-1
2
所以 –z+3ln|z+1|=x+1C , ln 3
|1|+z =x+z+1C 即y
x Ce
y x +=++23
)1(
3、解: 设f(x,y)= 23
3
1y ,则)
0(2
13
2≠=
??-
y y
y
f
故在0≠y 的任何区域上y f
??存在且连续,
因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,
显然,0≡y 是通过点(0,0)的一个解;
又由23
=
dx
dy
31y 解得,|y|=2
3
)(c x -
所以,通过点(0,0)的一切解为0≡y 及
|y|=?
??
?
?≥>-≤是常数
0),()
()
(02
3
c c x c x c x
4、解: (1)
i
21,
0322,12
±
==+-λλλ
齐次方程的通解为x=)2sin
2cos
(21t c t c e t
+
(2)i ±-=1λ不是特征根,故取t
e t B t A x -+=)sin cos (
代入方程比较系数得A=415
,B=-414
于是t
e
t t x --
=)sin 41
4cos 41
5(
通解为x=)2sin
2cos (21t c t c e t
++t
e
t t --)sin 4cos 5(41
1
5、解: det(A E -λ)=0
543
4
2
1
2
=--=----λλλλ
所以,5,
121=-=λλ
设11-=λ对应的特征向量为1v
由0
11044
22
11≠?
??
?
??-==???
?
?
?----ααv v 可得
取
?
??
?
??=?
???
??-=211121v v 同理取
所以,)(t Φ= [
]
=-2
51
v e v e t
t
????
??---t
t t t e
e e
e 552
???
? ??+--+=???
? ??-???? ??-=???
? ??-????
?
?-=ΦΦ=----------t t t t
t
t t t t
t
t t
t
t t t
At
e e e e e e e
e e
e
e
e
e
e e
e t e
5555551
551
2222311112
23121112)0()(
6、解: 因为方程组(1)是二阶线性驻定方程组,且满足条件
≠=ac c
b a ,故奇点为原点(0,0)
又由det(A-λE)=
)(0
2
=++-=--ac c a c b a λλλ
λ得
c a
==21λλ 所以,方程组的奇点(0,0)可分为以下类型:
a ,c 为实数????
??
??????>><?
?=≠=????
??
?>><<>≠不稳定结点,稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点(不稳定)不稳定结点稳定结点
奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a
三、证明题。 (10分)
证明: 设)(t ?的形式为)(t ?=C e At
(1) (C 为待定的常向量)
则由初始条件得)(0t ?η==C
e At 0
又1
)
(0
-At e
=0
At e
-
所以,C=1
)
(0
-At e
η=0At e -η
代入(1)得)(t ?=ηη)
(00
t t A At At
e e
e --= 即命题得证。
常微分方程期终试卷(7) 一、选择题
1.n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( )个.(A )n (B )n -1 (C )n +1 (D )n +2
2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的( )条件. (A )充分 (B )必要 (C )充分必要 (D )必要非充分
3. 方程2
1d d y
x
y -=过点)
1,2
(π共有( )个解.
(A )一 (B )无数 (C )两 (D )三 4.方程x
x y x
y
+-=
d d ( )奇解.
(A )有一个 (B )有两个 (C )无 (D )有无数个 5.方程y
x
y
=
d d 的奇解是( ).
(A )x y = (B )1=y (C )1-=y (D )0=y
二、计算题 1.x '
y =2
2y
x ++y 2.tgydx-ctydy=0 3. 0d d )2(=-+y x x y x
4. 1
d d +=
x
y x
y
5.0
d )ln (d 3
=++y x y x x y
三、求下列方程的通解或通积分
1.)
1(d d 2
y x x y y -=
2. 2
)
(
d d x y x y x
y
-= 3. x
y x y
2e
3d d =+
四.证明
1.设)(1x y ,)(2x y 是方程
0)()(=+'+''y x q y x p y
的解,且满足)(01x y =)(02x y =0,0)(1≠x y ,这里)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续,)
,(0∞+-∞∈x .试证明:存在常数C 使得)(2x y =C )(1x y .
2.在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中,已知)(x p ,)(x q 在),(∞+-∞上连续.求证:该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切. 试卷答案 一、选择题
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
二、计算题
1.
解:将方程改写为'
y =
2
1x
y -
+x y (*) 令u=x y
,得到 '
y =x '
u +u,则(*)变为
x dx du
=u -1, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln u
+lnC, 故方程的解为
arcsin x y
=lnCx 。
2.
解:变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)=-ln x cos +C 或sinycosx=C (*) 另外,由tgy=0或ctgx=0得 y=k π(k=0、1…) ,
x=t π+2π
(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况,故原方程的解为sinycosx=C 。
3. 方程化为
x y x
y
21d d += 令xu y =,则x u
x
u x y
d d d d +=,代入上式,得
u
x
u x
+=1d d
常微分方程试题库 二、计算题(每题6分) 1. 解方程:0cot tan =-xdy ydx ; 2. 解方程:x y x y e 2d d =+; 3. 解方程:; 4. 解方程: t e x dt dx 23=+; 5. 解方程:0)2(=+---dy xe y dx e y y ; 6. 解方程:0)ln (3=++dy x y dx x y ; 7. 解方程:0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ; 8. 解方程:0485=-'+''-'''x x x x ; 9. 解方程:02)3()5()7(=+-x x x ; 10. 解方程:02=-''+'''x x x ; 11. 解方程:1,0='-'='+'y x y x ; 12. 解方程: y y dx dy ln =; 13. 解方程:y x e dx dy -=; 14. 解方程:02)1(22=+'-xy y x ; 15. 解方程:x y dx dy cos 2=; 16. 解方程:dy yx x dx xy y )()(2222+=+; 17. 解方程:x xy dx dy 42=+; 18. 解方程:23=+ρθ ρ d d ; 19. 解方程:22x y xe dx dy +=; 20. 解方程:422x y y x =-'; 选题说明:每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准:(每题6分) 1. 解方程:0cot tan =-xdy ydx 解: ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解, (2分) 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时,原方程可化为: 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y , (2分) 积分得原方程的通解为: C x y =cos sin . (2分) 2. 解方程: x y x y e 2d d =+ 解:由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p (2分) x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分) (分) (22 3. 解方程: 解:由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p (2分) =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx (2分) ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. (2分) 4. 解方程: t e x dt dx 23=+ 解:由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p (2分) =??+?-)(323dt e e C e dt t dt (2分) ?+=-)(53dt e C e t t
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解.
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则(). A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷(B) 一、填空题(每空2 分,共16分)。 1.李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件. 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线. 3.线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个,其中R ∈ x,n R Y∈. 4.二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关. 5.方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6.变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7.性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W. 8.方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题(每小题3 分,共15分)。 9.两个不同的线性齐次微分方程组( D )的基本解组. (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10.方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是(D ). (A)稳定焦点(B)不稳定焦点(C)鞍点(D)不稳定结点11.方程x(y2-1)d x+y(x2-1)d y=0的所有常数解是( C ). (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12.n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ). (A )构成一个线性空间 (B )构成一个1-n 维线性空间 (C )构成一个1+n 维线性空间 (D )不能构成一个线性空间 13.方程4d d +-=x y x y ( A )奇解. (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题(每小题8分,共48分) 。 14.求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解:令x y u =,则u x u y '+=', u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时,等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15.求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解:积分因子21)(x x =μ, 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程.取10=x ,00=y ,于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16.求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y =',得到2 2 2x xp p y +-= (*) ,两端同时关于求导,
常微分方程试题 一、填空题(每小题3分,共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a,则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数,作变量变换________,方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数,则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续,y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上,满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy,满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…,n是〔a,b〕上的连续函数,又x1(t),x2(t),…,x n(t)为方程n 个线性无关的解,则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是:________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵,x1(t),x2(t),…,x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为:x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵,-2为A的三重特征值,则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
常微分方程试题
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则(). A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程,称为变量分离方程, 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程,称为伯努利方程, 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程,称为 欧拉方程,这里 5、设的某一解,则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax(A为nn常数矩阵)的标准基解矩阵(即(0)=E),证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2
一、填空题:(30%) 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项,则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解,则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解:(40%) 1、 2、 3、 4、 5、求解方程. 三、求初值问题的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计. (10分)
四、求解微分方程组 满足初始条件的解. (10%) 五、证明题:(10%) 设,是方程 的解,且满足==0,,这里在上连续,.试证明:存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1.辨别题 指出下列方程的阶数,是否是线性方程:(12%) (1)(2)(3) (4)(5)(6) 2、填空题(8%) (1).方程的所有常数解是___________. (2).若y=y1(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________. (3).若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程,同它的通积分是 ________________. (4).设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) (1).方程是().
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1.任意微分方程都有通解。( ) 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4.函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9. 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1.在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3.x e y 2-=''的通解是 。 4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6.微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。
7.x y 1 =所满足的微分方程是 。 8.x y y 2='的通解为 。 9. 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10. ()25 11 2+=+- x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。 11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1.微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A .3 B .4 C .5 D . 2 2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A .3 B .5 C .4 D . 2 3.下列函数中,哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A .x y 2= B .2x y = C .x y 2-= D . x y -= 4.微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A .13+=x y B .()3 2+=x y C .()2 C x y += D . ()3 1x C y += 5.函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A .0=+'y y B .02=+'y y C .0=+y y n D . x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。 A .通解 B .特解 C .是方程所有的解 D . 上述都不对 7.y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A .1+=x e y B .x e y 2= C .22x e y ?= D . x e y ?=3 8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A .x a y sin *= B .x a y cos *?=
南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型:必修试卷类型:B Array 装 订 线 装 订 线
常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题(每小题3分,本题共30分) 1.二 2. )()]()([1211x y x y x y C +- 3. ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4. )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题(每小题5分,本题共20分) 11. 解: 齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程,确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 (5分) 12. 解: 对应的特征方程为:012 =++λλ, 解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ (3分) 所以方程的通解为:)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- (5分) 13. 1=??y M ,x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. (3分) 凑微分,0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 (5分) 14. 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为:变量分离 (3分) 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量 (5分)
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数,是线性方程还是非线性方程,并说明理由; (1) t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 (2) dx dy =x 2+y 2 ; (3)dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4.验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解,进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7.什么是求解常微分方程的初等积分法 8.分离变量一阶方程的特征是什么 9.求下列方程的通解 (1) y ` =sinx (2) x 2 y 2 y ` +1=y (3) tgx dx dy =1+y (4) dx dy =exp(2x-y) (5) dx dy =21y 2- (6) x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx (7)( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11.试给出一阶方程y ` =f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二
个方程的关系。 12.求解齐次方程通常用什么初等变换,新旧函数导数关系如何 13.求解下列方程 dx dy =2 22y x xy - 14.求解下列方程 (1)(x+2y )dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27
《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题(每个空格4分,共80分) 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C (C 为任意常数) ,方程与通过点(2,3)的特解为 2 1=-y x ,与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ,满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ,可将其化为变量可分离方程,其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ,满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ,该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d
常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答:1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答:(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答:形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x),定义丁区问x-x o 8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组,x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答:X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限,则有|%x)M n(x)W 答:MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程,若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答:形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答:开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答:D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答:y =k二,k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x),…,气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答:充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答:线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答:e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续,则方程d^= 应 用 题(每题10分) 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零,又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=,求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= (1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?,求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导,()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=,且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ,求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续,5 (1)2 f =,且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??,求()f x 。 6、求连续函数()f x ,使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?,试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=, 其中21 ()01x x x ?=?>? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程,且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ,其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分。 (1)求曲线()y f x =的方程; (2)已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ,试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为 常微分方程试题库试 卷库 常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题(30%) 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。 2、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________。 3、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________。 4、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________。 5、形如___________________的方程称为欧拉方程。 6、若()t φ和()t ψ都是' ()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是 _____________________________。 7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________。 二、计算题(60%) 1、 3 ()0ydx x y dy -+= 2、sin cos2x x t t ''+=- 3、若 2114A ?? =?? -??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt 4、32( )480 dy dy xy y dx dx -+= 5、求方程2 dy x y dx =+经过(0,0)的第三次近似解 6.求1,5 dx dy x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题(10%) 1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 1、()M N y x x N ???-??= ()M N y x y M ???-??=- 常微分方程练习题及答案(复习题) 常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解. 常微分方程试题模拟试题(一) 一、填空题(每小题3分,本题共15分) 1 .方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是 . 2.方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是 . 3.线性方程0y y ''+=的基本解组是 . 4.(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的 条件. 5.向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的 条件. 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 6.积分方程11()1()d x y x y s s s =+?的解是( ) . (A )1y = (B )e x y = (C )0y = (D )y x = 7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是( ). (A )?=x x p d )(e μ (B )?=x x q d )(e μ (C )?=-x x p d )(e μ (D )?=-x x q d )(e μ 8.方程 ?????≠==0 ,ln 00d d y y y y x y 当当, 在xoy 平面上任一点的解( ). (A )都不是惟一的 (B )都是惟一的 (C )都与x 轴相交 (D )都与x 轴相切 9.平面系统???????+=+=y x t y y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是( ). (A )不稳定结点 (B )稳定焦点 (C )不稳定焦点 (D )鞍点 10.方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内( )零点. (A )无 (B )只有一个 (C )至多只有有限个 (D )有无限个 三、计算题(每小题8分,共40分) 求下列方程的通解或通积分: 11. 2211d d x y x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--= 13. 2y xy y ''=+ 14.012)(2=+'-'y x y 15.032 22=-'-''y x y y y 四、计算题(本题15分) 常微分方程试题库 (一)、填空题(每空3分) 1、 当_______________时,方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程,或称全微分方程,其原函数为: 。 2、形如________________的方程,称为齐次方程。 3、求),(y x f dx dy =满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解,)(x ?是其对应齐线性方程于区间I 上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为: 。 5、若)(),...(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组X t A dt dX )(=的_________________,称之为X t A dt dX )(=的一个基本解组。 7、若)(t Φ是常系数线性方程组 AX dt dX =的基解矩阵,则At exp = 。 8、方程 称为一阶线性方程,它有积分因子 ,其通解为 。 9、设)(),(21x x ??是与二阶线性方程: )()()(21x f y x a y x a y =+'+'',对应的齐次线性方程的基本解组,则的二阶线性方程全部解的共同表达式为: .10、形如 的方程称为欧拉方程。 11、若)(t Φ和)(t ψ都是X t A dt dX )(=的基解矩阵,则)(t Φ和)(t ψ具有的关系: 。 12、若向量函数);(y t g 在域R 上 ,则方程组0000),;(),;(y y t t y t g dt dy ==?的解?存在且惟一。 13、方程),,,,(y )1((n)-'=n y y y x f 经过变换 ,可化为含有n 个未知函数的一阶微分方程组。 14、方程04=+''y y 的基本解组是 . 15、向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的 一,常微分方程的基本概念 常微分方程: 含一个白变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为:F (x, y, y …y(n)) =0 (n 丰0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。 如:f(x)⑶ +3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。 2. 若f (x)使常微分方程两端恒等,则f (x)称为常微分方程的解。 3. 含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微 分方程的通解。如常系数三阶微分方程F (t , x(3)) =0的通解的形式为:x (t) =cx (t) +C2x (t) +C3x (t )。 4. 满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一,亦可能不存在) 。 5. 常微分方程之线性及非线性:对于F (x, y, y…y(n)) =0而言,如果方程之左端是y, y'…y(n)的一次有理式,则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与白变量无关)。如:xy⑵-5y +3xy=sinx 为2阶线性微分方程;y⑵+siny=0为非线性微分方程。 注:a.这里主要介绍几个主要的,常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解,初值条件,初值问题等概念这里予以略去。另外,有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 1. 定义:形如dy=f (x) 4 (y)的方程,称为分离变量方程。这里f dx (x), § (x)分别是x, y的连续函数。 2. 解法:分离变量法』芸七=J f (x)dx+c. (*) 说明:a由于(*)是建立在§ (y)乒0的基础上,故而可能漏解。 需视情况补上§ (y) =0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于 一式中) b.不需考虑因白变量引起的分母为零的情况。 例 1. ydx (x2-4x)dy =0 解:由题意分离变量得:2dx dy=0 x -4 y 即:1(工-1)dx 业=。 4 x —4 x y 积分之,得:1(ln x—4 —In x)+ln y =c 故原方程通解为:(x-4)y4=cx (c为任意常数),特解y=0 包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x)满足f(x)T f(:)dt+|n2,则f (x)是? 解:对给定的积分方程两边关于x求导,得: f' (x) = 2 f (x) (变上限求积分求导) 分离变量,解之得:f(x)=Ce2x 由原方程知:f (0) =In2 ,代入上解析式得: C=ln2 , 常微分方程模拟试题 一、填空题(每小题3分,本题共15分) 1.一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线. 2.二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 . 3.方程02=+'-''y y y 的基本解组是 . 4.一个不可延展解的存在在区间一定是 区间. 5.方程 21d d y x y -=的常数解是 . 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 6.方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A )上半平面 (B )xoy 平面 (C )下半平面 (D )除y 轴外的全平面 7. 方程 1d d +=y x y ( )奇解. (A )有一个 (B )有两个 (C )无 (D )有无数个 8.)(y f 连续可微是保证方程 )(d d y f x y =解存在且唯一的( )条件. (A )必要 (B )充分 (C )充分必要 (D )必要非充分 9.二阶线性非齐次微分方程的所有解( ). (A )构成一个2维线性空间 (B )构成一个3维线性空间 (C )不能构成一个线性空间 (D )构成一个无限维线性空间 10.方程32 3d d y x y =过点(0, 0)有( B ). (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题(每小题6分,本题共30分) 求下列方程的通解或通积分: 11. y y x y ln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y x y += 14.0)d (d 22 2=-+y y x x xy 15.3 )(2y y x y '+'= 四、计算题(每小题10分,本题共20分) 16.求方程2 55x y y -='-''的通解. 17.求下列方程组的通解. ?????? ?-=+=x t y t y t x d d sin 1d d常微分方程应用题和答案
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