10- 71
习 题
10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？
10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？
10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？
10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b)
EI 1=∞
EI
m
y
?
分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c)
(d)
m m m
m m m
在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。
10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？
10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。
EI m 1
m 2 EI
EI EI
2EI
m m
10- 72
解：1）刚度法
该体系仅有一个自由度。
可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度
为..
ml a 。
取A 点隔离体，A 结点力矩为：..
..
3
1212
3
3
I M ml a l l m a l =???=
由动力荷载引起的力矩为：
()()2
121233
t t q l l q l ??
=
由弹性恢复力所引起的弯矩为：.
2
133
la k l c a l ?
?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得：
()3
..
.
3
2
2
13
9
3
t q l ka m a l l c a l +
+=
整理得：().
..
33t q ka c a m a l
l
l
++
=
2）力法
A
()
21
3t q l α
13
l α13
l k αB
C
.
l c
α
解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程为：
().
..
2
1110
3
3
3
l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-
?
-?-
?=?
则同样有：().
..
33t q ka c a m a l
l
l
+
+
=
。
10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
a A
c
EI =∞
k B m a a
a
a E D C
F
k m k θ
l 3 3
l 2 A
q (t ) c
EI =∞
k B
C m
10- 73
解：
32
α.
ca α2k a α..
3ma α
32
ka αk θα
取DF 隔离体，0F M =∑：
..
22
2
.
2
322
324
a R a m x dx ka R ma ka αα
αα
?=
+
?=+
?
取AE 隔离体：0A M =∑
..
.
32
2
2
430a k m x dx ca ka Ra θαααα+
+++=?
将R 代入，整理得：
..
32
251504
R ma ka k θααα=+
+=
10-10 试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B 处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
α
M (t )
..1
2ml α
（2）画出p M 和1M 图（在B 点处作用一附加约束）
()..
324
t m l M α-()
t M 1p
R p
M
3EI
l
11
k 1
M
l
A
B
EI l 2
m
EI 1=∞
M (t )
10- 74
（3）列出刚度法方程
113EI k l
=
，()..
3
124
p t m R l M α=
-
1110p k R α+=
代入1p R 、11k 的值，整理得：
()
..
4
3
2472t M EI m l
l
αα+
=
(b) 解：
l
11
P =
1M 图
21P =2
l
2M 图 试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y 为坐标。 y 是由动力荷载()p t F 和惯性力矩I M 共同引起的。
11112()p t y M F δα=+
由图乘法： 3
2
111223
3l
l l EI
EI
δ=?
=
3
12
/252622248l l l l l l EI EI
δ??=??+?= ??? 惯性力矩为..
m y l -
()33
..
5348p t l
l y m y l F EI EI
??
=?-+ ???
经整理得，体系运动方程为：
()..
3
3516
p t EI m y y F l
+
=
。
10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。
m
l 2 l 2
F P (t )
EI
10- 75
(a)
解：
a
2
a
1
1M 图 图乘得：3
11
11225222223236a a a
f a a a a EI EI
??=?????+???=
??? 3
11
165EI m f m a
ω==
(b)
解：此体系为静定结构，内力容易求得。
在集中质量处施加垂直力P ，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为23
。
由此根据弯矩平衡可求得49P k =
。
4
293
k
k m m
ω=
=。
(c)
解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。 上简支梁柔度系数为()
3
3
2486l l
E I
E I
=
下简支梁柔度系数为
3
96l
E I
于是两者并联的柔度系数为3
3
1696102l
EI EI
EI
l
δ=
=
+并
EA 1=∞
l
2
l 2
l 2
l 2
EI
2EI
m
EI m
2a
a
a
EI=常数 m
EI 1=∞
l
l 2
k
10- 76
3
1102EI m m l
ωδ
=
=
(d)
解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。 水平支杆中力为
3
3013E I l
，即113
3013EI k l
=
。
113
3013k E I m
m l
ω=
=
3
3013EI l 3
913EI l 3
913EI l 3
1213EI l 3
613EI
l
(e)忽略水平位移
解：
123-
23-12
12
56
+56
+1
1M 图
2
2
11
2455272213362a a a f a E A E A E A ??
??=??+??+?= ? ?????
11
1227EA m f m a
ω=
=
(f)
l
l
l
l
m
EI =常数
4a
4a
3a
m
EA=常数
10- 77
解：
316
l 532
l 1
l 332
l 332
l 316
l 1364
l 332
1
1M 图 2M 图 M 图
3
1312331323162130.0149743223323221933219364l l l l l l l l EI EI
δ??=???+????+??=
???
3
3
18.172
0.014974EI EI m m l
m l
ωδ
=
=
=
10-12 为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构哪些固有量有关？关系如何？
10-13 试说明有阻尼自由振动位移时程曲线的主要特点。此时质量往复一周所用的时间与无阻尼时相比如何？
10-14 什么是阻尼系数、临界阻尼系数、阻尼比和振幅的对数递减率？为什么阻尼对体系在冲击荷载作用下的动力响应影响很小？
10-15 设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm 减小至0.060mm ，试求该结构的阻尼比ξ。
解：0475.006
.0188.1ln
201ln
21==
≈
+π
π
ξn
k k y y n
10-16 设有阻尼比ξ＝0.2的单自由度结构受简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用，且有ωθ75.0=。若阻尼比降低至ξ＝0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？
解：22
22
22
2
411
ωθξωθ
ω
+???
? ?
?-?
=
m F A
已知ξ从0.2降低至0.02. ωθ75.0=，t F F θsin 1=，A 不变。
122
22
2
2
1827.016902.0416911692.041691F F F F =???+?
?? ?
?-?
?+??? ?
?-=
l 2
l 2 m l
EI=常数
10- 78
F 简谐荷载的幅值应调整到0.827F 。
10-17 试说明动力系数的含义及其影响因素。单自由度体系质量动位移的动力系数与杆件内力的动力系数是否相同？
10-18 什么是共振现象，如何防止结构发生共振？
10-19 试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值，并绘制最大动力弯矩图。设36ml
EI =
θ。 (a)
解：由力法可知，单位荷载作用在B 点引起
3
3l
E I
位移。
3
13EI m m l
ωδ
==，3
6E I m l
θ=
()3
22
2
1
sin sin 31t F Fl
y t t EI
m θθθω
ω
=
?
=-
-
即幅值为
3
3F l
E I
当幅值最大时，弯矩也最大。
Fl
m a x M 图
(b)
解：
2
l
1
l
1M 图 2M 图
（1）求结构运动方程 如所示弯矩图，图乘后，3
3
3
112212215,,24348l
l
l
f f f f EI
EI
EI
=
=
==
()..
11121112..
3
sin sin 245sin 2I t C y f F f F t f m y f F t
EI F y y t
m
m l
θ
θθ??
=+=-+ ???+
=
B
EI
m
2
l
2
l
t F θ sin
A
C EI m
t F θ sin A
B
l
10- 79
其中2*
3
245,2
EI P F m l
ω==
稳态解：
()*2
22
3
3
1
sin 15
12 =sin 12414
5 =
sin 36t C P
y t
m F l
t E I
F l
t
E I
θωθω
θθ=
?-
?
-
所示结构的运动方程为()3
5=sin 36t C Fl
y t EI
θ
C 点最大动位移幅值为
3
536F l
E I
（2）求B 点的动位移反应
()()..
21222122sin sin I t B t B y f F f P t f m y f P t θθ??
=+=-+ ???
()*2
22
1
sin 1t B P
y t m θω
θω
=
?-
()*..
2
2
22
1sin 1t B P
y t m θ
θωθω
=-?
-
()()3
2*212222
232322
23
222
22
35=
sin 361sin 1551 =sin 48231251
=1sin 33217132 =3t C t B
Fl
y t
EI
y f P Pf t
l l
P P t EI EI Pl t EI Pl EI θθ
θωθωθθωθωθθωθωθ???
?
?? ?
?? ?=??+??
?
- ??????
?
???????+????-??????
? ???+ ?
- ?
??
-22
2
3
3
sin 11214
=sin 31283
121 =
sin 288t Pl
t
EI Pl
t
EI
ωθθ
ωθθ??
?
? ?- ??
?
??
10- 80
B 点的动位移幅值为
3
121288P l
E I
（3）绘制最大动力弯矩图
m
11
1
k 212EI l
m
23EI l 22
1k
1M 图 2M 图
()
3
3
max 2
2
12135122812883696
A Pl
EI Pl
EI M
Pl EI EI l
l
=
?
+
?
=
()3
m ax 2
1213121288192
2C Pl
EI M Pl EI
l
=
?
=
121
192Pl 281
96
Pl
最大动力弯矩图
10-20 试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹
簧的刚度系数为k 。
解：
..
2
l m α
2l α
k l
α..
332
m l α
32
l αl α
若()t q 为静力荷载，弹簧中反力为
ql 8
9。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B 点处顺时针方向转角α为坐标。建立动力方程：
?
=?+?+l
xdx q l l k l m l l
m l
2
3
..
..
2332322αααα
ααα
q k m l q
l k l m 898
9..
2
2
22..
=
+?=+αααααα
2
211ω
θμ-
=
2
l 2
l
C A
B
l
EI=∞ m D m 3
t q θ sin q (t ) =
k
10- 81
则弹簧支座的最大动反力为
l 8
9112
2?
-
ω
θ。
10-21 设图a 所示排架在横梁处受图b 所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI =6×106N ·m 2，t 1＝0.1s ，F P0＝8×104N 。 (a)
解：
求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。 可将排架柱视为三个并联的弹簧。 边柱刚度柔数3
313h
EI k k =
= 中柱3
26h
EI k =
3
12h
EI k =
并
s rad N
m m
N m k /645.01080006106122
3
3
2
6
=?????=
=
ω
s T 73.92==ω
π
3
.97173
.91.01=
=
T t 数值很小
所以认为当()t P F 作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得： s
m v v Ft v m t t t /10
51
.01082
11082
13
14
15
11-?=????=
??=
?
再根据势能守恒得： (
)
m
y y ky mv st st
t 0077.0103
12
110
51082
12
1212
62
35
2
max 2
1=????
=
?????
=
-
N k y F st Q 128310
6
10077.06
=??=?=中中
N F F Q 中Q 边6422
1==
(b)
6m 4000kN
EI 2EI EI EA =∞
EA =∞ 2000kN
2000kN
F P (t )
10- 82
10-22 设图a 所示排架横梁为无限刚性，并有图b 所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。 (a)
解：在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。 第一阶段（10t t ≤≤）：
()()()()???
?
?
???????-???
?
?=????
??-??? ???
??
? ??=?
???????? ??-=??
?
?
????? ??-=
-=
-=?
?
1111
11200
1
00022sin 2sin 21
sin 1 sin 1 sin sin 1t t t T t T y t t T t t T y t t t y t t t m F dZ
Z t t Z m F dZ Z t F m y s s s P t
P t
Z P t ππππ
ωωωωωωω
ωω
EI
EI 1=∞
m
h EI
F P (t )
F P (t )
t
t 1
F P0
O
10- 83
求T 的过程。
12
6EI h 2
6EI h 2
6EI h 2
6EI h
1M 图
3
1124h
EI k =
3
1124mh
EI m
k =
=
ω
EI
mh
T 24223
π
ω
π
==
第二阶段（1t t >）
因为不受外力作用，所以横梁以1t 时刻的位移和速度为初始值做自由振动。
(b)
10-23 设题10-22图a 所示刚架m ＝4000kg ，h ＝4m ，刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率γ＝0.10。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5％，试求刚架柱子的弯曲刚度EI 至少为何值。
解：（1）求周期数。
301
.005.0ln 05.000=-=
?=-n e
y y n
Y
（2）求k ：k
m n t n π
2=
()()m N t
m
n k n
/10223.142110
10
0.43014159
.3223
2
3
2
2
2?=????=
=
?π
两柱并联
2
63
1079.3122m N EI k h
EI ??=?=?
10-24 设某单自由度体系在简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用下作有阻尼强迫振动，试问简谐荷载频率θ分别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大？
F P (t )
t
F P0
t 1
O
10- 84
解：在简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用下，稳态位移响应可表示为()()αθ-=t A y t sin
其中：?
????
?
?
?
??
???
??
??
??-==+???
? ??-?=-22
122
22
22
212tan 411
ωθωθξαμ
ωθξωθωst y m F A
（1）使动位移最大，即使μ最大，从而得出22
22
2
2
41ωθξωθ
+???
? ?
?-最小。 设()
22
22
2
2
41ωθξωθθ+???? ?
?-=f ()222
222
2414ωθξωθωθ
θ
+???
? ?
?--='f 使()0='θ
f ，则221ξωθ-= （2）())cos(αθθ-='t A y t 设()2
22
22
22
22
1411
41ωξωθθωθξωθθ
θ+??
? ??-=
+???? ?
?-=
g
如果使速度响应最大，则()θg 最大，设()
2
22
1141ωξωθθθ+??
? ??-=g ，显然要求()θ1g 最小。使：()01112221
=??
?
??
--??? ??-
='ωθωθθ
θg 得ωθ=。 （3）())sin(2
αθθ--=''t A y t ()2
2
22
2222
22
22
2411
1
41θωξωθ
ωθξωθ
θ
θ+??? ??-=
+???
? ?
?-=
h
令()
2
2
22
221411
θωξωθ
θ+??? ??-=h 显然要求()θ1h 最小。
10- 85
则()0211
2
2
2
1=--
=
'ω
ξ
θ
θh 解的：2
21ξ
ωθ-=
10-25 结构自振频率的个数取决于何种因素？求解结构自振频率的问题在数学上属于何类问题？ 10-26 试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。 (a) 解：
1
2
l
2l 2
l 2
l
1
2
l
2l 2
l 2l
1M 图 2M 图
（1）EI
l
f l l l l l l EIf 423
22
2
22123222123
1111=
??
?
?
?
?+
?
?
?
??
=
EI
l
f l l l l l l EIf 1252
2
2
3
22
2
123
2222=
???
+?????
=
02112==f f
（2）振型方程
?
?
?
???
?=???
?
??-
?+?=?+????
??-012125000142231212
3A m EI l A A A m EI
l ωω
令2
3
12ω
λml EI =
，频率方程为：
0-10 00 3=-=
λ
λD
m
EI=常数
l
l
l
m
10- 86
()()3
323
3
1212
312 095
.110123,100103ml
EI ml
EI ml
EI ml EI ==
==?==?=--?ωωλλλλ
（3）振型图如下
1
1
1
第一振型 第二振型
(b)
解：
1
P =l
l
1
P =2
l 2l
体系具有两个自由度。先求柔度系数，做出单位弯矩图，由图乘法可得：
()
EI
l l l l l l l EI 3213222
1322113
11
+=??? ????+??=δ
EI
l
l l l EI 6223222
1
13
12
21=??? ?????==δδ
l
l
l
l
10- 87
EI
l
l l l EI 622322212123
22
=
??? ??????=δ 得振型方程：
()
062132123
123=+???
? ??-+mA EI l A m EI l ω 01626222313
=????
??-+A m EI l mA EI l
ω 令
λω
=?
3
2
31
ml
EI
λ
λ-0.707 0.7070.707 414.2-=
D
由频率方程D=0 解得：3
3
1576
.24535
.03ml
EI ml EI =?=
ω，3
3
2060
.16675
.23ml
EI ml EI =?=
ω
1
773.2707
.0414.21
11
21-=
--
=λA A ，1
358.0707
.0414.22
12
22=--
=λA A
(c) 解：
1
l
1
1/2
1/2/2
l
1M 图 2M 图
（1）EI
l
f 33
11=
，EI
l
f 12133
22=
，EI
l
f f 1253
2112=
=
（2）振型方程
k= EI
l 3
m 1 = m l
l l
l
EI
EI m 2 = m
10- 88
???????=???? ??-?+????? ?
?=????
? ??+???? ??-0121213125012513223
1323123A m EI l A m EI l
A m EI l A m EI l ωω 令2
3
12ω
λml EI =
，频率方程为：
0-13 55 4=-=
λ
λD
3
3233
1212
602
.2773.112 888.0227.1512773.1,227.150255217ml
EI ml
EI ml EI ml EI ==
==?==?=-+-?ωωλλλλ
（3）当227.151==λλ时，设7227.010
8
112111=-=?=λA A
当773.12==λλ时，设6227.010
8
122212-=-=?=λA A
绘出振型图如下：
1
0.7227
1
0.6227
第一振型 第二振型
(d)
解：
12
12
1
12
a
12a
12a
1
12
12
EI 1=∞
m k 1= 12EI a 3
k 2= 6EI a 3
a
a a
EI EI
10- 89
1M 图 2M 图
EI a
k k EI a
3
21311
4811/21/212161=
??
? ??++=δ EI a a k k 3
2121
124812//21/21=
??
?
??-==δδ EI a
k k EI a
3213
22
4811/21/212161=
??
? ??++=δ 频率方程为： 111122
2
2112222
1 01
m f m f m f m δω
ω
-
=-
取3
121,3
m ma m ma ==代入整理得：
2
2
444003
a a λλ-
+=其中3
2
48EI a m λω
=
1211.045, 3.625a a λλ==
14
4
48 2.085
11.045E I E I a m a m ω=
= 24448 3.639
3.625E I E I a m
a m
ω=
=
振型方程为：
()11111222221112222210
10m A m A a f m A f m A δδωω???
-+?= ????
??
????+?-= ?????
将()1,11,2i i A i ωω===代入（a ）式中的第一个方程中，得：
4
4
111
2
1
2123
122
1
0.23010.22920.1351483
ma ma m EI EI
A m a
a
ma
EI δωδ--=
=
=
?
4
111
2
2
222
3
122
1
3.6251122.125
481483
ma
m EI A m a
a
ma
EI δωδ---=
=
=
?
绘出振型图如下：
10- 90
1
0.135a
22.125a
1
第一振型 第二振型
(e)
解：
1
2
l 2
l l
1
2
l 2l
l
1M 图 2M 图
1
2
l
3M 图
（1）3
112l
f EI
=
，
3
222l
f EI
=
，
3
1221336l
f f f EI
===
（2）振型方程
a
a
a
a
EI=常数
m m
第一章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2） 利用牛顿第二定律∑=F x m && ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析； （2） 利用动量距定理J ∑=M θ &&,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )(&=0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ，进一步得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。 （2）由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ， 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ，
FBFr 第十章 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其 端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233 I M m l a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： () 3 (322) 1393 t q l ka m a l l c a l ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为 c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
第一章 单自由度系统 1、1 总结求单自由度系统固有频率的方法与步骤。 单自由度系统固有频率求法有:牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法与能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围:所有的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1) 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力; (2) 利用牛顿第二定律∑=F x m && ,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析; (2) 利用动量距定理J ∑=M θ &&,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法: 适用范围:所有的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1)设系统的广义坐标为θ,写出系统对于坐标θ的动能T 与势能U 的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U ; (2)由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )(&=0,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围:所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤:(1)对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 与势能U 的表达式;进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const (2)将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ,进一步得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 1、2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。 方法一:衰减曲线法。 求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值i A 、1+i A 。 (2)由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ, 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ,
第14章 结构的极限荷载 复习思考题 1．什么叫极限状态和极限荷载？什么叫极限弯矩、塑性铰和破坏机构？ 答：（1）极限状态和极限荷载的含义： ①极限状态是指整个结构或结构的一部分超过某一状态就不能满足设计规定的某一功能要求时所对应的特定状态； ②极限荷载是指结构在极限状态时所能承受的荷载。 （2）极限弯矩、塑性铰和破坏机构的含义： ①极限弯矩是指某一截面所能承受的弯矩的最大数值； ②塑性铰是指弯矩不能再增大，但弯曲变形则可任意增长的截面； ③破坏机构是指出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系的结构。 2．静定结构出现一个塑性铰时是否一定成为破坏机构？n次超静定结构是否必须出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构？ 答：（1）静定结构出现一个塑性铰时一定成为破坏机构。 因为根据几何组成分析，当静定结构出现一个塑性铰时，结构由几何不变变成几何可变或几何瞬变体系，此时该结构一定成为了破坏机构。 （2）n次超静定结构不必出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构。 因为n次超静定结构出现n个塑性铰时，如果塑性铰的位置不合适，也可能使原结构变成几何瞬变的体系，此时的结构也成为了破坏机构。
3．结构处于极限状态时应满足哪些条件？ 答：结构处于极限状态时应满足如下三个条件： （1）机构条件 机构条件是指在极限状态中，结构必须出现足够数目的塑性铰而成为机构（几何可变或瞬变体系），可沿荷载作正功的方向发生单向运动。 （2）内力局限条件 内力局限条件是指在极限状态中，任一截面的弯矩绝对值都不超过其极限弯矩。 （3）平衡条件 平衡条件是指在极限状态中，结构的整体或任一局部仍维持平衡。 4．什么叫可破坏荷载和可接受荷载？它们与极限荷载的关系如何？ 答：（1）可破坏荷载和可接受荷载的含义： 可破坏荷载是指满足机构条件和平衡条件的荷载（不一定满足内力局限条件）； 可接受荷载是指满足内力局限条件和平衡条件的荷载（不一定满足机构条件）。 （2）与极限荷载的关系 极限荷载是所有可破坏荷载中的最小者，是所有可接受荷载中的最大者。 习题 14-1 已知材料的屈服极限σs＝240MPa。试求下列截面的极限弯矩值：（a）矩形截面b＝50mm，h＝100mm；（b）20a工字钢；（c）图示T形截面。
第十四章 瞬态结构动力分析实例 瞬态动力学分析(亦称时间－历程分析)是用于确定承受任意的随时间变化载荷的结构的动力学响应的一种方法。可以用瞬态结构动力学分析确定结构在静载荷，瞬态载荷，和简谐载荷的随意组合作用下随时间变化的位移，应变，应力以及力。瞬态结构动力分析中，载荷和时间的相关性使得惯性力和阻尼作用比较重要。如果惯性力和阻尼作用对于分析的问题不是很重要，就可以用静力学分析代替瞬态结构动力分析。 14.1 问题描述 本实例要用缩减法进行瞬态结构动力学分析以确定对有限上升时间的恒定力的动力学响应。问题的实际结构是一根钢梁支撑着集中质量并承受一个动态载荷。钢梁长为L ，支撑着一个集中质量M 。这根梁承受着一个上升时间为，最大值为F τt 1的动态载荷F(t)。梁的质量可以忽略，确定产生最大位移响应时的时间及响应。同时要确定梁中的最大弯曲应力max t max y bend σ。 求解过程中用不到梁的特性，其截面积可以算1个单位值。取加载结束时间为0.1秒，以使质量体达到最大弯曲。在质量体的侧向设定一个主自由度。第一个载荷步用于静力学求解。根据本实例的结构关系和载荷分布可以在此模型中使用对称性。在进行后处理时，选定在最大响应时间(0.092秒)处做扩展计算。已知数据如下： 材料特性：杨氏模量EX ＝2E5 Mpa ，质量M ＝0.0215Tn ，质量阻尼ALPHAD ＝8, 几何尺寸：L ＝450mm I ＝800.6mm 4 h ＝18mm 载荷为：F 1＝20N t r ＝ 0.075sec
图14.1 钢梁支撑集中质量的几何模型 14.2 建立模型 在ANSYS6.1中，首先我们通过完成如下工作来建立本实例的有限元模型，需要完成的工作有：指定分析标题，定义材料性能，定义单元类型，定义单元实常数，建立有限元模型等。由于本实例有限元模型比较简单，无需先建立几何模型再对其进行有限元网格划分。同第11章的实例一样可以通过生成节点和单元的方法，直接建立有限元计算模型。下面将详细讲解分析过程。 14.2.1指定分析标题并设置分析范畴 本实例是如图14.1所示钢梁支撑集中质量的模型进行瞬态结构动力学分析来确定对有限上升时间的恒定力的动力学响应，仍然属于结构分析范畴。为了在后面进行菜单方式操作时的方便，需要在开始分析时就指定本实例分析范畴为“Structural”。为了数据的存档和以后分析的方便必须养成给分析的问题加标题的习惯。本实例的标题可以命名为：“Transient Response To a Constant Force With a Finite Rise Time”，具体的操作过程如下：1．选取菜单路径Utility Menu | File | Change Jobname，将弹出Change Jobname (修改文件名)对话框，如图14.2所示： 图14.2 修改文件名对话框 2．在Enter new jobname (输入新文件名)文本框中输入文字“CH14”，为本分析实例的数据库文件名。单击对话框中的按钮，完成文件名的修改。 3．选取菜单路径Utility Menu | File | Change Title，将弹出Change Title (修改标题)对话框，如图14.3所示： 图14.3 修改标题对话框 4在Enter new title (输入新标题)文本框中输入文字“Transient Response To a Constant Force With a Finite Rise Time”，为本分析实例的标题名。单击对话框中的按钮，完成对标题名的指定。
第2章 习 题 2-1 试判断图示桁架中的零杆。 2-1（a ） 解 静定结构受局部平衡力作用，平衡力作用区域以外的构件均不受力。所有零杆如图（a-1）所示。 2-1 (b) 解 从A 点开始，可以依次判断AB 杆、BC 杆、CD
杆均为无结点荷载作用的结点单杆，都是零杆。同理，从H点开始，也可以依次判断HI杆、IF杆、FD杆为零杆。最后，DE杆也变成了无结点荷载作用的结点D的单杆，也是零杆。所有零杆如图（b-1）所示。
2-1(c) 解该结构在竖向荷载下，水平反力为零。因此，本题属对称结构承受对称荷载的情况。AC、FG、EB和ML 均为无结点荷载作用的结点单杆，都是零杆。 在NCP三角形中，O结点为“K”结点，所以 F N OG＝－F N OH（a） 同理，G、H结点也为“K”结点，故
F N OG＝－F N GH（b） F N HG＝－F N OH（c） 由式（a）、（b）和（c）得 F N OG＝F N GH＝F N OH＝0 同理，可判断在TRE三角形中 F N SK＝F N KL＝F N SL＝0 D结点也是“K”结点，且处于对称荷载作用下的对称轴上，故ID、JD杆都是零杆。所有零杆如图（c-1）所示。 2-2试用结点法求图示桁架中的各杆轴力。 2-2(a) (a)
解（1）判断零杆 ①二杆结点的情况。N、V结点为无结点荷载作用的二杆结点，故NA、NO杆件和VI、VU杆件都是零杆；接着，O、U结点又变成无结点荷载作用的二杆结点，故OP、OJ、UT、UM杆件也是零杆。②结点单杆的情况。BJ、DK、QK、RE、HM、SL、LF杆件均为无结点荷载作用的结点单杆，都是零杆；接着，JC、CK、GM、LG杆件又变成了无结点荷载作用的结点单杆，也都是零杆。所有零杆如图
结构力学 第6章 习题答案 6-1 试确定图示结构的超静定次数。 (a) (b) (d) (f) (g) 所有结点均为全铰结点 2次超静定 6次超静定 4次超静定 3次超静定 去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I 截面断开，减去三个约束，故为9次超静定 沿图示各截面断开，为21次超静定 刚片I 与大地组成静定结构，刚片II 只需通过一根链杆和一个铰与I 连接即可，故为4次超静定
(h) 6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？ 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出M 、F Q 图。 (a) 解： 上图= l 1M p M 01111=?+p X δ 其中： EI l l l l l l l EI l l l l EI 81142323326232323332113 11=??? ????+??+???+??? ??????=δEI l F l lF l lF EI l p p p p 8173323222632 31-=??? ???-??-?=? 0817******* =-EI l F X EI l p p F X 2 1 1= p M X M M +=11 l F p 6 1 l F p 6 1 2l 3 l 3 题目有错误，为可变体系。 + lF 2 1=1 M 图
p Q X Q Q +=11 p F 2 1 p F 2 (b) 解： 基本结构为： l 1M l l 2M l F p 2 1 p M l F p 3 1 ???? ?=?++=?++00 22 221211212111p p X X X X δδδδ p M X M X M M ++=2211 p Q X Q X Q Q ++=2211 6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力图。 (a) l 2 l 2 l 2 l l 2 Q 图 12
结构力学 第 6 章 习题答案 刚片 I 与大地组成静定结构，刚片 II 只需通 过一根链杆和一个铰与 I 连接即可，故为 4 次超静定 (a) (b) 6-1 试确定图示结构的超静定次数。 (c) (d) (e) 2 次超静定 6 次超静定 (f) 4 次超静定 3 次超静定 去掉复铰， 可减去 2（4-1 ）=6个约束，沿 I-I 截面断开，减去三个约束，故为 9 次超静定 沿图示各截面断开，为 21 次超静定 (g)
(h) 6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？ 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出 M 、 F Q 图。 (a) 其中： M 1X 1 M p F p l M 图 1 1 6F p l 题目有错误，为可变体系。 解： A 2EI C 2l 3 11X 1 1p 11 EI 1p 2 l 3 6EI 14l 3 X 1 81EI X 1 12 F p lll 7F p l 3 81EI 33 2 3lF p 2 l 3 2 6EI 2 3lF p 7F p l 3 81EI l l2 3 14l 3 81EI F P 上图= EI B EI B 2 M p M 1
1 (b) 解： Q 1 X 1 Q p 11X1 21X1 Q图 B E C D EI=常数F l l l l 2 2 2 2 F P X1 X2 l 3 F P l 基本结构 为： 12F p l 12X2 1p 22X 2 2 p M1 M2 M M1X1 M 2X2 M p Q Q1X1 Q2 X2 Q p 6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力 图 (a)
结构动力学Dynamics of Structures 第六章分布参数体系 Chapter 6 Continuous Systems 华南理工大学土木工程系 马海涛/陈太聪 结构动力学第六章分布参数体系0of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系本章主要目的及内容 目的: 了解具有分布质量弹性连续体的动力分析方法; 初步掌握一维结构的运动方程的建立和简单问题求解.内容: ?梁的偏微分运动方程 ?梁的自振频率和振型 ?振型的正交性 ?用振型叠加法计算梁的动力反应 结构动力学第六章分布参数体系1of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1 梁的偏微分运动方程剪切变形-Euler梁、Timoshenko梁转动惯量 阻尼影响 §6.1.1 弯曲梁（欧拉梁）的横向振动方程 结构动力学第六章分布参数体系2of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1 梁的偏微分运动方程 Euler梁静力平衡方程:? 2?x2??u(x,t)??EI(x)?=P(x,t)2?x??2 惯性力－分布强度: ?u(x,t)fI(x)=m(x)2?t2 Euler梁动力平衡方程: ? 2?x 结构动力学2??u(x,t)??u(x,t)?EI(x)?=P(x,t)?m(x)22?x?t??223of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系
第六章分布参数体系 §6.1 梁的偏微分运动方程 等截面梁的运动方程: ?u(x,t)?u(x,t)m+EI=P(x,t)24?t?x24 运动方程: 2??u(x,t)??u(x,t)?m(x)+2?EI(x)?=P(x,t)22?t?x??x?22 Euler梁动力平衡方程: ? 2?x 结构动力学2??u(x,t)??u(x,t)?EI(x)?=P(x,t)?m(x)22?x?t??224of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系第六章分布参数体系 §6.1 梁的偏微分运动方程 等截面梁的运动方程: ?u(x,t)?u(x,t)m+EI=P(x,t)24?t?x24 四阶偏微分方程 （A fourth order partial differential equation） (1) 比较静力情形:du(x)EI=P(x)4dx4 (2) 假设条件: Euler梁理论 忽略转动惯量影响 结构动力学第六章分布参数体系?ux,t() P(x,t)=P(x)?m(x)2?t25of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系 §6.1.5考虑阻尼影响
《结构力学》第02章在线测试剩余时间：50:36 答题须知：1、本卷满分20分。 2、答完题后，请一定要单击下面的“交卷”按钮交卷，否则无法记录本试卷的成绩。 3、在交卷之前，不要刷新本网页，否则你的答题结果将会被清空。 第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分） 1、两刚片用一个单铰和过该铰的一根链杆相连组成 B、有一个自由度和一个多余约束的可变 A、瞬变体系 体系 C、无多余约束的几何不变体系 D、有两个多余约束的几何不变体系 2、两刚片用三根延长线交于一点的链杆相连组成 B、有一个自由度和一个多余约束的可变 A、瞬变体系 体系 C、无多余约束的几何不变体系 D、有两个多余约束的几何不变体系 3、两个刚片用三根不平行也不交于一点的链杆相连，组成 A、常变体系 B、瞬变体系 C、有多余约束的几何不变体系 D、无多余约束的几何不变体系 4、用铰来连接四个刚片的结点叫什么？ A、单铰结点 B、不完全铰结点 C、复铰结点 D、组合结点 5、连接四个刚片的铰有几个约束？ A、3 B、4 C、5 D、6 第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分） 1、几何不体系的计算自由度 A、可能大于零 B、可能等于零 C、可能小于零
D、必须大于零 E、必须等于零 2、从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到的新体系 A、是无多余约束的几何不变体系 B、是几何可变体系 C、自由度不变 D、是有多余约束的几何不变体系 E、是几何瞬变体系 3、建筑结构可以是 A、无多余约束的几何不变体系 B、有多余约束的几何不变体系 C、几何瞬变体系 D、几何常变体系 E、几何可变体系 4、列论述正确的是 A、几何常变体系一定无多余约束 B、静定结构一定无多余约束 C、有多余约束的体系一定是超静定结构 D、有多余约束的体系一定是几何不变体系 E、几何瞬变体系都有多余约束 5、下列关于瞬变体系的论述正确的是 A、在外力作用下内力可能是超静定的 B、几何瞬变体系都有多余约束 C、在外力作用下内力可能是无穷大
第2章 结构运动方程的建立 结构动力分析的目的,是求出动荷载作用下结构的动位移和动内力,并研究它们随时间的响应历程。在大多数情况下，应用包含有限个自由度的近似分析方法，计算结果就足够精确了。通常情况下，独立的几何参数取的是位移，为了求出各种动力响应，应先列出结构动力位移方程，描述结构动力位移的数学方程，称为结构的运动方程。运动方程的解，提供了位移过程，从而可求出其他各种所需的结构动力响应。 运动方程的建立，是结构动力学的核心问题，只有运动方程建立正确，整个求解过程才可能正确。建立振动体系的运动方程有多种方法,一般常用的方法有直接平衡法（达朗贝尔原理）、虚位移原理（拉格朗日法）、变分原理（哈密尔顿原理）3种，但不管采用何种方法建立运动方程,其结果都是一致的，本章将综述建立方程的原理和基本概念。 §2.1达朗贝尔(d’Alembert)原理 根据牛顿第二定律：任何质量m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力()F t ，力()F t 包括恢复力()R t 、阻尼力()D t 、外力()P t ，即： ()()d F t my t dt =???? （2.1） 当质量m 不随时间变化时，上式变成： 即： ()0F t my -= （2.2） 式()0F t my -=（2.2）表示，作用在质量m 上的力()F t ，与加速度方向相反的惯性力my -平衡。换句话说，如果我们把my -加到原来受力的质量上，则动力问题就可作为静力平衡问题来处理，这就是达朗贝尔原理。 按达朗贝尔原理，如果我们将惯性力my -沿自由度方向加到质量上，则动力问题可按静力问题来处理，当然在振动问题中，尚需考虑阻尼的存在。 按达朗贝尔原理建立质点系运动方程的一般步骤为： 1.确定体系振动分析的自由度的数目，建立计算模型； 2.建立坐标系，给出各自由度的位移参数； 3.按达朗贝尔原理和所采用的阻尼理论，沿质量各自由度方向加上惯性力和阻尼力； 4.通过分析质量平衡条件或考虑变形协调条件，建立体系运动方程。 利用达朗贝尔原理建立体系运动方程的具体方法又分为刚度法和柔度法两种： 取每个质量为隔离体，分析质量所受的全部外力，既有动力荷载()P t 、惯性力my -和阻尼力()D t ，还有体系变形所产生的阻止质量沿自由度方向运动的恢复力()R t 。建立质量各自由度的瞬时“动平衡”方程，即可得到体系的运动方程。
［例题2-1-1］ 计算图示体系的自由度。，可变体系。（a）（b ） 解： （a） 几何不变体系，无多余约束 （b） 几何可变体系 ［例题2-1-2 ］ 计算图示体系的自由度。桁架几何不变体系，有多余约束。 解： 几何不变体系，有两个多余约束 ［例题2-1-3］ 计算图示体系的自由度。桁架自由体。 解： 几何不变体系，无多余约束 ［例题2-1-4］ 计算图示体系的自由度。，几何可变体系。 解： 几何可变体系 ［例题2-1-5］ 计算图示体系的自由度。刚架自由体。 解： 几何不变体系，有6个多余约束 ［例题2-2-1 ］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。 几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-2］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。 几何不变体系，且无多余约束 ［例题 2-2-3］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-4］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。 几何不变体系，有一个多余约束 ［例题2-2-5］ 对图示体系进行几何组成分析。二元体规则。 几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-6］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则，三刚片规则。 几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-7］ 对图示体系进行几何组成分析。三刚片规则。 几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-8］ 对图示体系进行几何组成分析。三刚片规则。 几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-3-1］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。 几何瞬变体系 ［例题2-3-2］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。 几何瞬变体系 ［例题2-3-3］ 对图示体系进行几何组成分析。三刚片规则。 几何瞬变体系 ［例题2-3-4］ 对图示体系进行几何组成分析。三刚片规则。
第一章单自由度系统 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2）利用牛顿第二定律∑ x m ,得到系统的运动微分方 =F 程； （3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行受力分析和动量距分析； （2）利用动量距定理J∑ θ ,得到系统的运动微分方程； =M （3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程θ θ??- ???L L dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ，进一步得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
第六 习题 6-1用静力法作图示梁的支杆反力3R R2R1F F F 、、及内力k M 、Q N K K F F 、的影响线。 解：(1)反力影响线 R323()52 F x l l = - R1R 2(4)5x F F l == - (2)K 截面的内力影响线 R3R3 Q R3N 3312 35 53130 K K K F l x l M x l x l F x l F F x l F ≤??=?-+>??-≤?=? ->?= 习题6-1图
6-2 用静力法作图示梁的By F 、A M 、K M 和Q K F 的影响线。 解：取图示坐标系，得 1By F =，A M l x =- Q 2221202 K K x M x x x l l l l x l F l ≤ => ≤ ≥ ???? ?-???-?? =? ???1
6-3用静力法作图示斜梁的Ay F 、Ax F 、By F 、C M 、Q C F 和N C F 的影响线。 解：（1）反力影响线 By F x l /=，1Ay F x l /=- 0Ax F = （2）C 截面内力影响线 [][][][][][] Q N /0,(1/),cos 0,(1)cos ,sin 0,(1)sin ,C C C bx l x a M a x l x a l x x a l F x x a l l x x a l F x x a l l αααα?∈?=? -∈???-∈??=? ?--∈???∈??=? ?--∈??
解：（1）反力影响线 tan By x F l α= tan Ay x F l α=- 1Ax F =- （2）C 截面内力影响线 [][][][][][]Q N tan 0,(1)tan ,sin 0,(1)sin ,sin tan 0,cos sin tan ,C C C b x x a l M x a x a l l x x a l F x x a l l x x a l F x x a l l ααααααααα?∈??=? ?-∈???-∈??=? ?-∈???∈??=? ?+∈?? tan sin a l αα? sin tan sin a a αα?
FBFr 第十章 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其 端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ( )3 (322) 1393 t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
10- 71 习 题 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为 c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 t )
10- 72 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.... 3121233 I M m l a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： () 3 (3221393) t q l ka m a l l c a l ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程 为：() (2) 01110333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 解：