空间中的平行与垂直(文/理)
热点一空间线面位置关系的判定
空间线面位置关系判断的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
例1(1)(·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是()
A．若a∥b，b?α，则a∥α
B．若a∥α，b?α，则a∥b
C．若a∥α，b∥α，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
答案(1)D(2)D
解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．
(2)线面平行的判定定理中的条件要求a?α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D.
思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．
跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.
其中真命题的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析①因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，所以①正确；②当m平行于两个相交平面α，β的交线l时，也有m∥α，m∥β，所以②错误；
③若m∥n，m∥β，则n∥β或n?β，所以③错误；④平面α，β与直线m的关系如图所示，必有α⊥β，故④正确．
热点二空间平行、垂直关系的证明
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
例2(·广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.
(1)证明：BC∥平面PDA；
(2)证明：BC⊥PD；
(3)求点C到平面PDA的距离．
(1)证明因为四边形ABCD是长方形，
所以BC∥AD，因为BC?平面PDA，AD?平面PDA，
所以BC∥平面PDA.
(2)证明 因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ?平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDC ，
因为PD ?平面PDC ，所以BC ⊥PD .
(3)解 如图，取CD 的中点E ，连接AE 和PE
.
因为PD ＝PC ，所以PE ⊥CD ，
在Rt △PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7.
因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ?平面PDC ， 所以PE ⊥平面ABCD . 由(2)知：BC ⊥平面PDC ， 由(1)知：BC ∥AD ， 所以AD ⊥平面PDC ，
因为PD ?平面PDC ，所以AD ⊥PD . 设点C 到平面PDA 的距离为h ， 因为V 三棱锥C —PDA ＝V 三棱锥P —ACD ， 所以13S △PDA ·h ＝13
S △ACD ·PE ，
即h ＝S △ACD ·PE S △PDA
＝1
2×3×6×7
12×3×4＝372，
所以点C 到平面PDA 的距离是37
2
.
思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：
(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ⊥α，a ?α?l ⊥a .
跟踪演练2 如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PB ⊥CD ，点E 在棱PD 上，且PE ＝2ED .
(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；
(2)求证：PB∥平面AEC.
证明(1)因为AD⊥CD，AD∥BC，
所以CD⊥BC，又PB⊥CD，PB∩BC＝B，
PB?平面PBC，BC?平面PBC，
所以CD⊥平面PBC，又CD?平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PBC.
(2)连接BD交AC于点O，连接OE.
因为AD∥BC，所以△ADO∽△CBO，
所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED，
所以OE∥PB，又OE?平面AEC，PB?平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
热点三平面图形的折叠问题
平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．
例3如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接P A，PB，PD，得到如图的五棱锥P—ABFED，且PB＝10.
(1)求证：BD⊥P A；
(2)求四棱锥P —BFED 的体积．
(1)证明 ∵点E ，F 分别是边CD ，CE 的中点， ∴BD ∥EF .
∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC . ∴EF ⊥AC .∴EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，
∵AO ?平面POA ，PO ?平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA ， 又P A ?平面POA ，∴BD ⊥P A .
(2)解 设AO ∩BD ＝H .连接BO ，∵∠DAB ＝60°，
∴△ABD 为等边三角形，
∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3， 在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7， 在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2，∴PO ⊥BO .
∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ?平面BFED ，BO ?平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED ，
梯形BFED 的面积S ＝1
2(EF ＋BD )·HO ＝33，
∴四棱锥P —BFED 的体积 V ＝13S ·PO ＝13
×33×3＝3.
思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．
跟踪演练3 如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成60°的二面角B —AD —C ，如图2.
(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD ；
(2)设点E 为BC 的中点，BD ＝2，求异面直线AE 和BD 所成的角的大小． (1)证明 (1)因为折起前AD 是BC 边上的高，
则当△ABD 折起后，AD ⊥CD ，AD ⊥BD ， 又CD ∩BD ＝D ，则AD ⊥平面BCD .
因为AD ?平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD . (2)解 如图，取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，
所以∠AEF 为异面直线AE 与BD 所成的角．
连接AF ，DE ，由BD ＝2，则EF ＝1，AD ＝23，CD ＝6，DF ＝3. 在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2＋DF 2＝21. 在△BCD 中，由题设∠BDC ＝60°，
则BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD ·cos ∠BDC ＝28， 即BC ＝27，从而BE ＝1
2BC ＝7，
cos ∠CBD ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝－1
27，
在△BDE 中，
DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos ∠CBD ＝13， 在Rt △ADE 中，AE ＝AD 2＋DE 2＝5. 在△AEF 中，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22AE ·EF ＝1
2.
因为两条异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60°.
1．(·课标全国甲)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ?α，那么m ∥β.
④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 答案 ②③④
解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.
2．(·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱
B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1，
且DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，
∴DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1，
又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1D，
又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，
∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D?平面B1DE，
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.
2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．
1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是() A．m⊥n?m⊥βB．m⊥n?α⊥β
C．α∥β?m∥βD．m∥n?α∥β
押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力．
答案 C
解析构造长方体，如图所示．
因为A1C1⊥AA1，A1C1?平面AA1C1C，AA1?平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直．所以选项A，B都是假命题．
CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．
“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C. 2．如图1，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC 上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图2所示．
(1)求证：A1E⊥FP；
(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式．
(1)证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图1.
图1
因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE ＝DE，所以EF⊥AD.
所以在图2中A1E⊥EF，
BE⊥EF.
故∠A1EB为二面角A1—EF—B的一个平面角．
因为平面A1EF⊥平面BEFC，
所以∠A1EB＝90°，即A1E⊥EB.
因为EF∩EB＝E，
所以A1E⊥平面BEFC.
因为FP?平面BEFC，所以A1E⊥FP.
(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．
理由如下：
如图1，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，
所以FP∥BE.
如图2，取A1P的中点M，连接MK，
图2
因为点K为棱A1F的中点，
所以MK∥FP.
因为FP∥BE，所以MK∥BE.
因为MK?平面A1BE，BE?平面A1BE，
所以MK∥平面A1BE.
故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．
A组专题通关
1．(·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则() A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
答案 A
解析由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p?q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q?p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．故选A. 2．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的()
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析若a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，l⊥a，l⊥b，a∥b，则l可以与平面α斜交，推不出l⊥α.若l⊥α，a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则l⊥a，l⊥b.∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分条件，故选C. 3．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是() A．若m?α，n∥α，则n∥m
B．若m?α，m⊥β，则α⊥β
C．若n⊥α，n⊥β，则α∥β
D．若m?α，n⊥α，则m⊥n
答案 A
解析A中，若m?α，n∥α，则n∥m或m，n异面．故不正确；B，C，D均正确．故选A.
4．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是()
A．平行B．垂直
C．相交成60°角D．异面且成60°角
答案 D
解析如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.
5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()
A ．平面ABD ⊥平面ABC
B ．平面AD
C ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC
D ．平面ADC ⊥平面ABC
答案 D
解析 因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ， 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CD ?平面BCD ， 所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，
又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ， 又AB ?平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.
6．如图，在空间四边形ABCD 中，点M ∈AB ，点N ∈AD ，若AM MB ＝AN
ND ，则直线MN 与平面
BDC 的位置关系是________．
答案 平行
解析 由AM MB ＝AN
ND ，得MN ∥BD .
而BD ?平面BDC ，MN ?平面BDC ， 所以MN ∥平面BDC .
7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号) ①AC ⊥BE ； ②B 1E ∥平面ABCD ；
③三棱锥E －ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1. 答案 ①②③
解析 因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝1
6
V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误．
8．下列四个正方体图形中，点A ，B 为正方体的两个顶点，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
答案①③
解析对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP 平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③. 9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．
求证：(1)AP∥平面C1MN；
(2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.
证明(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，
所以AM＝PC1.
又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，
所以四边形AMC1P为平行四边形．
从而AP∥C1M，
又AP?平面C1MN，C1M?平面C1MN，
所以AP∥平面C1MN.
(2)连接AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD.
又点M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC.
所以MN⊥BD.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，
又MN?平面ABCD，
所以DD1⊥MN，
而DD1∩DB＝D，
DD1，DB?平面B1BDD1，
所以MN⊥平面B1BDD1，
又MN?平面C1MN，
所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.
10．(·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；
(3)证明：直线DF⊥平面BEG.
(1)解点F，G，H的位置如图所示．
(2)解平面BEG∥平面ACH，
证明如下：
因为ABCD—EFGH为正方体，
所以BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，FG＝EH，
所以BC∥EH，BC＝EH，
于是BCHE为平行四边形．
所以BE∥CH，
又CH?平面ACH，BE?平面ACH，
所以BE∥平面ACH.
同理BG∥平面ACH，
又BE∩BG＝B，
所以平面BEG∥平面ACH.
(3)证明连接FH，BD.
因为ABCD—EFGH为正方体，
所以DH⊥平面EFGH.
因为EG?平面EFGH，所以DH⊥EG.
又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.
又DF?平面BFHD，所以DF⊥EG，
同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，
所以DF⊥平面BEG.
B组能力提高
11．设a，b，c是空间中的三条直线，α，β是空间中的两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是()
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当b?α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b?α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b?α，且c?α时，若c∥α，则b∥c
答案 B
解析B中命题的逆命题为：当b?α时，若α⊥β，则b⊥β，是假命题．而A、C、D中命题的逆命题均为真命题，故选B.
12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
答案 a 或2a
解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF . 要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可． 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ， 得
AC A 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a
， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .
13．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知AB ＝3BC ，将△ABE 沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，对翻折后的几何体有如下描述：
①AB 与DE 所成角的正切值是2； ②AB ∥CE ； ③V B —ACE 是1
6a 3；
④平面ABC ⊥平面ADC .
其中正确的是________．(填写你认为正确的序号) 答案 ①③④
解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示：
∵AB ＝3a ，BE ＝a ，∴AE ＝2a .
∴AD ＝AE 2－DE 2＝a ，∴AC ＝CD 2＋AD 2＝2a . 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 2
2AB ·BC
＝3a 2＋a 2－2a 223a
2＝3
3. ∴sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝6
3
. ∴tan ∠ABC ＝sin ∠ABC cos ∠ABC
＝ 2.
∵BC ∥DE ，∴∠ABC 是异面直线AB ，DE 所成的角，故①正确． 连接BD ，CE ，则CE ⊥BD ，又AD ⊥平面BCDE ，CE ?平面BCDE ， ∴CE ⊥AD ，又BD ∩AD ＝D ，BD ?平面ABD ， AD ?平面ABD ，
∴CE ⊥平面ABD ，又AB ?平面ABD ， ∴CE ⊥AB .故②错误． 三棱锥B —ACE 的体积
V ＝13S △BCE ·AD ＝13×12×a 2×a ＝a 36，故③正确．
∵AD ⊥平面BCDE ，BC ?平面BCDE ， ∴BC ⊥AD ，又BC ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴BC ⊥平面ACD ，∵BC ?平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面ACD .故答案为①③④.
14.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝a ，∠ABC ＝60°，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是平行四边形，点M 在线段EF 上．
(1)求证：BC ⊥平面ACEF ；
(2)当FM 为何值时，AM ∥平面BDE ？证明你的结论． (1)证明 ∵在等腰梯形ABCD 中， AB ∥CD ，AD ＝DC ＝a ，∠ABC ＝60°，
∴△ADC 是等腰三角形，且∠BCD ＝∠ADC ＝120°， ∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .
又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，BC ?平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACEF . (2)解 当FM ＝
3
3
a 时，AM ∥平面BDE .
证明如下：
设AC ∩BD ＝N ，连接EN ，如图． ∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝a ， ∴AC ＝3a ，AB ＝2a ，∴CN ∶NA ＝1∶2， ∵四边形ACEF 是平行四边形，∴EF ＝AC ＝3a .
∵AM ∥平面BDE ，AM ?平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝NE ， ∴AM ∥NE ，∴四边形ANEM 为平行四边形， ∴FM ∶ME ＝1∶2， ∴FM ＝13FE ＝13AC ＝3a 3.
∴当FM ＝
3
3
a 时，AM ∥平面BDE .
c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?
空间中的平行与垂直(文/理) 热点一空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题； (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断． 例1(1)(·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 (2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是() A．若a∥b，b?α，则a∥α B．若a∥α，b?α，则a∥b C．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b 答案(1)D(2)D 解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交． (2)线面平行的判定定理中的条件要求a?α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D. 思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中． 跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；
第2讲空间中的平行与垂直 高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并与空间角的计算综合命题. 真题感悟 1.(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则() A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 解析连接BD，BE， ∵点N是正方形ABCD的中心， ∴点N在BD上，且BN＝DN， ∴BM，EN是△DBE的中线， ∴BM，EN必相交. 连接CM，设DE＝a，则EC＝DC＝a，MC＝3 2a，
∵平面ECD ⊥平面ABCD ，且BC ⊥DC ， ∴BC ⊥平面EDC ， 则BD ＝2a ，BE ＝ a 2＋a 2＝2a ， BM ＝ ? ?? ?? 32a 2 ＋a 2＝72a ， 又EN ＝ ? ????a 22 ＋? ?? ?? 32a 2 ＝a ， 故BM ≠EN . 答案 B 2.(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________. 解析 如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离. 再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ， 连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC . 所以PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ， 所以CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO ＝45°. 在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1， 所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝ （3）2－12＝ 2. 答案 2 3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：
空间几何平行与垂直证明 线面平行 方法一：中点模型法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为PC 的中点. 求证：PA//平面BDE 练习： 1.三棱锥_P ABC 中，P A A B A C ==，120BAC ∠= ，P A ⊥平面A B C ， 点E 、F 分别为线段P C 、B C 的中点， （1）判断P B 与平面A E F 的位置关系并说明理由； （2）求直线P F 与平面P A C 所成角的正弦值。 P A B C D E C B
2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD .DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD . (1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：AC ⊥平面PBD . 3.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：AC//平面EFG. 4.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：EF //平面BGH. 方法二：平行四边形法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP A B C D E F G H A B C D E F G H P A B C D E O
2.正方体1111ABC D A B C D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点. 求证：//E G 平面11BD D B 练习 1.如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形， M 为O A 的中点，N 为B C 的中点 证明：直线MN ‖平面O C D ； 2.在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//A F 平面PC E 3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； G E D 1 C 1 B 1 A 1A D C B O A M D C B N P B C D A E F D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
突破点11 空间中的平行与垂直关系 提炼1 异面直线的性质 (1)面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线． (2)异面直线所成角的范围是? ????0，π2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直． (3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求. 提炼2 平面与平面平行的常用性质 (1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 提炼3 证明线面位置关系的方法 (1)平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理． (2)证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质． (3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理． (4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线．
回访1异面直线的性质 1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 A[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为 3 2.] 2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 回访2面面平行的性质与线面位置关系的判断 3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l
空间平行与垂直专题 1.已知E F , G, H 是空间四点，命题甲： E , F , G H 四点不共面，命题乙：直线 EF 和GH 不相交，则甲 是乙成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 E, F , G H 四点不共面，则直线 EF 和GH 肯定不相交，但直线 EF 和GH 不相交，E , F , G H 四点 答案：B a // 3 , a // Y ，^ U 3 // Y 其中正确命题的序号是（ A .①③ B.①④ C.②③ D .②④ 解析：对于?』因为平行于同一个平面的两个平面相互平行』所叹①正确j 对于②，当直线用位于平面# 內J 且平行于平面為0的交线时，满足条件，但显然此时用与平面弄不垂直』因此②不正确.对于?』在 平面厲内取直线丘平行于flb 则宙ml a,曲"心得"丄fib 又n 申 因此有厲丄0，③正确；对于④，直线 曲可能位于平面口内，显然此时用与平面《■不平行，因此?不正确.综上所述，正确命題的序号是①③, 答案：A 3 .如图，在三棱锥 P — ABC 中，不能证明 API BC 的条件是（ ） A. API PB AP I PC 可以共面, 例如 EF// GH 故选B. 解析：若 2 .设m n 是不同的直线, 3 , 丫是不同的平面，有以下四个命题: ①若 ②若 a 丄 3, m /a,贝 y m 丄 3 ③若 m± a , mil 3，贝U a ④若 m// n , n? a ,贝U m//
B. API PB BC ^ PB C. 平面 BPQ_平面 APC BCL PC D. API 平面 PBC 解析：A 中，因为AP I PB API PC PBn PC= P ,所以API 平面PBC 又BC ?平面PBC 所以API BC 故A 正确；C 中，因为平面 BPCL 平面APC BC! PC 所以BCL 平面APC AP ?平面APC 所以AP I BC 故C 正 确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出 API BC 故选B. 答案：B 4 ?设m n 是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面，给出下列四个命题: 其中真命题的个数为（ A . 1 B . 2 C. 3 D . 4 解析：对于0由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面a 与f 可能平行或相交，故②错 误；对于?,直线斤可能平行于平面0,也可能在平面0内，故③错误；对于⑨ 由两平面平行的判定定理 易得平面5平行，故?错误.综上所述，正确命题的个数为I,故选A. 答案；A 5?如图，在下列四个正方体中， A, B 为正方体的两个顶点, 解析：B 选项中，AB// MQ 且AB?平面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面MNQ C 选项中，AB// MQ 且AB ?平 面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面 MNQ D 选项中，AB// NQ 且AB?平面MNQ NC ?平面MNQ 则AB//平面 MNQ 故选A. 答案：A 6.如图所示,直线 PA 垂直于O O 所在的平面，△ ABC 内接于O O,且AB 为O O 的直径，点 M 为线段PB 的中 ①若 m// n , ②若 m// a ,m//3 ,贝U a // 3 ； ③若 m// n , m// 3 ,贝 U n // ④若 ml a 中，直线 AB 与平面MNQT 平行的是（ . _________ B A AT-? M N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体 A i M
空间中的平行与垂直 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假实行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体实行考查，难度中等． 1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理 线面平行的判定定理 ? ??? ? a ∥ b b ?αa ?α?a ∥α 线面平行的性质定理 ? ??? ?a ∥α a ?βα∩β＝ b ?a ∥b 线面垂直的判定定理 ? ??? ?a ?α，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ? l ⊥α 线面垂直的性质定理 ? ????a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2． 面面垂直的判定定理 ? ????a ⊥αa ?β?α⊥β 面面垂直的性质定理 ? ??? ?α⊥β α∩β＝c a ?αa ⊥c ?a ⊥β
面面平行的判定定理 ? ????a ?βb ?β a ∩ b ＝O a ∥α， b ∥α? α∥β 面面平行的性质定理 ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b 3． 平行关系及垂直关系的转化示意图 考点一 空间线面位置关系的判断 例1 (1)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题准确的是 ( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面 (2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题准确的是 ( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 答案 (1)B (2)B 解析 (1)对于A ，直线l 1与l 3可能异面、相交；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．所以选B. (2)A 中直线l 可能在平面α内；C 与D 中直线l ，m 可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得B 准确． 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理实行判断，必要时能够利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中． (1)(2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中准确的是 ( )
专练 1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的() A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①若α∥β，α∥γ，则β∥γ ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β ③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥n，n?α，则m∥α 其中正确命题的序号是() A．①③B．①④ C．②③D．②④ 3．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是() A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊥β，则n⊥β； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m∥n，m∥β，则n∥β； ④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β. 其中真命题的个数为()
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6.如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③ C ．① D ．②③ 7．已知平面α及直线a ，b ，则下列说法正确的是( ) A ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行 B ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直 C ．若直线a ，b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行 D ．若直线a ，b 垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直 8．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AB ，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.35 C.710 D.45 9．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )
突破点11 空间中的平行与垂直关系 (对应学生用书第167页) 提炼1 异面直线的性质 (1)直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线． (2)异面直线所成角的范围是? ????0，π2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直． (3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求. 提炼2 平面与平面平行的常用性质 (1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 提炼3 证明线面位置关系的方法 (1)定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理． (2)证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质． (3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理． (4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线． 回访1 异面直线的性质 1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )
A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 A [设平面C B 1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为 3 2 .] 2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 D [由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 回访2 面面平行的性质与线面位置关系的判断 3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( ) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l D [根据所给的已知条件作图，如图所示． 由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.]
专题空间几何中的平行与垂直 考点 点、线、面位置关系的判断 一 1.(优质试题浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则( ). A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【解析】∵α∩β=l,∴l?β.∵n⊥β,∴n⊥l. 【答案】C 2.(优质试题安徽卷)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面, 则下列命题正确的是( ). A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 【解析】A项,α,β可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;C项,若m?α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确.故D项正确. 【答案】D 3.(优质试题广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平 面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ). A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行也不相交,故l1,l2中至少有一条与l相交. 【答案】D 4.(优质试题全国Ⅲ卷)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( ). A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 【解析】连接B1C,由题意得BC1⊥B1C. ∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1?平面B1BCC1, ∴A1B1⊥BC1, ∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1ECB1, ∵A1E?平面A1ECB1,∴A1E⊥BC1.故选C. 【答案】C 5.(优质试题上海卷)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( ). A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1
三垂线定理 一、温故 1.线面平行的判定及性质定理 2.线面垂直的判定及性质定理 3.求线面所成角步骤 二、探究 思考1：面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？ 例1：已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,, a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 例2.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 P B
例3.已知：点O 是ABC ?的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥ 例4.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 例5.在正方体1AC 中，求证：1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥； 例6．已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,, a α?a PO ⊥。 求证：a AO ⊥； P B 1 A C O D A C B P
例7．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； 线面平行与垂直关系的转化 1.对于命题：①b a a b b a ⊥?⊥,//； ②αα//,b a b a ?⊥⊥； ③ c a b a c b a ////,,,?=???βαβα；④ c b a c a b ////,,,?=?=?=?ααγγββα，其中正确的命题个数是 2.若直线a ，b 没有公共点，则下列命题：①存在与a ，b 平行的直线；②存在与a ，b 垂直的平面；③存在经过a 而与b 垂直的平面；④存在经过a 而与b 平行的平面. 其中正确的命题序号是 3.已知a ，b 和平面α，下列推理：①α⊥a 且b a a b ⊥??；②αα⊥?⊥b a b a 且//；③b a a //b //??αα且；④ααα??⊥⊥a a b a 或且//b ，其中正确的命题序号是 4.下列说法：①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一组平行线垂直，该直线必在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线，其中正确的个数是 5.空间四边形ABCD 的四条边相等，则它的对角线AD 、BC 的关系是 6.对于命题：① αα⊥????⊥a b b a //；②αα////a b b a ?????；③αα⊥?? ?? ⊥a b b a //；④ αα//b b a a ?? ?? ⊥⊥其中正确的命题是 7.在正方体ABCD-A ?B ?C ?D ?中，边对角线BD ?的一个平面交AA ?于E ，交CC ?于F ， D A B C
第1讲空间中的平行与垂直关系 A组基础达标 1. 能保证直线a与平面α平行的条件是________．(填序号) ①b?α，a∥b； ②b?α，c∥α，a∥b，a∥c； ③b?α，A，B∈a，C，D∈b且AC＝BD； ④a?α，bα，a∥b. 2. 若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则下列说法中错误的是________．(填序号) ①垂直于平面β的平面一定平行于平面α； ②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α； ③垂直于平面β的平面一定平行于直线l； ④垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直． 3. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，给出以下四个命题： ①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l； ③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β. 其中正确的命题是________．(填序号) 4. 已知l，m是平面α外两条不同的直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________． 5. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中的“可换命题”是________．(填序号) 6. (2019·南方凤凰台密题)如图，在三棱锥P－ABC中，△P AB和△CAB都是以AB为底 边的等腰三角形，D，E，F分别是PC，AC，BC的中点． (1) 求证：平面DEF∥平面P AB； (2) 求证：AB⊥PC. (第6题) 7. (2019·南通最后一卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别
空间的平行关系综合问题 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：线线平行线面平行面面平行，线线垂直线面垂直面面垂直。 一、线线平行。判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平 行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、线面平行。判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点；2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面； 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面； 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 基础训练题 1.下列命题中，正确命题的个数是 . ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 3.对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）. ①若m⊥α，m⊥n，则n∥α②若m∥α，n∥α，则m∥n ③若m?α，n∥α，则m∥n ④若m、n与α所成的角相等，则m∥n 4.已知直线a,b,平面α，则以下三个命题： ①若a∥b,b?α,则a∥α; ②若a∥b,a∥α,则b∥α; ③若a∥α,b∥α,则a∥b. 其中真命题的个数是 . 5、设有直线m、n和平面α、β.下列命题不正确的是（填序号）. ①若m∥α,n∥α,则m∥n②若m?α，n?α,m∥β,n∥β,则α∥β
高中数学总复习- 第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系 【知识结构图】 第3课空间中的平行关系 【考点导读】 1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。 2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。 3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】 1．若b a、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交
2．给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假． 命题的个数是 4 个。 3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。 4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a ∥c ，b ∥c ?a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ?a ∥b ；③α∥c ，β∥c ?α∥β； ④α∥r ，β∥r ?α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ?a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ?a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。 【范例导析】 例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面． ∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH 面ABC ，GF 面ABD ， 由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB ∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ． 例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN.
空间中的平行与垂直关系 一、知识梳理 1、 平行关系 （1）直线与平面平行的判定 定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。 判定定理：若l α?，a α?，l ∥a ，则l ∥α。 （2）直线与平面的平行性质定理： 判定定理：若l ∥α，l β?，a αβ= ，则l ∥a 。 （3）平面与平面的平行的判定 定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。 判定定理1：若, a b αα??，a b P = ，a ∥β，b ∥β，则α∥β； 判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β； 判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。 （4）平面与平面的平行性质定理： 性质定理1：若α∥β，a α?，则a ∥β； 性质定理2：若α∥β，且a γα= ，b γβ= ，则a ∥b ； 性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。 2、补充结论： 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。 3、线线平行的常用证明方法 （1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等； （2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； （3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理 4、垂直关系 （1）直线与平面垂直的判定 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。 判定定理：若, , m n m n P αα??= ，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。 （2）直线与平面的垂直性质定理： 符号表示：若l α⊥，对任意的a α?，都有l a ⊥。 （3）平面与平面的垂直的判定 定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。 判定定理：若, a a αβ?⊥，则l α⊥。
空间几何的平行与垂直的关系 【知识梳理】 一、 三视图的性质：（长对正、高平齐、宽相等） 长对正：主视图和俯视图共同反映了物体左右方向的尺寸。 宽相等：俯视图和左视图共同反映了物体前后方向的尺寸。 高平齐：主视图和左视图共同反映了物体上下方向的尺寸。 二、空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系： 1. ?? ???=?异面相交平行线线)()//(A b a b a ，??? ??=??) ()//() (A a a a ααα相交平行线在面内线面，面面???=?.)()//(l βαβα相交平行 2. 空间平行关系的判定与性质 （1）两直线平行的判定： ①平行于同一直线的两直线平行（平行公理） ②线面平行，经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行； ③两平面平行，被第三个平面截得的两条交线互相平行； ④垂直于同一平面的两直线平行。 （2）线面平行的判定与性质： 判定： ①平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则平面外的这条直线与此平面平行； ②两平面平行，一平面内任意一条直线都平行于另一平面。 性质：若直线与平面平行，则经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行。 （3）面面平行的判定与性质： 判定： ①一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行； ②垂直于同一直线的两平面平行。 性质：两平面平行，一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。 3. 空间垂直关系的判定与性质： （1）两直线垂直的判定与性质： 判定 ①夹角是直角的两直线垂直； ②线面垂直，则此直线垂直于此平面内任意一条直线。 性质：空间中的两直线垂直，则其夹角是90°。 （2）线面垂直的判定与性质： 判定：
专题06 空间中的平行与垂直 【要点提炼】 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 考点 考向一空间点、线、面位置关系 【典例1】(1)(2020·河南百校大联考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，若正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，则下列结论正确的是() A.m＝n B.m＝n＋2 C.m＜n D.m＋n＜8 (2)(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________. 解析(1)直线CE?平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1， 易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，
则m＝4. 取CD的中点G，连接FG，EG. 易证CD⊥平面EGF， 又AB⊥平面BPP1B1，AB⊥平面AQQ1A1且AB∥CD， 从而平面EGF∥平面BPP1B1∥平面AQQ1A1， ∴EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1， 则EF与正方体其余四个面所在平面均相交，n＝4， 故m＝n＝4. (2)已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可能与α平行，或l与α相交但不垂直； 由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α； 由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m. 故正确的命题是②③?①或①③?②. 答案(1)A(2)若m∥α，l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α，答案不唯一) 探究提高 1.判断空间位置关系命题的真假 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断. (2)借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定. 2.两点注意：(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中；(2)当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断. 【拓展练习1】(1)(2020·衡水中学调研)已知M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，则下列是假命题的是() A.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交 B.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直 C.过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交
高一数学 必修二 空间中平行与垂直关系 强化练习 1.空间中，垂直于同一直线的两条直线( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上均有可能 2.已知互不相同的直线,,l m n 与平面,αβ，则下列叙述错误的是（ ） A ．若//,//m l n l ，则//m n B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若βα?⊥m m ,,则αβ⊥ D ．若,m βαβ⊥⊥，则//m α或m α? 3.下列说法正确的是( ) A.如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行 B.两个平面相交于唯一的公共点 C.如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点 D.平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行 4.如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体， 下面结论错误的是（） A ． BD∥平面C B 1D 1 B ． A C 1⊥B 1C C ． AC 1⊥平面CB 1 D 1 D ． 直线CC 1与平面CB 1D 1所成的角为45° 5. 如图，四棱锥错误!未找到引用源。中，底面错误!未找到引用源。是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为错误!未找到引用源。的等腰三角 形，则二面角错误!未找到引用源。的大小（ ） A ．错误!未找到引用源。 B ．错误!未找到引用源。 C ．错误!未找到引用源。 D ．错误!未找到引用源。 6．下列四个结论： ⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。 其中正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7.在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A CD B --的余弦值为（ ） A ． 1 2 B ．13 C ．3 D ．2