线性代数考试题库及答案
一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）
1、设n 阶方阵A B 与等价，则必有 （ ） (A) 当(0)A a a B a =≠=时， (B) 当(0)A a a B a =≠=-时， (C) 当0A B ≠=0时， (D) 当00A B ==时，
2、设,A B 为同阶可逆矩阵，则 （ ） (A) 矩阵A 与B 等价 (B) 矩阵A 与B 相似 (C) 矩阵A 与B 合同 (D) 矩阵A 与B 可交换
3、向量组Ⅰ：12,,
,r ααα；可由向量组Ⅱ：12,,
,s βββ线性表示，则（ ）
(A) 当r s <时，向量组Ⅱ必线性相关 (B) 当r s >时，向量组Ⅰ必线性相关 (C) 当r s <时，向量组Ⅰ必线性相关 (D) 当r s >时，向量组Ⅱ必线性相关
4、已知1β和2β是非奇次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应导出组的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解（一般解）为（ ） (A) 12
11212()2k k ββααα-+++
(B) 12
11212()2k k ββαββ-+++
(C) 1211212()2k k ββααα++-+ (D) 12
11212()2
k k ββαββ++-+
5、若方阵110101011C ??
?
= ? ???
，则C 的特征值为 （ ）
(A) 1，0，1 (B) 1，1，2 (C) -1，1，2 （D ）-1，1，1 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）
1、已知12αα，为2维列向量，矩阵121212(2,),(,)A B αααααα=+-=，若行列式
6,A B =-=则 。
2、设3阶方阵500012,011A ??
?=- ? ???
则A 的逆矩阵1A -= 。
3、设210120001A ??
?= ? ???
，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中A *为A 的伴随矩阵，E
为三阶单位矩阵，则B 的行列式B = 。 4、设A 是3?5
阶矩阵，A 的秩()2r A =，而101020103B ??
?= ? ???
，则()r BA = 。
5、已知四阶行列式中第二列元素依次为1，2，3，4，其对应的余子式依次为4，
3，2，1，则该行列式的值为 。
6、设三阶矩阵122212304A -??
?= ?
?
??
，三维列向量11a α?? ?= ? ???，已知A αα与线性相关，则
a = 。
7、设四阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 为四阶单位矩阵，则
行列式B E -= 。
8、如果10阶方阵A 的各行元素之和均为0，且()9r A =，则线性方程组0Ax =的通解为 。
9、若方阵A 与对角阵相似，且0m A =，（m 为自然数），则A = 。 10、若二次型2
2
2
1231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的所属区间
为 。
三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）
1、解方程
1
1111111011111
1
1
1
x x x x ---+-=--+--
2、求向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余的向
量。其中12(2,7,1,4)T αα=
=---T
（1，4，0，2），，3(1,4,1,3)T α=- 45(2,5,1,0)T αα==T
（-4,-4,3,1），。
3、设11123512536A λ-??
?
=- ? ???
，求A 的秩。
4、求矩阵X ，使2XA XB C =+。其中249657532A ?? ?= ? ?--??，114232101B ??
?
= ? ?-??
，
123231C ??
= ?-??
。
四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）
1、已知向量12321511253,,,3312641113βααα????????
? ? ? ?--- ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ?????????
，判断向量β能否由向量组123,,ααα线性表示，若能，写出它的一般表示方式；若不能，请说明理由。
2、设181411112A -?? ?= ? ?-??，123x X x x ?? ?
= ? ???
（1）计算二次型T X AX ，写出该二次型所对应的矩阵；
（2）将二次型T X AX 化为标准形，写出所用的可逆线性变换及变换矩阵。
3、设124522,4214A x B y --????
?
?=--= ?
? ? ?---???
?
，如果,A B 相似，求 （1）,x y 的值
（2）相应的正交矩阵1,P P AP B -=使。
五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）
1、设A 为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，且2
240A A E --=。试证：3A E -可逆，并求1
(3)A E --。
2、若向量组1234,,,αααα线性无关，向量组12233441,,,αααααααα++++是否线性相关？说明其理由。
线性代数 课程试卷（A ）
一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）
1. 行列式x
010x 4x
13 的展开式中，2x 的系数为 （ ）
(A) -1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
2．设,A B 为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则 （ ） (A) n B r A r ≤+)()( (B) 0)(,)(==B r n A r (C) n B r A r <+)()( (D) n B r A r >+)()( 3．向量组12,,
,s ααα线性无关的充要条件是 （ ）
(A) 向量组12,,,s ααα不含零向量 (B) 向量组12,,
,s ααα中任意两个线性无关
(C) 向量1α不能由向量组23,,,s ααα 线性表出
(D)任一组不全为零的数12,,
,s k k k ，都使
11220s s k k k ααα+++≠
4．已知四阶方阵A 有特征值0，1，2，3，则方程组0AX
=的基础解系所含解
向量个数为 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5．n 阶对称阵A 为正定矩阵的充分必要条件是 （ ） (A) 0A > (B) A 等价于单位矩阵E (C) A 的特征值都大于0 （D ） 存在n 阶矩阵C ，使T A C C =
二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）
1．三阶行列式
ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
2．设123221,343A ??
?= ? ???
ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则
111213A A A ++= 。
3．设n 阶矩阵A 的秩1)(- A *的元素之和 ∑∑===n i n j ij A 11 。 4．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。 5．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况 是 。 6．若向量组11121233,a b a b a b αβ???? ? ?== ? ? ? ? ???? 线性相关，则向量组112222,a b a b αβ???? == ? ????? 的线性关系是 。 7．设矩阵A 的特征多项式为 2(1)(2)E A λλλ-=-+，则行列式 123A A E -*+-= 。 8．如果n 阶方阵A 的各行元素之和均为2，则矩阵A 必有特征值 。 9．设12 312 312 3a a a A b b b c c c ?? ? = ? ??? 为正交矩阵，则其逆矩阵1A -= 。 10．二次型2 2 2 12312312(,,)22f x x x x x x x x =+++的正惯性指数为 。 三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分） 1．计算n 阶行列式：10001 1 1000 0110000010000 11 n D = 2.设12000 10000220 01 2A ?? ? ?= ? ??? , (1)用初等变换法求1A -；（2）将1A -表示为初等矩阵之积。 3．设301130113A -?? ?= ? ?--??，110110B ?? ? = ? ??? ，且满足2AX X B -=，求X 。 4．化二次型 22 123131323(,,)222f x x x x x x x x x =++-为标准形，并写出可逆 的线性变换。 四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分） 1．当a 为何值时，方程组 12345234512345123453230226315433x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a +++-=??+++=? ? ++++=??+++-=? 有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解。 2. 判别向量组 12(3,0,7,14)T ββ==T （1,2,5,2），能否由向量组 12(2,1,5,6)T αα==T （1，-1，0，4），， 3(1,1,2,0)T α=-- 线性表出，并求向量组12312,,,,αααββ的一个极大无关组。 3．设422242224A ?? ?= ? ??? 求正交矩阵P ，使1 P AP -为对角矩阵，并写出相应 的对角阵。 五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分） 1．设n 阶方阵A 有不同的特征值12,λλ，相应的特征向量分别是12,αα，证明：当12,k k 全不为零时，线性组合1122k k αα+不是A 的特征向量。 2. 设n 维列向量组12,, ,s ααα线性相关，A 为n 阶方阵，证明：向量组 12,, ,s A A A ααα线性相关。 附：《线性代数》（A 卷）答案要点及评分标准 一．选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．A ； 5．C . 二．填空题（共10小题，每题2分，共计20分） 1．负号； 2．1； 3．0； 4．010100001-?? ? - ? ?-??，或(1,2)E -； 5．唯一解（或只 有零解）； 6．线性相关； 7．-27； 8．2； 9．1 112 223 3 3a b c a b c a b c ?? ? ? ??? ； 10．3. 三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分） 1、解：按照第一行展开得到 1 1 100011001 1 1 1 (1)1(1)00100001 10 1 1 1 20n n n D n n ++= +-=+-?=? ?， 为奇数， 为偶数 ………8分 2、解： （1）1200100001000100()0022001000 1 2 1A E ?? ? ?= ? ? ?? ? ………2分 →12001000010001 001 001100 021 00010012?? ? ? ? ? ? ?- ?? ? →100012000100010000100011100010 12-?? ? ? ?- ? ?- ?? ? 所以 11200010 0001110012A --?? ? ? = ?- ? ?- ??? ………5分 （2）11(1,2(2))(3,4(1))(4,3(1))(3())2 A E E E E -=--- ………8分 3、解：方法一：由2AX X B -=, 得到(2)A E X B -=， ……2分 101100(2,)110010111001A E E -?? ? -= ? ?--?? →100111010101001011?? ?-- ? ??? ……5分 所以，2A E -可逆，1(2)X A E B -=-=222111?? ? -- ? ??? . ……8分 方法二：由2AX X B -=, 得到(2)A E X B -=， ……2分 用初等行变换求X 10111(2,)1100111110A E B -?? ? -= ? ?--?? →100220102100111?? ?-- ? ??? ……6分 所以，2A E -可逆， 1(2)X A E B -=-=222111?? ? -- ? ??? . ……8分 4、 f =22 13 1323222x x x x x x ++- =222 13232()()x x x x x ++-- ………6分 令 1132233 2y x x y x x y x =+?? =-??=? 即可逆线性变换为 1123 233 32x y y y x y x y y =+-?? =? ?=-?. ………8分 四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分） 1、解：由 (,)r A b =32113 00 1226311111154331a -?? ? ? ? ? ?-? ? →??? →11111101226300000200 0a ?? ? ? ? - ? ?? ? 方程组有无穷多组解，所以()(,)2r A r A b ==，故2a = ……4分 (,)r A b →1011520 1226300000000 0----?? ? ? ? ? ?? ? 原方程组等价于方程组 1345 2345 253226x x x x x x x x =-+++?? =---? 取3450x x x ===，得到特解(2,3,0,0,0)T η=- ……7分 令3451000,1,0001x x x ???????? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ????????? ，分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为 1(1,2,1,0,0)T ξ=-，2(1,2,0,1,0)T ξ=-，3(5,6,0,0,1)T ξ=- 方程组的全部解为 112233x k k k ηξξξ=+++ 其中123,,k k k 为任意常数 ……10分 2、解：初等行变换矩阵12312(,,,,)αααββ到行最简梯矩阵为 12312121 1 31 1120(,,,,)0525746 0214αααββ?? ? -- ?= ? - ? ?? ? → 100120 10 1100101000 0-?? ? ? ?- ? ??? ……6分 可得到12,ββ能由123,,ααα线性表示，且 1122123,2βααβααα=-+=+- 向量组12312,,,,αααββ的一个极大无关组为123,,ααα ……10分 3、解： 24 22 2 4 2(8)(2)2 2 4 E A λλλλλλ----=---=----- ………4分 得到矩阵A 的全部特征值为1232,8λλλ=== 当122λλ==时，由(2)0E A x -=得一个基础解系 12(1,1,0),(1,0,1)T T ξξ=-=- 正交化, 单位化1(T β= ，2(T β= …7分 当38λ=时，由(8)0E A x -=的一个基础解 3(1,1,1)T ξ= 将其单位化得3T β= ………9分 则正交阵123(,,)03 P βββ?? ? == ? ，1P AP B -=使， 相应的对角阵为 200020008?? ? Λ= ? ??? ……10分 五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分） 1、证明： 112211221122()A k k Ak Ak k A k A αααααα+=+=+ 因为 111222,A A αλααλα== 1122111222()A k k k k ααλαλα+=+ 而12λλ≠ 所以 1122k k αα+不是A 的特征向量. ………4分 2、证明：由12,,,s ααα线性相关，根据定义，存在不全为0的12,, ,s k k k ，使 得11220s s k k k ααα++ +=，用矩阵A 左乘等号两边得到 112211220s s s s Ak Ak Ak k A k A k A αααααα++ +=++ += i k 不全为0，根据线性相关的定义 得到向量组1122,,,s s k k k ααα线性相关. ………4分
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