保密★启用前 试卷类型：A
山东省东营市2012届高三下学期第一次模拟考试
数 学（理） 2012.3
本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1．集合{|
0}1
x M x x =>-，集合1
2{|}N y y x ==，则M N =
A.（0，+∞）
B.（1，+ ∞）
C.（0，1）
D.（0，1） （1，+ ∞） 2．复数
122i i
+=
-
A.i -
B. i
C.5i
D.4
5
i +
3．不等式|2||1|0x x --->的解集为
A.3
(,)2
-∞ B.3
(,)2
-∞-
C.3(,)2
+∞ D.3
(,)2
-+∞
4．命题“2[1,2],0x x a ?∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是 A.4a ≥ B. 4a ≤ C.5a ≥ D. 5a ≤ 5．将函数cos 2y x =的图象向右平移
π4
个单位，得到函数()sin y f x x =?的图象，则()f x 的
表达式可以是
A.()2cos f x x =-
B. ()2cos f x x =
C.2()sin 22f x x
=
D. 2()(sin 2cos 2)
2
f x x x =
+
6．运行右图所示的程序框图，若输出结果为137
，则判断框中应该填
的条件是
A.5k >
B.6k >
C.7k >
D.8k > 7．已知向量8(c o s ,s i n ),(2,2),,
5
x x ==
?=
a b a b 且4
2
x ππ<<
，则
c o s ()4
x π+
的值为
A.
45
B.3
5
C.-45
D.-3
5
8．已知函数|ln |1()||x f x e x x
=--，则函数(1)y f x =+的大致图象为
9．在空间中，l 、m 、n 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列结论错误的是
A.若//,//,αβαγ则//βγ
B.若//,//,,l l m αβαβ= 则//l m
C.若,,l αβαγβγ⊥⊥= ，则l α⊥
D.若,,,,,m l n l m l n αββγγα===⊥⊥ 则m n ⊥ 10．直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A 、B 两点，若||4AB =，则弦AB 的中点到直线10
2x +
=的距离等于
A.
74
B.2
C.94
D.4
11．已知矩形A B C D 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线A C 把△A C D 折起，则三棱锥D A B C -的外接球的表面积等于
A.4π
B.8π
C.16π
D.24π 12．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：
①P 、Q 都在函数()y f x =的图象上；②P 、Q 关于原点对称.
则称点对[,P Q ]是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[,P Q ]与[,Q P ]看作同一对“友好点对”）.
已知函数22
log (0)()4(0)
x x f x x x x >?=?
--≤?，则此函数的“友好点对”有
A.0对
B.1对
C.2对
D.3对
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．将第Ⅱ卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．双曲线
22
2
1(0)x y a a
-=>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 .
14．如图，长方形的四个顶点为O （0，0），A （1，0），B （1，2），C （0，
2），曲线2y ax =经过点B .现将一质点随机投入长方形O A B C 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 .
15．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至
少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为 .
16已知定义在R 上的偶函数满足：(4)()(2)f x f x f +=+，且当[0,2]x ∈时，
()y f x =单调递减，给出以下四个命题： ①(2)0f =；
②4x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴； ③函数()y f x =在[8,10]单调递增；
④若方程()f x m =在[6,2]--上的两根为1x 、2x ，则128.x x +=- 以上命题中所有正确命题的序号为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
设函数2()sin(π)2cos
1(0).6
2
f x x x ωω
ω=--+>直线3y =与函数()y f x =图象相邻两交点的距离为π. （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，
若点（,02
B ）是函数()y f x =图象的一个对称中心，且3b =，求△AB
C 外接圆的面积.
18.（本小题满分12分）
在等比数列{}n a 中，0(*)n a n >∈N ，公比(0,1)q ∈，且3546392100a a a a a a ++=，又4是4a 与6a 的等比中项.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设2log n n b a =，求数列{||}n b 的前n 项和n S .
19.（本小题满分12分）
如图，正三棱柱111ABC A B C -中，AB =2，13,AA D =为1C B 的中点，P 为AB 边上的动点.
（Ⅰ）若P 为AB 中点，求证//D P 平面11ACC A ； （Ⅱ）若DP AB ⊥，求二面角D CP B --的余弦值. 20.（本小题满分12分）
某学校为调查了解学生体能状况，决定对高三学生进行一次体育
达标测试，具体测试项目有100米跑、立定跳远、掷实心球.测试规定如下：
①三个测试项目中有两项测试成绩合格即可认定为体育达标；
②测试时要求考生先从三个项目中随机抽取两个进行测试，
若抽取的两个项目测试都合
格或都不合格时，不再参加第三个项目的测试；若抽取的两个项目只有一项合格，则必须参加第三项测试.
已知甲同学跑、跳、掷三个项目测试合格的概率分别是12
、
23
、
34
，各项测试时间间
隔恰当，每次测试互不影响.
（Ⅰ）求甲同学恰好先抽取跳、掷两个项目进行测试的概率；
（Ⅱ）求甲同学经过两个项目测试就能达标的概率；
（Ⅲ）若甲按规定完成测试，参加测试项目个数为X ，求X 的分布列和期望. 21.（本小题满分12分）
已知直线:6l y x =+，圆2
2
:5O x y +=，椭圆222
2
:
1(0)y x E a b a
b
+
=>>的离心率33
e =
，
直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值.
22.（本小题满分14分）
已知函数2()(33),[2,](2).x f x x x e x t t =-+∈->- （Ⅰ）当1t <时，求函数()y f x =的单调区间； （Ⅱ）设(2),(),f m f t n -==求证m n <；
（Ⅲ）设()()(2),x g x f x x e =+-判断并证明是否存在区间[,](1)a b a >使函数()y g x =在
[,]a b 上的值域也是[,]a b .