24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）说课课件11.4
24.1.2垂直于弦的直径教材分析教学目标学情分析教学过程学法指导教法指导1教材的地位与作
用：本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是今后证明
涉及圆的线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据。2.教学重点：垂径定理及其应用。3.教学难点：（1）区分垂径定理的题设和结论。（2）应用垂径定理进行计算或简单的证明。4.教材处理：本着“学生为主体，教师为主导”的教学理念。这节课首先创设情境，提出问题，再让学生带着问题去探索和思考通过交流合作，最后得出垂径定理，以及利用定理解决实际问题。教材分析知识目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
德育目标：渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几何图形所蕴涵的对称美。能力目标：数形结合、方程等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、推理等逻辑思维能力和识图能力。教学目标学情分析教学方法教学,学法指导1.从知识层面上说，我班学生几何基础还算不错，喜欢动手去发现问题，解决问题。.从能力上讲，观察图形的能力已初步形成，但在推理，证明方面还是不足从心理特点上讲，我班学生的好奇心很强，思维较活跃，愿意接受新事物.以“动手—思考--- 证明---例题---练习---总结”为主线，我采用启发法，探究法和讨论法等教学方法相结合。
通过自学，培养学生独立思考和自主探究学习的能力。通过自主探索与小组合作交流的学习方法，在教学中活跃学生思维，可以培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。教学过程45动手发现，知识形成10思考归纳发现定理5结论证明加深
理解10例题讲解巩固深化8随堂练习学以致用9课堂回顾画龙点
睛2布置作业1把一个圆沿着它的任意一条直径对
折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．如图，AB
是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些
相等的线段和弧？为什么？·OABCDE（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对
称轴，圆也是中心对称图形，对称中心是圆的中心（2）线段：AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒·O
ABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒⌒即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB,并且平分AB及ACB定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条
弧.●OABCDM└推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。●OABCDM③A
M=BM,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,由①
CD是直径③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得垂径定理定理垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└已知CD是直径,CD⊥AB 于点M求证AM=EM推论平分弦（不
是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。已知CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB交AB于点M。求证C D⊥AB●OABCDM例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距
离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？OABDCr解得R≈27.9.ODABCR解决求赵州桥拱
半径的问题：在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R
－7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约
为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4m，CD=7.2m，OD=OC－CD=R－7.2在图中如图，用弧
AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论
可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．（m）,1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3
cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂
直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∴∵OE⊥ACOD⊥AB
第二十四章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 一、教学目标 1．理解圆的对称性；掌握垂径定理． 2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题． 二、教学重点及难点 重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明． 难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 三、教学用具 多媒体课件，三角板、直尺、圆规。 四、相关资源 《赵州桥》图片． 五、教学过程 【合作探究，形成知识】 探究圆的对称性 1．学生动手操作 问：大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 师生活动：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性． 2．探索得出圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 师生活动：学生总结操作结论，教师强调圆的对称轴是直径所在的直线． 3．问：圆有几条对称轴？ 师生活动：学生回答，教师强调圆有无数条对称轴． 4．你能证明这个结论吗？
师生活动：四人一小组，小组合作交流，尝试证明．让学生注意要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上．教师板书分析及证明过程．设计意图：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法． 探究垂径定理 按下面的步骤做一做，回答问题： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂足为点M； 第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B，如图1． 图1 图2 问题1在上述操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？ 师生活动：学生动手操作，观察操作结果，得出结论，看哪个小组做得又快、又好，记入今天的英雄榜．最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解决本节课的又一难点——垂径定理的证明，此时再板书垂径定理及其推理的过程． 证明：如上图2所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB，即OA=OB．因为CD⊥AB，所以△OAM与△OBM都是直角三角形．又因为OM为公共边，所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM．又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称，所以A点和B点关于直线CD对称．所以当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=BM，AC=BC．同 ． 理可得AD BD 垂直于弦的直径的性质： （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）说课课件11.4 24.1.2垂直于弦的直径教材分析教学目标学情分析教学过程学法指导教法指导1教材的地位与作 用：本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是今后证明 涉及圆的线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据。2.教学重点：垂径定理及其应用。3.教学难点：（1）区分垂径定理的题设和结论。（2）应用垂径定理进行计算或简单的证明。4.教材处理：本着“学生为主体，教师为主导”的教学理念。这节课首先创设情境，提出问题，再让学生带着问题去探索和思考通过交流合作，最后得出垂径定理，以及利用定理解决实际问题。教材分析知识目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 德育目标：渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几何图形所蕴涵的对称美。能力目标：数形结合、方程等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、推理等逻辑思维能力和识图能力。教学目标学情分析教学方法教学,学法指导1.从知识层面上说，我班学生几何基础还算不错，喜欢动手去发现问题，解决问题。.从能力上讲，观察图形的能力已初步形成，但在推理，证明方面还是不足从心理特点上讲，我班学生的好奇心很强，思维较活跃，愿意接受新事物.以“动手—思考--- 证明---例题---练习---总结”为主线，我采用启发法，探究法和讨论法等教学方法相结合。 通过自学，培养学生独立思考和自主探究学习的能力。通过自主探索与小组合作交流的学习方法，在教学中活跃学生思维，可以培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。教学过程45动手发现，知识形成10思考归纳发现定理5结论证明加深 理解10例题讲解巩固深化8随堂练习学以致用9课堂回顾画龙点
《24.1.2垂直于弦的直径》说课稿 额市三中郝宝山 我说课的内容是九年级数学“24.1.2垂直于弦的直径”. 一．教材内容分析 （一）教材的地位与作用 本节课要研究的是圆的轴对称性、垂径定理及简单应用，垂径定理既是圆的性质的体现，又是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的地位． （二）教学目标 新课标下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，数学教学不仅是知识的教学，技能的训练，更应重视能力的培养及情感的教育，因此我确定本节课的教学目标如下： 知识目标：1．理解圆的轴对称性. 2．掌握垂径定理及推论，学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题. 能力目标：1．培养学生观察能力、分析和解决问题的能力. 2．在基础知识教学的同时，重视学生获取知识的思维过程. 情感目标：1．利用圆的轴对称性，对学生进行数学美的教育. 2．通过学生的主动探索让学生体验获取数学知识的成就感. （三）教学重点、难点 重点：理解圆的轴对称性,掌握垂径定理及推论. 难点：定理的证明方法及应用垂径定理解决问题. (根据我对教材的理解,我来说说我的教法和学法的选择) 二、学情分析： 我任教的班级，多数学生上进心强，学习态度端正，有良好的学习习惯，但是缺乏一定的探索研究问题的能力。 圆的性质是学生在生活中不太熟悉的，但通过生活中的圆的问题引入新课，可以容易的使他们产生兴趣。教学中要注意培养学生对数学的学习兴趣，充分发挥动手、探究、实验的作用，迎合他们好奇、好动、好强的心理特点，调动他们学习的积极性和主动性。 目前，学生的思维方式正逐步由形象思维向抽象思维过渡，在教学中应注意积极引导学生应用已掌握的基础知识，通过理论分析和推理判断来获得新知识，发展抽象思维能力。
B B 24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时） 一、知识探究 1、圆既是 图形，又是 图形。对称轴是 ，对称中心是 。 2、按要求作图 （1）作⊙O 的任意一条弦AB ； （2）过圆心O ，作垂直于弦AB 的直径CD ，交AB 于点E 。 观察并回答： 问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段： 问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧： 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 。 求证：AE=BE 结论：垂径定理： 的直径 ，并且 。 几何语言的写法：∵ ∴ 强调：（1） ；（2） ；（3） （4） ；（5） 二、例题解析 例1：在⊙O 中，弦AB 长8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 半径为 例2：⊙O 的半径为5，M 是⊙O 内一点，OM=3，则过M 点的最短弦的长为 例3：如图：已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，若AC=BD ，求证：OA=OB 。 三、课堂练习： 1、在⊙O 中，弦AB 长8cm ，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到AB 的距离为 2、在⊙O 中，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到弦AB 的距离3cm ，则弦AB 的长为 3、在半径为R 的⊙O 中，有长为R 的弦AB ，那么O 到AB 的距离为 4、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆与C 、D 两点。 求证：AC=BD 。 5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ∶PB=1∶5 ，求的⊙O 半径。
24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理的推论（第二课时） 一、知识回顾 垂径定理： 的直径 ，并且 。 按要求作图（1）在⊙O （2）作弦（3）连接问题1：⊙O 的直径CD 与弦AB 有怎样的位置关系： 问题2：该图中有没有相等的弧 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，并且平分弦AB ，求证：CD ⊥AB 。 结论：垂径定理的推论： 的直径 ，并且 三、例题解析 例1：已知⊙O 的半径OA=10㎝，弦AB=16㎝，P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为 典型练习： 1、下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2、下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） （A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<< 4、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ． 四、课堂练习 1、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为 （1） （2） （3） 2、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点 M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 3、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ． 4、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。 5、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，则AB 与CD 之间的距离是_________________. 6、如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30°，求CD 的长． 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。
《垂直于弦的直径》说课稿 尊敬的各位评委、老师,您们好！ 今天我说课的内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书，初中数学九年级上册第二十四章第一节“24.1.2垂直于弦的直径”。 根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析、教学目标分析、教学与教材处理、学法指导、教学过程、板书设计等方面对本课的设计进行说明，不当之处请各位评委老师批评指正。 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 本节内容是初中数学九年级上册第二十四章第一节第二课时的内容，是初中数学的重要内容之一.一方面,这是前面所学习的圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，另一方面，这也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。 2、学情分析 从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的肯定和表扬，所以在教学中应抓住这些特点,一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创设条件和机会，
让学生发表见解,发挥学生学习的主动性和积极性。 从认知状况来说，学生在此之前已经学习了圆的有关性质和过三点的圆等内容，对圆的有关性质已经有了一定的认识,这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于垂直于弦的直径和这弦的关系（即垂径定理）的理解，学生可能会产生一些困难，所以在教学中应予以简单明了，深入浅出的分析。 鉴于此,本节课将通过“实验—-观察——猜想——合作交流——验证”的途径,进一步培养学生的动手能力，观察能力,分析、联想能力、合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。 因此,这节课无论从知识上，还是在从学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。 3、教学重难点 根据以上分析，可以看到“垂径定理”在教材中起着重要的作用，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据,它有广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。 由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。因此，本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。 二、教学目标分析:
《24.1.2 垂直于弦的直径》说课稿 麻城市思源实验学校董敢清 各位老师，今天我说课的内容是：人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径第一节课的内容。下面，我从教材分析、目的分析、教学方法与教材处理、学法指导、教学程序五个方面对本课的设计进行说明。 一、教材分析 教材的地位和作用 垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。 通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，培养学生的动手能力，分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。 教学重点 理解圆的轴对称性,掌握垂径定理 教学难点 定理的证明方法及应用垂径定理解决问题。 教学关键 圆的轴对称性 二、目的分析 认知目标 （1）使学生理解圆的轴对称性； （2）掌握垂径定理； （3）学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 能力目标 培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 情感目标 通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辨证唯物主义观点及美育教育。 三、教学方法与教材处理 教学方法： 引导发现法和直观演示法
教材处理： （1）定理的发现及证明采用师生共同演示的方法 （2）辅助线的作法总结出“半径半弦弦心距”的七字口诀。 （3）练习题要求课内完成 四、学法指导 指导——观察、归纳调动——动手、动脑 引导——分析、讨论、得出结论 五、教学程序 本节课的教学过程我安排了以下五个活动： 活动1 创设情境，启发探究 通过播放赵州桥美丽的画面和悠扬的旋律来介绍赵州桥，同时提出问题启发学生思考，使学生迅速进入问题情境。 活动2 实践操作，探索新知 1.实验归纳 ①动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分重合，得出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，（注：提醒学生说不能说圆的对称轴是直径。）圆的对称轴有无数条。 ②在圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB 于E。直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径。 2．探究新知 学生用折叠圆的方法去观察比较，猜想结论。小组合作交流，展示交流成果，然后引导学生分析上述猜想的条件和结论，写出已知、求证和证明过程，最后师生结合动画演示，验证猜想的正确性，同时得出证明方法. 归纳垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．巩固定理 为了突出定理使用条件，我安排了练习，让学生快速抢答判断对错。教师强调在垂径定理中“垂”和“径”缺一不可。学生可以通过这个活动进一步分清垂径定理的题设和结论。 活动3 例题示范，学以致用 1、解决求赵州桥拱半径的问题 2、讲解例1.例2 3、师生共同完成解题后，引导学生进行归纳，小结： （1）解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。（2）利用垂径定理进行计算时，常把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得 到圆的半径r，圆心到弦的距离d，弦长a 即“半径半弦弦心距”七字口诀。
人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 教学目标： 1.知识与技能： （1）通过观察以及动手操作,理解圆的轴对称性。 （2）掌握垂径定理的内容及几何语言。 （3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题。 2.过程与方法： （1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力。 （2）经历探究垂径定理的过程,体会和理解研究几何图形的多种方法。 3.情感态度与价值观： （1）通过探究垂径定理的活动, 并引入实际问题，使学生知道数学在实际生活中的用处，激发学生探究、发现数学问题的兴趣。 （2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验。 教学重难点： 【重点】垂径定理及其应用 【难点】探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题。 教学准备： 多媒体课件、自制圆形纸片、导学案、作图工具 一、情境引入 我校总务处的李师傅遇到一件麻烦事，因我校一处圆形下水道破裂，他准备更换新管道，但只知道污水面宽60cm，水面至管道顶部10cm ，你能帮李师傅计算一下他应准备内径多大的管道吗？
二、实践探究 1.活动1: 我们在学轴对称的时候已经学过 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，验证圆的这一特性。课本中有证明圆是轴对称图形的方法，课前已经让大家预习过了，现在大家再来看一下，进行巩固。 2.活动2: 在圆形纸片上操作： ①找出圆心，记作O ②作出一条直径，与⊙O交于C、D ③在⊙O上的任意找一点A，过点A作一条弦AB使AB⊥CD, 交⊙O于点B，垂足为E。沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？ 观察发现： 点A与重合，AE与重合, 弧AC与重合，弧AD与重合。 相等的线段: ， 相等的弧: . 思考： 如果AB是⊙O的一条直径呢？以上结论还会成立吗？ 【证明定理】 动手操作之后，我们现在来进行理论证明。
课题：24.1.2垂直于弦的直径（第一课时） 【教学目标】 1.了解圆的对称性，了解并掌握垂直于弦的直径所具有的性质。 2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题． 3.在探索问题的过程中培养学生的观察水平和动手操作水平． 【教学重点和难点】 重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明． 难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 【教学过程】 活动一、探索垂径定理 1. 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ （学生动手操作，观察操作结果，能够发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此能够发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．） 2. 按下面的步骤做一做： 第一步，在刚才的圆形纸片上任意画一条弦AB ； 第二步，画直径 CD ，并使CD ⊥AB,垂足为E. 看一看，折一折，你能发现有哪些相等的线段和相等的弧?为什么？ （在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：） 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 3.交流分析垂径定理的题设和结论，并写已知、求证、证明定理 垂直于弦的直径 平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的弧？ 题设 结论 B (2) (3) A . D C E O (1) （1）直径（过圆心） （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 (4) (5)
活动二、垂径定理的应用 1．（1）半径为4cm 的⊙O 中，弦AB=4cm, 那么圆心O 到弦AB 的距离是 。 （2）⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长是 。 （3）半径为2cm 的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是 。 （引导学生得出在半径r 、圆心到半径的距离d 、弦长a 三个量中，知道任何两个量就能够求出第三个量。将问题转化为解直角三角形的问题．） 2. 解决课本P86情境引入的问题（引导学生看懂P87的解答） 3. （1）以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB 交小圆C,D 两点，问：AC 与BD 相等吗？为什么? （2）如图：若将直径向下移动，变为非直径的弦AB ，交小圆于C,D 两点，是否仍有AC=BD 呢？为什么? （引导归纳：解决有关弦的问题时，经常过圆心作一条与弦垂直的线段，为应用垂径定理创造条件。） 【课堂小结】 D D
24．1.2 垂直于弦的直径 教学目标 1．理解圆的对称性． 2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质． 3．能运用垂径定理计算和证明实际问题． 预习反馈 阅读教材P81～83内容，并完成下列问题． 1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心． 2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即 如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AB ⊥CD ， ∴AE ＝BE ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵． 3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即 如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AE ＝BE(AB 不是直径)， ∴CD ⊥AB ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵． 例题讲解 例1 (教材补充例题)已知⊙O 的半径为5 cm. (1)若圆心O 到弦AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为8__cm ； (2)若弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为3__cm ． 【点拨】 (1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线． 【跟踪训练1】 若⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为3__cm ． 【跟踪训练2】 已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足．若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长． 解：连接OC. ∵AE ＝9，BE ＝1，∴半径OC ＝5，OE ＝4. ∵弦CD ⊥AB ，∴在Rt △OCE 中，CE ＝OC 2－OE 2 ＝3. 又∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CD ＝2CE ＝6. 【跟踪训练3】 ⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为3，最大值为5． 【点拨】 当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)；当M 在A(或B)处时，OM 最大．
24．1．2 垂直于弦的直径 教学目标 1、知识目标： （1）充分认识圆的轴对称性。 （2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。 （3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。 2、能力目标： 让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动 手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。 3、情感目标： 通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时 培养学生勇于探索的精神。 教学重点 垂直于弦的直径的性质及其应用。 教学难点 1、垂径定理的证明。 2、垂径定理的题设与结论的区分。 教学过程： 一.复习上节课内容:圆的记法、弦、直径、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧 二情境引入 如何求赵州桥主拱的半径？ 三实践探究一 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 四探究二 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
总结出垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 加以强调 结合图用几何语言表达 定理：AB CD 为直径且垂直 BM AM =∴ BC AC 弧弧=BD AD 弧弧= 推论：为直径CD AM=BM AB CD ⊥ ∴BC AC 弧弧=BD AD 弧弧= （在黑板板书，学生说老师写，写完后课件展示） 五 课本例题：解决赵州桥问题 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O ，半径为R ．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB 相交于点D ，根据前面的结论， D 是AB 的中点，C 是ＡＢ 的中点，CD 就是拱高． （提醒学生注意书写的格式步骤，注意单位和答） 六 .课堂练习课本P83练习的1 ,2 题 (1)如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径． (2)如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，求证四边形ADOE 是正方形． Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｅ Ｏ M B O D A C R · O A B E D · O A B C E
《24.1.2垂直于弦的直径》教案说明 《§24.1.2垂直于弦的直径》教案说明 一、教材分析 1、教材的地位及作用 本节教学内容是新人教版九年级(上)第二十四章第一节圆的第二课时学生学习了有关轴对称和中心对称性质为以后学习解决实际问题奠定了基础 根据教材的内容及学生实际，安排这部分的授课时间为2个课时． 第1课时：依据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用， 知识与技能 1.理解圆的轴对称性． 2.掌握垂径定理，并学会运用垂径定理解决有关证明、计算问题． 过程与方法 1.积极引导学生通过观察、折叠等数学活动探索定理，在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生有条理的思考能力及语言表达能力． 2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
情感态度与价值观 通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点教育，结合应用问题向学生进行爱国主义教育． 三、教法、学法分析 针对教材特点及学生的认知水平， 通过问题设计，运用启导法引导、启发学生，激发学生的求知欲，充分调动学生学习的积极性、主动性，让学生在课堂上多观察，主动参与到整个教学活动中来组织学生参与实验---观察---猜想---证明的活动，得出定理这符合现代教育理论中的要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学的观点，也符合教学论中自觉性和积极性、教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则．的设计也反应特殊与一般的关系，渗透辩证唯物主义的观点．教学中我另外，还注重不同图片的颜色对比来启发学生，运用投影仪提高教学效率． 预习的习惯 第2页共2页
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？设疑激趣 探索圆的轴对称性 活动探索 探索并证明垂径定理 猜想论证 基础训练
《24．1．2垂直于弦的直径》教案 一、教学目标 1．知识与技能 (1)理解圆的轴对称性； (2)掌握垂径定理； (3)学生在相关问题的分析求解中，理解应用垂径定理的问题情境，培养并提高学生的推理水平和应用意识． 学生经历垂径定理的探索、证明和应用的过程，发展学生的数学思维，培养学生的创新意识，体验数形结合及转化化归的数学思想． 3．情感、态度与价值观 通过引例，对学生实行爱国主义教育，通过问题的提出、探索、解决过程，培养学生严谨的治学态度，并让学生体验数学的对称美. 二、教学重点:理解垂径定理，灵活应用垂径定理解决相关问题. 三、教学难点:区分垂径定理的题设与结论及定理的证明方法探究. 四、教具准备 直尺、三角板、多媒体 六.教学过程 （一）创设情境,引入课题 1、引例:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）。 （教师引导学生探索问题解决的方法, 指出掌握新知识的必要性,引入课题. 同时让学生感受到数学的无处不在，圆弧中蕴含的数学美，激发学生的求知欲.）
2、揭示课题:板书课题 （二）动手操作，探究定理Array活动1（温故知新）对折圆形纸片，回顾小学学过的 圆的轴对称性. 【学生通过活动回顾旧知，再利用圆的轴对称性 探索新知.】 活动2（实践探究）在圆形纸片中作一条弦AB，再作 直径CD⊥AB于点E，沿直线CD对折纸片后，观察相关 几何性质. 【学生动手操作，教师利用电脑制作动画,便于学生观察图形的对称性,加强数学课的趣味性和直观性，符合初中学生的认知规律.】 活动3 引入所要探究的问题: 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 结论:（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴 （2）线段: AE=BE （3）弧: ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．【先让同学们观察这样的图形,通过观察,发现这个图形也是一个轴对称图形,对称轴是直径所在的直线,让同学们从观察中得到结论。然后观察图形，得到一些结论。紧接着发挥小组合作交流意识，讨论下为什么会出现这些相等的线段和弧，注意已知条件和利用所学的知识将所得结论证明出来。从此增加学习数学的兴趣，并体验成功的喜悦．】 垂径定理: CD是直径②CD⊥AB ③AE=BE, ④AC=BC, ⑤ AD=BD 推论:①CD是直径②AE=BE ③CD⊥AB ④AC=BC, ⑤AD=BD. （三）应用举例，巩固定理
垂直于弦的直径教学设计 一、教学内容 教科书第81-83页，垂直于弦的直径 二、教学目标 知识与能力：通过动手折圆，使学生发现圆的轴对称性。掌握垂径定理及其推论，并会用它解决有关的证明与计算问题。 过程与方法：经历探究垂径定理及其推论的过程，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法。 情感态度与价值观：通过欣赏中国古代桥梁，向学生进行爱国主义教育，渗透美育，激发学生学习探究、发现问题的兴趣和欲望。 三、教学重、难点 重点：能初步应用垂径定理进行计算和证明. 难点：理解圆的轴对称性及垂径定理的推导. 四、教学设计过程 （一）图片欣赏 课件出示各种精妙的桥梁图片：中国建设了无数的桥梁，千百年的风雨验证了这种结构坚不可摧，以赵州桥为例，当我们知道主桥拱的跨度以及拱高，你能计算出它的半径吗？带着这个问题，我们开启今天的知识之旅。 设计意图：结合各种桥梁，对学生进行爱国主义教育和美育渗透。（二）观察思考 问题1：把你手里的圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你
发现了什么？由此你能得到什么结论？ 学生：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 强调：对称轴是任何一条直径所在的直线，不是线段。 设计意图：通过学生亲自动手操作发现圆的对称性，为后续探究打下基础。 问题2：你能用数学方法证明刚才的结论吗？ 教师引导：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线的对称点也在圆上。 如图1：AB是⊙O的任一条直径，C是⊙O上点A,B以外任意一点过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，垂足为E， 连接OC,OD ∵在△OCD中，OC=OD, ∴△OCD是等腰三角形 ∵OE⊥CD ∴CE=ED 图1 即AB是CD的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点C，在圆上都有关于直线AB的对称点D，因此⊙O关于直线AB对称。 此处应总结归纳做辅助线的方法，通常是连半径构造等腰三角形或全等三角形。 设计意图：通过该问题引起学生思考，进行探究，初步感知培养学生的分析能力，解题能力。 问题3：根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和
24.1.2 垂直于弦的直径教案 一、【教材分析】 教学目标知识 技能 1.使学生理解圆的轴对称性 . 2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、 计算问题. 过程 方法 1.经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，通过观察、动 手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力. 2.在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方 法，锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活. 情感 态度 让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对 称性质的重要体现. 教学 重点垂径定理、推论及它们的应用. 教学 难点 对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.二、【教学流程】 教学 环节 问题设计师生活动二次备课 情景创设请大家观察教材上的图片并思考问题： 你知道赵州桥吗？你能给大家介绍一下有关 它的历史及构造吗？ 创设问题情境，开 展学习活动，引起 学生学习的兴趣 了解我国古 代人民的勤 劳与智慧. 自主探究问题一 用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做 几次，你发现了什么？由此你能得到什么结 论？ 让学生动手操 作，观察、思考、 交流，归纳得出圆 的特性：圆是轴 对称图形，任何一 条直径所在（或过 培养学生动 手、动脑、动 口探究问题 的能力
问题二 1、观察、思考并回答： （1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系怎样？ （2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？ (3)猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？ （4）思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？ 2、你能给上题中这条特殊的直径命名吗？这条特殊的直径有哪些性质？请用一句话概括出来. 垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧. 例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？ 平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 问题三圆心）的直线都是 它的对称轴，圆的 对称轴有无数条. 教师提出问题，学 生画图、思考，并 回答提出的问题. 教师参与小组活 动，指导帮助学生， 鼓励学生大胆试 验、猜想，并共同 给出验证过程. 小组交流，根据直 径的特征，容易给 出直径的名字—— 垂直于弦的直径， 师生共同归纳出特 殊直径的性质，并 给出 教师出示图形，学 生思考、解答，说 出哪些图形能使用 垂径定理? 教师出示题目，学 让学生积极 参与探究知 识的整个过 程，更有利于 对知识点的 理解与掌握. 给学生足够 的发挥空间， 利用反例、变 式图形对定 理进一步引 申，揭示定理 的本质属性， 以加深学生 对定理的本 质了解. 强化结论的
人教版垂径定理优秀教案(共两篇) 课题：24.1.2垂直于弦的直径(1) 教学目标： 1. 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质； 2. 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题． 教学重点：垂直于弦的直径的性质及证明. 教学难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 教学过程： 一、情境创设 1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2、如图24-2-1，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于E (1) 它是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？为什么？ 是。对称轴是直线CD。 理由：连结OA、OB ∵OA=OB,OE⊥AB ∴AE=BE ∴CD既是△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴。 (2) 图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ ∵把圆沿直径CD折叠，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合 ∴AE与BE重合，弧AD与BD重合，弧AC与BC重合。
二、新课讲授： 归纳：结合图形，用符号语言表示 ⊙O中，CD为直径 （知2推3） CD⊥AB于E 用文字语言表示：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的条件有两个，结论有三个，共五个事项。 三、例题讲解： 例1．（1）如图24-2-2，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm， 直径CD⊥AB于E，OE=3 cm，求⊙O的半径。 解：连结OA ∵OE⊥AB于E ，∴AE=AB=4 cm Rt△AOE中,∠AEO=900 ，∴OA2=AE2+OE2 又OE=3 cm, ∴OA2=25 ∵OA>0，∴OA=5 cm （2）如图24-2-3，在⊙O中，弦AB的长为8cm，半径OD⊥AB 于E， DE=2 cm，求⊙O的半径。 解：连结OA ∵OE⊥AB于E ，∴AE=AB=4 cm Rt△AOE中,∠AEO=900 ，∴OA2=AE2+OE2 设OA=x cm,则OD= x cm, ∴OE= (x-2) cm