实际问题与二次函数（教学设计）
162 团中学高文君
第1课时如何获得最大利润
【学情分析】
学生已经学习了二次函数的概念、图象和性质。这些内容为学习二次函数的应用提供知识支持，又学习了列代数式，列方程解应用题，这些应用性质的内容为本节课的学习提供了建模能力的基础，但是作为建立二次函数模型区解决实际问题，带有很强的综合性、灵活性, 对学生的要求较高。
【教学目标】
1. 能够分析和确定实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值；
2. 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；
3. 通过实际问题的解决，逐步领会二次函数的应用价值和实际意义；通过小组合作，交流讨论和探索，建立合作和探索意识，激发学习的兴趣和欲望。
【教学重难点】
1. 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法；
2. 如何将实际问题转化为二次函数的问题。
【教学方法】启发引导，小组讨论
【教学过程】一【复习旧知，引入新课】
1 . 二次函数y ax
2 bx c的图象是一条_______________ ，它的对称轴是__________ ，顶点坐标
是. 当a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最______________________________ 值，是 _______ ;当a<0时，抛物线开口向，有最 ____________ 点，函数有最 _______ 值，
2.二次函数y 2x2 8x 9的对称轴是____________ ，顶点坐标是—」当x= _______ 时，函数有最
值，是 _____ 。
【设计意图】在前几节课的学习中，我们已经学习了二次函数的图象和性质，这节课首先复习二次函数的相关内容，唤起学生对二次函数的记忆。
二、【试一试，我能行】
问题.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格,每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
1、本题中的变量是什么？
2、学生对商品利润问题的理解：每件的利润=售价一进价
总利润=每件的利润X卖出的总件数
总利润=销售额一进货额
3 、学生对两个变量的理解。
师生共同分析：（1）销售额为多少？（2）进货额为多少？
（3）利润y与每件涨价x元的函数关系式是什么？
（4）变量x的取值范围如何确定？
(5)如何求解最值？
设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先确定y与x的函数关系式。涨
价x元时，则实际售价 ________ 元，每件利润______ 元，件数 ______ ，因此，所得总利润为 _____ 元。
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+ x)(300-10 x)
= 10(x 5)2 6250 (0 < x< 30)(怎样确定x的取值范围)
当x=5时，y的最大值是6250.
设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先确定y与x的函数关系式。降价x元时，则实际售价 ________ 元，每件利润______ 元，件数 ______ ，因此，所得总利润为 _____ 元。
(学生独立思考，然后分组讨论，如何用函数模型将解决问题，教师帮助学生解决问题) 解：设每件降价x元时的总利润为y元
y=(60-40-x)(300+20x)
2
=20(x 2.5) 6125 ( 0< x< 20)
所以定价为60-2.5=57.5时利润最大，最大值为6125元.
(学生独立思考，然后分组讨论，如何用函数模型将解决问题，教师帮助学生解决问题)
【设计意图】本问题是一道较复杂的市场营销问题，让学生体会函数模型在同一个问题中的
不同情况下可以是不同的，培养学生分类讨论的数学思想和方法以及考虑问题的完整性。三、【课堂练习，解决问题】
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高单价会导致销售的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。售价提高多少元时，才能在半个月内获得最大利润？学生独立分析完成，板书解题过程。
解设售价提高x元，半个月内获得的利润为y元，则
2
y= (x+30-20) (400-20x) = 20x 200x 4000 (0 < x< 20)
当x=5时，y最大=4500
答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元。四【课堂小结】
通过本节课的学习我的收获是？
1. 知识方面
2. 思想方法：建模思想
实际问题数学模型
实际问题的解答
转化为数学问题
回归实际问题 ----------------------------------- ?数学结论
五【布置作业】：P26 1、2、6