第六章 实数单元质量专项训练
一、选择题
1．在下面各数中无理数的个数有( )
-3.14，，227，0.1010010001．．．，+1.99，-3
π A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．在下列结论中，正确的是（ ）.
A 54
=±
B ．x 2的算术平方根是x
C ．平方根是它本身的数为0，±1
D 的立方根是2
3．有下列四种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2
π
不仅是有理数，而且是分数；④
23
7
是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ） A ．7个
B ．6个
C ．5个
D ．4个
5．下列五个命题：
①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等； ②内错角相等；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④两个无理数的和一定是无理数；
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 其中真命题的个数是（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
6．给出下列说法：①﹣0.064的立方根是±0.4；②﹣9的平方根是±3；＝﹣
；④0.01的立方根是0.00001，其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，数轴上的点E ，F ，M ，N 表示的实数分别为﹣2，2，x ，y ，下列四个式子中结果一定为负数是（ ）
A ．x +y
B ．2+y
C ．x ﹣2
D ．2+x
8．在实数22
7
-、9、11、π、38中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．某数的立方根是它本身，这样的数有（ ） A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
10．下列说法正确的是（ ）
A ．a 2的正平方根是a
B ．819=±
C ．﹣1的n 次方根是1
D ．321a --一定是负数
二、填空题
11．观察下列各式： (1)123415???+=； (2)2345111???+=； (3)3456119???+=；
根据上述规律，若121314151a ???+=，则a =_____． 12．m 的平方根是n +1和n ﹣5；那么m +n ＝_____． 13．观察下列算式：
①246816???+＝2(28)?＋16＝16＋4＝20； ②4681016???+＝2(410)?＋16＝40＋4＝44；… 根据以上规律计算：3032343616???+＝__________
14．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．
15．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab +b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）． 16．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这
三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝
1234
33
-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______.
17．下面是按一定规律排列的一列数：
14，37，512，719，928
…，那么第n 个数是__． 18．
1.105≈
5.130≈
≈________．
19．
44.9444≈?
14.21267≈?
（精确到0．01）≈__________． 20．
如果a =
b
的整数部分，那么ab =_______．
三、解答题
21．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：
现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中,,,
,,Q W E N M 这26个字母依次对应
1,2,3,
,25,26这26个自然数（见下表）．
给出一个变换公式：
(126,3)3
2
17(126,31)31
8
(126,32)3J J J x
x x x x x x x x x x x x x x ?=≤≤??
+?=+≤≤??
+?=+≤≤??
是自然数，被整除是自然数，被除余是自然数，被除余 将明文转成密文，如4+24+17=193?
，即R 变为L ：11+1
11+8=123
?，即A 变为S ．将密文转成成明文，如213(2117)210??--=，即X 变为P ：
133(138)114??--=，即D 变为F ．
（1）按上述方法将明文NET 译为密文．
（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN ，请找出它的明文． 22．先阅读内容，然后解答问题： 因为：11111111
111
1,,12223233434910910
=-=-=-=-???? 所以：
1111122334910+++?+????＝1111111122334910????????-+-+-++- ? ? ? ?????????
…
＝1﹣
111111122334910+-+-+- ＝1﹣
191010
= 问题：（1）请你猜想（化为两个数的差）：1
20152016?＝ ；
120142016
?＝ ；
（2）若a 、b 为有理数，且|a ﹣1|+（ab ﹣2）2＝0，求
111
(1)(1)(2)(2)ab a b a b +++++++…+1(2018)(2018)
a b ++的值． 23．你能找出规律吗？
（1＝ ，＝ ；＝ ，＝ ．
“＜”）．
（2）请按找到的规律计算：
；
（3）已知：a ，b ＝ （可以用含a ，b 的式子表示）． 24．你会求（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
()()2111a a a -+=-，
()()23111a a a a -++=-， ()()324111a a a a a -+++=-，
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a ﹣1）（a 2014+a 2013+a 2012+…+a 2+a+1）＝ 利用上面的结论，求：
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1的值是 ． （3）求52014+52013+52012+…+52+5+1的值．
25．已知2a -的平方根是2±，33a b --的立方根是3，整数c 满足不等式
1c c <+． （1）求,,a b c 的值．
（2）求2232a b c ++的平方根． 26．观察下列解题过程： 计算231001555...5+++++ 解：设231001555...5S =+++++① 则23410155555....5S =+++++②
由-②①得101451S =-
10151
4
S -∴= 即1012
3
100
51
1555 (5)
4
-+++++= 用学到的方法计算：2320191222...2+++++
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据无理数的三种形式求解． 【详解】
-3.14，，
227，0.1010010001．．．，+1.99，-3
π
无理数的有：，0.1010010001．．．，-3
π
共3个 故选：C 【点睛】
本题考查了无理数的定义，辨析无理数通常要结合有理数的概念进行．初中范围内学习的
无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②③虽有规律但是无限不循环的数，如0．1010010001…，等．
2．D
解析：D 【分析】
利用算术平方根、平方根、立方根的定义解答即可. 【详解】
5
4
=
，错误； B. x 2的算术平方根是x ，错误； C. 平方根是它本身的数为0，错误；
=8,8 的立方根是2，正确； 故选D.
【点睛】
此题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，正确理解相关定义是解题关键.
3．C
解析：C 【分析】
根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案． 【详解】
①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
2=； ③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的． 综上，正确的个数有3个， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．
4．B
解析：B 【分析】
根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】
解：①没有最小的整数，所以原说法错误； ②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；
③﹣
2π
是无理数，所以原说法错误； ④237
是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； ⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确； ⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；
⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误； 故其中错误的说法的个数为6个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
5．B
解析：B 【分析】
根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以
是无理数也可以是有理数，进行判断即可.
【详解】
①正确；
②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；
③正确；
④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
利用平方根和立方根的定义解答即可．
【详解】
①﹣0.064的立方根是﹣0.4，故原说法错误；
②﹣9没有平方根，故原说法错误；
④0.000001的立方根是0.01，故原说法错误，
其中正确的个数是1个，
故选：A．
【点睛】
此题考查平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键.
7．C
解析：C
【分析】
根据点E，F，M，N表示的实数的位置，计算个代数式即可得到结论．
【详解】
解：∵﹣2＜0＜x＜2＜y，
∴x+y＞0，2+y＞0，x﹣2＜0，2+x＞0，
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数，以及实数与数轴，弄清题意是解本题的关键．
8．B
解析：B
【解析】
分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
详解：无理数有π共2个． 故选B ．
点睛：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有特定规律的数．
9．C
解析：C 【分析】
根据立方根的定义，可以先设出这个数，然后列等式进行求解． 【详解】 设这个说为a ，
a =， ∴3a =a ， ∴a=0或±1， 故选C. 【点睛】
本题考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题关键.
10．D
解析：D 【分析】
根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断A 、B 、D ，根据乘方运算法则判断C 即可． 【详解】
A ：a 2的平方根是a ±，当0a ≥时，a 2的正平方根是a ，错误；
B 9=，错误；
C ：当n 是偶数时，()1=1n
- ；当n 时奇数时，()1=-1n
-，错误；
D ：∵210a --< ，∴
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义以及乘方运算，掌握相关的定义与运算法则是解题关键．
二、填空题 11．181 【分析】
观察各式得出其中的规律，再代入求解即可． 【详解】 由题意得
将代入原式中
故答案为：181．
【点睛】
本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181
【分析】
n=求解即可．
观察各式得出其中的规律，再代入12
【详解】
由题意得
()31
=?++
n n
n=代入原式中
将12
a==?+=
12151181
故答案为：181．
【点睛】
本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．
12．11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．【详解】
解：由题意得，
n+1+n﹣5＝0，
解得n＝2，
∴m＝（2+1）2＝9，
∴m+n＝9+2＝11．
故答
解析：11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，
n+1+n﹣5＝0，
解得n＝2，
∴m＝（2+1）2＝9，
∴m+n＝9+2＝11．
故答案为11．
【点睛】
此题主要考查了平方根，正确利用平方根的定义得出n的值是解题关键．
13．【分析】
根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．
【详解】
解：
=
=1080+4
=1084．
故答案为：1084．
【点睛】
解析：【分析】
根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．
【详解】
=
=1080+4
=1084．
故答案为：1084．
【点睛】
本题考查了算术平方根，读懂题目信息，观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解题的关键．
14．【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
解：＝8，＝2，2的算术平方根是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握
【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
82，2，
．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．
15．①③
【解析】
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(?3)※4=?3×4+4=?8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b ，两式
解析：①③
【解析】
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(?3)※4=?3×4+4=?8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b，两式相等，若a≠b，则两式不相等，所以②错误；
方程(x?4) )※3=6化为3(x?4)+3=6，解得x=5，所以③正确；
左边=(a※b)※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c
右边=a※（b※c）=a※(b×c+c)=a(b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c2
两式不相等，所以④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故答案为①③.
【点睛】
有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．
16．或
【解析】
【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.
【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1
解析：1
2
或
1
3
【解析】
【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x ＋1，4x －1}=1+2x ，然后再根据min{2，－x ＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.
【详解】M{3，2x ＋1，4x －1}=32141
3
x x +++-=2x+1，
∵M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，
∴有如下三种情况： ①2x+1=2，x=
1
2，此时min{2，－x ＋3，5x}= min{2，52，52
}=2，成立； ②2x+1=-x+3，x=23，此时min{2，－x ＋3，5x}= min{2，73，10
3
}=2，不成立； ③2x+1=5x ，x=13，此时min{2，－x ＋3，5x}= min{2，8
3，53}=53
，成立，
∴x=
12或1
3
， 故答案为
12或13
. 【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．
17．【解析】
∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1, ∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…, ∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数 解析：
221
3
n n -+ 【解析】
∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1, ∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…, ∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是
2213n n -+,故答案为
:221
3
n n -+. 18．-0.0513 【分析】
根据立方根的意义，中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位． 【详解】 因为 所以-0.0513 故答案为：-0.0513 【点睛】
考核知识点：立方根．理解立方
解析：-0.0513 【分析】
n =中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位． 【详解】
5.130≈
≈-0.0513 故答案为：-0.0513 【点睛】
考核知识点：立方根．理解立方根的定义是关键．
19．50 【分析】
根据算术平方根小数点移动的规律解答. 【详解】
∵20.2是2020的小数点向左移动了两位， ∴应是的小数点向左移动一位得到的， ∴，
故答案为：4.50. 【点睛】 此题考查算术平
解析：50 【分析】
根据算术平方根小数点移动的规律解答. 【详解】
∵20.2是2020的小数点向左移动了两位，
的小数点向左移动一位得到的，
04.5≈， 故答案为：4.50. 【点睛】
此题考查算术平方根小数点的移动规律，熟记规律是解题的关键.
20．12 【分析】
先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可． 【详解】
，即
的整数部分是2，即 则
故答案为：． 【点睛】
本题考查了算术平方根的
解析：12 【分析】
先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可． 【详解】
6a ==
479<<
<<23<< ∴
的整数部分是2，即2b =
则6212ab =?= 故答案为：12． 【点睛】
本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．
三、解答题
21．（1）N,E,T 密文为M,Q,P;（2）密文D,W,N 的明文为F,Y ,C ． 【分析】
(1) 由图表找出N,E,T 对应的自然数,再根据变换公式变成密文. (2)由图表找出N=M,Q,P 对应的自然数，再根据变换.公式变成明文. 【详解】
解：（1）将明文NET 转换成密文： 252
2517263
N M +→→
+=→ 3
313
E Q →→
=→ 51
58103
T P +→→
+=→ 即N,E,T 密文为M,Q,P;
（2）将密文D,W,N 转换成明文：
()133138114D F →→?--=→ 2326W Y →→?=→
253(2517)222N C →→?--=→
即密文D,W,N 的明文为F,Y ,C ． 【点睛】
本题考查有理数的混合运算，此题较复杂，解答本题的关键是由图表中找到对应的数或字母，正确运用转换公式进行转换． 22．（1）1120152016-，1140284032
-；（2）
2019
2020. 【分析】
（1）根据题目中式子的特点可以写出猜想；
（2）根据|a-1|+（ab-2）2=0，可以取得a 、b 的值，代入然后由规律对数进行拆分，从而可以求得所求式子的值． 【详解】 解：（1）
111
2015201620152016
=-?，
111111
()2014201622014201640284032
=?-=-?，
故答案为：
1120152016-，11
40284032
-；
（2）∵|a ﹣1|+（ab ﹣2）2＝0， ∴a ﹣1＝0，ab ﹣2＝0， 解得，a ＝1，b ＝2， ∴1111+(1)(1)(2)(2)(2018)(2018)
ab a b a b a b +++++++++…… =111112233420192020
+++?+???? ＝1﹣1111111
+2233420192020
+-+-+-……
＝1﹣1
2020
＝
2019
2020． 【点睛】
本题考查数字的变化类、非负数的性质、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
23．（1）6，6，20，20，＝，＝；（2）①10，②4；（3）2a b 【分析】
（1)0,0a b =≥≥，据此判断即可．
（2=10===，
4===，据此解答即可．
（3）根据a =b =2a b ==，据此解答即可．
【详解】
解：（1236=?=6==；
4520=?=20==．
=
=
故答案为：6，6，20，20，＝，＝；
（210===；
4===；
（3）∵a =b =
2a b ==，
故答案为：2a b ．
【点睛】
本题考查算数平方根，掌握求一个数算术平方根的方法为解题关键． 24．（1）a 2015
﹣1；（2）2
2015
﹣1；（3）201551
4
-．
【分析】
（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案． （2）先变形，再根据规律得出答案即可． （3）先变形，再根据规律得出答案即可． 【详解】
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）＝a 2015﹣1，
故答案为：a 2015﹣1； （2）22014+22013+22012+…+22+2+1
＝（2﹣1）×（22014+22013+22012+…+22+2+1） ＝22015﹣1， 故答案为：22015﹣1； （3）52014+52013+52012+…+52+5+1 ＝
1
4
×（5﹣1）×（52014+52013+52012+…+52+5+1） ＝2015514
-．
【点睛】
本题考查了实数运算的规律题，掌握算式的规律是解题的关键． 25．（1）6a =，8b =-，2c =；（2）12± 【分析】
(1)利用平方根，立方根定义以及估算方法确定出a ，b ，c 的值即可； (2)把a ，b ，c 的值代入计算即可求出所求． 【详解】
解：(1)根据题意得：a?2=4，a?3b?3=27，23<<， ∴a=6，b=?8，c=2；
(2)原式=2×62+(-8)2+23=72+64+8=144，144的平方根是±12． ∴2232a b c ++的平方根是±12. 【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，平方根以及立方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 26．22020?1 【分析】
根据题目提供的求解方法进行计算即可得解． 【详解】
设S ＝2320191222...2+++++① 则2S ＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，②
②?①得，S ＝（2＋22＋23＋…＋22019＋22020）-（2320191222...2+++++）=22020?1 即2320191222...2+++++=22020?1． 【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解并掌握求解方法是解题的关键．