线性代数发展史
一行列式
行列式的出现已有300余年，1683年日本数学家关孝和在＜解伏题之法)中首先引人此概念。
1693年，莱布尼兹(G．W．工ezbniz)著作中亦有行列式叙述，世人们仍认为此概念在西方源于数学家柯西(A．L CaMchy)
1750年，克莱姆(G cramer)出版的(线性代数分析导言＞一书中已给出行列式的今日形式。
1841年，雅谷比(c．G JaMM在(论行列式形成与性质)一书中对行列式及其性质、计算作了较系统的阐述
此后．范德蒙(A．T vandeMondl)、裴蜀(E．Be肋Mt)、拉普拉斯(P．s M de I品PLace)等人在行列式研究中也作了许多工作，
但行列式在当今线性代数中似已被淡化，原因是：首先它的大多数功能已被矩阵运算取代，而矩阵(代数)理论与计算已相当成熟；再者是电子计算机的出现与飞速发展，已省去人们许多机械而繁琐的计算．然而行列式也有其自身的魅力：技巧性强、形式漂亮，因而它在历年考研中不断出现．
行列式的主要应用是：求矩阵(或向量组)的秩；解线性方程组；求矩阵特征多项式等行列式与矩阵有着密不可分的连带关系，尽管它们本质上不是一回事(短阵是数表，而行列式是数)．
二矩阵代数
矩阵一词系1850年英国数学家薛尔维斯特(J—J sylves贮r)首先倡用，它原指组成行列式的数字阵列。
矩阵的性质研究是在行列式理论研究中逐渐发展的．
凯莱(A cayley)于1858年定义了矩阵的某些运算，发表＜矩阵论研究报告＞，因而他成了矩阵论的创始人。德国数学家弗罗伯尼(F．G．Fmbenius)于1879年引进矩阵秩的概念，且做了较丰富的工作(发表在(克雷尔杂志＞上)
尔后矩阵作为一种独立的数学分支迅速发展起来．
20世纪40年代，为响应电子计算机出现而诞生厂短阵数值分析，1947年冯·纽曼(Ven Neumann)等人提出分析误差的条件数，1948年图灵(A．Turing)给出厂矩阵的Lu分解，矩阵的另一种分解QR分解的实际应用在上世纪50年代末得以实现．这一切使矩阵计算得以迅猛发展。
如今，矩阵已成为一种重要的数学工具，它的理论和方法在数学和其他科技领域(如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程、数量经济等)都有广泛应用，甚至经济管理、社会科学等方而亦然。
三向量
向量概念是由复数概念扩张而来。1843年哈密顿(w．R Hsmil仍n)的“四元数”概念引入的同时，引入了向量概念，从而开创它的计算与理论研究
1844年，德国数学家格拉斯(G．H．Grassmann)发表＜线性扩张论＞，提出“n维超复数”概念．即n元有序数组，相当于今天的向量概念．此外他还定义了超复数的运算，且将Euclid几何的许多概念拓广至高维空间.
向量空间的现代定义是内皮亚诺(G Peano)于1888年引入的。不久，以函数乃至线性变换为元素的抽象向量空间随之建立，即1906午法国数学家费雷歇(M．Frechet)开创了抽象空间研究*包括无穷维向量空间(如今空间维数概念已拓至分数，产生“分形”这门新的数学分枝）
四线性方程组
我国古算书＜九章算术＞中已有“方程”概念，对于线性方程组，书中给出如何用“算筹”去演解(今人称筹算)，而书中方程组系数排列成的数阵，实际上相当于今天的矩阵，而其中的算法相当于今天的矩阵运算。
宋、元时期的数学家秦九韶于1247年完成的＜数书九章＞，已给出相当于今天的对增广短阵实施初等变换解方程组的方法
莱布尼兹(G W．Leibniz)于1693年曾用行列式法解二元线性方程组；麦克劳林(C Maclaurin)创立了解三、四元线性方程组的方法．
1750年，瑞士数学家克莱姆(C.Cramer)建方了解线性方程组的“克莱姆(Crsmer)法则”
1820年前后，高斯(c F Gauss)给出解线性方程组的消元法(它常作为大地测量学发展的一部分)．
如今矩阵理论已成为解线性方程组的有力工具．
五矩阵的特征问题
柯西(A L Cauchy)在1826年，研究二次型在直角坐标变换下的形变问题时，首先使用了特征方程概念即│A-λI│＝0，且证明了其不变性．1892年他从二次型束入手研究了特征方程的一般问题，1851年给出了│ A +λB │的初等因子、不变因子概念，且证明了—些有关结论。
1852年，希尔维斯特(J J Sylvester)给出n元二次型化成标准型的“惯性定律”
1870午，约当(M E c Jordan)证明了n阶复阵可通化相似变换化成约当标准形的结论尔后，弗罗伯尼(F．G．Fmbenius)引进了矩阵的最小多项式(由特征多项式因子形成的满足矩阵化零的次数最低的多项式)概念，此外还证明凯莱一哈密顿(Cayley—Hamilton)定理．
六二次型
如上章所述，二次型理论与行列式(确切地讲与矩阵)密切相关，人们对它的研究是从其系数矩阵的特征问题人手的，而这一问题系柯西(A．L Cauchy)首先系统提出的．1852年，希尔维斯持(J J Sylvester)利用短阵特征理论证明了二次型的惯性定律，此后，维尔斯持拉斯(K．weirstrass)完成了二次型的一般理论(他利用了J J Sylvester的某些成果) 尔后，人们又找到了它们的几何应用．
由此可看出，：二次齐次多项式(二次型)的研究与矩阵研究对应起来。
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
航空发动机未来发展的智能化 院系：机电工程学院 班级：****** 学号：****** 姓名：******
摘要：航空航天业的发展离不开航空发动机的发展，而纵观历史，航空发动机的发展历史并不算久远但是其发展速度却是很迅速的。从最早的活塞式发动机到现在的喷气式发动机，发动机技术的发展大大促进了航空飞行器的发展。早期的飞机飞行的速度并不是很快，主要是受制于发动机的技术，但是今天的飞机不仅飞行速度惊人，而且飞行的安全系数也更高了。现在的航空发动机技术虽然已经很先进，但是还没有到达最高点，也就是说现在的发动机技术还有很大的提升空间。预计未来的发动机会向更加智能的方向发展，包括智能节油技术，智能修复技术等等。 关键词：发动机安全系数智能技术历史前景 一.引言： 航空航天的发展离不开航空发动机发展的支持，发动机对于飞机而言就像心脏对于我们人类一样重要，离开了发动机，飞机就成为了空壳，没有任何用处，所以发动机才是飞行器的核心，发展飞行器虽然要求各方面的技术均衡发展，但是就目前的发展状况来看，发动机技术的发展速度明显落后于其他各方面技术的发展，故发动机的技术在某一个层面上也代表了航空工业的发展现状。从飞机诞生到其被用于战争，世界各国都意识到了飞机将带给世界的巨大影响，于是纷纷开始发展航空飞行器，于是一个更深层面的技术发展拉开了帷幕，它就是发动机的技术研究。 二.航空发动机的发展历史 1.活塞式发动机的发展 很早以前，我们的祖先就幻想像鸟一样在天空中自由飞翔，也曾作过各种尝试，但是多半因为动力源问题未获得解决而归于失败。最初曾有人把专门设计的蒸汽机装到飞机上去试，但因为发动机太重，都没有成功。到19世纪末，在内燃机开始用于汽车的同时，人们即联想到把内燃机用到飞机上去作为飞机飞行的动力源，并着手这方面的试验。 世界上首架飞机是由美国莱特兄弟制造出来的。在当时大多数人认为飞机依靠自身动力的飞行完全不可能，而莱特兄弟确不相信这种结论，从1900年至1902年他们兄弟进行1000多次滑翔试飞，终于在1903年制造出了第一架依靠自身动力进行载人飞行的飞机“飞行者”1号，并且获得试飞成功。他们因此于1909年
线性代数 第一章 行列式 §1 二阶和三阶行列式 一、二元一次线性方程组与二阶行列式 结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 1111221 2112222 a x a x b a x a x b +=??+=? 的解为 122122*********b a a b x a a a a -= -，112121 2112121 a b b a x a b b a -=-。 定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为 11122122a a a a 。称1112 2122 a a a a 为二阶行列式 有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为 1 122221111221 22 b a b a x a a a a = ，111 122 2111221 22 a b a b x a a a a = 二、三阶行列式与三元一次线性方程组 定义：11 121321 222331 32 33 a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 定理：如果11 1213 21 22233132 33 0a a a D a a a a a a =≠，则***1 23(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解
111122133121122223323113223333 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=?? ++=??++=? 当且仅当 *1x =1 12132 22233 3233 /b a a b a a D b a a ,* 2x =111132122331 3 33 /a b a a b a D a b a ,* 3 x =111212122231 32 3 /a a b a a b D a a b 其中11 1213 21 222331 32 33 a a a a a a a a a 为系数行列式。 证明：略。 性质1：行列式行列互换，其值不变。即11 121311213121 222312 223231 32 33 13 23 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a =。 性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。例如 11121321222321222311 121331 32 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 推论：行列式有两行相同，其值为零。 性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。例如 11121311121321222321 222331 32 33 31 32 33 a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。 推论：行列式有一行全为零，其值为零。 性质4：行列式有两行成比例时，其值为零。 性质5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。例如
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
我的航天技术论文 在过去半年中，接连发生了两起重大航天灾难。尽管人们备感痛惜，但这些挫折并不能阻挡人类进军宇宙的步伐。既然航天活动风险如此之大，为什么人类依然不放弃进军宇宙的梦想呢？从长期看，地球的资源是有限的，人类总有一天必须走出自己的摇篮；从中短期看，航天活动可带来巨大回报，是一个国家综合国力的体现。进军宇宙是人类现在和未来的一项伟大事业。于是，载人航天成为现代航天科技发展的重中之重…… 中国载人航天技术的发展及其意义和前景 俗话说，天高任鸟飞，海阔凭鱼跃。人类在漫长的社会进步中不断扩展自身的生存空间。现在，人类的活动范围已经历了从陆地到海洋，从海洋到大气层空间，再从大气层空间到太空的逐步发展过程。人类活动范围的每一次扩展都是一次伟大的飞跃。 中国载人航天技术的发展历程 很久以前，人类就有飞出地球、探知太空奥秘和开发宇宙资源的愿望，我国古代的不少神话故事便是突出的反映。最典型的是流传很广的嫦娥奔月，它描写一个叫嫦娥的美女，偷吃了丈夫后羿从西王母那里求得的长生不老的仙药后，身体变轻飘到月亮上去了。 历史上第一个试验乘火箭上天的人是15世纪中国官员万户。1945年，美国学者基姆在他的《火箭与喷气发动机》一书中是这样描写的：万户先做了两个大风筝，并排装在一把椅子的两边。然后，他在椅子下面捆绑了47支当时能买到的最大火箭。准备完毕后，万户坐在椅子当中，然后命其仆人点燃火箭。但是，随着一声巨响，他消失在火焰和烟雾中，人类首次火箭飞行尝试没有成功。 20世纪80年代，改革开放带来了航天技术的春天。1986年，中共中央、国务院批准了《高技术研究发展计划("863"计划)纲要》，把航天技术列为我国高技术研究发展的重点之一。"863"高技术航天领域的专家们对我国航天技术未来的发展进行了深入细致的论证，描绘了我国航天技术发展前景的蓝图，一致认为载人航天是我国继人造卫星工程之后合乎逻辑的下一步发展目标。1992年1月，党中央批准研制载人飞船工程。自此，我国的载人航天工程正式启动。1999年11月20日，我国成功发射了自行研制的第一艘飞船神舟1号，成为世界上第三个发射宇宙飞船的国家。此后，又分别把神舟2、3和4号送上九重天。在1992年开始研制载人飞船之前，我国"863"高技术航天领域的专家们曾为研制哪种运输器这个问题进行了几年的研究，即对从研制飞船起步和越过载人飞船直接发展航天飞机的多种技术方案进行了充分的论证、比较和分析，甚至还激烈地争论过。2003年10月15日圆了万户的梦，因为在这一天中国人民期待已久的第一艘载人飞船神舟5号顺利升空并安全返回，实现了中华千年飞天的理想。它也打破了美国和苏联.俄罗斯在这一领域的多年垄断格局，成为世界第3个独立自主研制并发射载人航天器的国家，这对世界载人航天事业的发展和振兴中华会起到巨大的推动作用。 载人航天的重大意义 历史上，远洋航海技术的兴起，导致了世界贸易的发展、世界市场的开辟和近代科学的一系列成就，开始了一个"全球文明"的时代。当代载人航天技术的问世，则使人类走出地球这一摇篮而到达太空，开始了一个"空间文明"的新时代。
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1
⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆
2008年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：
世界航天器发展历史 摘要：航空作为前人的梦想如今已经初步实现。当然所有科技的研发最初都运用于军事航空也不例外。据说飞机最早的雏形是中国的风筝，风筝最初是用来传递信息，这也为人类上空埋下伏笔，但是真正想让人飞上空中的却不是中国。 关键词：飞行研究气球飞艇动力 正文： 人类对飞行的最初探索自古以来人类就怀有飞行理想，这种理想来自生产、生活和对自由飞行的向往。但在社会生产力低下的年代,这种理想始终不能实现,只能在神话和传说（见飞行神话传说）中寄托自己的渴望。 航空作为前人的梦想如今已经初步实现。当然所有科技的研发最初都运用于军事航空也不例外。据说飞机最早的雏形是中国的风筝，风筝最初是用来传递信息，这也为人类上空埋下伏笔，但是真正想让人飞上空中的却不是中国。中国早在五代时期就使用过原始的热气球──孔明灯。历史上还记录过各种轻于空气的飞行器的其他设想和尝试,在西方,13世纪的R.培根曾提出用稀薄空气或液体燃料充入薄壁金属球使它在空气中上升的想法。但首次制造成功载人气球的是法国蒙哥尔费兄弟。他们于1783年6月4日进行了自己制作的热气球表演。他们用一只更大的热气球,载上羊、公鸡和鸭各一只,飞行8分钟后安全降落。中世纪欧洲不断有人对飞行作过勇敢的尝试，他们用羽毛作成翅膀，从塔上或高处跳下，试图模仿鸟的飞行，结果往往以失败而告终。在很长的一段时期内，人类对飞行的探索进展缓慢，文艺复兴时期的L.达·芬奇科学地研究了飞行问题，但他的研究成果直到19世纪后期才为后人发现，对航空的发展未起到应有的作用。17世纪后期意大利的G.A.博雷利探讨了人类肌肉与飞行的关系后，证明：“人类靠自己的体力作灵巧的飞行是绝对不可能的。” 在18世纪产业革命的推动下,1783年法国蒙哥尔费兄弟的热空气气球和J.-A.C.查理的氢气气球相继升空成功，标志着人类航空发展的第一次重大突破。而随着对航空器的研究1903年12月17日,美国莱特兄弟用自己制造的飞机,实现了人类首次持续的、有动力的、可操纵的飞行，开创了现代航空的新纪元。但对到底是谁第一个制造了飞机人们在当时产生了争论，但大部分人认为是莱特兄弟制造了飞机。
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L
③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11221122***0**0*00 nn nn b b A b b b b = =L M O L ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明0A =的方法：
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
对航空航天的认知 我想从一下几个方面来表达一下我对航空航天的认知。 中国载人航天技术的发展及其意义和前景。俗话说，天高任鸟飞，海阔凭鱼跃。人类在漫长的社会进步中不断扩展自身的生存空间。现在，人类的活动范围已经历了从陆地到海洋，从海洋到大气层空间，再从大气层空间到太空的逐步发展过程。人类活动范围的每一次扩展都是一次伟大的飞跃。中国载人航天技术的发展历程很久以前，人类就有飞出地球、探知太空奥秘和开发宇宙资源的愿望，我国古代的不少神话故事便是突出的反映。最典型的是流传很广的嫦娥奔月，它描写一个叫嫦娥的美女，偷吃了丈夫后羿从西王母那里求得的长生不老的仙药后，身体变轻飘到月亮上去了。 历史上第一个试验乘火箭上天的人是15世纪中国官员万户。1945年，美国学者基姆在他的《火箭与喷气发动机》一书中是这样描写的：万户先做了两个大风筝，并排装在一把椅子的两边。然后，他在椅子下面捆绑了47支当时能买到的最大火箭。准备完毕后，万户坐在椅子当中，然后命其仆人点燃火箭。但是，随着一声巨响，他消失在火焰和烟雾中，人类首次火箭飞行尝试没有成功。 载人航天的重大意义。历史上，远洋航海技术的兴起，导致了世界贸易的发展、世界市场的开辟和近代科学的一系列成就，开始了一个"全球文明"的时代。当代载人航天技术的问世，则使人类走出地球这一摇篮而到达太空，开始了一个"空间文明"的新时代。载人航天是航天技术向更高阶段的发展。不过，由于载人航天技术与无人航天
技术有很大差别，主要反映在安全性、复杂性和成本高三个方面，所以从1961年第一名航天员上天到现在，它还没有表现出特别明显的用途。但从可以预见的未来来看，人类现在面临的资源枯竭、人口急增等急待解决的几大问题，只有通过开放地球、扩大人类生存空间来解决。 即使在当代，发展载人航天也可以起到以下作用：首先，它能体现一个国家综合国力和提升国际威望。因为航天技术的水平与成就是一个国家经济、科学和技术实力的综合反映。载人航天是航天技术向更高阶段的发展，载人航天的突破--用本国的载人航天器将航天员送入太空并安全返回，更是一个国家综合国力强大的标志。发展载人航天需要依靠先进的技术水平、发达的工业基础和雄厚的经济实力。迄今为止，只有俄罗斯和美国实现了载人航天。其他拥有一定航天技术基础或较强经济实力的国家，虽欲染指载人航天，但因力不从心，所以只能求助于与他们合作，出钱出资，用俄、美的载人航天器将本国航天员送上太空，以图逐步加入世界"载人航天俱乐部"。邓小平同志曾经说过：没有两弹一星就没有中国的大国地位。所以，我国航天员进入太空，也能像上世纪六七十年代我国拥有"两弹一星"那样，引起全世界注视，提高我国的国际地位，振奋民族精神，增强全民的凝聚力。其次，它能体现现代科技多个领域的成就，同时又给现代科技各个领域提出新的发展需求，从而可以大大促进整个科技的发展，并将为培养和造就航天科技人才作贡献。例如，就载人航天器本身的研制和运行而言，它对通信、遥感、推进、测量、材料、计算机、系统工
线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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