3.1.2函数的极值

《3.1.2 函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在帮助学生巩固和深化对“函数的单调性”的理解，通过实际操作和练习，掌握判断函数单调性的方法和技巧，为后续学习打下坚实的基础。

二、作业内容1. 基础知识巩固- 要求学生复习函数单调性的定义，理解增函数和减函数的概念，并能够正确使用数学语言描述函数的单调性。

- 布置相关练习题，如填空题和选择题，考察学生对基本概念的掌握情况。

2. 函数单调性判断- 指导学生通过图像、导数、差分等方法判断函数的单调性。

- 设计一定数量的应用题，让学生在具体情境中应用单调性的概念。

3. 函数单调性与实际生活的联系- 通过实例分析，如气温变化、商品销售量与价格的关系等，让学生理解函数单调性在实际生活中的意义。

- 要求学生分析生活中的一些现象，用数学语言表达其单调性，并给出简要的解释。

4. 综合练习- 设计一组综合题目，涵盖函数单调性的判断、计算和实际应用等内容。

- 要求学生独立完成综合练习，并在课堂上进行讨论和交流。

三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性和规范性。

2. 对于每个题目，学生需写出详细的解题步骤和思路，以便于教师了解学生的掌握情况。

3. 学生在完成作业过程中，应注重理解题目的意图和解题方法，而不仅仅是追求答案的正确性。

4. 对于涉及图像的题目，学生需使用数学软件绘制准确的函数图像，并标注关键点。

5. 学生在完成作业后，需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。

四、作业评价1. 教师将根据学生的答案，对学生的理解和应用能力进行评估。

2. 教师将对解题步骤和思路的规范性、准确性和完整性进行评价。

3. 对于有创意的解题思路和方法，教师将给予额外的加分和表扬。

4. 对于存在的问题和不足，教师将给出具体的指导和建议。

五、作业反馈1. 教师将在课堂上对作业进行讲解和点评，帮助学生纠正错误并加深理解。

2. 学生需根据教师的反馈和建议，对作业进行修正和完善。

多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。

而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。

对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。

本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。

1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。

（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。

1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。

1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。

2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。

2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。

它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。

具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。

它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。

具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。

3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。

3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。

2014 届本科毕业论文（设计）论文题目：函数极值的理论及其应用所在院系：数学科学学院所学专业：数学与应用数学完成时间：2014-05-20函数极值的理论及其应用摘要函数的极值不仅是反映函数性态的一个重要特征，而且在解决实际问题中也占有极其重要的地位。

很多经济和生活中的问题都可以转化为数学中的函数极值问题进行讨论，从而得到该问题的最优方案。

本文主要探讨函数极值的理论及求解方法，并附以相应的例子阐明函数极值在实际问题中的应用，重点探讨一元函数和多元函数的极值理论及应用等问题。

关键词：函数极值，多元函数，极值应用The Extreme Value Theory of Function and its ApplicationsAbstractThe extreme value is not only a significant characteristic of a function, but also play an important role in solving practical problems. A lot of problems in the economy and life can be transformed into the function extremum problems, thus the optimal solution of these problems can be obtained. This thesis mainly discusses the theory and its corresponding solving methods of the function extreme value, together with the corresponding extreme value theory to practical problems in the application. The main contents focus on the theory and applications of the single variable functions and multivariate functions.Keywords: Function extreme value, Multivariate functions, Application of extreme value theory目录一、引言 (1)二、一元函数极值理论及其判别方法 (2)2.1 一元函数极值的概念 (2)2.2 一元函数极值的判定 (2)2.3 一元函数极值的求解 (3)三、多元函数的极值理论及其判别方法 (3)3.1 二元函数极值的概念 (3)3.2 二元函数极值的判定 (3)3.3 二元函数两类极值的求解 (4)3.4 n元函数极值的概念 (6)3.5 n元函数极值的判定 (6)3.6 n元函数两类极值的求解 (7)四、函数极值理论的应用 (9)4.1 一元函数极值的应用 (9)4.2 二元函数极值的应用 (10)4.3 n元函数极值的应用 (11)4.4 函数极值在经济生活中的应用 (12)五、结论 (13)参考文献........................................... 错误!未定义书签。

XX学院毕业论文浅析函数极值的求法及应用院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级、班级： 08数本姓名： XXX学号： XXXXXXX指导教师(职称)： XXXXX2012 年3 月15 日浅析函数极值的求法及应用摘要函数极值是数学研究的重要内容之一，故对函数极值问题的探讨具有重要意义。

本文讨论了利用拉格朗日乘数法、柯西不等式法和梯度法求函数条件极值，以及利用方向导数判别法、MATLAB法求函数无条件极值，归纳出了函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题的若干应用。

关键词函数极值求法应用Analysis of the function extreme value solution and its applicationAbstractThe extreme value of function is one of the important contents of mathematics study,so the function extreme problems of the function extreme value has important significance.This paper discusses the use of the Lagrange multiplier method,the Cauchy inequality method and gradient method for function conditional extremum,and the use of directional derivative method,MATLAB software and function unconditional extremum,summarized some applications about the extreme value of function in the proof of inequality, physics, production and sales and bee house problems.Keywords function；extreme value；solution；application目录摘要 (Ⅰ)关键词 (Ⅰ)第一章引言 (1)第二章函数极值的定义及其存在的条件 (1)2.1多元函数极值的定义 (2)2.2多元函数极值存在的条件 (2)第三章函数极值的若干求法 (3)3.1拉格朗日乘数法求极值 (3)3.2柯西不等式法求极值 (4)3.3梯度法求极值 (5)3.4利用方向导数判别多元函数的极值 (7)3.5 Matlab求函数极值 (9)第四章函数极值理论的应用 (12)4.1函数极值在不等式证明中的应用 (12)4.2函数极值在物理学中的应用 (13)4.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用 (14)4.4运用函数极值分析蜂房的最优化问题 (15)第五章结束语 (18)致谢语 (18)引用文献 (18)第一章 引言函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。

函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

本文将对函数的极值和最值进行详细总结。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。

1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。

极大值点和极小值点合称为极值点。

1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。

1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。

这是极值判定的充分条件。

2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。

2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。

但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。

2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。

首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。

从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。

3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。

3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。

首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。

计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。

目录摘要 (2)ABSTRACT (2)第一章引言 (4)第二章一元函数的极值 (5)2.1极值的充分条件 (5)2.2几种特殊函数的极值 (8)第三章多元函数的极值 (12)3.1无条件极值 (13)3.2条件极值 (15)第四章函数极值的应用 (19)参考文献 (24)致谢 (25)函数极值的求法及其应用曾浪数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。

本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。

关键词：函数；极值；应用The extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; applicationThe extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; application第一章引言函数极值问题在我们学习和生活中都会常常遇到。

函数的极值与导数第一章：函数极值概念的引入1.1 教学目标让学生了解极值的概念，理解极大值和极小值的区别。

学会通过图像来观察函数的极值。

掌握利用导数求函数极值的方法。

1.2 教学内容函数极值的定义利用图像观察函数极值利用导数求函数极值1.3 教学步骤1. 引入极值的概念，让学生通过具体的例子来理解极大值和极小值。

2. 通过图像来观察函数的极值，引导学生学会从图像中找出极大值和极小值。

3. 讲解利用导数求函数极值的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。

1.4 作业布置f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1g(x) = x^2 4x + 4第二章：函数的单调性2.1 教学目标让学生理解函数单调性的概念，学会判断函数的单调性。

掌握利用导数来判断函数的单调性。

2.2 教学内容函数单调性的定义利用导数判断函数单调性2.3 教学步骤1. 引入函数单调性的概念，让学生通过具体的例子来理解函数单调性。

2. 讲解利用导数来判断函数单调性的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。

2.4 作业布置h(x) = x^3 3xk(x) = x^2 4x + 3第三章：函数的极值定理3.1 教学目标让学生了解函数的极值定理，学会应用极值定理来解决问题。

3.2 教学内容函数的极值定理3.3 教学步骤1. 讲解函数的极值定理，让学生理解极值定理的意义。

2. 通过例题让学生学会应用极值定理来解决问题。

3.4 作业布置求函数f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1 的极大值和极小值。

第四章：函数的拐点4.1 教学目标让学生了解拐点的概念，学会通过导数来找函数的拐点。

4.2 教学内容拐点的定义利用导数找拐点4.3 教学步骤1. 引入拐点的概念，让学生通过具体的例子来理解拐点。

2. 讲解利用导数来找拐点的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。

4.4 作业布置m(x) = x^3 3xn(x) = x^2 4x + 4第五章：函数的单调性与极值的应用5.1 教学目标让学生学会运用函数的单调性和极值来解决实际问题。

考试范围：文科：必考内容：必修①②③④⑤+选修1-1，1-2选考内容：无选考内容理科：必考内容：必修①②③④⑤+选修2-1，2-2，2-3 选考内容（三选二）：选修4-2，4-4，4-5文、理科必考内容：数学①必修第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示1.1.2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值1.3.2 奇偶性第二章基本初等函数（I）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2.1.2 指数函数及其性质2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型3.2.2 函数模型的应用实例数学②必修第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.2.3 平行投影与中心投影1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程4.1.2 圆的一般方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.2 基本算法语句1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 随机事件的概率3.1.1 随机事件的概率3.1.2 概率的意义3.1.3 概率的基本性质3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 整数值随机数（random numbers）的产生3.3 几何概型3.3.1 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生数学④必修第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1.1.2 弧度制1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像和性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质1.4.3 正切函数的性质和图像1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义2.2.2 向量减法运算及其几何意义2.2.3 向量数乘运算及其几何意义2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式3.2 简单的三角恒等变换数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式√ab≤﹙a+b﹚/2文科必考内容：数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3 简单的逻辑关联词1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的简单几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.3 双曲线的简单几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数3.3.2 函数的极值与导数3.3.3 函数的最大（小）值与导数3.4 生活中的优化问题举例数学选修1-2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.2 复数的几何意义3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图理科必考内容：数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3 简单的逻辑关联词1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程2.2 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的简单几何性质2.3 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.3 双曲线的简单几何性质2.4 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算3.1.3 空间向量的数量积运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5 空间向量运算的坐标表示3.2 立体几何中的向量方法数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数1.3.2 函数的极值与导数1.3.3 函数的最大（小）值与导数1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程1.5.3 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.2 复数的几何意义3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算数学选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分布乘法计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率2.2.2 事件的相互独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用理科选考内容（三选二）：数学选修4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用1.恒等变换2.旋转变换3.切变变换4.反射变换5.投影变换第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1. 逆变换与逆矩阵2. 逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1. 二元一次方程组的矩阵形式2. 逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1. 特征值与特征向量2. 特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1. A^nα的简单表示2. 特征向量在实际问题中的应用数学选修4-4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系1. 平面直角坐标系2. 平面直角坐标系中的伸缩变换二极坐标系1. 极坐标系的概念2. 极坐标和直角坐标的互化三简单曲线的极坐标方程1. 圆的极坐标方程2. 直线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介1. 柱坐标系2. 球坐标系第二讲参数方程一曲线的参数方程1. 参数方程的概念2. 圆的的参数方程3. 参数方程和普通方程的互化二圆锥曲线的参数方程1. 椭圆的参数方程2. 双曲线的参数方程3. 抛物线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线1. 渐开线2. 摆线数学选修4-5不等式选讲第一讲不等式与绝对值不等式一不等式1. 不等式的基本性质2. 基本不等式3. 三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1. 绝对值三角不等式2. 绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。

3.1.2函数的单调性第一课时单调性的定义与证明、函数的最值课标要求素养要求1.借助函数图像，会用不等式符号表达函数的单调性.2.理解函数单调性的作用和实际意义，了解函数最值的定义.3.在理解函数单调性定义的基础上，会用单调性的定义证明简单函数的单调性，能利用单调性求简单函数的最值、值域. 1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.2.加深对函数定义的理解，体会用符号形式表达单调性定义的必要性.3.在函数单调性的应用过程中，提升逻辑推理和数学运算素养.教材知识探究德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t 刚记忆完毕20分钟后60分钟后8～9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1 以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.艾滨浩斯问题(1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？提示(1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小.通过这个试验，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识.(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.1.函数单调性的定义定义中x1，x2的三个特征：①任意性：定义中“任意”二字不能去掉，应用时不能以特殊代替一般；②有大小；③同区间一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)，如图(1)所示；(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)，如图(2)所示.两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).2.单调性的性质在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.3.函数的最大值与最小值最值点与最值是两个不同的概念一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.教材拓展补遗[微判断]1.函数f(x)的定义域为I，如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1，x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数.(×)提示应该为∀x1，x2∈D，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则f(x)在区间D上为增函数.2.若f(x)在区间D上为减函数，则在此区间上函数值随自变量的增大而减小.(√)3.函数f(x)＝1x在(1，2]上无最大值，最小值为12，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.(√)4.若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).(√)[微训练]1.下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是()A.f(x)＝－1x B.f(x)＝xC.f(x)＝－x2D.f(x)＝1－x解析由函数的图像知f(x)＝1－x在(－∞，0)上为减函数，故选D. 答案 D2.若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为()A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.[1，＋∞)D.(－∞，1]解析因为f(x)＝ax－3在R上递增，所以a>0，故选B.答案 B3.已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图像如图.根据图像可知y＝f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________，最大值为________，最小值点为________.解析由图像可知f(x)在[－2，6]上的单调递增区间为[－2，－1]和[2，6]，单调递减区间为[－1，2]，f(x)的最大值为2，最小值点为2.答案[－2，－1]和[2，6][－1，2]2 2[微思考]1.f(x)在区间D上为增函数，且x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)，则x1，x2有什么大小关系？提示x1＜x2.2.f(x)的定义域为[a，c]，a＜b＜c，且f(x)在[a，b]上递减，在[b，c]上单调递增，则f(x)的最小值点能确定吗？f(x)一定有最大值吗？提示f(x)的最小值点为x＝b；f(x)一定有最大值.题型一判断或证明函数的单调性变形是关键，通常化为因式乘积形式【例1】已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明. 解(1)由x2－1≠0，得x≠±1，所以函数f(x)＝1x2－1的定义域为{x|x∈R且x≠±1}.(2)函数f(x)＝1x2－1在(1，＋∞)上单调递减.证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，那么f(x2)－f(x1)＝1x22－1－1x21－1＝（x1－x2）（x1＋x2）（x21－1）（x22－1）.由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，所以x21－1>0，x22－1>0，x1＋x2>0.又x1<x2，所以x1－x2<0，于是（x1－x2）（x1＋x2）（x21－1）（x22－1）<0，即f(x1)>f(x2)，因此，函数f(x)＝1x2－1在(1，＋∞)上单调递减.规律方法利用定义证明函数单调性的步骤：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.【训练1】证明函数f(x)＝x＋4x在区间(2，＋∞)上是增函数.证明任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，那么f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4（x2－x1）x1x2＝（x1－x2）（x1x2－4）x1x2.由x 1，x 2∈(2，＋∞)，得x 1>2，x 2>2.所以x 1x 2>4，x 1x 2－4>0，又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2). 所以函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数.题型二 求函数的单调区间在书写单调区间时，对区间端点的开闭不作要求，但若函数在区间某些点处无意义，单调区间一定不能含有这些点【例2】 已知函数f (x )＝x 2－4|x |＋3，x ∈R .(1)将函数写成分段函数的形式；(2)画出函数的图像；(3)根据图像写出它的单调区间.解 (1)f (x )＝x 2－4|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≥0，x 2＋4x ＋3，x <0.(2)函数的图像如图.(3)由图像可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞， －2]，[0，2].规律方法 1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图像容易作出，可作出其图像，根据图像写出其单调区间.2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，一般不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.【训练2】 (1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y ＝f (x )的图像，则函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________.(2)画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图像并写出函数的单调区间.(1)解析 观察图像可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5].答案 [－2，1]和[3，5] [－5，－2]和[1，3](2)解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0.函数的大致图像如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞).题型三 利用单调性比较大小、解不等式、求函数的最值(值域)注意函数的定义域；求函数最值常用方法：①单调性法；②图像法；③二次函数法等【例3】 (1)已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a ，b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( )A.f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )B.f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )C.f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )D.f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )(2)已知函数y ＝f (x )在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则实数a 的取值范围为________.(3)函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为________. 解析 (1)由题意知a ＋b ≤0，得到a ≤－b ，b ≤－a .∵f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ).故选D.(2)由题知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23. (3)易知y ＝1x －1在[2，3]上递减，∴y min ＝f (3)＝12. 答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 (3)12 规律方法 1.利用单调性比较大小的方法(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，例如：已知f (x )在区间D 上为增函数，则对x 1，x 2∈D ，x 1<x 2⇔f (x 1)<f (x 2).(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x 的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去.2.利用函数的单调性解不等式的方法当函数f (x )的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.【训练3】 (1)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系为________________(用“>”号连接).(2)已知函数f (x )为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是________.解析 (1)由题意知f (x )的对称轴为x ＝2，故f (1)＝f (3)，∵f (x )＝x 2＋bx ＋c 在[2，＋∞)上为增函数，∴f (2)<f (3)<f (4)，即f (2)<f (1)<f (4).(2)由题意得⎩⎨⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12. 答案 (1)f (4)>f (1)>f (2) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 题型四 利用单调性求参数的取值范围【例4】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b .若函数f (x )在区间[1，2]上不单调，求实数a 的取值范围.解 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的对称轴为x ＝－a 2，又f (x )在区间[1，2]上不单调，∴1<－a 2<2，即－4<a <－2， 即a 的取值范围为(－4，－2).【迁移1】 函数不变，若f (x )在[1，2]上单调，求实数a 的取值范围.解 若f (x )在[1，2]上单调，则－a 2≤1或－a 2≥2，即a ≥－2或a ≤－4，即a 的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，＋∞).【迁移2】 函数不变，若函数f (x )在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f (m ＋2)<f (2)，求实数m 的取值范围.解 ∵f (x )在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，∴－a 2＝1，∴a ＝－2.如图.∵f (m ＋2)<f (2)，且f (0)＝f (2)，∴0<m ＋2<2，∴－2<m <0，则实数m 的取值范围为(－2，0).【迁移3】 函数不变，若f (x )的单调递增区间为[2，＋∞)，求a 的值.解 ∵f (x )的对称轴为x ＝－a 2，且递增区间为[2，＋∞)，∴－a 2＝2，∴a ＝－4.规律方法 由函数单调性求参数范围的处理方法是：(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.若为复合函数y ＝|f (x )|或y ＝f (|x |)——数形结合，探求参数满足的条件.(2)抽象函数求参数：依据单调增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a )>f (b )⇔a >b (a <b )；方法：依据函数单调性的特点去掉“f ”，转化为不等式求解. 【训练4】 已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0).(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数.(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值.(1)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1 ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， 所以f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数.(2)解 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2. 所以a ＝25一、素养落地1.通过本节课的学习，能够养成规范化思考问题的习惯，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.2.函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质，这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集.3.若函数f (x )在其定义域的两个区间A ，B 上都是增(减)函数，一般不能简单认为f (x )在A ∪B 上是增(减)函数.4.利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小.二、素养训练1.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A.y ＝2x ＋1B.y ＝x 2＋1C.y ＝3－xD.y ＝x 2＋2x ＋1解析 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数.答案 C2.函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图像如图所示，则函数的最大值、最小值分别为()A.f (2)，f (－2)B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－1) C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (0) 解析 由图像可知f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，故选C. 答案 C3.若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是________.解析 由题意a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.答案 ±24.定义在(－2，2)上的函数f (x )是增函数，且满足f (1－a )<f (a )，则实数a 的取值范围是________.解析由题设知实数a 应满足：⎩⎪⎨⎪⎧－2<1－a <2，－2<a <2，1－a <a ，解得12<a <2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x >1是减函数，求实数a 的取值范围. 解 由题意得，要使f (x )是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a ，即a ≤5.故实数a 的取值范围为(－∞，5].基础达标一、选择题1.函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图像如图所示，则f(x)的增区间是()A.[－4，4]B.[－4，－3]∪[1，4]C.[－3，1]D.[－3，4]解析由图像知增区间为[－3，1]，故选C.答案 C2.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A.y＝5－xB.y＝x2＋2C.y＝1x D.y＝－|x|解析选项A，C，D中的函数在(0，2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上是增函数.答案 B3.函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A.(－∞，－3)B.(0，＋∞)C.(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析∵f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，∴2m>－m＋9，即m>3，故选C.答案 C4.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为()A.3，5B.－3，5C.1，5D.5，－3解析因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.答案 B5.已知定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x)的对称轴为x ＝4，则( )A.f (2)>f (3)B.f (2)>f (5)C.f (3)>f (5)D.f (3)>f (6)解析 ∵f (x )关于x ＝4对称且在(4，＋∞)上为减函数，∴f (x )在(－∞，4)上为增函数，且f (5)＝f (3)，f (6)＝f (2)，∴f (5)＝f (3)>f (2)＝f (6)，故选D.答案 D二、填空题6.函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________. 解析 函数f (x )＝1x ＋1的单调减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f (x )在(a ，＋∞)上单调递减，所以a ≥－1.答案 [－1，＋∞)7.函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上的最大值为________.解析 ∵函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝6－2－3×2＝－4.答案 －48.函数y ＝f (x )在(－2，2)上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是________.解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2<2m <2，－2<－m ＋1<2，2m >－m ＋1，解得13<m <1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 三、解答题9.已知函数f (x )＝mx ＋1nx ＋12(m ，n 是常数)，且f (1)＝2，f (2)＝114.(1)求m ，n 的值；(2)当x ∈[1，＋∞)时，判断f (x )的单调性并用定义证明.解 (1)因为f (1)＝m ＋1n ＋12＝2，f (2)＝2m ＋12n ＋12＝114.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x ＋12x ＋12.f (x )在x ∈[1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 2＋12 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2 ＝（x 1－x 2）（2x 1x 2－1）2x 1x 2. 因为1≤x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2x 1x 2>2>1，所以（x 1－x 2）（2x 1x 2－1）2x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增.10.求函数f (x )＝x ＋9x (x >0)的单调区间，并指出函数的最小值.解 设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋9x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋9x 2 ＝(x 1－x 2)－9（x 1－x 2）x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－9）x 1x 2.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0.由于x 1x 2－9的符号不能确定，因此需要对x 1，x 2的取值进行讨论.当x 1，x 2∈(0，3]时，有x 1x 2－9<0，所以（x 1－x 2）（x 1x 2－9）x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在区间(0，3]上是减函数；当x 1，x 2∈[3，＋∞)时，有x 1x 2－9>0，所以（x 1－x 2）（x 1x 2－9）x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在区间[3，＋∞)上是增函数.综上可知，函数f (x )＝x ＋9x (x >0)的单调递减区间是(0，3]，单调递增区间是[3，＋∞).故f (x )的最小值为f (3)＝6.能力提升11.判断函数f (x )＝ax x 2－1(a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性. 解 任取x 1，x 2∈(－1，1)且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1（x 22－1）－ax 2（x 21－1）（x 21－1）（x 22－1） ＝ax 1x 2（x 2－x 1）＋a （x 2－x 1）（x 21－1）（x 22－1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2＋1）（x 21－1）（x 22－1）. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 21－1<0，x 22－1<0，x 1x 2＋1>0，x 2－x 1>0.∴当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－1，1)上为减函数.当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－1，1)上为增函数.综上，当a >0时，f (x )在(－1，1)上为减函数，当a <0时，f (x )在(－1，1)上为增函数.12.若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y ). (1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<2. 解 (1)在f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )中， 令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<2＝f (6)＋f (6)， ∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32<f (6). ∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎨⎧x ＋32>0，x ＋32<6， 解得－3<x <9.即不等式的解集为(－3，9).。

极值知识点总结一、极大值和极小值在数学中，极大值和极小值是极值的两种形式。

在一个给定的函数上，极大值指函数在某个点上的最大值，而极小值指函数在某个点上的最小值。

1.1 极大值一个函数在某个点上的极大值是指在这个点的邻域内，函数值最大的值。

如果存在一个点x0，对于任意满足|x-x0|<δ的x，f(x)≤f(x0)，那么f(x0)就是函数f(x)在x0处的极大值。

1.2 极小值同样地，一个函数在某个点上的极小值是指在这个点的邻域内，函数值最小的值。

如果存在一个点x0，对于任意满足|x-x0|<δ的x，f(x)≥f(x0)，那么f(x0)就是函数f(x)在x0处的极小值。

1.3 区间极值定理对于一个连续函数f(x)，如果函数在一个闭区间[a, b]上连续，在内部开区间(a, b)上可导，那么函数在[a, b]上至少有一个极大值和一个极小值。

1.4 极值的必要条件如果一个函数在某一点上的极值，那么该点一定是一个驻点。

这是因为一个函数在极值点上的导数一定为零，所以导数为零是函数极值的必要条件。

1.5 极值的充分条件如果一个函数在某一点上的二阶导数存在，并且在该点的二阶导数为正，那么该点为极小值点；如果二阶导数为负，则为极大值点。

1.6 极值的判定方法判断一个函数在某一点上的极值，可以通过求导数来进行判定。

求得导数后，把导数等于零的点称为临界点。

在临界点上求得的函数值即为该点的极值。

二、求解极值的方法2.1 开闭区间法对于一个函数在一个区间[a, b]上的极值，可以先求得在区间内部的导数和端点的函数值，然后通过比较得到极值的位置。

2.2 二次函数法对于一个二次函数，可以通过求导得到导函数，然后通过导函数的判定方法求得极值点的位置。

2.3 拐点法对于一个函数，如果在某点的导数从正变为负，或者从负变为正，那么该点就是函数的极值点。

这就叫做拐点法。

2.4 点与切线法对于一个函数，在某一点的切线斜率为零时，该点为极值点。