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鸽巢原理及其应用+6

学号：20115034032

学院数学与信息科学学院

专业信息与计算科学

年级2011级

姓名陈婷婷

论文题目鸽巢原理及其应用

指导教师沈明辉职称教授

成绩

2014年3月16日

学年论文成绩评定表评语

成绩：

指导教师(签名):

201 年月日学院意见：____________________ 学院院长(签名):

201 年月日

摘要 (1)

关键字 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

前言 (2)

1.鸽巢原理 (2)

1.1 鸽巢原理的简单形式 (2)

1.2 鸽巢原理的一般形式 (3)

1.3 鸽巢原理的加强形式 (3)

2. 鸽巢原理的相关推论 (4)

3.鸽巢原理的应用 (6)

3.1 鸽巢原理应用于数的整除关系 (6)

3.2 鸽巢原理应用于实际生活 (7)

参考文献 (9)

鸽巢原理及其应用

姓名：陈婷婷学号：20115034032

数学与信息科学学院信息与计算科学专业

指导老师：沈明辉职称：教授

摘要：鸽巢原理是组合数学中研究存在性问题的基本原理之一,也是非常规解题方法的重要类型之一，在数论和组合论中有着广泛的应用. 本文简单介绍了鸽巢原理的几种形式，便于了解鸽巢原理到底是什么东西.本文主要研究鸽巢原理和其原理的应用.应用主要从数学领域的应用和现实生活中的应用两大方面进行研究，数学领域方面主要应用于整除关系的证明等几方面的解题.

关键字：鸽巢原理; 组合数学; 鸽巢原理的应用

Pigeonhole principle and the application of the pigeonhole Abstract:Pigeonhole principle is a mathematical combination of problem of the existence of one of the basic principles of nonconventional problem solving method , is also one of the important types in number theory and combination has a wide range of applications. This paper briefly introduces the principle of Pigeonhole in several forms, easy to understand what the Pigeonhole principle is. This paper mainly studies the principle of Pigeonhole principle and the application of the principle. Application mainly from the mathematical field of application and the reality of life in the application of the two major aspects of research, mathematical fields mainly used in number theory, algebra, geometry and so on several aspects of the problem solving, in real life, most used computer fortune-telling, predict some existence results etc..

Key words:Pigeonhole principle；Mathematical combination ；The application of the principle

前言：在组合数学中，证明某种排列或模式存在的一个应用最广泛的工具是鸽巢原理.这一原理也称狄利克雷抽屉原理或鞋盒原理.它和容斥原理一样，是组合分析中的一个重要的原则.它可以用来解决组合分析中许多“存在性”问题，并且常常得到一些令人惊异的结果.下面我们主要研究鸽巢原理的基本形式及其扩展形式和应用.

1.鸽巢原理

1.1 鸽巢原理的简单形式

定理一如果把n+1个物体放入n 个盒子中去，则至少有一个盒子放有两个或更多的物体.

证明（反证法）假设n 个盒子中的每个盒子里至多放入了一个物体，则放入n 个盒子中的物体总数至多为n 个，这与题设“共有n+1个物体”相矛盾，所以知道假设是错误的，从而证明了至少有一个盒子中放有两个或更多的物体.

定理一仅能被用于证明一个排列或某种现象的存在性，不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示.

例一在一次舞会上，来了来了来了n 位舞伴，彼此认识的握手问候，证明：在无论什么情况下，这n 位舞伴中至少有两个人握手的次数一样多.

证有已知条件可知，这n 位舞伴中，每个人握手的次数最少有0次，最多有n-1次，比如，如果有一位舞伴握手的次数是0次，那么其他舞伴握手的次数最多不能多于n-2次，即握手次数为0,1,2，...,n-2;如果有一位舞伴握手的次数是n-1次，那么其他舞伴握手次数最少不能少于1次，即握手次数为1,2，...,n-1.

总之，这n 位舞伴按照其握手次数归入相应的“抽屉”，则根据抽屉原理可知，至少有两个人属于同一抽屉，即可得这两个人握手次数一样多.

例2 设1234,,,a a a a 为任意四个整数，1234,,,b b b b 为1224,,,a a a a 的任一排列，则11223344,,,b a b a b a b a ----中必有两个数之差是3的倍数.

证明既然123,,,b b b b 4是1234,,,a a a a 的一个排列，显然

11223344,,,b a b a b a b a ----为四个整数，

这四个整数被3整除的余数只能是0,1,2中的一个，于是按余数的情形构造3个抽屉，把这4个数1122334,,,b a b a b a b a

----视为四个物体，放入这3个抽屉中去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里面放了两个或两个以上的物体，不妨设这两个数为i i b a -与j j b a -,显然有

()mod3i i j j b a b a -?

根据同余与整除的关系，有

()()3i i j j b a b a 轾---犏臌

从而11223344,,,b a b a b a b a ----中必有两个数之差是3的倍数.

1.2 鸽巢原理的一般形式

定理1就可以叙述为：如果把n+1=2+2+....+2-n+1个物体放入n 个盒子中去，则至少存在一个i(i=1,2,...,n),使得第i 个盒子中至少放有两个物体，设想，如果将2+2+....+2-n+1中的第i 个2改为正整数i q (i=1,2,...,n),就得到鸽巢原理的一般形式.

定理2 设qi 是正整数（i=1,2,...n),12...1n q q q q n ?++-+,如果将q 个物体放入n 个盒子中去，则必存在一个i ，使得第i 个盒子中至少有i q 个物体. 证明（反证法）假设结论不成立，即对每个i,第i 个盒子中至多放有1i q -个物体，从而这n 个盒子放入的物体的总数最多为()1i q -的和=i q -n

1.3 鸽巢原理的加强形式

定理 3 设A 是有限集，12,,...,n q q q 都是正整数，如果

|A|>=12...1n q q q n +++-+,i A A í(i=1,2,,..n),且1

i i A A == ，则必有正正是

k(1k

n ＃),使得k k A q 3.

证明（反证法）假设有正整数k(1k

n ＃)使得1k i A q ?(i=1,2,,...,n),此时 ()1211111...n n n n i i

i n i i i i A A A q q q q n =====＃-=+++-邋 ,

这与12...1n A q q q n ?++-+矛盾，所以假设不成立，因此，必有正整数k(1k n ＃),使得k k A q 3.

例5 随意的给正方形的8个顶点编上号码1,2，...,8,求证：必有一个顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点的号码之和不小于14.

证明以128,,...,A A A 表示的8个顶点，以i q (i=1,2,,...,8)表示顶点i A 及与i A 相邻的两个顶点的号码之和，则

()()128...12...8310814181q q q +++=+++?>-?

有定理3，必有正正是k （18k ＃）,使得14k q 3,这表示必有一个顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点的号码之和不小于14.

2. 鸽巢原理的相关推论

在上一节中我们介绍了鸽巢原理的基本形式及其简单证明，但是对于一些更为复杂的，有关存在性的组合问题，鸽巢原理的基本形式显得无能为力，为此，本节将对鸽巢原理进行更为一步的深入研究，以得到某些推论.

在定理2中，若12...n q q q r ====,则可以得到下面的结论.

推论1 如果把n(r-1)+1个物体放入n 个盒子中，则至少存在一个盒子放有不少于r 个物体.

例1 分别将两个大小不一的圆盘分成100个相等的扇形，在大圆盘上任意选取50个扇形染成红色，将其余50个大扇形染成蓝色，并将小圆盘上的100小扇形上的每一个任意的染成红色或蓝色，然后将小圆盘放在大圆盘上面，使得两个圆盘的中心重合，这样，转动小圆盘能使其每一个扇形都能叠放于大圆盘上的某一扇形内，证明：当适当转动小圆盘时，可使叠放的扇形对中，同色者至少有50对.

证明小圆盘的每个扇形都叠放于大圆盘的一个扇形中，有100中可能的位置，所以将这100种可能位置看做100个不同的盒子，在这100种可能位置中，将同色的扇形对看做放入盒子中的物体，小圆盘的每一扇形都有50次配成同色的扇形对，因此这样的扇形对一共有10050′个，而()100501005011??+,有推论知，至少有一种小圆盘与大圆盘的叠放方式，可使叠放的扇形中至少有50个同色的扇形对.

例2 在某中学A 班有50名学生，其中年龄最小的是15岁，最大的是16岁，证明这个班至少有三个学生是同年同月生的.

证明 50>49=2′(25-1)+1,由于年龄最小的是15岁，最大的是16岁，故将15岁，16岁看最2个“盒子”，将50名学生放入这2个“盒子”中。有鸽巢原理推论1知：至少有一个“盒子”中放有25名学生，即至少有25名学生同岁，也就是说这25名学生同年生，再将十二个月份分为12个“盒子”，将这25名同年生的学生放入这12个“盒子”中，因为()2512311?+,故有推论1知，至少有一个“盒子”中放有3名学生，即在此25个同年生的学生中至少有3个人是同月生的，故这个班中至少有3个人是同年同月生的.

推论 2 对于任意n 个正整数12,,...,n m m m ,如果这n 个整数满足不等式()121...1n m m m r n

+++>-,则12,,...,n m m m 中至少有一个不小于r. 证明(反证法) 假设对所有的12,,...,n m m m ,都有12,,...,n m m m 小于r,即()11,2,...,i m r i n ?=,于是

()12...1n m m m nr n n r +++?=-

所以

()121...1n m m m r n

+++? 这与()121...1n m m m r n +++>-矛盾，因此，假设不成立，原命题成立，所以12,,...,n m m m 中至少有一个不小于r 的结论成立.

推论3 m 只鸽子，n 个鸽巢，则至少有一个鸽巢里有不少于1m n

轾-犏犏臌只鸽子.

注：这里的符号“[]”为取整符号，即[x]表示不超过x 的最大整数.

至此，本章总结了鸽巢原理的表现形式及其推论，虽然原理的表述比较简单，但是应用原理证明问题的时候，构造鸽巢的方法是比较不容易得到的.

3.鸽巢原理的应用

运用鸽巢原理的关键是“制造抽屉”及“元素”。通常，可采用把n 个鸽子进行合理分类的方法来制造抽屉，本节将主要研究鸽巢原理早代数学，几何学以及日常生活中的应用.

3.1 鸽巢原理应用于数的整除关系

鸽巢原理与数的整除关系，在解决有关数的整除问题时，往往将余数作为“抽屉”，将整数看做放入抽屉的“物体”，最后利用鸽巢原理解决整数的相关问题.

例1 设1232012,,,...,a a a a 是2012个任意正整数的序列，则至少存在整数k 和

l,12012k l ＃ ,使得和12...k k l a a a +++++是2012的倍数.

证明构造数列：

1121231232012122012,,,...,...s a s a a s a a a s a a a ==+=++=+++，

由于每一个i a 均为正整数，所以，122012...s s s <<<,有两种可能：

(1) 存在某一个n s 是2012的倍数，则定理已得证.

(2) 假设在上面的序列中没有任何一个元素师2012的倍数，用模2012的剩余类012011,,...,K K K 做成2012个鸽巢，有假设，122012,,...,S S S 均不属于0k 中，从而122012,,...,s s s 做成2012个鸽巢，有假设，122012,,...,s s s 均不属于0K 中，从而122012,,...,s s s 这2012个数应属于012011,,...,K K K 这2011个鸽巢，于是根据鸽巢原理，有一个i K 至少被放入了两个数，不妨设为,k l s s .

12112...,...k k l s a a a s a a a =+++=+++

这样2012|()k l s s -即

201212|(...),k k l a a a +++++

也就是和12...k k l a a a +++++是2012的倍数.

证明因为1997是奇数，故排列1,2，...,1997中共有999个奇数，121997,,...,a a a 中也共有999个奇数，因此，在1,2,....,1997中共有2′999=1998个奇数，把1998个奇数看做“物体”放入1997个盒子中，必有两个奇数在同一个盒子中，其对应的差为偶数，设这两个奇数为i a 和j a (i=1,2,...,n),则可得i a i -为偶数，进而可得出乘积121997(1)(2)...(1997)a a a ---是一个偶数，故本题结论成立.

例3 证明：在任意27个整数中，必存在两个数，其和或差能被50整除. 证明设27个整数为1227,,...,a a a ,他们被50除的余数分别为1227,,...,r r r ,而任意一整数被50除的可能余数为0,1,2，...,49,共50个，它可分为26个类：{}}{}{}{{}0,1,49,2,48,...,24,26,25.

将26个类看做鸽巢，27个余数看为鸽子，则27个鸽子放入26个鸽巢中，有鸽巢原理知，至少有两个鸽子属于同一类，例如,i j r r ，于是i j r r =或50i j r r +=，这就是说i j a a -可被50整除.

例4 任意给定1008个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是2013的倍数.

解以整数除以2013的余数0,1,2，...,2012为标准，制造2013个抽屉，标以[][][][]0,1,2,...,2012.在做调整，[][]2011,2012这两个抽屉分别与[][]2,1合并，...,则可得1007个抽屉，任意给定1008个不同的自然数放入这1007个抽屉，则至少有一个抽屉里有两个数，他们的和或差是2013的倍数.

由此可见，鸽巢原理在整除关系的应用中具有重要的作用，为解决数的整除关系问题提供了很好的方法.

3.2 鸽巢原理应用于实际生活

例1 某单位举行踩气球比赛，共有21人参加，共有181个气球，其中最少一人能踩5个气球，最多一人能踩10个气球，则至少有5人踩气球的数量相同.

分析按踩起球的多少，从5到10个气球可以构造6个抽屉，这个问题就转化为至少有5人踩气球的数量在同一个抽屉里.

证明(反证法) 按踩气球的多少，从5到10个气球可以构造6个抽屉，假

设无5人或5人以上踩气球的数量在同一个抽屉，那只有5人以下踩气球的数量

在同一个抽屉里，而踩气球的人数为21人，所以，每个抽屉最多有4人，故踩

气球总数量最多有

4(5+6+...+10)=180<181,

得出矛盾，因此，至少有5人踩气球的数量相同.

例2 某校有55个同学参加英语比赛，已知将参赛人任意分成四组，则必

有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛者男生的

人数为多少人？

解因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有

?=(人)，因为任意10人中必有男生，所以女生的人数至多有9人，所4219

以女生有9人，男生有55-9=46(人).

例3 11名学生到老师家借书，老师的书房有A,B,C,D四类书，每名学生最

多可借两本不同的书，最少借一本，试证明必有两个学生所借的书的类型相同.

证明若学生只借一本书，则不同的类型有A,B,C,D四种，若学生借两本不

同类型的书，则不同类型有AB,AC,AD,BC,,BD,CD六种.共有10种类型，把这10

种类型看做10个抽屉，把11个学生看做11个“苹果”.如果谁借哪种类型的书，

就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借书的类型相同.

例4 某一制造铁盘的工厂，由于设备和技术的原因只能将生产铁盘的重量

控制在50克到50.1克之间.现需要制成重量相差不超过0.005.克的两铁盘来配

置一架天平，问该工厂至少要生产多少铁盘才能保证得到一对符合要求的铁盘.

解将铁盘按重量分类，所以50克到50.005.克的分为一类，50.005.克到

50.01.克的分为一类，50.01克到50.015克的又分为一类，...，最后，50.095

克到50.1克为一类，共计20类视为20个鸽巢，由鸽巢原理知，若该工厂生产

21个铁盘，那么就有两个铁盘属于同一类，他们之间的重量不超过0.005克，

故该工厂要生产21个铁盘才能得到一对符合要求的铁盘.

例5 证明：在任意的一群人中，一定有这样的两个人，他们在这群人中有

相同个数的熟人(某人与自己不算熟人).

证明(归纳法) 设任意一群人的个数为n，且2

n3.(因为n=1时，不成其为

一个人群).

当n=2时，这两个人或者相互是熟人或者相互是生人，当这两人是熟人时，则他们的熟人都是1个人.当着两个人互相不认识时，他们的熟人都是0.故当n=2时，结论成立.

当3n 3,假设i x (i=1,2,...,n)表示第i

个人的数人数目，下面分三种情况讨论.

(1) 假设这群人中每个人都是熟人，即0i x 1且11i x n ＃-.视12,,...,n x x x 为n 个物体，1,2，...,n-1为n-1个盒子.这样一来，问题就成为把n 个物体放入n-1个盒子的问题了.有鸽巢原理知至少有两个物体放在同一个盒子中，不妨设k x 与l x 在同一个中(k l 1),即k l x x =.这表明第k 个人与第l 个人有相同数目的熟人.在这种情况下，结论成立.

(2) 假设这群人中只有1个人没有熟人，不妨设这个人就是第n 个人，即0n x =且12i x n ＃-(i=1,2,..,n-1).同样，视121,,...,n x x x -为n-1个物体，视

1,2，...,n-2为n-2个盒子，则由鸽巢原理知至少有一个盒子里放了两个物体.不妨设k x 与l x (,1,1k l k n l n 梗-?)在同一个盒子里，即k l x x =.故第k 个人与第l 个人的数人数目相同，故在此情况下，结论成立.

(3) 假设在这群人中至少有两个人都没有熟人，也就是说这两个人的熟人数目为0，故在此情况下，结论依然成立.

综上所述，结论成立.

从上面的例题中可以充分的说明鸽巢原理为我们的生活带来了很大的方便.

参考文献:

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社,2010:9

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[5] 卢开澄,卢华明.组合数学(第三版)[M].北京:清华大学出版社,2002

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[13] 康庆德.组合数学趣话[M].河北:河北科学技术出版社,1999

人教版六年级下册数学_鸽巢问题(精品)

第5单元数学广角——鸽巢问题汪村中心小学钱少华第3课时鸽巢问题（3）【学习目标】 1．能通过观察、比较、判断、归纳等方法，寻找隐藏在实际问题背后的“抽屉问题”的一般模型。 2．能够根据“抽屉原理”解决生活中的实际问题。【学习过程】一、知识铺垫把n+1个物体放入n个抽屉,总有： _____________________________________。把 a个物体放进n个抽屉，如果a÷n=b……c（c≠0），那么： _________________________________________________________。二、自主探究 1.盒子里有同样大小的红球和蓝球各四个。要想摸出的球一定有两个同色的，最少要摸出几个球？我的猜想:_____________________________________________。 2.小组内说一说：你是怎么思考的？ 3.跟我们前面学过的“抽屉原理”有什么联系吗？我发现：______________________________________________ ________________________________________。

4.小结：在本题中，一共有红、蓝两种颜色的球，就可以把两种“颜色”看成两个_______, “同色”就意味着________,要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多_____。 5. 三、课堂达标 1．王东玩掷骰子游戏，要保证掷出的骰子总数至少有两次相同，他最少应掷（）次。 A．5 B．6 C．7 D．8 2．张阿姨给孩子买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子的颜色一样，她至少有（）孩子。 A．2 B．3 C．4 D．6 3．瓶子里有同样大小的红球和黄球各5个。要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出（）个球 A．2 B．3 C．4 D．5 4．李叔叔要给房间的四面墙壁涂上不同的颜色，但结果是至少有两面的颜色是一致的，料的颜色最多有（）种。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 6．同心小学6.共有370名学生，其中六（2）班有49名学生。请问下面两人说的对吗？为什么？生1：“6.里一定有两人的生日是同一天。” 生2：“六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。

六年级鸽巢问题

教学辅导教案学科任课教师：授课时间：年月日(星期) 鸽巢问题基础知识点 1.鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此,也称为狭利克雷原理。把3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。 2. 鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。如：将4支铅笔放入3个笔筒，总有一个笔筒至少有2支铅笔，“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。 3. 鸽巢原理（二）：如果把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。如：把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式物体个数÷鸽巣个数=商……余数至少个数=商+1 摸同色球计算方法：①要保证摸出同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。物体数＝颜色数×（相同颜色数－1）＋1 ②极端思想（最坏打算）：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。鸽巢问题的计算总结：

二、例题讲解： 1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业求证：这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业。 2、班上有50名学生，将书分给大家,至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。 3、木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 4、把红、白、蓝三种颜色的球各10个放到一个袋子里，至少取多少个球，可以保证取到3个颜色相同的球。 5、证明：某班有52名学生，至少有5个人在同一个月出生？ 6、一幅扑克牌除大小王有52张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的花色？ 7、幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理。 8、学校图书馆里科普读物、故事书、连环画三种图书。每个学生从中任意借阅两本，那么至少要几个学生借阅才能保证其中一定有2人借阅的读书相同？ 9、某班有学生49名，在这一次的英语期中考试中，除3人以外，分数都在85分以上，是否可以推断，至少有几人的分数会一样？三、课堂练习 1、6只鸡放进5个鸡笼，至少有几只鸡要放进同一个鸡笼里。 2、400人中至少有两个人的生日相同，请证明。 3、红、黄、蓝、白四色小球各10个，混合放在一个暗盒中，一次至少摸出多少个，才能保证有6个小球是同色的。 4、有一个晚上你的房间的电灯忽然间坏了，伸手不见五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的袜子。你有三双分别为红、白、蓝颜色的袜子，可是你在黑暗中不能知道哪一双是颜色相同的。你想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成同颜色的一双。这最少数目应该是多少？ 5、某班有42人开展读书活动，他们从学校图书馆借了212本图书，那么其中至少有一人借多少本书？ 6、学校五(一)班40名学生中，年龄最大的是13岁，最小的是11岁，那么其中必有几名学生是同年同月出生的。

六年级下数学广角-鸽巢问题知识点

第五单元：数学广角－鸽巢问题【知识点一】“鸽巢原理”（一） “鸽巢原理”（一）：把ｍ个物体任意分放进ｎ个鸽巢中（ｍ和ｎ是非０自然数，且ｍ＞ｎ），那么一定有一个鸽巢中至少放进了２个物体。【知识点二】“鸽巢原理”（二） “鸽巢原理”（二）：把多于ｋｎ个物体任意分进ｎ个鸽巢中（ｋ和ｎ是非０自然数），那么一定有一个鸽巢中至少放进了（ｋ＋１）个物体。【知识点三】应用“鸽巢原理”解决简单的实际问题应用“鸽巢原理”解题的一般步骤（１）分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”，即弄清楚“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。（２）设计“鸽巢”的具体形式。（３）运用原理得出某个“鸽巢”中至少分放的物体个数，最终解决问题。【误区警示】误区一：判断：因为１１÷３＝３．．．．２，所以把１１本书放进３个抽屉中，总有一个抽屉里至少放５本书。（√）错解分析此题错在把这个抽屉至少放的书的本数用“３（商）＋２（余数）” 计算了，应该是“３（商）＋１”。错解改正× 误区二：有红、绿、蓝三种颜色的小球各５个，至少取出几个能保证有２个同色的？５×３÷３＝５（个）错解分析此题错在把小球的总数作为要分放物体的数量了，求得的结果也是与问题要求不符。本题属于已知鸽巢数量（３中颜色即３个鸽巢）和分的结果（保证一个鸽巢里至少有２个同色的），求要分放物体的数量，各种颜色小球的数量并与参与运算。错解改正３＋１＝４（个）【方法运用】运用逆推法解决鸽巢问题典型例题把２５个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有５个玻璃球？

思路分析由“鸽巢原理”（二）可知，用分放的物体总数除以鸽巢数量求出平均每个鸽巢里所放物体的数量和余数，其中至少有一个鸽巢中有（平均每个鸽巢里所放物体的数量＋１）个物体。此题可以把玻璃球的总数看成分放的物体总数，把盒子数看成鸽巢数，要使其中一个鸽巢里至少有５个玻璃球，则玻璃球的个数至少要比鸽巢数的（５－１）倍多１个。正确解答（２５－１）÷（５－１）＝６个（个）方法总结（分放的物体总数－１）÷（其中一个鸽巢里至少有的物体个数－１）＝ａ．．．．ｂ（ａ．ｂ为自然数，且ｂ＞ａ），则ａ就是所求的鸽巢数。典型例题平安路小学组织８６２名同学去参观甲、乙、丙处景点。规定每名同学至少参观一处，最多可以参观两处，至少有多少名同学参观的景点相同？思路分析参观甲、乙、丙３处景点，若只参观一处，则有３种参观方案；若参观两处，则有“甲乙、乙丙和甲丙”这３种参观方案。所以，一共有３＋３＝６（种）参观方案。求至少有多少名同学参观的景点相同，可以转化为“鸽巢问题”解答，把８６２名同学看成要分放的物体，把６中参观方案看成６个鸽巢。正确解答３＋３＝６（种）８６２÷６＝１４３（名）．．．．．４（名）１４３＋１＝１４４（名）【综合测评】１、（１）小东玩掷骰子游戏（掷一枚骰子），要保证掷出的骰子数至少有两次是相同的，小东至少应该掷（）次（２）李阿姨给幼儿园的孩子买衣服，有红、黄、白３种颜色，结果总是至少有２个孩子的衣服颜色一样，她至少给（）个孩子买衣服。２、１１名学生到老师家借书，老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类型的书，最少可借一本。至少有几名学生所借的书的类型完全相同？

《鸽巢原理(1)》教案

《鸽巢原理（1）》名师教案一、学习目标（一）学习内容《义务教育教科书数学》（人教版）六年级下册第五单元第68～69页的例1、2。“抽屉原理”是一类较为抽象和艰涩的数学问题，对全体学生而言具有一定的挑战性。为此，教材选择了一些常见的、熟悉的事物作为学习内容，经历将具体问题“数学化”的过程。（二）核心能力经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想，发展抽象能力、推理能力和应用能力。（三）学习目标 1.理解“鸽巢原理”的基本形式，并能初步运用“鸽巢原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。 2.通过操作、观察、比较、说理等数学活动，经历鸽巢原理的形成活动，初步形成模型思想，发展抽象能力、推理能力和应用能力。（四）学习重点了解简单的鸽巢问题，理解“总有”和“至少”的含义。（五）学习难点运用“鸽巢原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。（六）配套资源实施资源：《鸽巢原理（1）》名师课件二、学习设计（一）课堂设计 1.谈话导入师：我这里有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，我请一位同学任意抽5张，不要让我看到你抽的是什么牌。但是老师却知道，其中至少有两张牌是同种花色的，再找一个学生再次证明。师：看来我两次都猜对了。谢谢你们。老师为什么能料事如神呢？到底有什么秘诀呢？学习完这节课以后大家就知道了。

2.问题探究（1）呈现问题，引出探究出示例1：小明说“把4支铅笔放进3个笔筒里。不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2支铅笔”，他说得对吗？请说明理由。师：“总有”是什么意思？“至少”有2支是什么意思？学生自由发言。预设：一定有不少于两只，可能是2支，也可能是多于2支。就是不能少于2支。（2）体验探究，建立模型师：好的，看来大家已经理解题目的意思了。那么把4支铅笔放进3个笔筒里，可以怎样放？有几种不同的摆法？（我们用小棒和纸杯分别表示铅笔和笔筒）请大家摆摆看，看有什么发现？小组活动：学生思考，摆放。 ①枚举法师：大部分同学都摆完了，谁能说说你们是怎么摆的。能不能边摆边给大家说。预设1：可以在第一个笔筒里放4支铅笔，其它两个空着。师：这种放法可以记作：（4，0，0），这4支铅笔一定要放在第一个笔筒里吗？（不一定，也可能放在其它笔筒里。）师：对，也可以记作（0，4，0）或者（0，0，4），但是，不管放在哪个笔筒里，总有一个笔筒里放进4支铅笔。还可以怎么放？预设2：第一个笔筒里放3支铅笔，第二个笔筒里放1支，第三个笔筒空着。师：这种放法可以记作（3，1，0）师：这3支铅笔一定要放在第一个笔筒里吗？（不一定）师：但是不管怎么放——总有一个笔筒里放进3支铅笔。预设3：还可以在第一个笔筒里放2支，第二个笔筒里也放2支，第三个笔

六年级数学-鸽巢问题

第十讲鸽巢问题鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。类似的,如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。如：将4支铅笔放入3个笔筒，总有一个笔筒至少有2支铅笔，“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。鸽巢原理（二）：如果把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1）个物体。如：把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣，可以得到鸽巣原理最简单的表达形式物体个数宁鸽巣个数二商……余数至少个数二商+1 摸同色球计算方法： ①要保证摸出同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。物体数=颜色数x（相同颜色数—1）+ 1 ②极端思想（最坏打算）：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。

1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业求证：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业 2、班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。 3、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 4、把红、白、蓝三种颜色的球各10个放到一个袋子里，至少取多少个球，可以保证取到3个颜色相同的球。 5、证明：某班有52名学生，至少有5个人在同一个月出生 6、一幅扑克牌除大小王有52张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2 张牌有相同的点数？最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的花色? 7、幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件, 那么不

人教版数学六年级下册鸽巢问题

《鸽巢问题》教学反思日照第四小学朱玉雪数学广角的教学是为了丰盛学生解决问题的方法和策略，使学生感受到数学的魅力。本节课我让学生经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解了“鸽巢原理”，并能够应用于实际，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维。一、情境导入，初步感知兴趣是最佳的老师。在导入新课时，我让四人玩“抢凳子”的游戏，这个游戏虽简单却能真实的反映“鸽巢原理”的本质。通过小游戏，一下就抓住学生的注意力，有用地调动和激发学生的学习主动性和兴趣，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。二、活动中恰当引导，建立模型采用列举法，让学生把4枝铅笔放入3个笔筒中的所有情况通过摆一摆、画一画或写一写等方式都列举出来，运用直观的方式，发现并描述,理解最简单的“鸽巢原理”即“铅笔数比笔筒数多1时，总有一个笔筒里至少有2枝笔”。在例2的教学时，让学生借助直观操作发现列举法适用于数字较小时，有局限性，而假设法应用范围广，假设把书尽量多的“平均分”到各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本，可以用有余数的除法这一数学规律来表示。大量例举之后，再引导学生总结归纳这一类“鸽巢原理”的大凡规律，让学生借助直观操作、观察、表达等方式，让学生经历从例外的角度认识鸽巢原理。特别是通过学生归纳总结的规律：到底是“商＋余数”还是“商＋１”，引发学生的思维步步深入，并通过讨论和说理活动，使学生经历了一个初步的“数学证明”的过程，培养了学生的推理能力和初步的逻辑能力。三、通过练习，解释应用合适设计形式多样化的练习，可以引起并保持学生的练习兴趣。如“从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出18张，至少有几张是同花色

鸽巢原理及其应用+6

学号：20115034032 学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级2011级姓名陈婷婷论文题目鸽巢原理及其应用指导教师沈明辉职称教授成绩 2014年3月16日

学年论文成绩评定表评语成绩：指导教师(签名): 201 年月日学院意见：____________________ 学院院长(签名): 201 年月日

目录摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 前言 (2) 1.鸽巢原理 (2) 1.1 鸽巢原理的简单形式 (2) 1.2 鸽巢原理的一般形式 (3) 1.3 鸽巢原理的加强形式 (3) 2. 鸽巢原理的相关推论 (4) 3.鸽巢原理的应用 (6) 3.1 鸽巢原理应用于数的整除关系 (6) 3.2 鸽巢原理应用于实际生活 (7) 参考文献 (9)

鸽巢原理及其应用姓名：陈婷婷学号：20115034032 数学与信息科学学院信息与计算科学专业指导老师：沈明辉职称：教授摘要：鸽巢原理是组合数学中研究存在性问题的基本原理之一,也是非常规解题方法的重要类型之一，在数论和组合论中有着广泛的应用. 本文简单介绍了鸽巢原理的几种形式，便于了解鸽巢原理到底是什么东西.本文主要研究鸽巢原理和其原理的应用.应用主要从数学领域的应用和现实生活中的应用两大方面进行研究，数学领域方面主要应用于整除关系的证明等几方面的解题. 关键字：鸽巢原理; 组合数学; 鸽巢原理的应用 Pigeonhole principle and the application of the pigeonhole Abstract:Pigeonhole principle is a mathematical combination of problem of the existence of one of the basic principles of nonconventional problem solving method , is also one of the important types in number theory and combination has a wide range of applications. This paper briefly introduces the principle of Pigeonhole in several forms, easy to understand what the Pigeonhole principle is. This paper mainly studies the principle of Pigeonhole principle and the application of the principle. Application mainly from the mathematical field of application and the reality of life in the application of the two major aspects of research, mathematical fields mainly used in number theory, algebra, geometry and so on several aspects of the problem solving, in real life, most used computer fortune-telling, predict some existence results etc.. Key words:Pigeonhole principle；Mathematical combination ；The application of the principle

容斥原理与鸽巢原理的应用

摘要容斥原理和鸽巢原理作为组合数学中的基本内容，就原理本身而言简单易懂.然而，由于此二者分别在组合计数问题和存在性问题的应用中所展现出来的魅力，国内外学者在很多书籍、学术性论文中关于容斥原理和鸽巢原理的应用进行了探讨，并且关于此方面的研究已取得一系列的成果. 本文主要是以综述的方式从起源、理论和应用三方面对容斥原理和鸽巢原理进行了介绍和分类探讨. 首先介绍了容斥原理分别与加法理论、减法理论的区别与优势，并与实际问题相结合突出其优势所在.其次本文介绍了鸽巢原理的两种具体形式及其推论，并对鸽巢原理在数学理论研究、数学竞赛题目、解决实际生活中的问题等方面的应用进行介绍后，对鸽巢原理的应用中所常见的几种构造“鸽巢”的方法进行了分类谈论. 最后，针对鸽巢原理，我们给出针对新疆某区域关于旅游产品的实际应用实例，并提出了个人见解. 关键词：容斥原理，鸽巢原理，构造方法，鸽巢，鸽子

ABSTRACT As the basic content of combinatorial mathematics, the principle of tolerance and the theory of pigeon nest the principle itself is simple and understandable. However, due to the charm of the two applications in combinatorial counting and existential problems, scholars at home and abroad have probed into the application of the principle of tolerance and the pigeon nest in many books and academic papers, And the research on this aspect has made a series of achievements. In this paper, the author introduces and classifies the theory of tolerance and doctrine and the principle of pigeon nest in the way of summarization from the origin, theory and application. Firstly, the differences and advantages between the theory of tolerance and exclusion and the theory of addition and subtraction were introduced. and the actual problem with the combination of highlighting its advantages. Secondly, this paper introduces two concrete forms of pigeon nest principle and its inference, and introduces the application of pigeon nest principle in mathematics theory research, Maths contest problem, solving real life problems and so on. , several common methods of constructing pigeon nest in the application of pigeon nest principle are classified and discussed. Finally, according to the pigeon Nest principle, we give a practical example of the tourism products in a region of Xinjiang, and put forward personal opinions. KEY WORDS: inclusion-exclusion principle, pigeonhole principle, construction method, pigeonhole, pigeon

鸽巢原理及其应用

鸽巢原理是组合数学中最基本的计数原理之一，也是证明存在性问题的一种重要方法．本文首先介绍了鸽巢原理的不同表述形式及其推论，然后从整除关系的证明、几何图形的分割以及解决实际问题等几个角度介绍了鸽巢原理的应用，并对例题中鸽巢的构造技巧做了分析．关键词：鸽巢原理；简单形式；一般形式；加强形式

Abstract The pigeonhole principle is one of the basic counting principle in combinatorics, but also it is an important method to prove the problem of the existence. This paper first introduces the different expressions of the pigeonhole principle and its deduction, then the applications of the pigeonhole principle are introduced from several angles of proof of aliquot relationship, division of the geometrical figure and solving practical problems, the structured skills of the pigeonhole principle in examples are analysed. Key words: pigeonhole principle; simple form; general form; strengthend form

人教版小学数学六年级下册鸽巢问题教案

人教版小学数学六年级下册《鸽巢问题》教学设计【教学内容】人教版六年级下册第68--69页《数学广角---鸽巢问题》例1、例2。【教学目标】 1．经历鸽巢原理的探究过程,初步理解“鸽巢原理”，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。 2．通过操作、观察、比较、列举、假设、推理等活动发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。 3．通过“鸽巢原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。 4．使学生经历将具体问题“数学化”的过程，培养学生的“建模”思想。【教学重点】经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。【教学难点】理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。【教学过程】一、创设情境引入课题 1．“魔术”表演：规则：一副牌，取出大小王，还剩52张，你们5人每人随意抽一张。抽到牌后藏好，等老师来猜。大家猜猜看至少有几个同学的扑克牌花色是相同的？

猜谜：老师肯定的说：“这5张牌中，至少有2张牌是同花色的。老师猜的对不对？” 请5个同学举起手中的牌让同学们见证奇迹。大家表现这么好，我们再来玩游戏。 2.玩游戏游戏要求：老师喊“一、二、三开始”以后，请你们5个都坐在椅子上，每个人必须都坐下。 3. 导入课题：刚才的“魔术”表演和抢椅子游戏，这里面蕴藏着一个非常有趣的数学问题，这节课我们就一起来研究这类问题，下面我们先从简单的情况入手。“鸽巢问题”。（板书课题）二、合作探究发现规律（一）教学例1（由枚举法引出假设法，初步“建模”——平均分。）出示例1把4支笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支笔。 1. 理解“总有”和“至少”的意思。 2．运用“枚举法”初步探究。（1）把4支笔放进3个笔筒里，有几种不同的放法？自己动手在小组内摆一摆，画一画，说一说，把出现几种情况都记录下来。（2）汇报展示不同的方法。（4）讲解：像这样一一列举出来的方法，在数学上叫枚举法。（板书：枚举法） 3．通过比较，引导“假设法”。

六年级下册《鸽巢问题》教案知识分享

“鸽巢问题”教案教学内容：教材第68-70页例1、例2，及“做一做”。学习目标： 1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。 2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。 3、情感态度与价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。学习重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。学习难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。教具准备：多媒体课件。学习过程：一、创设情境，导入新知老师组织学生做“抢椅子”游戏（请3位同学上来，摆开2条椅子），并宣布游戏规则。其实这个游戏中蕴藏着一个非常有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这类问题。-----出示课题《鸽巢问题》“鸽巢原理”又称“抽屉原理”，最先是由19世纪的德

国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄利克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们就来研究这一原理。二、合作交流，探究新知 1、教学例1(课件出示例题1情境图）思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？问题：“总有”和“至少”是什么意思？学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。（1）操作发现规律：通过把4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。（2）理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。（3）探究证明。个人调整意见方法一：用“分解法”证明。把4分解成3个数。由图

六年级数学-鸽巢问题

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第十讲鸽巢问题一、知识点：狭利克雷明确地提出来的，因此,也称为狭利克雷原理。把3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。如：将4支铅笔放入3个笔筒，总有一个笔筒至少有2支铅笔，“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。鸽巢原理（二）：如果把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。如：把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式物体个数÷鸽巣个数=商……余数至少个数=商+1 摸同色球计算方法： ①要保证摸出同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。物体数＝颜色数×（相同颜色数－1）＋1

②极端思想（最坏打算）：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。二、例题讲解： 1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业求证：这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业。 2、班上有50名学生，将书分给大家,至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。 3、木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 4、把红、白、蓝三种颜色的球各10个放到一个袋子里，至少取多少个球，可以保证取到3个颜色相同的球。 5、证明：某班有52名学生，至少有5个人在同一个月出生

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六年级鸽巢原理

授课时间课时第一课时课题鸽巢问题教学目标1、了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义（假如有多于n个元素分成n个集合，那么一定有一个集合中至少含有2个元素）。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。 2、经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。 3、通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。教学重难点引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”，并理解鸽巢问题。理解“总有”、“至少”的意义，理解平均分后余数不是1时的至少数。教学方法观察、猜测、实验、推理教具扑克牌、纸杯（笔筒）、课件教学过程师生活动及二次备课设计意图一、情景导入老师表演小魔术（扑克牌问题）：一副牌，取出大小王，还剩52张，你们5人每人随意抽一张，我知道至少有2张牌是同花色的。师：同学们,老师手里拿了一副扑克牌，总共几张？（54张）抽掉了大王、小王，还剩多少张？（52张）知道扑克牌有几种花色吗？（4种）哪四种？那我们就用剩下的扑克牌来做游戏。谁愿意来帮这个忙？（1个同学上来。）任意抽取5张，不要让老师看到。自己看好就行了。师：同学们，下面就是见证奇迹的时刻。师：老师猜在这五张牌里，至少有两张牌是同一花色的。师：把牌拿出来验证一下。老师猜对了吗？其实在这个游戏中蕴含着一个有趣的数学原理——“抽屉原理”。（引出课题）接下来就从我们身边熟悉的生活情境入手，来研究这个原理背后的道理。（教师结合学生抽出的扑克牌的情况引导学生理解“至少2张牌”的意思。）二、探究新知 1.教学例1.(课件出示例题1情境图）把4支笔放进3个笔筒中，有几种放法，是怎样放的？（1）这个要求小组合作来完成。听清老师的要求：设计意图]扑克牌小魔术作为新课的切入点，激起学生认知上的兴趣，趁机抓住他们的求知欲，激发学生探究新知的热情，使学生积极主动地投入到新课的学习中去。同时，在魔术中直观地感知“至少”的意思。思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至

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鸽巢原理及其应用+6

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