条件分析 1甲、乙两队进行象棋对抗赛，甲队的三人是张、王、李，乙队的三人是赵、钱、孙。按照以往的比赛成绩看，张能胜钱，钱能胜李，李能胜孙，但是第一轮比赛他们都没有成为对手。第一轮比赛的对手分别是谁对谁？ 2A， B， C， D四名学生猜测自己的数学成绩。 A说:“如果我得优，那么B也得优。” B说:“如果我得优，那么C也得优。” C说:“如果我得优，那么D也得优。” 结果大家都没说错，但是只有两个人得优。谁得了优？ 3某校五年级三个班举行乒乓球混合双打表演，每班男女生各出一名，男生是甲、乙、丙，女生是A，B，C。规定:同班的男女生不能配对。已知: 第一盘:甲和A对丙和B； 第二盘:丙和C对甲乙的同班女生。 问:甲的同班女生是谁？ 4有三对夫妇在一次聚会上相遇，他们是X，Y，Z先生和A，B，C女士，其中X先生的夫人和C女士的丈夫是初次见面，B女士的丈夫和A女士也是初次见面，Z先生认识所有的人。问:哪位先生和哪位女士是夫妇？ 5甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课。 (1)甲上课全用汉语； (2)外语老师是一个学生的哥哥； (3)丙是一位女教师，她比数学老师活泼。 问:三位老师各上什么课？ 6刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定:兄妹二人不许搭伴。 第一盘:刘刚和小丽对李强和小英；
第二盘:李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。 问:三个男孩的妹妹分别是谁？ 7徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。 (1)木工只和车工下棋，而且总是输给车工； (2)王、陈两位师傅是邻居； (3)陈师傅与电工下棋互有胜负； (4)徐师傅比赵师傅下的好； (5)木工的家离工厂最远。 问:徐、王、陈、赵四位师傅各是什么工种？ 8甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文和历史，每位老师教两门课。化学老师和数学老师住在一起，甲老师最年青，数学老师和丙老师爱下象棋，物理老师比生物老师年长、比乙老师年青，三人中最年长的老师住家比其他二位老师远。问:三位老师各自分别教哪两门课？ 9甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说。他们在一起交谈非常有趣: (1)乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译； (2)甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈； (3)乙、丙、丁找不到共同会的语言； (4)没有人同时会日、法两种语言。 问:甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？ 10一天，老师让小马虎把甲、乙、丙、丁、戊的作业本带回去，他见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了。现在知道: (1)甲拿的不是乙的，也不是丁的； (2)乙拿的不是丙的，也不是丁的； (3)丙拿的不是乙的，也不是戊的；
排列 39 某铁路线共有14个客车站，这条铁路共需要多少种不同的车票？ 40 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同信号，一共可以组成多少种不同信号？ 41 有五种颜色的小旗，任意取出三面排成一行表示各种 42(1)有五本不同的书，分别借给3名同学，每人借一本，有多少种不同的借法？(2)有三本不同的书被5名同学借走，每人最多借一本，有多少种不同的借法？ 43张华、李明等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法: (1)七个人排成一排； (2)七个人排成一排，张华必须站在中间； (3)七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间； (4)七个人排成一排，张华、李明必须站在两边； (5)七个人排成一排，张华、李明都没有站在边上； (6)七个人排成两排，前排三人，后排四人； (7)七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华、李明不在同一排。 44甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。问: (1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种？ (2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？ (3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？ (4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？ 45用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 46用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？
47在所有的三位数中，各位数字之和是19的数共有多少个？ 48某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9。为确保打开保险柜至少要试多少次？ 49恰有两位数字相同的三位数共有多少个？ 50自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同。这样的数共有多少个？ 51在1000到1999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？ 52从1，3，5中任取两个数字，从2，4，6中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？ 53从1，3，5中任取两个数字，从0，2，4中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有多少个？ 54用1，2，3，4，5这五个数码可以组成12020有重复数字的四位数，将它们从小到大排列起来，4125是第几个？ 55在所有的三位自然数中，组成数字的三个数码既有大于5的数码，又有小于5的数码的自然数共有多少个？ 56在前2020个自然数中，含有数码1的数有多少个？ 57在前10000个自然数中，不含数码1的数有多少个？ 58用1～7可以组成多少个没有重复数字，且能被11整除的七位数？
３－１ 矩阵的秩习题评讲 ２、设秩（Ａ）＝ｒ，问Ａ中有没有等于零的ｒ－１阶子式？有没有等于零的ｒ阶子式？ 有没有不等于零的ｒ＋１阶子式？ 解：秩（Ａ）＝ｒ时，Ａ中可能有等于零的ｒ－１阶子式；也可能有等于零的ｒ阶子 式；没有不等于零的ｒ＋１阶子式。例如： Ａ＝? ? ??? ? ??? ???00 00 40004320 4321，Ａ中存在一个３阶子式4004204 21＝８≠０，所有４阶子式有一行全为零，值为零，所以秩（Ａ）＝３。Ａ中存在等于零的２阶子式，如 4 34 3；还存在等于零的３阶子式，如0 00000 3 20。 ３、如果从矩阵Ａ中划去一行（或一列）得到矩阵Ｂ，问Ａ的秩与Ｂ的秩有什么关系？ 解：设ｍ?ｎ矩阵Ａ的行向量为：α１，α２，……，αｍ－１，αｍ。从矩阵Ａ中划去一 行，不妨设划去第ｍ行，得矩阵Ｂ，则Ｂ的行向量为：α１，α２，……，αｍ－１。分两种情况讨论。 （１）如果αｍ可由α１，α２，……，αｍ－１线性表出，则Ａ的行向量组与Ｂ的行向量 组等价，故Ａ的行秩＝Ｂ的行秩，即秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。 （２）如果αｍ不能由α１，α２，……，αｍ－１线性表出，取Ｂ的行向量组的一个最大 无关组，不妨设为：α１，α２，……，αｒ，则αｍ不能由α１，α２，……，αｒ线性表出。据Ｐ１１１ １１题，α１，α２，……，αｒ，αｍ线性无关，显然作成Ａ的行向量组α１，α２，……，αｍ－１，αｍ的一个最大无关组，于是Ａ的行秩＝Ｂ的行秩＋１，即秩（Ａ）＝秩（Ｂ）＋１。 综上所述，知： Ｒ(Ｂ)＝? ? ?-1)()(A R A R 线性表出时列不可由其它行列当删去的行线性表出时列可由其它行列当删去的行）（）（）（）（。 ４、ｔ取何值时，向量组：α１＝（６，ｔ＋１，７），α２＝（ｔ，２，２），α３＝（ｔ， １，０）线性相关？ 解：用α１，α２，α３为行向量作矩阵Ａ，有
五智巧问题 1 某国的货币有1元、50分、20分、10分、5分、2分、1分共七种硬币（1元=100分）。某人带了9枚硬币去买东西，凡不超过2元的东西他都能拿出若干枚硬币支付，钱数正好，无需找钱。这9枚硬币的总面值最多是多少？最少是多少？ 2 A，B，C，D四人进行围棋比赛，每人都要与其他三人各赛一盘。比赛是在两张棋盘上同时进行，每天每人只赛一盘。第一天A与C比赛，第二天C与D比赛，第三天B与谁比赛？ 3 有20间房子，有的开着灯，有的关着灯。在这些房子里的人都希望与大多数房子保持一致。现在，从第1间房子里的人开始，如果其余19间房子的灯开着的多，就把灯打开，否则就把灯关上。假设最开始时开灯与关灯的房子各10间，并且第1间房子的灯开着。那么，这20间房子里的人轮完一遍后，开着灯的房子有几间？ 4 甲、乙、丙三名选手参加长跑比赛。起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置次序共交换了7次。比赛结果甲是第几名？ 5 正义路小学共有1000名学生，为支持“希望工程”，同学们纷纷捐书，有一半男生每人捐了9本书，另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书，另一半女生每人捐了6本书。全校学生共捐了多少本书？ 6 某杂志每期定价元，全年共出12期。某班部分同学订半年，其余同学订全年，共需订费720元；如果订半年的改订全年，订全年的改订半年，那么共需603元。问：这个班共有多少名学生？ 7 某次猜谜语比赛，谜语按难易分两类，每人可以猜三条。每猜对一条较难的谜语得3分，每猜对一条较容易的谜语得1分。结果有8人得1分、7人得2分、6人得3分、5人得4分、4人得5分。恰好猜对两条谜语的有几人？ 8 一排六棵树（见下图）分别是六个人栽的，A，B，C三人栽的是大树，D，E，F三人栽的是小树。如果A与E栽的树相隔两棵树，B与F栽的树相隔一棵树，那么C栽的树是左起第几棵？
一找规律 1．根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数： （1）1，4，7，10，（），16，…… （2）2，3，5，8，13，（），34，…… （3）1，2，4，8，16，（），…… （4）2，6，12，20，（），42，…… 2．观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数： （1）2，3，5，7，11，13，（），19，…… （2）1，2，2，4，8，32，（），…… （3）2，5，11，23，47，（），…… （4）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（），…… 3．观察下列各串数的规律，并在每小题的两个括号内填入适当的数： （1）1，1，2，4，3，9，4，16，（），25，6，（），…… （2） 15， 16， 13， 19， 11， 22，（）， 25， 7，（），…… 4．按规律填上第五个数组中的数： {1，5，10}{2，10，20}{3，15，30}{4，20，40}{ } 5．下面各列算式分别按一定规律排列，请分别求出它们的第40个算式： （1）1＋1，2＋3，3＋5，1＋7，2＋9， 3＋11，1＋13，2＋15， （2）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，…… 6．下面两张数表中的数的排列存在某种规律，你能找出这个规律，并根据这个规律把括号里的数填上吗？ （1）2 6 7 11 （2）2 3 1
4 4 ( ) 1 3 5 2 3 5 5 6 4 ( ) 3 7．下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来： （1）3，5，7，11，15，19，23，…… （2）6，12，3，27，21，10，15，30，…… （3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，…… （4）2，3，5，8，12，16，23，30，…… 8．下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上： （1） （2） 9．观察下面图形中的数的规律，按照此规律，“？”处是几？ 10．根据左下图中数字的规律，在最上面的空格中填上合适的数。
矩阵的秩及其应用 摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。 关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式 引言： 阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵 的一个重要性质。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。 1．矩阵的秩及其求法 1.1矩阵的秩的定义 定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。 定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。 定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。零矩阵的秩规定为零。 注：由定义可以看出
(1)若A 为n m ?矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n = (2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法 定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一 下这两种方法。 方法1 按定义 例1.2.1 求矩阵A =?? ????????--413112212228 32的秩 解 按定义3解答，容易算出二阶子式 12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式 13 1 2122832--=0，43112122232-=0，41312212 2 8 3--=0，4 1112222 8 2 -=0 所以 ()2r A = 方法2 初等变换法 引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。 例1.2.1求矩阵23822122121314A -?? ??=-?? ????的秩 解 用“→”表示对A 作初等变换，则有 A →13142122122382????-????-??→131406440966????-????-??→131406440000?? ?? -??????=B ，在矩阵B 中易 知,所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式 1306 ≠0. 所以()2r B =, 可得
三不定方程 1装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？ 2有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个。问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？ 3大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客，要使每位乘客都有座位且没有空座位。问：需大、小客车各几辆？ 4某商店卖出若干23元和16元一支的钢笔，共收入500元，问：这两种钢笔共卖出多少支？ 5小明花4.5元钱买了0.14元一支的铅笔和0.67元一支的圆珠笔共17支。问：铅笔和圆珠笔各几支？ 6小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400。你知道小明的生日是几月几日吗？ 7在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次。“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数。丁丁和冬冬分别命中几次？ 8甲、乙二人植树，用每天植18棵，乙每天植21棵，两人共植了135棵树。问：甲、乙二人各干了几天？ 9有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？ 10参加围棋比赛的八段、九段选手有若干名，他们的段位数字加在一起正好是100段。问：八段、九段选手各几名？ 11有 104个同学去操场踢足球和打排球，每个足球场地22人，每个排球场地12人。问：他们占用了足球场地和排球场地各几个？ 12甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖。问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？ 1314个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。问：大、中、小号钢珠各多少个？
矩阵的秩及其多样性的解法 数学学院 数学与应用数学（师范）专业 摘 要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要指标，本文研究了与矩阵的秩的相关性质及其多样性的解法, 用定理和实例说明了行列式、线性空间、线性方程组、分块矩阵和矩阵秩的关系及其在求矩阵的秩中的应用。 关键词: 矩阵的秩; 行列式; 线性方程组； Abstract ：Matrix theory is an important part of the main object of study in algebra and rank of the matrix is an important indicator of the matrix, we study the rank of the matrix solution of the nature and diversity of theorems and examples illustratedeterminant, linear space, linear equations, the block matrix and the matrix rank and matrix rank. Keywords: Rank of matrix; V ector; Linear equations; 引言、引理 矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩相关性质及等价条件，并从行列式、线性方程组、线性空间以及分块矩阵的角度来阐述矩阵秩的不同解法。 矩阵的秩的等价刻划 设A F m n ?∈ ，则rank(A)=r ?A 中不为零的子式的最大阶数是r ； ?A 中有一个r 阶子式D 不等于零，所有包含D 作为子式的 r+1阶子式全为零； ? 存在可逆矩阵m n P F ?∈，m n Q F ?∈，使得000r E P A Q ?? = ??? ； ? A 的行（列）向量的极大无关组所含向量的个数为r;
相遇问题 41 甲车每时行 40千米，乙车每时行 60千米，甲车从 A地、乙车从B地同时出发相向而行，两车相遇后4.5时，甲车到达B地，A，B两地相距多少千米？ 42 A，B两村相距 2800米，小明从 A村步行出发 5分后，小军骑车从B村出发，又经过10分两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分多行130米，小明步行每分行多少米？ 43 甲、乙同时从 A， B两地相向走来。甲每时走 5千米，两人相遇后，乙再走10千米到A地，甲再走1.6时到B地。乙每时走多少千米？ 44 甲、乙沿同一公路相向而行，甲的速度是乙的1.5倍。已知甲上午8点经过邮局门口，乙上午10点经过邮局门口，问:甲、乙在中途何时相遇？ 45 一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过18时两车在某处相遇，已知客车每时行50千米，货车每时比客车少行8千米，货车每行驶3时要停驶1时。问:两地之间的铁路长多少千米？ 46 甲、乙两车的速度分别为 52千米／时和 40千米／时，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。 47 甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已30分钟。问:甲、乙每分钟各走多少米？ 48 甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。 49 甲、乙两车同时从两地相向而行，2.5时后相遇。已知甲车速度是乙 50 甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。有一名乘客乘坐6点16分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车？ 51 两辆汽车从两地同时出发，相向而行。已知甲车行完全程比乙车多用1.5时，甲车每时行40千米，乙车每时行50千米，出发后多长时间两车相遇？
正方形与长方形 1左下图多边形的每条边都垂直于它的邻边，且所有的边长都相等，周长是108cm，这个图形的面积是多少平方厘米？ 2用四个相同的长方形拼成一个面积为100cm2的大正方形(见右上图)，每个长方形的周长是多少厘米？ 3有一块黑白格子布(右图)，白色大正方形和白色小正方形的面积之比为1∶4。问:这块布中白色面积占总面积的几分之几？ 4有大、小两个长方形(右图)，对应边的距离均为1cm，已知两个长方形之间部分的面积是16cm2，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积。 5从一块正方形木板上锯下宽5cm的一个木条后，剩下的面积是750cm2。问:锯下的木条面积是多少？ 下的面积是9m2，求剩下部分的周长。 7一块长方形纸片，在长边剪去5cm，宽边剪去2cm后(如左下图)，得到的正方形面积比原长方形面积少31cm2。求原长方形纸片的面积。
8用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形(见右上图)，长方形纸片面积分别44cm2与28cm2，原正方形纸片面积是多少平方厘米？ 9左下图的长方形被分割成5个正方形，已知每个大正方形比每个小正方形面积大5cm2，求原长方形的面积。 10右上图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120202，求原长方形的长与宽。 11右图的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积为1cm2，求原长方形的面积。 12用四个一样的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形(左下图)，大、小正方形的面积为别为64cm2和9cm2。问:长方形的宽和长各是多少？ 13用同样大小的长方形小纸片摆成右上图所示图形，已知每张小纸片的宽是12cm，求阴影部分的总面积。 1410个相同的小矩形拼成一个面积为30cm2的大矩形(如右图)。求大矩形的周长。
数学奥林匹克初中训练题(1) 第 一 试 一. 选择题.(每小题7分,共42分) ( )1.已知33333a b c abc a b c ++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为: (A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)- ( )3.在ΔABC 中,211a b c =+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案 ( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2();a a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是: (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 ( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么: (A)22S CP p (B)22S CP = (C)2 2S CP f (D)不确定 ( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有: (A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组 二. 填空题.(每小题7分,共28分) 1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过 分钟,货车追上了客车. 2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+, 那么P 的最小值是 . 3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.
年龄问题 46 今年小宁9岁，妈妈33岁，再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的1/2？ 47 哥哥和弟弟两人三年后的年龄和是26岁，弟弟今年的年龄恰好是兄弟二人年龄差的2倍。问:兄弟二人各几岁？ 48 小明与爸爸的年龄和是53岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄多2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？ 49 兄弟俩都有点傻，以为只有自己过一年长一岁而别人不会长大。有一天，哥哥对弟弟说:“再过3年我的年龄就是你的2倍。”弟弟说:“不对，再过3年我和你一样大。”这时他们俩各几岁？ 50 父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是多少岁？ 51 父亲与两个儿子的年龄和为84岁，12年后父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲现年多少岁？ 52 学生问老师多少岁，老师说:“当我像你这么大时你刚1岁，当你像我这么大时我已经40岁了。”你知道老师多少岁吗？ 53 兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半。问:哥哥今年几岁？ 54 甲、乙、丙、丁四人今年分别是16，12，11，9岁。问:多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？ 55 全家四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前，他们全家年龄之和是58岁，现在是73岁。问:现在各人年龄分别是多少？ 56 哥哥5年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍。哥哥今年多少岁？ 57 有3个男孩和2个女孩在一起玩。他们的年龄互不相同，最大的12岁，最小的7岁。已知最大的男孩比最小的女孩大3岁，最大的女孩比最小的男孩也大3岁。问:2个女孩的年龄分别是几岁？ 58 1999年，一个青年说:“今年我的生日已过了，我现在的年龄正好是我出生年份的四个数字之和。”这个青年是哪年出生的？ 59 1999年，一个老人说:“今年我的生日已过了，40多年前的今天，我还是个2020的青年，那时我的年龄刚好等于那年年份的四个数字之和。”老人是哪年出生的？
学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级2009级 姓名张晓函 论文题目矩阵的秩 指导教师彭玉成职称讲师成绩 2009年5月25日
学年论文成绩评定表
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 引言 (1) 1预备知识 (1) 2矩阵的秩的性质 (2) 3矩阵秩的计算 (4) 4矩阵秩的应用 (8) 5结束语 (9) 参考文献 (9)
矩阵的秩 学生姓名：张晓函学号：20095034048 数学与信息科学学院信息与计算科学系 指导教师：彭玉成职称：讲师 摘要：本文是关于求一个数字矩阵的秩的方法的初步探究.归纳总结了求矩阵秩的常用方法. 关键词：矩阵；初等变换；子式；极大线性无关组 Matrix rank Abstract:This article is about for a digital matrix rank of the preliminary inquiry method. Summarizes the commonly used method of matrix rank Keywords: matrix,elementary transformation, son,great linearly independent groups 前言 矩阵是贯穿线性代数的一块重要内容．而对矩阵秩的探究是我们学习矩阵的一个重要部分.也是我们判断线性方程组解的情形的重要手段．下面就来具体讨论、探究数字矩阵秩的求解方法. 1．预备知识 定义1.1：矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为A的秩.记作() r A 定义1.2：矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩. 矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点定义1.3：在一个s n 上的2k个元素按原来的次序所组成k级行列式，称为A的一个k级子式. 定义1.4：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 2.矩阵的秩的性质 1）现在我们来研究矩阵的秩具有哪些性质，从而利用这些性质求矩阵的秩。 性质2.1矩阵的行秩与列秩相等．
三竖式谜 1．在下列竖式中，有若干个数字被遮盖住了，求各竖式中被遮盖住的几个数字之和： 2．在下列各式的□中填入适当的数码，使得两位数乘法的乘积是正确的。要求各式的四个□中填入的数码互不相同： 3．下列各式中的a，b，c分别代表1，2，3中的不同的数字，求出下列各式和的最大值： 4．右式中的a，b，c，d分别代表0～9中的一个数码，并且满足a ＋b＝2（c＋d），被加数最大是多少？ 5．右式中的a，b，c，d分别代表1—9中的一个数码，并且满足2（a＋b）＝c＋d，被减数最小是几？ 6．在下列各式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号表示不同的数字，求出下列各式： 7．在□内填入适当的数字，使下列加法竖式成立： 8．在□内填入适当的数字，使下列减法竖式成立： 9．将1～9九个数码分别填入右式的九个□中，要求先填1，再在与1相邻（左、右或上、下）的□中填2，再在与2相邻的□中填3 最后填9，使得加法竖式成立。 10．在右式的四个□中填入同一个数字，使得“迎”、“新”、“世”、“纪”四个字所代表的各数之和等于2000。中应填几？ 11．在□内填入适当的数字，使下列乘法竖式成立： 12．在□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立： 13．□内填入适当的数字，使得下列除法竖式成立： 14．用代数方法求解下列竖式： 15．求出左下式的商。 16．求出右上式的被除数和除数。 17．在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立： 18．在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：
19．在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小： 20☆在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小： 21．在下列加、减法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值： 22．在下列各式中，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值： 23．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值： 24．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表1～9中不同的数字，而被乘数与积正好是反序数，求出这些竖式： 25．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值： 26．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值： 27．在下列竖式中，每个不同的字母代表0～9中不同的数字，请用数字重新写出各竖式： 28．将1～7七个数码分别填入下列竖式的□内，使得竖式成立： 29．将1～8分别填入下列竖式的八个□中，每题都有两种不同填法，请至少找出其中一种： 30．下列每个竖式都是由0～9十个数码组成的，请将空缺的数码填上： 31．下列每个竖式都是由1，2，3，4，5，6，7，8七个数码组成，请将空缺的数码填上，使得竖式成立： 32．在□内填入小于10的质数，使得下列竖式成立： 33．在下列竖式的□内填入4～9中的适当数码，使得组成第一个加数的四个数码与组成第二个加数的四个数码相同，只是排列顺序不同。 34．下面两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求ABCDEFG。 35．一个四位数除以一个一位数得（1）式，它除以另一个一位数得（2）式，求这个四位数。
整除性 75°如果四位数6□□8能被73整除，那么商是多少？ 76°如果四位数5□□6能被34整除，那么可以有多少个不同的商？ 77个位数是6，且能被3整除的四位数有多少个？ 78三个数的和是555，这三个数分别能被3，5，7整除，而且商都相同，求这三个数。 80求各位数字都是 7，并能被63整除的最小自然数。 81用1，2，3，4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪些？ 82从 2，3，5，7，8五个数中任选四个能组成哪些能被75整除的没有重复数字的四位数？ 83一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？ 84求出能被11整除，首位数字是4，其余各位数字均不相同的最大和最小的六位数。 85已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问：*代表数码几？ 86已知四位数 7**1能被9整除，问：*代表数码几？ 88把一个三位数的百位和个位上的数字互换，得到一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被4整除。这样的三位数共有多少个？ 89在 8264的左右各添一个数码，使新得到的六位数能被45整除。 91在 666后面补上三个数码组成一个六位数，使这个六位数能被783整除，应当怎样补？
92在 5678这个数的前面或后面添写一个数 2，所得到的两个五位数都能被2整除。现在请你找出一个三位数添写在5678的前面或后面，使所得的两个七位数都能被这个三位数整除。满足题意的三位数有哪几个？ 93一个四位数，四个数字各不相同，且是17的倍数，符合条件的最小四位数是多少？ 94一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足此条件的最小自然数。 95一个整数乘以17后，乘积的后三位是999，求满足题意的最小整数。 961×2×3×…×15能否被 9009整除？ 97A=61×62×63×…×87×88，A能否被6188整除？ 98从1～ 9这九个数中选出六个不同的数字组成一个能被11整除的六位数，求出这样的六位数中最大的与最小的两数之和。 99用1～ 9这九个数码组成一个没有重复数字的能被11整除的九位数，这样的九位数有31680个，求出其中最大的和最小的。 101能否用1， 2， 3， 4， 5， 6六个数码组成一个没有重复数字，且能被11整除的六位数？为什么？ 102用8个不同数码组成的八位数中，能被36整除的最小的数是几？ 103用1—9这九个数码各一次，组成三个分别能被7，9，11整除的三位数，并要求这三个数的和尽可能大。 104将自然数N接写在任一个自然数的右面，得到的新数都能被N整除。例如将2写在任一自然数的右面，得到的新数都能被2整除。在1～100中，满足条件的自然数N有哪几个？ 105111…11是各位数字都是1的自然数，并且是7的倍数，求这样的数中最小的那个数。
对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用 摘 要：本文叙述了矩阵秩的几个等价定义，并且给出了几个相关秩的解法.通过例子来验证和探讨了矩阵秩在线性代数中的应用，这些知识对我们理解矩阵的本质,灵活运用矩阵的秩去分析相关问题有一定的意义和作用. 关键词：矩阵的秩；秩的解法；秩的应用 On the Rank of Matrix relating to the understanding Extremely in the Application of Linear Algebra Abstract : This article describes several equivalent definitions of matrix rank, and gives the solution of some rank. Through example to verify that the discussion and application of matrix in linear algebra, this knowledge to our understanding of the nature of the matrix, flexible use of matrix rank to have a certain meaning and analysis of related problems. Key words : rank of matrix; rank method; the application of rank 0 前言 矩阵的理论是线性代数的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的理论概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，他在初等变换下是一个不变量.它是反应矩阵固有特性的一个重要概念.矩阵作为线性代数的重要工具，已渗透到各章内容之中,并成为行列式、线性代数方程组、线性空间、欧氏空间和二次型的纽带,它把线性代数各章节贯串成为一个整体.而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，是矩阵一个重要的、本质的属性,在求方阵的逆、判断线性方程组是否有解以及有多少个解、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面,矩阵的秩都有着广泛的应用. 1 矩阵秩的概念 首先给出矩阵秩的几个等价定义 定义1 设s ，矩阵中不为0子式的最高阶数，即A 有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式（如果存在的话）全为0，称r 为矩阵A 的秩。记做()R A r =. 从本质上说，矩阵的秩就是矩阵中不等于0的姿势的最高阶数。这个不为0的子
四包含与排除 1二年级一班共42名同学，其中少先队员33人。这个班男生2020女生中有4人不是少先队员，男生中有多少人是少先队员？ 2十一中学图书馆有中外文科技和文艺书共6000册，其中中文书4560册，文艺书3060册，外文科技书840册。问:一共有多少本外文书？有多少本中文文艺书？ 347名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得100分的有26人。问:两门都得100分的有多少人？ 4全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，既不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。问:仅会打羽毛球的有多少人？ 5电视台向100人调查昨天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问:两个频道都没看过的有多少人？ 6一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。问:两题都做错的有多少人？ 7全班50人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。两样都不会的有多少人？ 8五一小学举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，2020是五年级的。现在知道五、六年级共展出22幅画，问:其它年级共展出多少幅画？ 9100个学生只有一人没学过外语，学过英语的有39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的有13人，学过法语也学过俄语的有9人。问:三种语言都学过的有多少人？ 10某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球。没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好。问:既爱打篮球又爱打排球的有几人？ 1164个小学生都订了报纸，其中订A报的 28人，订B报的41人，订C报的2020同时订A，B报的10人，同时订A，C报的12人，同时订B，C报的也是12人。问:三种报都订的有多少人？
山西师范大学本科毕业论文 浅谈矩阵的秩及其应用 姓名李欢 院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学 班级07510101 学号0751010125 指导教师张富荣 答辩日期2010.12.20 成绩
浅谈矩阵的秩及其应用 内容摘要 矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。而在矩阵理论中，矩阵的秩又是一个十分重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且初等变换不改变矩阵的秩，是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆，线性方程组的解得情况等都有密切的关系。 论文开头介绍了矩阵的秩，矩阵的行秩和列秩以及与矩阵有关的常见的命题和定理，部分定理并给出证明。第二部分介绍了计算矩阵的两种计算方法，求非零子式的最高级数法和初等变换法，并对其优劣进行比较。在矩阵的运算过程中，矩阵的秩存在某些关系，熟练地掌握这些关系对解有关矩阵的习题很有帮助。最后详细地介绍了矩阵的秩与线性方程组解的个数之间的关系，并将其应用到解析几何中,判断空间两直线位置关系。 本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。 【关键词】矩阵矩阵的秩线性方程组非零子式的最高级数初等变换
A Brief Introduction on the rank of Matrix and the Application of the rank of Matrix Abstract In matrix theory, rank of matrix is an important concept. It is a matrix of number of characteristics, and it is invariant under elementary transformations. Rank of matrix may have a close relationship with the solution of linear equations. At the beginning, the paper presents the concept of rank of matrix, the matrix row rank and column rank, and the common matrix-related theorems. And some theorems are given proof. The second section of the paper describes two methods for calculating the rank of matrix, one is seeking the highest grade of the non-zero minor, and the other is elementary transformation. And it compares their advantages and disadvantages. In the process of matrix computation, there are some important relations about the matrix rank .If we have a good understanding about these relations, it will be very helpful. Finally, it has a detail description on the application of the rank of matrix, especially the relationship between the rank of matrix and the solution of linear equations. In this paper, it contains some important concepts related to the rank of matrix, the proof and some specific application. 【Key Words】matrix rank of matrix linear equations the highest grade of the non-zero minor elementary transformation