【关键字】情况、条件、质量、平衡、良好、保持、研究、合力、位置、安全、稳定、需要、
作用、水平、速度、分析、带动、支持、方向
第五章 曲线运动
(时间：90分钟，满分：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有
的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得
2分，有选错或不答的得0分)
1．降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞( )
A ．下落的时间越短
B ．下落的时间越长
C ．落地时速度越小
D ．落地时速度越大
解析：选D.风沿水平方向吹，不影响竖直速度，故下落时间不变，A 、B 两项均错．风
速越大时合速度越大，故C 项错误D 项正确．
2．如图5－12所示是物体的位移(s )—时间(t )图象和速度(v )—时间(t )图象，给出的
四条曲线1、2、3、4分别代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述
正确的是( )
图5－12
A ．曲线2、4表示物体做直线运动，曲线1、3表示物体可能做曲线运动
B ．两图象中，t 2、t 4时刻分别表示2、4两物体开始反向运动
C ．在0～t 1时间内物体1的平均速度等于物体2的平均速度；在0～t 3时间内物体3的
平均速度小于物体4的平均速度
D ．t 1时刻物体1的速度大于物体2的速度；t 3时刻物体3的速度等于物体4的速度
解析：选CD.在s —t 图象和v —t 图象中的图线所表示的物体运动的轨迹只能是直线，
所以A 错误；t 2时刻物体反向运动，t 4时刻物体由加速变为减速，方向不变，B 错误；根据
平均速度的定义并结合图象可知，s 1＝s 2，s 3
于物体2的平均速度，在0～t 3时间内物体3的平均速度小于物体4的平均速度，C 正确；
t 1时刻物体1的速度是曲线1在这一时刻的切线斜率，显然大于物体2在t 3时刻的速度，在
t 3时刻物体3、4的速度相等，D 正确．
3．(2013年山东省昌乐二中高三第二次调研考试)一艘小船在静水中的速度大小为 4
m/s ，要横渡水流速度为5 m/s 的河，河宽为80 m ．设船加速启动和减速停止阶段的时间很
短，可忽略不计．下列说法正确的是( )
A ．船无法渡过此河
B ．小船渡河的最小位移(相对岸)为80 m
C ．船渡河的最短时间为20 s
D ．船渡过河的位移越短(相对岸)，船渡过河的时间也越短
解析：选C.只要垂直河岸有速度就一定能渡过此河，A 错．由于水流速度大于静水中的
速度，则无法合成垂直河岸的合速度，B 错．当船头垂直河岸航行时，分运动位移最小，速
度最大，渡河时间就最短，t min ＝804
s ＝20 s ，C 对，D 显然错误． 4．在地面上空同一位置上，有A 、B 两质点分别以3 m/s 和4 m/s 的水平速度向左和向
右同时抛出，则当两个质点的速度方向互相垂直时，它们之间的距离为(不计空气阻力g ＝
10 m/s 2)( ) A.34 3 m B.35
3 m C.75 3 m D.54
3 m 答案：C
5．如图5－13所示，小物体A 与水平圆盘保持相对静止，随圆盘一起做匀速圆周运动，
则A 的受力情况是( )
A ．受重力、支持力
B ．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C ．受重力、支持力、向心力、摩擦力
D ．以上均不正确 图5－13
解析：选B.物体A 在水平圆盘上，受重力G 竖直向下，支持力F N 竖直向上，且两力是
一对平衡力．至于物体A 是否受摩擦力，方向如何，需分析运动状态才知道．由于A 随圆盘
做匀速圆周运动，所以必须受到向心力作用，G 与F N 不能提供向心力，只有A 受指向圆心的
摩擦力F f 充当向心力，才能使物体受到向心力作用而做匀速圆周运动．故选项B 正确．
6．如图5－14所示，质量为m 的小球固定在长为L 的细杆一端，绕细杆的另一端O 在竖直面内做圆周运动，球转到最高点A 时，线速度大小为 gL 2，则( )
A ．杆受到mg 2的拉力 图5－14
B ．杆受到mg 2
的压力 C ．杆受到3mg 2
的拉力 D ．杆受到3mg 2
的压力 解析：选B.小球在最高点的速度为 gL
2，所需的向心力为F 向＝mv 2L ＝mg 2，向心力的方向向下，重力的方向也向下，杆对小球的支持力方向向上，大小为mg
2，也就是小球对杆有mg
2的压力．
7．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图5－15所示，其半径分别为r 1、r 2、r 3，若
甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
图5－15
A ．r 1ω1/r 3
B ．r 3ω1/r 1
C ．r 3ω1/r 2
D ．r 1ω1/r 2
解析：选A.三个轮的线速度大小相等，则ω1r 1＝ω3r 3，
得ω3＝ω1r 1/r 3.
8．(2013年太原一中检测)如图5－16所示，在斜面顶端的A 点以速度v 0平抛一小球，
经时间t 1落到斜面上B 点处，若在A 点将此小球以速度0.5v 0水平抛出，经时间t 2落到斜面
上的C 点处，以下判断正确的是( )
A ．t 1∶t 2＝4∶1 图5－16
B ．AB ∶A
C ＝4∶1
C ．AB ∶AC ＝2∶1
D ．t 1∶t 2＝2∶1
解析：选B.由平抛运动知识得AB cos θ＝v 0t 1，AB sin θ＝12gt 21，AC cos θ＝12
v 0t 2，AC sin θ＝12
gt 22，解得AB ∶AC ＝4∶1，t 1∶t 2＝2∶1，所以选项B 对． 9．长度不同的两根细绳，悬挂于同一点，另一端各系一个质量相同
的小球，使它们在同一水平面内做圆锥摆运动，如图5－17所示，则( )
A ．它们的周期相同
B ．较长的绳所系小球的周期较大 图5－17
C ．两球的向心力与半径成正比
D ．两绳张力与绳长成正比
解析：选ACD.设小球做圆锥摆运动时，摆长为L ，摆角为θ，小球
受到的拉力为F T 与重力mg 的作用，由于加速度a 在水平面内且指向圆心，
拉力F T 与重力mg 的合力ma 的示意图如图所示，由图可知mg tan θ＝ma .由a ＝ω2R ＝4π2T 2L sin θ得 T ＝2πL cos θ/g ，L cos θ为旋转平面到悬点的高度，容易看出两球周期相同． F T sin θ＝mL
4π2T 2sin θ， 所以F T ＝m 4π
2T 2L ，m 4π2T 2一定，F T ∝L .
F 向＝m 4π2
T 2R ，F 向∝R .故正确选项为A 、C 、D.
10．(2013年南京一中检测)如图5－18所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A 和B ，它们与圆盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是( )
A ．两物体沿切线方向滑动
B ．两物体沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远 图5－18
C ．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
D ．物体A 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体B 发生滑动，离圆盘圆心越来越远 解析：选D.A 、B 两物体的角速度相同，半径越大，所需的向心力越大，故物体B 需要的向心力大于物体A 需要的向心力，A 、B 用细线相连，之间有作用力，故烧断细线后，物体B 所需的向心力大于所能提供的最大静摩擦力，而物体A 所需的向心力仍小于物体A 的最大静摩擦力，故物体A 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体B 发生滑动，且离圆盘圆心越来越远，D 正确．
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中的横线上)
11．如图5－19所示为一条流速稳定的河流，船在静水中的速度为v ，自对岸O 点渡河，第一次沿OA 航行，第二次沿OB 航行，若OA 、OB 与河岸垂线OO ′的夹角相等，两次航行时间分别为t A 和t B ，则t A ________t B (填“>”“＝”或“<”)(水流方向由A 到B )． 图5－19
解析：船速v 与水速v 水合速度的方向分别沿OA 、OB .由于v 与v 水大小一定，但两速度的夹角不同，故合速度v A
答案：>
12．汽车沿半径为R 的圆形跑道行驶，设跑道的路面是水平的，路面作用于车的静摩擦力的最大值是车重的1/10，要使汽车不致冲出跑道，车速最大不能超过________．
解析：汽车在水平路面上转弯时所需要的向心力是由地面对汽车的静摩擦力提供的．设静摩擦力最大时，汽车安全转弯所允许的最大车速为v max ，
则F ＝mv 2max /R .
即mg /10＝mv 2max R
，故v max ＝Rg /10. 答案：Rg /10
13．在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L ＝1.25 cm ，若小球在平抛运动中的几个位置如图5－20中的a 、b 、c 、d 所示，则小球平抛的初速度的计算式为v 0＝________(用L 、g 表示)，其值约为________．
解析：竖直方向：2L －L ＝gT 2， 图5－20
水平方向：2L ＝v 0T ，
解得v 0＝2gL ，
代入数据得v 0＝2×9.8×1.25×10－3≈0.22 m/s.
答案：2gL 0.22 m/s
14．(2013年江苏常州高一期中测试)如图5－21甲所示为测量电动机转速的实验装置，半径不大的圆形卡纸固定在电动机转轴上，在电动机的带动下匀速转动，在圆形卡纸的旁边垂直安装了一个改装了的电火花计时器．
图5－21
(1)请将下列实验步骤按先后排序：______________.
A ．使电火花计时器与圆形卡纸保持良好接触
B ．接通电火花计时器的电源，使它工作起来
C ．启动电动机，使圆形卡纸转动起来
D ．关闭电动机，拆除电火花计时器；研究卡纸上留下的一段痕迹(如图乙所示)，写出角速度ω的表达式，代入数据，得出ω的测量值．
(2)要得到ω的测量值，还缺少一种必要的测量工具，它是________．
A ．秒表
B ．毫米刻度尺
C ．圆规
D ．量角器
(3)写出角速度ω的表达式，并指出表达式中各个物理量的意义：
________________________________________________________________________.
答案：(1)ACBD (2)D
(3)ω＝θn －1T ，θ为n 个点对应的圆心角，T 为计时器时间间隔
三、计算题(本题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
15．(10分)一根长为l ＝0.625 m 的细绳，一端拴一质量为m ＝0.4 kg 的小球，使其在
竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动．求(取g ＝10 m/s 2)：
(1)小球通过最高点时的最小速度； (2)若小球以3 m/s 的速度通过圆周最高点时，绳对小球的拉力多大？若此时绳突然断了，小球将如何运动？
解析：(1)小球通过最高点有最小速度的条件是小球只受重力作用，重力提供小球做圆
周运动的向心力，有mg ＝m v 2
min l
解得：v min ＝gl ＝2.5 m/s
(2)设小球以3 m/s 的速度通过圆周最高点时，绳对小球的拉力为F .由牛顿第二定律，
得F ＋mg ＝m v 2l
解得：F ＝1.76 N 若在最高点时绳子突然断了，则提供的向心力mg 小于需要的向心力，小球将沿切线方向飞出，做离心运动(实际上是平抛运动)．
答案：(1)2.5 m/s (2)1.76 N 离心运动 16．(10分)如图5－22所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转
动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上
的一点S 与转动轴的距离是半径的13
，当大轮边上的P 点的向心加速度是12 cm/s 2时，大轮上的S 点和小轮边缘上的Q 点的向心加速度各为多大？图5－22
解析：同一轮子上的S 点和P 点角速度相同，即ωS ＝ωP ，由向心加速度a ＝rω2可得a S
a P
＝r S r P ，所以a S ＝a P ·r S r P ＝12×13
cm/s 2＝4 cm/s 2.又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮缘各点线速度大小相等v P ＝v Q ，
由向心加速度公式a ＝v 2r 可得a P a Q ＝r Q r P
， 所以a Q ＝a P ·r P r Q ＝12×21
cm/s 2＝24 cm/s 2. 答案：4 cm/s 2 24 cm/s 2
17．(12分)如图5－23所示，质量为1 kg 的小球用长为0.5 m 的细线悬挂在O 点，O 点距地高度为1 m ，如果使小球绕OO ′轴在水平面内做圆周运动，若细线受力为12.5 N 就
会拉断，g 取10 m/s 2，求：
(1)当小球的角速度为多大时细线将断裂． 图5－23
(2)线刚好拉断时球落地点与悬点的水平距离． 解析：(1)绳的拉力和重力的合力充当向心力．绳断裂时，F 合＝F 2T －mg 2＝
12.52－102 N ＝7.5 N.
由向心力公式有F 合＝mω2·r
由相似三角形有L F T ＝
r F 合＝h 1mg
解得r ＝0.3 m h 1＝0.4 m ω＝5 rad/s. (2)线断后小球做平抛运动，初速度v 0＝ωr ＝1.5 m/s
高度h 2＝h －h 1＝0.6 m 由平抛运动知识h 2＝12
gt 2有 运动时间t ＝ 2h 2
g
水平距离：s x ＝v 0·t ＝v 02h 2g .
则落地点与悬点的水平距离．
s ＝ s 2
x ＋r 2
＝ 2v 20h 2g
＋r 2 ＝ 2×1.52
×0.610＋0.32 ＝0.36＝0.6 (m)
答案：(1)5 rad/s (2)0.6 m
18．(12分)如图5－24所示，质量分别为m A 、m B 的两只小球用轻弹簧连在一起，且m A ＝4m B ，并且用L 1＝40 cm ，不可伸长的细线拴在轴OO ′上，m A 与m B 均以n ＝120 r/min 绕轴在光滑的水平面上匀速转动，当两球间的距离L 2＝0.6 m 时将线烧断，试求线被烧断后的瞬间，两球加速度a A 和a B 的大小和方向．
解析：在线被烧断前，设弹簧中弹力为F ，线中张力为F T ，则对B 球有 图5－24 F ＝m B ω2(L 1＋L 2)
对A 球有
F T －F ＝m A ω2L 1 细线烧断后瞬间，弹簧中弹力尚来不及变化，故B 球受力不变，故由牛顿第二定律得
a B ＝F m B
＝ω2(L 1＋L 2) ＝(12060
×2π)2×(0.4＋0.6) m/s 2≈158 m/s 2 方向指向A
而A 球在线烧断后瞬间，线中张力F T 消失，故也只受弹力F 作用．由牛顿第二定律得
a A ＝F m A ＝m B m A
ω2(L 1＋L 2) ＝14(12060
×2π)2×(0.4＋0.6) m/s 2≈39.4 m/s 2 方向指向B 答案：a A ＝39.4 m/s 2 方向指向B
a B ＝158 m/s 2 方向指向A