2014-2015学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．（5分）（2015春?南通校级期中）不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（﹣1，2）．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：不等式x2﹣x﹣2＜0化为（x﹣2）（x+1）＜0，即可解出．
解答：解：不等式x2﹣x﹣2＜0化为（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2．
∴不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
点评：本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
2．（5分）（2015春?南通校级期中）△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，
若，则c=．
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，代入数据，即可得解．
解答：解：由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣2×=3，
解得c=．
故答案为：．
点评：本题考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
3．（5分）（2015春?南通校级期中）在等差数列{a n}中，a5+a6=35，则S10=175．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等差数列的性质得：a5+a6=a1+a10=35，再由等差数列的前n项和公式求出S10的值．
解答：解：根据等差数列的性质得：a5+a6=a1+a10=35，
∴S10==5×35=175，
故答案为：175．
点评：本题考查等差数列的性质、前n项和公式的合理运用，是基础题．
4．（5分）（2015?黔东南州一模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差
数列，则{a n}的公比为．
考点：等比数列的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．
解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，
∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），
解．
故答案为
点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
5．（5分）（2015春?南通校级期中）已知数列{a n}中，，则该数列{a n}的前
10项和为．
考点：数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：设数列{a n}的前n项和为T n，由知利用错位相减法求前n项和，从
而解得．
解答：解：设数列{a n}的前n项和为T n，
∵，
∴T n=1×+2×+…+n?，①
2T n=1+2×+…+n?，②
②﹣①得，
T n=1+++…+﹣n?；
故T n=1+++…+﹣n?
=2[1﹣]﹣n?；
故T10=2﹣=；
故答案为：．
点评：本题考查了错位相减法求数列的和的应用，属于基础题．
6．（5分）（2015春?南通校级期中）若不等式ax2+（b﹣2）x+3＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则a+b=3．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：不等式ax2+（b﹣2）x+3＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），可得a＜0，﹣1，3为一元二次方程ax2+（b﹣2）x+3=0的两个实数根．利用根与系数的关系即可得出．
解答：解：∵不等式ax2+（b﹣2）x+3＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
∴a＜0，﹣1，3为一元二次方程ax2+（b﹣2）x+3=0的两个实数根．
∴，解得a=﹣1，b=4．
则a+b=3．
故答案为：3．
点评：本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）（2015?上海模拟）如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，
AC=7，DC=3，则AB的长为．
考点：余弦定理．
专题：综合题．
分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．
解答：解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，
由余弦定理得cos∠ADC==﹣，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°
在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得，
∴AB=
故答案为：．
点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．
8．（5分）已知x，y为正实数，且2x+y=1，则的最小值是9．
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：可利用均值不等式求最值，因为求最小值，所以必须凑积为定值，可利用2x+y=1，让求最值的式子乘以2x+y=1，再化简即可．
解答：解：∵2x+y=1，∴==5+
∵x，y为正实数，∴≥2=4
∴5+≥9
∴的最小值为9
故答案为：9
点评：本题考查了均值不等式求最值，做题时应细心观察，找到变形式子，属于基础题．9．（5分）（2015春?南通校级期中）在△ABC中，BC=x，AC=2，B=45°，若三角形有两解，
则x的取值范围是．
考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：根据题意画出图象，由图象列出三角形有两个解的条件，求出x的取值范围．
解答：解：∵在△ABC中，BC=x，AC=2，B=45°，且三角形有两解，
∴如图：xsin45°＜2＜x，
解得，
∴x的取值范围是，
故答案为：．
点评：本题主要考查三角形存在个数的条件，以及数形结合思想，比较基础．
10．（5分）若数列{a n}的前n项和S n=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则数列{na n}中数值最小的项是第3项．
考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用：当n=1时，a1=S1=1﹣10=﹣9；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出通项公式a n．即可得到na n，再利用二次函数的性质即可得出．
解答：解：当n=1时，a1=S1=1﹣10=﹣9，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣10n﹣[（n﹣1）2﹣10（n﹣1）]=2n﹣11，
上式对于n=1时也成立．∴a n=2n﹣11．
∴na n=n（2n﹣11）=2n2﹣11n=，
因此当n=3时，数列{na n}中数值取得最小值﹣15．
故答案为3．
点评：熟练掌握j及其二次函数的性质是解题的关键．11．（5分）（2014?红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n
*
32 320
则等级为50级需要的天数a50=2700．
考点：数列的概念及简单表示法；归纳推理．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3），利用等差数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），
∴a50=50×54=2700．
故答案为：2700．
点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
12．（5分）（2015春?南通校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），不等式恒成立，则λ的取值范围是[1，+∞）．
考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：先根据二次函数的值域求出a，c的关系，结合基本不等式的性质从而求出λ的范围．解答：解：∵二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），
∴，∴a＞0，a=，
∴+=+==≤=1，
∴λ≥1，
故答案为：[1，+∞）．
点评：本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题．
13．（5分）（2015春?南通校级期中）由9个互不相等的正数组成的矩阵中，
每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，下列四个判断正确的个数为①②③④．
①第2列a12，a22，a32必成等比数列
②第1列a11，a21，a31不一定成等比数列
③a12+a32＞a21+a23
④若9个数之和等于9，则a22＜1．
考点：三阶矩阵；等差数列的性质．
专题：矩阵和变换．
分析：先由题意设列出由9个正数组成的矩阵，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），得出①正确；再由（a+d）+（c+n）≥2
=2（b+m），得到③④正确；再根据题设列举出由9个正数组成的特殊
矩阵判断②正确即可．
解答：解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：，
由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，
则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），故①正确；
（a+d）+（c+n）≥2 =2（b+m），故③正确；
再题意设由9个正数组成的矩阵是：，故②正确；
对于④，若9个数之和等于9，即3（a+d+b+m+c+n）=9，
∴b+m+a+d+c+n=3，
∴b+m=3﹣（a+d+c+n）≤3﹣2 =3﹣2（b+m），
∴b+m≤1，即a22≤1，故④正确；
故答案为：①②③④．
点评：本小题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
14．（5分）（2014?盐城一模）已知等比数列{a n}的首项为，公比为，其前n项和为
S n，若对任意n∈N*恒成立，则B﹣A的最小值为．
考点：等比数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：先利用等比数列的求和公式求出S n，求出S n的范围，确定y=S n﹣，求出最小值、最大值，即可求出B﹣A的最小值．
解答：解：∵等比数列{a n}的首项为，公比为，
∴S n==
令t=，则，S n=1﹣t，∴
∵S n﹣的最小值为﹣，最大值为，
∴对任意n∈N*恒成立，则B﹣A的最小值为=．
故答案为：．
点评：本题考查等比数列的求和公式，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知等差数列{a n}满足a4=6，a6=10．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3=a3，T2=3，求T n．
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：计算题．
分析：（1）利用等差数列的通项公式可把已知条件用a1，d表示，解方程可得a1，d从而可求a n
（2）由（1）可得a n=2n﹣2，把已知可转化为，解方程可得b1，q，
代入等比数列的求和公式．
解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，首项为a，
∵a4=6，a6=10，∴（3分）
解得（5分）
∴数列{a n}的通项公式a n=a1+（n﹣d）d=2n﹣2．（6分）
（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0）
∵a n=2n﹣2，
∴a3=4，
∵a3=b3，
∴b3=4
即（8分）
解得或舍（10分）
∴．（12分）
点评：本小题主要考查等差、等比数列的通项公式以及等比数列的前n项和公式，属于对基本定义、基本公式的简单运用的考查，试题难度不大．
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．
（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．
考点：余弦定理的应用．
分析：（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．
（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出
∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积．
解答：解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC
∴a2+b2﹣ab=4，
又∵△ABC的面积等于，
∴，
∴ab=4
联立方程组，解得a=2，b=2
（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA
当cosA=0时，，，，，求得此时
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
联立方程组解得，．
所以△ABC的面积
综上知△ABC的面积
点评：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．
17．（15分）如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米（a与b均不小于2米），且要求“转角处”（图中矩形AEFG）的面积为8平方米．
（Ⅰ）试用a表示草坪的面积S（a），并指出a的取值范围；
（Ⅱ）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．
考点：函数模型的选择与应用；基本不等式．
专题：函数的性质及应用．
分析：（I）利用面积，确定a，b的关系，可得a的范围，进而可表示出草坪的面积S（a）；（II）利用基本不等式，可求最值．
解答：解：（Ⅰ）由条件知，…（1分）
∵b≥2，∴，∴2≤a≤4…（3分）
∴S（a）=（32﹣2a）（18﹣b）
即：（2≤a≤4）…（6分）
（Ⅱ）∵…（9分）
当，即时，上式取“=”号，则S（a）≤﹣4×48+592=400
即时，S（a）取得最大值，最大值为400．…（11分）
答：当人行道的宽度a、b分别为米和3米时，草坪的面积达到最大，最大面积是400平
方米…（12分）
点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．（15分）（2015?银川模拟）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，
∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．
（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；
（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）由题意可得a=c﹣4、b=c﹣2．又因，，可得
，恒等变形得c2﹣9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ，．△ABC的周长f
（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=．再由，利用正弦函数的定
义域和值域，求得f（θ）取得最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．
又∵，，
∴，∴，
恒等变形得c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．
又∵c＞4，∴c=7．…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，
∴，AC=2sinθ，．
∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=
==，…（10分）
又∵，∴，
∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
19．（16分）（2015春?重庆校级期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．
（1）求cosC的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状．
考点：三角形的形状判断；三角函数的最值．
专题：解三角形．
分析：（1）当cosC=0时，不恒成立，当cosC≠0时，应有，解不等式结合三角形内角的范围可得；
（2）可得∠C的最大值为，代入数据由基本不等式可得．
解答：解：（1）当cosC=0时，sinC=1，
原不等式即为4x+6≥0，显然对一切实数x不恒成立，
当cosC≠0时，应有
化简可得，
解得，或cosC≤﹣2（舍去），
∵C是△ABC的内角，∴；
（2）∵0＜C＜π，
∴∠C的最大值为，此时，
∴≥，
∴ab≤4（当且仅当a=b时取“=”），
∴S△ABC=ab≤（当且仅当a=b时取“=”），
∴△ABC面积的最大值为，△ABC为等边三角形．
点评：本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数的最值和基本不等式，属中档题．20．（16分）（2015春?南通校级期中）定义：若数列{A n}满足则称数列{A n}为“平
方递推数列”，已知数列{a n}中，a1=2，点{a n，a n+1}在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n的正整数．
（1）证明数列{2a n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a n+1）}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为T n，即T n=（2a1+1）（2a2+1）…（2a n+1），求数列{a n}的通项及T n关于n的表达式；
（3）记，求数列{b n}的前n项和S n，并求使S n＞2008的n的最小值．
考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．
专题：新定义．
分析：（Ⅰ）由a n+1=2a n2+2a n，a n＞0，知2a n+1+1=4a n2+4a n+1=（2a n+1）2，所以{2a n+1}是“平方递推数列”．由lg（2a n+1+1）=2lg（2a n+1），且2a n+1＞1，知lg（1+2a n）＞0，由此能够证明{lg（2a n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）由lg（2a1+1）=lg5，知lg（2a n+1）=lg5?2n﹣1，所以，由lgT n=lg （2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2a n+1）=，能求出T n．（Ⅲ）由，知
==
由此能求出n的最小值．
解答：证明：（Ⅰ）由条件得：a n+1=2a n2+2a n，a n＞0．
∴2a n+1+1=4a n2+4a n+1=（2a n+1）2，
∴{2a n+1}是“平方递推数列”．
由lg（2a n+1+1）=2lg（2a n+1），
且2a n+1＞1，
∴lg（1+2a n）＞0，
∴，
∴{lg（2a n+1）}为等比数列．…（3分）
解：（Ⅱ）∵lg（2a1+1）=lg5，
∴lg（2a n+1）=lg5?2n﹣1，
∴
∴…（5分）
∵lgT n=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2a n+1），
=，
∴…（7分）
（Ⅲ），
∴
=
=．…（10分）
由S n＞2008，得2n﹣2+2＞2008，n+（）n＞1005，
当n≤1004时，n+（）n＜1005，当n≥1005时，n+（）n＞1005，
∴n的最小值为1005．…（13分）
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查对新定义的理解能力．本题将数列放到新情境中，关键是正确理解题意，挖掘问题的本质与隐含．