江苏省姜堰中学08-09学年高三上学期周周练（数学）
一、填空题1
．1212
[(1](1--=_________0 ________． 2．若存在x ∈,34ππ??
-
????
，使|sin |2a x >成立，则实数a 的取值范围为
a <
3．在等差数列{a n }中，a 2 + a 5 = 19，S 5 = 40，则a 10 为 29 ． 4．已知点（m ，n
）在曲线y =
2
3
n m --的取值范围是___[]0,2 ___________ 5．已知函数)10(log )2
1(≠>==a a x y y a x 且与函数两者的图象相交于点),,(00y x P 如果
a x 那么,20≥的取值范围是 [)16,+∞ ．
6．已知圆C ： 22430x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线l ：x -y +1=0的对称点都在圆C 上，则a = 2 。
7．过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_ 3 条. 8．已知正数x 、y 满足x+y=1,则11
()()x y x y
+++
的最小值为 5 . 9．第29届奥运会在北京举行.设数列n a =)2(log 1++n n *)(N n ∈，定义使k a a a a ?????321为整数的实数k 为奥运吉祥数，则在区间[1，2008]内的所有奥运吉祥数之和为____2026 __ 10．给出定义：若11
22
m x m -
<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即 {}x m =. 在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题： ①函
数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]； ②函数)(x f y =的图像关于直线2k
x =(k ∈Z)
对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数()y f x =在??
?
???-21,21上是增函数；则其中真命题是__ ①②③
11．已知向量()x x x a cos sin ,2sin 1-+=→
，()x x b cos sin ,1+=→
，函数
()f x a b =? ． 若58)(=
θf ， πcos 224θ??
- ???的值为 .
16sin 425θ=
12．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足
021=?PF ，2tan 21=∠F PF
，则该椭圆的离心率为 3
5
13．已知1sin cos 5θθ+=
，且324θππ
≤≤，则cos 2θ的值是 －25
7 ． 14．函数π()3sin 23f x x ??
=-
??
?
的图象为C ，如下结论中正确的是____ ①②③______（写出所有正确结论的编号．．）．①图象C 关于直线11
π12
x =对称；②图象C 关于点2π03??
???
，对称；③函数()f x 在区间π5π1212??
- ???
，内是增函数；④
由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C
二、解答题
15．已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=
的直线与，相交于M 、N 两点。（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM AN ?= 定值；
（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ?=
求的值.
解：（1）(1,),l a k =
直线过点(0,1)且方向向量
1l y kx ∴=+直线的方程为……………………………………………… 2分
1,<得……………………………………………………… 4分
4433
k <<
…………………………………………………… 6分
（2）（法一）1122(,),(,)M x y N x y 设
1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得
k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0………………………………………………… 8分
21222
7
,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+=, 1122(,1),(,1)AM x y AN x y =-=-
……………………………… 10分 11222212121(,1)(,1)(1)7AM AN x y x y x x k x x k x x AM AN ∴?=--=+=+=∴?=
定值
………12分
2C AT T AT （法二:圆幂定理）设的一条切线为,为切点,则=7 2
cos07.AM AN AM AN AT AM AN ∴?=?==∴? 为定值
(3)2由（）知
k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0
21222
7
,11k x x x x k k
∴=++124(1+)+= 2121212122
(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴?=+=++++=+=+ 4(1+)………14分
2
4,11k k k k
∴==+4(1+)解得1,0,1k k =?>∴=又当时…………………………………16分
16．如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥，AC 、BD 交于点G.（1）求证：BCE AE 平面⊥；（2）求证；
BFD AE 平面//；（3）求三棱锥BGF C -的体积.
解.（1）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD //
∴ABE BC 平面⊥，
AE ?平面ABE, ∴BC AE ⊥
又 ACE BF 平面⊥，∴BF AE ⊥ 又∵BC ∩BF=B ，BC BCE ?、BF 平面 ∴BCE AE 平面⊥ ………………… 6分 （Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点
ACE BF 平面⊥ 则BF CE ⊥，而BE BC =
∴F 是EC 中点 ,
在AEC ?中，AE FG //，且FG ?平面BFD,AE ?平面BFD. ∴BFD AE 平面// ………………… 12分 （Ⅲ）解： BFD AE 平面//
∴FG AE //，而BCE AE 平面⊥ ∴BCE FG 平面⊥ ∴BCF FG 平面⊥ G 是AC 中点
∴F 是CE 中点 ∴FG AE //且12
1
==AE FG ACE BF 平面⊥
∴CE BF ⊥
∴BCE Rt ?中，22
1
===CE CF BF ∴1222
1
=??=?CFB S ∴3
1
31=??==?--FG S V V CFB BCF G BFG
C ………………… 16分
17. 泰州、苏州两地相距500千米，一辆货车从泰州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a 元(a >0)． （1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
v
500
，全程运输成本为v v
a
v v v a y 550050001.05002+=?+?
= ……………………………………….4分 故所求函数及其定义域为]100,0(,5500∈+=v v v
a
y ………………………….6分 (2)依题意知a ，v 都为正数，故有a v v
a
1005500≥+ 当且仅当,5500v v a
=．即a v 10=时上式中等号成立………………………...8分 （1）若10010≤a ，即1000≤a ，即100>a 时，则当]100,0(∈v 时，有
55002+-='v a y 0)100(52
2<-=v a v .
上单调递减在函数]100,0(∈∴v y 。也即当v =100时，全程运输成本y 最小．…….14分
综上知，为使全程运输成本y 最小，当1000≤a 时行驶速度应为v =100千米/时。 (16)
18．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；
(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3) 证明: 对一切
(0,)x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>
-成立．
解： (1) '()ln 1f x x =+，当1(0,)
x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1
(,)x e
∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增．………………………………………………………………..2分
① 1
02t t e
<<+<，t 无解；
② 102t t e <<
<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-； ③ 12t t e ≤<+，即1
t e
≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；
所以min 1
10()1ln t e e f x t t t e ?-<
?≥??
， ，．…………………………………………………………..6分
(2) 22ln 3x x x ax ≥-+-，则3
2ln a x x x
≤++，………………………………………..8分
设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2
(3)(1)
'()x x h x x
+-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以min ()(1)4h x h ==……………………….10分 因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=；………………..12分 （3） 问题等价于证明2
ln ((0,))x
x x x x e e
>-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e
-，当且仅当1
x e
=
时取到………………………………………………………….14分 设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x x
m x e
-=，
易得max 1()(1)m x m e ==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>-成立．……………………………..16分
19．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：
()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．
已知2
()h x x =，()2ln (x e x e ?=为自然对数的底数)．（1）求()()()F x h x x ?
=-的极值；（2）函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．19． (1) ()()()F x h x x ?=-= 2
2ln (0)x e x x ->，
2()2e F x x x '∴=-
=． …………………………3分
当x =
()0F x '=． …………………………4分
当0x <<()0F x '<，此时函数()F x 递减；
当x >()0F x '>，此时函数()F x 递增；
∴当x =
()F x 取极小值，其极小值为0． …………………………7分
(2)由（1）可知函数)(x h 和)(x ?的图象在e x =
处有公共点，因此若存在)(x h 和)(x ?的
隔离直线，则该直线过这个公共点． …………………………8分 设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为)(e x k e y -=-，即
e k e kx y -+=． …………………………10分
由)()(R x e k e kx x h ∈-+≥，可得02
≥+--e k e kx x 当R x ∈时恒成立．
2)2(e k -=? ，
∴由0≤?，得e k 2=． …………………………12分
下面证明e x e x -≤2)(?当0>x 时恒成立．
令()()G x x e ?=-+e x e x e +-=2ln 2，则
2)
()e x G x x x
-'=
-=， …………………………13分
当x =
()0G x '=．
当0x <<()0G x '>，此时函数()G x 递增；
当x >()0G x '<，此时函数()G x 递减；
∴当x =
()G x 取极大值，其极大值为0．
从而()2ln 0G x e x e =-+≤，即)0(2)(>-≤x e x e x ?恒成立．………15分
∴函数()h x 和()x ?存在唯一的隔离直线y e =-． ………………………16分
20．定义：若数列{}n A 满足2
1n n A A =+，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}
n a 中，21=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 22)(2
+=的图像上，其中n 为正整数．（1）证明：数列{}12+n a 是“平方递推数列”，且数列{})12lg(+n a 为等比数列．（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即n T )12()12)(12(21+++=n a a a ，求数列{}n a 的通项及
n T 关于n 的表达式．
（3）记n a n T b n 12log +=，求数列{}n b 的前n 项之和n S ，并求使n S 2008>的n 的最小值．
解：（1）由条件得：n n n a a a 222
1+=+，22
1)12(14412+=++=+∴+n n n n a a a a ，
{}12+∴n a 是“平方递推数列”． ……………………………………………………4分
由{})12lg(,2)
12lg()
12lg()12lg(2)12lg(11+∴=++∴
+=+++n n n n n a a a a a 为等比数列．…5分
（2）,25lg )12lg(,5lg )12lg(11-?=+∴=+n n a a 1
2
512-=+∴n n a
)15(2
11
2-=
∴-n n a ． …………………………………………………………7分 5lg )12(2
1)
21(5lg )12lg()12lg()12lg(lg 21-=--?=++++++=n n n n a a a T ，
1
2
5-=∴n
n T ． ………………………………………………………………………10分
（3）1
1
1)21(22125lg 25lg )12()12lg(lg ----=-=-=+=n n n n n n n n a T b ，……………………11分 ])21(1[222
11)21
(12])21()21(211[212n n
n n n n n S --=---
=++++-=∴- n n )2
1
(222+-=．………………………………………………………………………13分
由,2008>n S 得1005)2
1(,2008)2
1(222>+>+-n
n
n n ， 当1004≤n 时，,1005)2
1(<+n
n 当1005≥n 时，1005)2
1(>+n
n ， 因此n 的最小值为1005． ……………………………………………………………16分