广东海洋大学2016-2017-1线性代数试题A

广东海洋大学 2016 —— 2017学年第 1 学期 《 高等数学1 》课程试题 课程号： 19221101x1 □√ 考试 □√ A 卷 □√ 闭卷一. 填空题（3×8=24分） 1．设函数1sin ,0()cos ,0x x e x f x a x x ⎧⎪>=⎨⎪≤⎩在点0x =处连续，则a = . 2.1x =是函数ln ()1x f x x =-的第 类间断点 3．设()2x f x e -= ，则()()n f x = 4. 设2y x = ,则当1,0.1x dx == 时dy = 5. 曲线x y xe -=在()0,0处的切线方程为 6. 函数33y x x =-在[]0,2上的最小值为 7. 312111x dx x -++⎰= 8.曲线2y x =与曲线0,1y x ==所围的图形的面积为 二 . 计算题（6×5=30分） 1. 求20sin lim tan x x x x x →-班级：姓名： 学号：试题共4页加白纸2张密封线GDOU-B-11-3022.求 31lim 1xx x x →∞-⎛⎫ ⎪+⎝⎭3.设()sin 1x y e -=+，求dy4.设 sin cos x t y t t =⎧⎨=⎩，求22d ydx5. 设函数()y y x =是由方程2220y xy e +-=确定，求dy dx三 .计算下列各题（7×4=28分）1. (1x +⎰2.sin 2x xdx ⎰3.1-⎰.4.()2211dx x x +∞+⎰.四．(11分)1. 计算由曲线2y x =与直线0,1y x ==所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.2.求曲线21x y x=+的凹凸区间和拐点。

五.（7分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，()10f =.证明：存在()0,1ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=.。

一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |= 12, A ∗是 A 的伴随矩阵,则 |4AA ∗|=2.已知 A =PΛQ ，其中 P =(2312),Λ=(100−1),Q =(2−3−12),QP =I( I 是2阶单位矩阵)，则 A 8= 3.设矩阵 A =(1a aa1a aa1)，且 r (A )=2，则 a = 4. 设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解向量，系数矩阵 A 的秩为 3，η1+η2=(3,4,5,6)T , η3=(1,2,3,4)T ，则该方程组的一般解为 5.若 3 阶方阵 A 与 B 相似，I 为 3 阶单位矩阵，A 的特征值为 12,1 3,1 4，则行列式 |B −1−I |=6. 已知 A =(20131a 405) 可对角化,则 a = .二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题不正确的是( ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (AB)−1=B −1A −1 D. |kAB |=k n |A ||B |2.设 A 是 3×4 矩阵，B 是 4×3 矩阵，则下列结论正确的是( ). A. ABx =0必有非零解 B. ABx =0只有零解 C. BAx =0必有非零解 D. BAx =0只有零解3.设 A ,B 均为 3 阶可逆方阵,若交换 A 的第一行与第三行得方阵 B , 则下列叙述正确的是( ).中国海洋大学《线性代数》2019-2020学年第二学期期末试卷A卷A.交换A −1的第一行与第三行得 B −1B.交换A −1的第一列与第三列得 B −1C.交换A −1的第一行与第三行得−B −1D.交换A −1的第一列与第三列得−B −1 4.设 A =(111111111),B =(40000000),则 A 与 B ( ). A.合同且相似 B.合同但是不相似 C.不合同但相似 D.不合同不相似5.已知向量组α1,α2,α3是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1,α1+α2,α1+α2+α3 D. α1−α2,α2−α3,α1−α36.设二次型 f (x 1,x 2,x 3)在正交变换 x =Py 下的标准型为 2y 12+y 22−y 32，其中 P =(α1,α2,α3)，若 Q =(α1,−α3,α2)，则 f (x 1,x 2,x 3)在 x =Qy 下的标准型为( ).A. 2y 12−y 22+y 32B. 2y 12+y 22−y 32C. 2y 12−y 22−y 32D. 2y 12+y 22+y 32三、计算题(共 4 题，共 28 分) 1.(6分) 计算 n +1阶行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| 2.(8分)设向量组 α1=(−1,1,2,4)T ，α2=(−1,−1,1,5)T ，α3=(0,2,1,−1)T ， α4=(−2,4,5,7)T ，α5=(1,1,−1,−5)T ，求此向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用其极大线性无关组线性表示.3.(8分)设矩阵 A=(112011−1−10)，矩阵 X 满足 A∗X=A−1+2X，其中 A∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X.4.(6分)已知 R2的两组基α1=(1,−1)T，α2=(1,0)T； β1=(1,2)T，β2=(3,5)T.(1)求从基 α1,α2到基 β1,β2的过渡矩阵 A；(2)已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 (1,−1)T，求 γ 在基 β1,β2下的坐标.四、证明题(共 1 题， 8 分)设 α1,α2,⋯,αp是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 β 满足 Aβ≠0，证明：向量组 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.五、解方程组（共1题，14分）讨论 a 取何值时，线性方程组 {x1+x2+ax3=1 x1+ax2+x3=1ax1+x2+x3=−2无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时求出方程组的一般解.六、二次型（共1题，14分）设二次型 f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32+2x1x2+4x1x3−4x2x3，已知它对应矩阵的所有特征值之和为 12，(1)求 c 的值；(2)正交变换法将此二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵Q；(3)写出它的规范型；(4)分析此二次型是否是正定二次型.一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |= 12, A ∗是 A 的伴随矩阵,则 |4AA ∗|=解：AA ∗=|A |I ，则 |4AA ∗|=|4|A |I |=|2I |=23=8；2.已知 A =PΛQ ，其中 P =(2312),Λ=(100−1),Q =(2−3−12),QP =I( I 是2阶单位矩阵)，则 A 8= 解：A 8=AA ⋯A ⏟ 8个=(PΛQ)(PΛQ)⋯(PΛQ)(PΛQ)⏟8个=P Λ(QP)Λ(Q ⋯P)Λ(QP)Λ⏟ Q 8个Λ，已知 QP =I=PΛ8Q =(2312)(1800(−1)8)(2−3−12) =(2312)(2−3−12)=(1001)=I .3.设矩阵 A =(1a aa1a aa1)，且 r (A )=2，则 a = 解：r (A )=2⟹{a ≠0且 a ≠1|A |=|1a a a 1a a a 1|=0⟹a =− 12.4. 设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解向量，系数矩阵 A 的秩为 3，η1+η2=(3,4,5,6)T , η3=(1,2,3,4)T ，则该方程组的一般解为 解： r (A )=3⟹Ax =0 的基础解系含有 4−r (A )=1 个向量. Ax =b 的一般解 x =x 0+kξ：① x 0 可取 η3=(1,2,3,4)T ；②取 ξ=(η1−η3)+(η2−η3)=η1+η2−2η3=(1,0,−1,−2)T ； 于是，Ax =b 的一般解 x =(1,2,3,4)T +k(1,0,−1,−2)T .答案5.若 3 阶方阵 A 与 B 相似，I 为 3 阶单位矩阵，A 的特征值为 1 2,1 3,1 4，则行列式 |B −1−I |=解：A ~ B ⟹B 的特征值也为 1 2, 1 3, 14 ⟹B −1 的特征值为 2,3,4；B −1−I 的特征值为2−1，3−1，4−1，即1，2，3； 则 |B −1−I |=1∙2∙3=6. 6. 已知 A =(20131a 405) 可对角化,则 a = . 解：矩阵 A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−20−1−3λ−1−a −40λ−5|=(λ−1)2(λ−6),则 A 的特征值为 λ1=λ2=1, λ3=6；A 可对角化，则对特征值 λ1=λ2=1，齐次线性方程组 (I −A)x =0 的 基础解系包含的向量个数为 2=3−r (I −A )⟹r (I −A )=1； 特征矩阵 (I −A )=(−10−1−30−a −40−4)，则方法1：特征矩阵(I −A )初等行变换⇒ (101003−a 000)从而 3−a =0⟹a =3； 方法2：(I −A ) 的任一2阶子式为 0⟹|−1−1−3−a|=0⟹a =3. 二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题不正确的是( A ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (AB)−1=B −1A −1 D. |kAB |=k n |A ||B |2.设 A 是 3×4 矩阵，B 是 4×3 矩阵，则下列结论正确的是( C ). A. ABx =0必有非零解 B. ABx =0只有零解 C. BAx =0必有非零解 D. BAx =0只有零解解：AB 是 3×3 矩阵，BA 是 4×4 矩阵，r (BA )≤r (A )≤3<4，则 BAx =0 必有非零解.3.设 A ,B 均为 3 阶可逆方阵,若交换 A 的第一行与第三行得方阵 B , 则下列叙述正确的是( B ).A.交换A −1的第一行与第三行得 B −1B.交换A −1的第一列与第三列得 B −1C.交换A −1的第一行与第三行得−B −1D.交换A −1的第一列与第三列得−B −1 解：A r 1↔r 2⇒ B ，则 B =E 13A ，于是 B −1=(E 13A)−1=A −1E 13−1=A −1E 13. 4.设 A =(111111111),B =(40000000),则 A 与 B ( B ). A.合同且相似 B.合同但是不相似 C.不合同但相似 D.不合同不相似解：{A 是3阶实对称矩阵 r (A )=1⟹|A |=0⟹0是 A 的2重特征值，即 λ1=λ2=0；A 的各行元素之和是3，则 3是 A 的特征值，即 λ3=3； 则 A 与B 有相同的正惯性指数1，相同的负惯性指数0； 则 A 与 B 合同，但是不相似，因为相似矩阵的特征值相同. 5.已知向量组α1,α2,α3是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( D ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1,α1+α2,α1+α2+α3 D. α1−α2,α2−α3,α1−α3解：(α1−α2)+(α2−α3)−(α1−α3)=0.6.设二次型 f (x 1,x 2,x 3)在正交变换 x =Py 下的标准型为 2y 12+y 22−y 32，其中 P =(α1,α2,α3)，若 Q =(α1,−α3,α2)，则 f (x 1,x 2,x 3)在 x =Qy 下的标准型为( A ).A. 2y 12−y 22+y 32B. 2y 12+y 22−y 32C. 2y 12−y 22−y 32D. 2y 12+y 22+y 32解：P T AP =P −1AP =(21−1)，P =(α1,α2,α3)则有 {Aα1=2α1 Aα2=1α2 Aα3=−α3⟹A(−α3)=(−1)(−α3)；又 Q =(α1,−α3,α2)，于是 Q T AQ = Q −1AQ =(2−11)，则 f (x 1,x 2,x 3) 在正交变换 x =Qy 下的标准形为 2y 12−y 22+y 32. 三、计算题(共 4 题，共 28 分) 1.(6分) 计算 n +1阶行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| 解：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| c 1+c 2+⋯+c n+1|0a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n n +111⋯11|=(n +1)∙(−1)n+1+1|a 10⋯00−a 2a 2⋯00⋮⋮ ⋮⋮00⋯−a n a n|=(−1)n (n +1)a 1a 2⋯a n . 2.(8分)设向量组 α1=(−1,1,2,4)T ，α2=(−1,−1,1,5)T ，α3=(0,2,1,−1)T ， α4=(−2,4,5,7)T ，α5=(1,1,−1,−5)T ，求此向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用其极大线性无关组线性表示.解：记矩阵 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=(−1−10−211−12412115−145−17−5)r 4−2r 3r 3−2r 2⇒ r 2+r 1(−1−10−210−222203−3−3−303−3−3−3) r 4−r 3 ⇒ r 2+r 3(−1−10−2101−1−1−103−3−3−300000)r 3−3r 2 ⇒ r 1+r 2(−10−1−3001−1−1−10000000000)r 1∙(−1)⇒ (101301−1−1−10000000000)，①秩{α1,α2,α3,α4,α5}=2；②α1,α2 是 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组； ③对向量 α3,α4,α5，有{α3=α1−α2α4=3α1−α2α5=−α2.3.(8分)设矩阵 A =(112011−1−10)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X .解：A ∗X =A −1+2X ⟹(A ∗−2I )X =A −1⟹A (A ∗−2I )X =AA −1=I ⟹(|A |I −2A )X =I ⟹X =(|A |I −2A)−1；又 |A |=2，则 |A |I −2A =(0−2−400−2222)=2(0−1−200−1111)=2B ，这里 B =(0−1−200−1111)；从而 X =(2B)−1= 1 2B −1由 (B,I )=(0−1−200−1111 1000 1 0001) 初等行变换⇒ (1000 10001 1−11−1 200−10)=(I,B −1)，得 B −1=(1−11−1 200−10)； 于是 X = 12(1−11−1 200−10).4.(6分)已知 R 2的两组基α1=(1,−1)T ，α2=(1,0)T ； β1=(1,2)T ，β2=(3,5)T . (1)求从基 α1,α2到基 β1,β2的过渡矩阵 A ；(2)已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 (1,−1)T ，求 γ 在基 β1,β2下的坐标. 解：(1)记矩阵 B 1=(α1,α2)=(1−1 10)，B 2=(β1,β2)=(12 35)，因为 (β1,β2)=(α1,α2)A ，即 B 1A =B 2，解此矩阵方程(B 1,B 2)=(1−1 10 12 35)初等行变换⇒ (10 01 −23 −58)=(I,A)则从基 α1,α2到基 β1, β2的过渡矩阵 A =(−23 −58)(2)两种方法：已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 γB 1=(1,−1)T ， 设 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB 2， 方法1：因为 γ=B 1γB 1=(1−1 10)(1−1)=(0−1)；又有 γ=B 2γB 2，则求解该方程组(B2,γ)=(1235|0−1)初等行变换⇒(11|−31),则 γ 在基 B2下的坐标向量 γB2=(−31)；方法2：因为AγB2=γB1，求解该非齐次线性方程组(A,γB1)=(−23−58|1−1)初等行变换⇒(11|−31)=(I,γB2)则 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB2=(−31).四、证明题(共 1 题， 8 分)设 α1,α2,⋯,αp是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 β 满足 Aβ≠0，证明：向量组 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.证：设 kβ+k1( β+α1)+k2(β+α2)+⋯+k p(β+αp)=0，整理得 (k+k1+⋯+k p)β+k1α1+k2α2+⋯+k pαp=0，(*)等式两边左乘矩阵 A 得：(k+k1+⋯+k p)Aβ+k1Aα1+k2Aα2+⋯+k p Aαp=0，已知 Aαi=0，i=1,⋯,p，则有 (k+k1+⋯+k p)Aβ=0，而 Aβ≠0，所以有 k+k1+⋯+k p=0，则(*)式变为 k1α1+k2α2+⋯+k pαp=0，因为 α1,α2,⋯,αp是基础解系，则 α1,α2,⋯,αp线性无关，于是 k1=k2=⋯=k p=0，从而 k=0；即 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.五、解方程组（共1题，14分）讨论 a 取何值时，线性方程组 {x1+x2+ax3=1 x1+ax2+x3=1ax1+x2+x3=−2无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时求出方程组的一般解.解：系数矩阵 A =(11a 1a 1a 11)，b =(11−2)；又 |A |=|11a1a 1a 11|=−(a −1)2(a +2)(1)当 |A |≠0，即当 a ≠1 且 a ≠−2 时，方程组有唯一解；(2)当 a =1 时，增广矩阵(A,b )=(111111111|11−2)初等行变换⇒ (111000000|10−3)方程组出现矛盾方程，则原方程组无解；(3)当 a =−2 时，增广矩阵(A,b )=(11−21−21−211|11−2)初等行变换⇒ (10−101−1000|100)=(U,d)取 x 3 为自由未知量，①令 x 3=0，代入 Ux =d ，得原方程组的一个特解 x 0=(1,0,0)T ； ②令 x 3=1，代入 Ux =0，得 Ax =0 的一个基础解系 ξ=(1,1,1)T ；则原方程组的通解为 x =x 0+kξ=(100)+k (111)，k 任意；综上，{当 a ≠1 且 a ≠−2 时，方程组有唯一解；当 a =1 时，方程组无解；当 a =−2 时，方程组有无穷多解.六、二次型（共1题，14分）设二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3，已知它对应矩阵的所有特征值之和为 12，(1)求 c 的值；(2)正交变换法将此二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵Q ；(3)写出它的规范型；(4)分析此二次型是否是正定二次型.解：二次型对应的矩阵为 A =(51215−22−2c)， (1)A 的所有特征值之和为 12，即 5+5+c =12，得 c =2；从而 A =(51215−22−22).(2)A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−5−1−2−1λ−52−22λ−2|=λ(λ−6)2，则 A 的特征值为 λ1=λ2=6，λ3=0；①对于 λ1=λ2=6，由(λ1I −A)x =0，即 (1−1−2−112−224)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系 {ξ1=(1,1,0)Tξ2=(2,0,1)T ， 1)正交化：取 β1=ξ1=(1,1,0)T ，令 β2=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1)β1=(1,−1,1)T ， 2)单位化：令 η1=1‖β1‖β1=(1√2,1√2,0)T ； η2=1‖β2‖β2=(1√3,−1√31√3)T； ②对于特征值 λ3=0，由(λ3I −A)x =0⟺Ax =0，即 (51215−22−22)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系为 ξ3=(−1,1,2)T ，单位化得：η3=1‖ξ3‖ξ3=(−1√6,1√6,2√6)T；③记矩阵 Q=(η1,η2,η3)=(√2√3√6√2√3√6√3√6)，则 Q 为正交阵，且使得 Q T AQ=Q−1AQ=Λ=(66)④令 x=(x1,x2,x3)T，y=(y1,y2,y3)T，做正交变换 x=Qy，原二次型就化成标准形 x T Ax=y T(Q T AQ)y=6y12+6y22.(3)二次型的正惯性指数为2，负惯性指数为0；则二次型的规范形为：z12+z22.(4)二次型 f(x1,x2,x3)的正惯性指数为2，不是正定二次型.。

一、填空题(共 18分)1.设 A 是3阶方阵，|A|=3，A∗为 A 的伴随矩阵，则|3A−1|=( )，|A∗|=( )，|3A∗−7A−1|=( ).2.设α=(1,−2,3)T，β=(−1, 12,0)，A=αβ，则|A100|=( ).3.设向量α=(1k 1)是矩阵A=(211121112) 的一个特征向量，则k=().4.A为3阶实对称矩阵，向量 ξ1=(1,2,5)T，ξ1=(k,2k,3)T是分别对应于特征值2和3的特征向量, 则 k=().5.设 η1,η2,η3为4元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解，r(A)=3，已知η1+η2=(3,4,5,6)T,η3=(1,2,3,4)T，则 Ax=b 的一般解为( ).二、选择题(共 6 题，每题 3分，共 18 分)1.设 M、P 为 n 阶矩阵，且 P 可逆，则下列运算不正确的是( ).A. |M|=|P−1MP|；B. |2E−M|=|2E−P−1MP|；C. |2E−M|=|2E−(P−1MP)T|；D. P−1MP=M.2.设 M、N、P 为同阶矩阵，下列结论成立的有( ).A. MN=NM；B. (M+N)−1=M−1+N−1；C. 若 MP=NP，则M=N；D. (M+N)T=M T+N T.3.设 A 为 m×n 矩阵，线性方程组 Ax=b 有解的充分条件为( ).A. 矩阵A 行满秩；B. 矩阵A 列满秩；C. 矩阵A 的秩小于其行数；D. 矩阵A 的秩小于其列数.4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵；若 n 维列向量 α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则矩阵 (P−1AP)T的属于特征值 λ 的特征向量是( ).A. P−1α；B. P Tα；C. Pα；D. (P−1)Tα.5.设向量 α,β,γ 线性无关，α,β,δ 线性相关，下列哪个成立().中国海洋大学《线性代数》2016-2017学年第二学期期末试卷A卷A. α 必可由 β,γ,δ 线性表示；B. β 必不可由 α,γ,δ 线性表示；C. δ 必可由 α,β,γ 线性表示；D. δ 必不可由 α,β,γ 线性表示.6.设 A 是 n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ；A ∗、B ∗分别为 A 、B 的伴随矩阵，则( ).A. 交换 A ∗的第一列与第二列得 B ∗；B. 交换 A ∗的第一行与第二行得 B ∗；C. 交换 A ∗的第一列与第二列得 −B ∗；D. 交换 A ∗的第一行与第二行得 −B ∗.三、计算题(共 4题，共 28 分)1.计算行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11|. 2.矩阵 A =(11−1−1111−11)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X .3.已知 R 3的两组基 B 1={α1,α2,α3}和 B 2={β1,β2,β3}，其中α1=(1,1,1)T ，α2=(0,1,1)T ， α3=(0,0,1)T ；β1=(1,0,1)T ，β2=(0,1,−1)T ，β3=(1,2,0)T .(1)求基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A ；(2)已知 α 在基 B 1下的坐标向量为 (1,−2,−1)T ，求 α 在基 B 2下的坐标向量.4.求向量组 α1=(1,0,1,0), α2=(2,1,−3,7), α3=(4,1,−1,7), α4=(3,1,0,3), α5=(4,1,3,−1) 的秩，及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示.四、证明题(共 1题，共 8 分)设 A 为 n 阶方阵，且 4A 2−I =O ，证明：(1) A 的特征值只能为− 1 2或 1 2；(2) r (2A +I )+r (2A −I )=n.五、解方程组（共1题，13分）当 λ 取何值时，线性方程组 {(1+λ)x 1+x 2+x 3=0x 1+(1+λ)x 2+x 3=3x 1+x 2+(1+λ)x 3=λ无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.六、二次型（共1题，12分）二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3 的秩为2，(1)求 c ；(2)用正交变换法将二次型化为标准形，并写出对应的正交矩阵.一、填空题(共 18分)1.设 A 是3阶方阵，|A |=3，A ∗为 A 的伴随矩阵，则 |3A −1|=( )， |A ∗|=( )，|3A ∗−7A −1|=( ).解：|3A −1|=33|A−1|=331|A |=9；|A ∗|=|A |3−1=9； |3A ∗−7A −1|=|3|A |A −1−7A−1|=|2A −1|=23|A −1|= 8 3. 2.设 α=(1,−2,3)T ，β=(−1, 1 2,0)，A =αβ，则 |A 100|=( ).解：A =αβ=(1−23)(−1, 1 2,0)= 1 2(−2104−20−630)⟹|A |=0 |A 100|=|A|100=0.3.设向量 α=(1k 1) 是矩阵 A =(211121112) 的一个特征向量，则 k =( ).解：设向量 α 是 A 的特征值 λ 对应的特征向量，则 Aα=λα，即 (211121112)(1k 1)=λ(1k 1)⟹{2+k +1=λ1+2k +1=λk ⟹(k −1)=λ(k −1)⟹{k −1=0⟹k =1，λ=4；k −1≠0⟹λ=1，k =−2. 4.A 为3阶实对称矩阵，向量 ξ1=(1,2,5)T ，ξ1=(k,2k,3)T 是分别对应于特征值2和3的特征向量, 则 k =( ).解：由题意知：ξ1,ξ2 正交，即 (ξ1,ξ2)=0⟹1∙k +2∙2k +5∙3=0从而 k =−3.5.设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解，r (A )=3，已知 η1+η2=(3,4,5,6)T ,η3=(1,2,3,4)T ，则 Ax =b 的一般解为( ). 解：r (A )=3⟹Ax =0 的基础解系含有 4−r (A )=1 个向量.Ax =b 的一般解为 x =x 0+kξ；答案(1) x0可取 η3；(2)取 ξ=(η1−η3)+(η2−η3)=η1+η2−2η3=(1,0,−1,−2)T；于是，Ax=b 的一般解x=(1,2,3,4)T+k(1,0,−1,−2)T，k 任意.二、选择题(共 6 题，每题 3分，共 18 分)1.设 M、P 为 n 阶矩阵，且 P 可逆，则下列运算不正确的是( D ).A. |M|=|P−1MP|；B. |2E−M|=|2E−P−1MP|；C. |2E−M|=|2E−(P−1MP)T|；D. P−1MP=M.解：A. |M|=|P−1MP|=|P−1|∙|M|∙|P|=|M|；B. |2E−M|=|P−1|∙|2E−M|∙|P|=|P−1(2E−M)P|=|2E−P−1MP|；C. |2E−(P−1MP)T|=|(2E−P−1MP)T|=|2E−P−1MP|=|2E−M|；D. P−1MP=M结论不一定成立；MP不一定等于PM.2.设 M、N、P 为同阶矩阵，下列结论成立的有( D ).A. MN=NM；B. (M+N)−1=M−1+N−1；C. 若 MP=NP，则M=N；D. (M+N)T=M T+N T.3.设 A 为 m×n 矩阵，线性方程组 Ax=b 有解的充分条件为( A ).A. 矩阵A 行满秩；B. 矩阵A 列满秩；C. 矩阵A 的秩小于其行数；D. 矩阵A 的秩小于其列数.解：A 行满秩⟹r(A,b)=r(A)⟺Ax=b 有解.4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵；若 n 维列向量 α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则矩阵 (P−1AP)T的属于特征值 λ 的特征向量是( B ).A. P−1α；B. P Tα；C. Pα；D. (P−1)Tα.解：已知 Aα=λα，且 A T=A；记 P−1AP=Q，则 (P−1AP)T=Q T；则PQ=AP⟹Q T P T=P T A T，A 对称⟹Q T P T=P T A⟹Q T P Tα=P T Aα=λP Tα.5.设向量 α,β,γ 线性无关，α,β,δ 线性相关，下列哪个成立( C ).A. α 必可由 β,γ,δ 线性表示；B. β 必不可由 α,γ,δ 线性表示；C. δ 必可由 α,β,γ 线性表示；D. δ 必不可由 α,β,γ 线性表示.解：α,β,γ 线性无关，则 α,β 线性无关；又 α,β,δ 线性相关，则 δ 可由 α,β 线性表示，即 δ=k 1α+k 2β=k 1α+k 2β+0γ.6.设 A 是 n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ；A ∗、B ∗分别为 A 、B 的伴随矩阵，则( C ).A. 交换 A ∗的第一列与第二列得 B ∗；B. 交换 A ∗的第一行与第二行得 B ∗；C. 交换 A ∗的第一列与第二列得 −B ∗；D. 交换 A ∗的第一行与第二行得 −B ∗.解：A r 1↔r 2 ⇒ B ，则 B =E 12A ⟹{|B |=|E 12A|=−|A | B −1=(E 12A)−1=A −1E 12−1=A −1E 12于是 B ∗=|B |B −1=−|A |A −1E 12=−A ∗E 12；得 −B ∗=A ∗E 12⟺ 交换 A ∗的第1列和第2列得到 −B ∗.三、计算题(共 4题，共 28 分)1.计算行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11|. 解：行列式c 1+c 2+⋯+c n+10a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n n +111⋯11|=(n +1)∙(−1)n+1+1|a 10⋯00−a 2a 2⋯00⋮⋮ ⋮⋮00⋯−a n a n| =(−1)n (n +1)a 1a 2⋯a n .2.矩阵 A =(11−1−1111−11)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随 矩阵，求矩阵 X .解：A ∗X =A −1+2X ⟹(A ∗−2I )X =A −1⟹A (A ∗−2I )X =AA −1=I ⟹(|A |I −2A )X =I⟹X =(|A |I −2A)−1；又 |A |=4，则 |A |I −2A =(2−2222−2−222)=2(1−1111−1−111)=2B ，这里 B =(1−1111−1−111)；从而 X =(2B)−1= 1 2B −1 由 (B,I )=(1−1111−1−111 1000 1 0001)初等行变换⇒ (1000 10001 1/21/2001/21/21/201/2)=(I,B −1)， 得 B −1= 1 2(1100 11101)，于是 X = 1 4(1100 11101). 3.已知 R 3的两组基 B 1={α1,α2,α3}和 B 2={β1,β2,β3}，其中 α1=(1,1,1)T ，α2=(0,1,1)T ， α3=(0,0,1)T ； β1=(1,0,1)T ，β2=(0,1,−1)T ，β3=(1,2,0)T .(1)求基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A ；(2)已知 α 在基 B 1下的坐标向量为 (1,−2,−1)T ，求 α 在基 B 2下的坐标向量. 解：仍记 B 1=(α1,α2,α3)，B 2=(β1,β2,β3).(1)由 (β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)A ，即得 B 2=B 1A ，于是，(B 1,B 2)=(1001011100121111−10)初等行变换⇒ (100101010−1110011−2−2)=(I,A )则基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A =(101−1111−2−2).(2)两种方法：已知 αB 1=(1,−2,−1)T方法1：α=B 1αB 1=(1,−1,−2)T ，又有 α=B 2αB 2，则求解该方程组(B 2,α)=(1010121−10|1−1−2)初等行变换⇒ (100010001|57−4),则 α 在基 B 2下的坐标向量 αB 2=(5,7,−4)T .方法2：因为 A αB 2=αB 1，求解该方程组(A ,αB 1)=(101−1111−2−2|1−2−1)初等行变换⇒ (100010001|57−4)，则 α 在基 B 2下的坐标向量 αB 2=(5,7,−4)T .4.求向量组 α1=(1,0,1,0), α2=(2,1,−3,7), α3=(4,1,−1,7), α4=(3,1,0,3), α5=(4,1,3,−1) 的秩，及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示.解：记矩阵A =(α1T ,α2T ,α3T ,α4T ,α5T )=(12434011111−3−1030773−1) 初等行变换 ⇒ (102000110−10001200000)，则 (1)秩{α1,α2,α3,α4,α5}=3；(2)α1,α2,α4 是向量组 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组；(3)α3=2α1+α2,α5=−α2+2α4.四、证明题(共 1题，共 8 分)设 A 为 n 阶方阵，且 4A 2−I =O ，证明：(1) A 的特征值只能为− 1 2或 1 2；(2) r (2A +I )+r (2A −I )=n. 证：(1)设 A 的特征值为 λ，则 4A 2−I 的特征值为 4λ2−1，因为 4A 2−I =O ，而零矩阵 O 的特征值均为0，于是有 4λ2−1=0⟹λ=− 1 2或 1 2； (2)4A 2−I =O ⟹(2A +I)(2A −I )=O ，则① r (2A +I )+r (2A −I )≤n ；② r (2A +I )+r (2A −I )=r (2A +I )+r (I −2A )≥r(2A +I +(I −2A ))=r (2I )=n ；于是，r (2A +I )+r (2A −I )=n .五、解方程组（共1题，13分）当 λ 取何值时，线性方程组{(1+λ)x 1+x 2+x 3=0x 1+(1+λ)x 2+x 3=3x 1+x 2+(1+λ)x 3=λ无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.解：系数矩阵 A =(1+λ1111+λ1111+λ)，b =(03λ).又 |A |=|1+λ1111+λ1111+λ|=λ2(λ+3)①当 |A |≠0，即当 λ≠0 且 λ≠−3 时，方程组有唯一解； ②当 λ=0 时，增广矩阵(A,b )=(111111111| 030)初等行变换⇒ (111000000| 030) 方程组出现矛盾方程，则原方程组无解；③当 λ=−3 时，增广矩阵(A,b )=(−2111−2111−2|03−3)初等行变换⇒ (10−101−1000| −1−20)=(U,d)取 x 3 为自由未知量，1)令 x 3=0，代入 Ux =d ，得原方程组的一个特解 x 0=(−1,−2,0)T ；2)令 x 3=1，代入 Ux =0，得 Ax =0 的一个基础解系 ξ=(1,1,1)T ；则原方程组的通解为 x =x 0+kξ=(−1−20)+k (111)，k 任意；综上，{当 λ≠0 且 λ≠−3时，方程组有唯一解；当 λ=0 时，方程组无解；当 λ=−3时，方程组有无穷多解.六、二次型（共1题，12分）二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3 的秩为2， (1)求 c ；(2)用正交变换法将二次型化为标准形，并写出对应的正交矩阵.解：二次型对应的矩阵为 A =(51215−22−2c)， (1)已知 r (A )=2⟹|A |=0，得 c =2；(2)A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−5−1−2−1λ−52−22λ−2|=λ(λ−6)2，A 的特征值为 λ1=λ2=6，λ3=0；①对于 λ1=λ2=6，由(λ1I −A)x =0，即 (1−1−2−112−224)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系 {ξ1=(1,1,0)T ξ2=(2,0,1)T ， 1)正交化：取 β1=ξ1=(1,1,0)T ，令 β2=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1)β1=(1,−1,1)T ， 2)单位化：令 η1=1‖β1‖β1=(1√2,1√2,0)T ； η2=1‖β2‖β2=(1√3,−1√31√3)T； ②对于特征值 λ3=0，由(λ3I −A)x =0⟺Ax =0，即 (51215−22−22)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系为 ξ3=(−1,1,2)T ，单位化得：η3=1‖ξ3‖ξ3=(−1√6,1√6,2√6)T； ③记矩阵 Q =(η1,η2,η3)=( √2√3√6√2√3√60√3√6) ，则 Q 为正交阵， 且使得 Q T AQ =Q −1AQ =Λ=(660)④令 x =(x 1,x 2,x 3)T ，y =(y 1,y 2,y 3)T ，做正交变换 x =Qy ，原二次型就化成标准形 x T Ax =y T (Q T AQ )y =6y 12+6y 22.。

广东海洋大学2008——2009学年第1学期《线性代数》课程试题课程号：1920017√考试√A 卷√闭卷□考查□B 卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数361610*********实得分数一、填空（每题4分，共36分）1.设五阶行列式|a ij |=3(i ,j =1,2,3,4,5)，先交换1、5两行；再转置；最后用2乘所有元素,其结果为___________。

2.若矩阵A 有r 个列向量线性无关,则r(A)r;3．设A 为四阶矩阵，若|A|=2，则|AA *|=4.设向量组I 的秩为r 1,向量组II 的秩为r 2,且向量组I 可由向量组II 线性表示,则r 1,r 2的关系为5．设)0,1,1(1-=α，)2,1,1(2=α,)1,1,1(3=α则r (321,,ααα)=.6．设矩阵A 为正交矩阵，则|A|=_____。

7.设A,B 都是n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使P 1-AP=B，则称矩阵A 与B______。

8.已知矩阵(a ij )33⨯的特征值分别为2，3，4，则|a ij |=_______。

9.向量(1,2,2,3),(3,1,5,1)αβ==的夹角为___________。

二行列式计算（每题8分，共16分）12班级：姓名：学号：试题共3页加白纸5张密封线GDOU-B-11-3023111131111311113000000000000x y x y x yy x三、已知矩阵A=，求（E-A）1-（10分）四、求如下齐次线性方程组的基础解系与通解（15分）五、求下面矩阵的特征值与特征向量（12分）六、证明：若n 维向量12,,,r ααα 是一组正交向量组，则12,,,r ααα 线性无关。

（11分）六、证明：若向量组12,,,,s αααβ 线性相关，而向量组12,,,s ααα 线性无关，则向量β可由12,,,s ααα 线性表示，且表示法唯一。

（11分）101210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭123221343⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1234123412340253207730x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩460350361A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭广东海洋大学2010——2011学年第一学期《线性代数》课程试题课程号：19221201★考试★A 卷★闭卷□考查□B 卷□开卷题号一二三四五六总分阅卷教师各题分数40121020108100实得分数一、填空（每小题4分，共40分）（1）;54413522135）：或所带的符号是（展开式中，-+a a a a a D （2）A 为三阶方阵，1-A =2，A 2=；（3）05402021=k k ，k =；（4）*A 是可逆4阶矩阵A 的伴随矩阵，R(A)=1，R(*A )=；（5）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4010100001；（6）n 阶矩阵A 可逆，其标准形是；（7）T T )3,3,2(2,)3,3,1(-=+-=-βαβα，α=；（8）向量组：γβα,,线性无关，向量组：γαβαα++,,的线性相关性是：；（9）n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩r(A)=r ，其解空间的维数是；（10）。

广东海洋大学 2013 —— 2014 学年第一学期《线性代数》课程试题课程号： √ 考试 □ A 卷√ 闭卷□ 考查 √ B 卷 □ 开卷一、填空题（30分）1、设A 是三阶方阵，且,3=A 则A 2= 。

2、设D 是三阶行列式，则 = 。

3、设A ，B 均可逆，则= 。

4、设A 可逆，且AX=B,则X= 。

5、单个向量α线性相关⇔α= 。

6、n 元齐次线性方程组AX=o 有非0解⇔ 。

7、设 则k A = 。

8, n 阶方阵A 可逆⇔ 。

9、向量组 。

10、设5元线性方程组AX=0， ,2)(=A γ则其基础解系由 个向量构成。

班级：姓名：学号：加白纸张密封线100-⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 232322222121A a A a A a ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101λA 线性TT T )17,2,2(,)4,2,1,3(,)1,3,1,1(321-=-==ααα二、计算行列式的值（10分）三、设A= 求A 1-。

（12分）3131314250111253------=D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--523012101四、解矩阵方程。

（12分）设A=，AX=2X+A, 求X 。

五 求下列向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量由此极大无关组线性表示（14分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110011101T T T T )11,9,5,8(,)2,1,1,3(,)10,7,1,1(,)1,1,1,2(4321αααα--=-==六、求下列方程组的通解x 1－x 2－x 3＋x 4＝0｛ x 1－x 2＋x 3－3x 4＝1 （15分） x 1－x 2－2x 3＋3x 4＝－1/2七、设方阵A 满足0222=--E A A ，证明A 可逆，并求其逆矩阵。

(7分)。

2016-2017 学年第一学期期末考试线性代数试题一．选择题（每小题 4 分，共 24 分）1、行列式01110212=-k k 的充分条件是（A ）2=k （B ）2-=k （C ）0=k （D ）4=k 2、设A 为n 阶矩阵，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则=*A A （A ）n n A -2（B ）n A （C ）12+-n n A （D ）1-n A 3、设A 为n 阶矩阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组AX =b（A ）无解（B ）有唯一解（C ）有无穷多解（D ）解的情况不能确定4、设A 、B 是满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（C ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（D ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5、已知21,ηη是线性非齐次方程组b x A n m =⨯的两个不同的解，21,ξξ是对应线性齐次方程组0=⨯x A n m 的基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组b x A n m =⨯的通解为（A ）2)(2121211ηηξξξ-+++k k ；（B ）2)(2121211ηηξξξ++-+k k ；（C ）2)(2121211ηηηηξ-+++k k ；（D ）2)(2121211ηηηηξ++-+k k ；6、设A 是3阶不可逆矩阵，21,αα是AX =0的基础解系，3α是属于特征值1=λ的特征向量，下列不是A 的特征向量的是（A ）213αα+（B ）21αα-（C ）31αα+（D ）32α二．填空题（每小题4分，共16分）1、若三阶矩阵A 的伴随矩阵是*A ,且21=A ,则=-*-A A 231）（__________.2、设X A AX +=，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010312022A ，则=X ___________.3、已知123,,αααγβ,,都是四维列向量，,,,,321a =βααα,,,,123b =+αααγβ则=321,,,2αααγ___________.4、设l ααα,,,21 都是非齐次线性方程组AX =b 的解，如果l l c c c ααα+++ 2211还是AX =b 的解，则=+++l c c c 21___________.三、计算题（每题10分，共50分）1、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231102A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102324171B 求T AB ）（.2、求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A 的列向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1312α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0143α,用施密特正交化过程把这组向量规范正交化4、用基础解析表示如下线性方程组的全部解⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--2143214321432132130x x x x x x x x x x x x 5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=60028022a A 相似于对角矩阵∧，确定常数a 的值；并求可逆矩阵P ,使得∧=-AP P 1。

广东海洋大学 2015—— 2016学年第 二 学期《 材料力学 》课程试题课程号： 14122204√ 考试 √ A 卷 √ 闭卷□ 考查□ B 卷 □ 开卷一、选择题(在括号内填正确的答案) （每题3分，共24分） 1、图示杆件处于平衡状态，则力R 与截面2-2的内力分别为（ ）。

(A) 20N 、30N (B) 50N 、10N (C) 30N 、40N (D) 70N 、20N2、低碳钢经过冷作硬化处理后，其( )基本不变。

(A) 弹性模量 (B) 比例极限 (C) 延伸率(D) 截面收缩率3、中性轴是梁的（ ）的交线。

(A) 纵向对称面与横截面 (B) 横截面与底面 (C) 纵向对称面与中性层 (D) 横截面与中性层4、图示悬臂梁长为l ，固定端横截面惯性矩为z I ，尺寸如图，则固定端最大拉应力为（ ）。

班级：姓名：学号：试题共8页加白纸 1 张密封线GDOU-B-11-302(A) (B) (C) (D)5、一实心碳钢轴，校核其扭转刚度时，发现单位长度扭转角超过了许用值。

为保证该轴的抗扭刚度，应该（ ）。

(A) 改用合金钢材料 (B) 增加表面光洁度 (C) 增加轴的直径 (D) 减小轴的长度6、图示单元体应力状态，沿y 方向的线应变y ε为（ ）。

(A)Ey σ (B) )(1y x E μσσ-(C) )(1x y E μσσ- (D) Gτ7、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大（ ）处一定最大。

(A) 挠度 (B)转角 (C) 剪力 (D) 弯矩8、某机轴用塑性材料制成，工作时发生弯扭组合变形，对其进行强度计算时，宜采用（ ）强度理论。

(A) 第三或第四 (B)第二或第三 (C) 第一或第二 (D)第四或第一 二、填空题 （每题6分，共24分） 1、图示螺栓受拉力P ，其[][]στ6.0=， 则螺栓剪切面面积是______,直径d 和 高度h 的合理比值是h d /=______。

广东海洋大学寸金学院 2012 — 2013 学年第 一 学期 《线性代数》课程考试试卷 命题教师：陈增雄 考试班级：11级会计、财管、国贸、工商、市营、公管、旅游等本科 ■ 考试 ■ A 卷 ■ 闭卷 □ 考查 □ B 卷 □ 开卷一、单项选择题：（每题4分，共24分） 1、齐次线性方程组30300kx y x ky x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩有非零解的充分必要条件是( ) （A ）3k =-； （B ）3k =-或3=k ； （C ）3=k ； （D ）3k ≠-且3k ≠. 2、设,A B 都是同阶方阵，则下列结论成立的是（ ） （A ）A B A B +=+； （B ）若A B =，则A B =； （C ）AB BA = ； （D ）若A B ≠，则A B ≠ 3、若,A B 是同阶可逆方阵，则下列等式中正确的是（ ） （A ）111()AB B A ---=； （B ）()T T T AB A B =； （C ）111()AB A B ---= ； （D ）111()A B A B ---+=+.4、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3512A ，则它的伴随矩阵A *的逆矩阵1)(-*A =（ ）（A ）3512⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3512； （C ）3152-⎛⎫⎪-⎝⎭； （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛35125、若1X 、2X 为非齐次线性方程组B AX =的两个解，则（ ）也是它的解。

（A ）21X X +； （B ）212X X -； （C ）21X X -； （D ）212X X +班级：姓名： 学号：试题共4页加白纸2张密封线6、n 阶矩阵A 的列向量组12,,,n αααL 线性相关的充要条件是（ ）（A ）0A ≠； （B ）秩()A n =；（C ）秩()A n <； （D ）0AX =只有零解二、填空题：（共24分，每题3分）1、五阶行列式的展开式中，1322354154a a a a a 前面所带的符号是2、设A 是四阶方阵，且12A -=，则2A =3、行列式134135231的第一列元素的代数余子式之和112131A A A ++=4、若n 阶可逆矩阵A 与B 等价，则T B 的标准形是5、已知向量组γβα,,线性无关，则向量组γβα21,3,2-线性 6、设131073,21A a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭若,2)(=A r 则=a7、n 元线性方程组AX b =有解的充要条件是8、已知四阶方阵A 的秩为2，则伴随阵*A 的秩为三、计算题：（共46分）1、(10分)计算：13333233333333342、（本题满分12分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，且2AX E A X +=+。

2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷《线性代数》课程试题(A 卷) 共 3页 第 1 页考试说明：本课程为闭卷考试，考试时间100分钟。

满分为：100分一．填空题（每题3分，共15分）1．设3R 的基为1231110,1,1001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则123β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在基123{,,}ααα下的坐标为 。

2．已知方阵A ，且满足方程220A A I --=，则A 的逆矩阵1A -= 。

3．设A 为3阶实对称矩阵, 向量()T5,2,11=ξ,()Tk k 3,2,2=ξ分别对应于特征值2和3的特征向量, 则=k 。

4．若矩阵12323536A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩()2r A =，则t = 。

5．设,A B 为3阶矩阵，且2,3A B ==，则12AB -= 。

二．单项选择题（每题3分，共15分）1．向量组12,,,(2)m m ααα> 线性相关的充要条件是( )。

(A) m ααα,,,21 中至少有两个向量成正比； (B) m ααα,,,21 中至少有一个零向量；(C) m ααα,,,21 中至少有一个向量可由其余的向量线性表示； (D) m ααα,,,21 中任一部分组线性相关。

题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分优选专业年级 X X X X X X X 学号 姓名 授课教师 座号--------------------------------装装--------------------------------订订--------------------------------线线--------------------------------2．已知n 阶行列式0A =，则下列表述正确的是（ ）。

（A ）行列式A 主对角线上的元素全为零； （B ）A 的行向量组线性相关；（C ）方程0AX =仅有零解； （D ）*A 的秩为n 。