2017-2018学年安徽省马鞍山二中、安师大附中、淮北一中联考高
三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数
（x ∈R ）在复平面内对应的点位于以原点O 为圆心，以
为半径的圆周上，
则x 的值为（ ）
A ．2
B ．1+3i
C ．±2
D ．
2．设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（ ）
A ．[﹣3，3]
B ．[﹣2，2]
C ．[﹣1，1]
D ．[﹣，]
3．在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=3，a 28+a 29+a 30=165，则此数列前30项和等于（ ） A ．810 B ．840 C ．870 D ．900
4．已知M=
，N=
，由如右程序框图输出的S 为（ ）
A ．1
B ．ln2
C ．
D ．0
5．若函数
，且f （α）=﹣2，f （β）=0，|α﹣β|的最小值是
，则f
（x ）的单调递增区间是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +6）=f （x ）．当﹣3≤x ＜﹣1时，f （x ）=﹣（x +2）2，当﹣1≤x ＜3时，f （x ）=x ．则f （1）+f （2）+…+f
A．333 B．336 C．1678 D．2018
7．已知0＜x＜，则﹣＜0是﹣x＞0成立的（）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
8．，，若
A∩B={（cosθ1，sinθ1），（cosθ2，sinθ2）}，则m的取值范围为（）
A．[﹣2，2] B．（﹣2，2）C．D．
9．若a＞0，，，，
则x，y，z的大小顺序为（）
A．x＞z＞y B．x＞y＞z C．z＞x＞y D．z＞y＞x
10．下列命题中正确的个数是（）
①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；
②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β．
A．0 B．1 C．2 D．3
11．三角形ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c；若A=，则=
（）
A．a+b B．a+c C．b+c D．a+b+c
12．已知f（x）=1+x﹣+﹣+…+；g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣；
设函数F（x）=[f（x+3）]?[g（x﹣4）]，且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b ∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为______．
14．已知a＞b＞0，且a+b=2，则的最小值为______．
15．已知α，β为锐角，cosα=，则cosβ=______．
16．已知函数f（x）=e ax﹣x﹣1，其中a≠0．若对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，则a的取值集合______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S，满足=2S n+n+4，且a2﹣1，a3，a7恰
为等比数列{b n}的前3项．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）令c n=﹣，求数列{c n}的前n项和T n．
18．已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）
=?+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
19．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；
（2）求AB边上的中线长的取值范围．
20．已知a为常数，函数，
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）
①求实数a的取值范围；
②求证：且x1x2＞1（其中e为自然对数的底）
21．已知函数f（x）=e x（2x﹣1），g（x）=ax﹣a（a∈R）．
（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求a的值；
（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；
（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
【选修4-5：不等式选讲】
23．设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
2017-2018学年安徽省马鞍山二中、安师大附中、淮北一
中联考高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数（x∈R）在复平面内对应的点位于以原点O为圆心，以为半径的圆周上，
则x的值为（）
A．2 B．1+3i C．±2 D．
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数所对应点到原点的距离为列式求得x的值．
【解答】解：=，
∵复数在复平面内对应的点位于以原点O为圆心，以为半径的圆周上，
∴，解得：x=±2．
故选：C．
2．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）
A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣，]
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
目标函数z=几何意义为区域内的点与D （2，0）的斜率，
过（﹣1，2）与（2，0）时斜率最小， 过（﹣1，﹣2）与（2，0）时斜率最大，
∴Z 最小值=
=﹣，Z 最大值=
=，
故选：D ．
3．在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=3，a 28+a 29+a 30=165，则此数列前30项和等于（ ） A ．810 B ．840 C ．870 D ．900 【考点】等差数列的性质．
【分析】在等差数列{a n }中，由a 1+a 2+a 3=3，a 28+a 29+a 30=165，知a 1+a 30=56，再由S 30=15（a 1+a 30），
能求出此数列前30项和．
【解答】解：在等差数列{a n }中， ∵a 1+a 2+a 3=3，a 28+a 29+a 30=165， ∴3（a 1+a 30）=168， ∴a 1+a 30=56，
∴此数列前30项和为S 30=15（a 1+a 30）=15×56=840． 故选：B ．
4．已知M=
，N=
，由如右程序框图输出的S 为（ ）