一、概述
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHD）是将要决策的问题及其有关因素分解成目标、准则、方案等层次，进而进行定性和定量分析的决策方法。它的特征是合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程细致化（层次化、数量化）。
层次分析法广泛地应用到处理复杂的决策问题，而决策是基于该方法计算出的权重，所以也常用来确定指标的权重。
层次分析法的基本思路与人们对一个决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。例如，选购一台笔记本电脑，假设有三种不同品牌款式的笔记本电脑A、B、C供选择。我们一般会根据价格、外观、重量、用途、功耗、品牌等一些准则去反复比较这个三个候选。首先，会确定这些准则在自己心目中各占多大比重，不同的人这种比重会有很大差异（喜欢玩游戏的人看重硬件性能和散热、预算有限的人看重价格等）。其次，还会就每一个准则将A、B、C进行对比，比如A最便宜，B次之；C性能最好，B次之；C的品牌最知名等。最后，将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定一台作为最符合自己需求的电脑。
二、算法步骤
1. 将问题条理化、层次化，建立层次结构模型
1）最高层（目标层）——只有一个元素：决策目标；
2）中间层（准则层）——考虑的因素，决策的准则、子准则；
3）最底层（方案层）——决策时的备选方案、措施。
层次分析法要解决的问题是，求出最底层对最高层的相对权重，以此对最底层的方案、措施进行排序，选择最优方案。
注1：为了避免两两比较判断过于复杂，每层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个，否则应划分为若干子层；
注2：层次分析法只考虑相邻两个层次间自上向下的支配作用，认为同一层次的元素间相互独立，若考虑进来需要网络分析法（ANP ）。
例如前文提到的选购笔记本电脑的决策模型，可以建立如下的层次结构：
2. 构造判断矩阵（成对比较矩阵）
构造好层次模型后，针对某一层来讲，在比较第i 个元素与第j 个元素相对于上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重a ij 来表示，假设共有n 个元素参与比较，则矩阵
1111()n ij n n n nn a a A a a a ??? ?== ? ???
L
M O
M L 称为判断矩阵（或成对比较矩阵）。
Saaty 根据绝大多数人认知事物的心理习惯，建议用1~9及其倒数作为标度来确定a ij 的值。
其中，2, 4, 6, 8分别介于1, 3, 5, 7, 9对应的重要程度之间。显然，A 中的元素满足：
i) a ij > 0; ii) a ji = 1/a ij ; iii) a ii =1
称为正互反矩阵。
例如，选购笔记本电脑模型中，可以根据实际三台电脑的重量得到电脑对准则层B 3的判断矩阵（a ij 可以取笔记本电脑j 与i 的重量之比，重量越轻越好）：
311/31/5313/555/31B C A -?? ?= ? ???
3. 层次单排序及判断矩阵的一致性检验
通常用特征根法从判断矩阵导出，单一准则下元素相对排序权重。
定义若n 阶正互反矩阵 (a ij )n ×n 满足a ik a kj = a ij
（对应a ij =w i /w j , 故需要a ik a kj =(w i /w k )/(w k /w j ) = a ij ），则称(a ij )n ×n 为一致性矩阵。
特征根法的基本思想是，当正互反矩阵 (a ij )n ×n 为一致性矩阵时，
对应于判断矩阵的最大特征根λmax 的特征向量，经归一化后（使向量
中各元素之和等于1）即为排序权向量，记为w , w 的元素为同一层次因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
能否进行层次单排序，就看判断矩阵是否为一致性矩阵，有如下定理：
定理n 阶正互反矩阵A 为一致性矩阵的充要条件是，A 的最大特征值λmax = n .
在实际操作中，由于客观事物的复杂性以及人们对事物判断比较时的模糊性，很难构造出完全一致的判断矩阵。因此，Satty 在构造层次分析法时，提出了一致性检验，所谓一致性检验是指判断矩阵允许有一定不一致的范围。
一致性检验步骤如下：
1）计算判断矩阵A 的最大特征值λmax ;
2）求出一致性指标（Consistencey Index ）：
max C.I.1n
n λ-=-
.=0表示完全一致，.越大越不一致；
3）用随机模拟取平均的方法，求相应的平均随机一致性指标., 或者直接用Satty 模拟1000次得到的.表：
4）计算一致性比率：
C.I.C.R.=R.I.
5）判断，当.<时，认为判断矩阵A 有满意的一致性；若.≥, 应考虑修正判断矩阵A.
4. 计算各元素对目标层的合成权重（层次总排序）
为了实现层次分析法的最终目的，需要从上而下逐层进行各层元素对目标合成权重的计算。
设已计算出第k-1层n k -1个元素相对于目标的合成权重为：
1
(1)11112(,,,)k k k k k T n w w w w -----=L
再设第k 层的n k 个元素关于第k-1层第j 个元素（j=1,…,n k -1）的单一准则排序权重向量为：
()()()12(,,,)
k k
k k k T j j j n j u u u u =L 上式对k 层的n k 个元素是完全的，若某些元素不受k-1层第j 个元素支配，相应位置用0补充，于是得到n k ×n k -1阶矩阵：
111()()()11121()()()21222()
()()()12k k k k k k k k k n k k k n k k k k n n n n u u u u u u U u u u ---?? ? ?= ? ? ???L L M M O
M L 从而可以得到第k 层的n k 个元素关于目标层的合成权重向量：
()()(1)k k k w U w -=
按递归展开得
()()(1)(3)(2)k k k w U U U w -=L
写成分量形式为
1
()
()(1)1, 1,,k n k k k i ij j k j w u w i n --===∑L
各层元素对目标层的合成排序权重向量是否可以满意接受，与单一准则下的排序问题一样，需要进行综合一致性检验：
当.(k)< 时，则认为层次结构在第k 层以上的判断具有整体满意的一致性。
注：实际应用中，整体一致性检验常不予进行。主要原因是，整体考虑十分困难；其次若每个单一准则下的判断矩阵具有满意的一致性，而整体达不到满意的一致性时，调整起来非常困难。另外，整体
一致性的背景也不如单一准则下的背景清晰，它的必要性有待进一步研究。
三、Matlab实现
实现层次分析法的Matlab函数：
function [W,ahpResult] = ahp(C)
%层次分析法
%C为n×1的元胞数组,存储整个层次模型结构：第2层对第1层、第3层对第2层、...第n+1层对第n层
%假设第k层有m_k个元素，从左到右依次编号1,...,m_k
%C{k}也是元胞数组, k=1,...,n
%C{k}{1,j}存储受第j元素支配的第k+1层各元素的判断矩阵
（j=1,2,...,m_k）
%C{k}{2,j}存储第k+1层各元素是否受第k层第j元素支配的（m_k+1）*1的逻辑数组,1表示支配,0表示不受支配
%W返回方案层对目标层的最终权重向量
%ahpResult为n×1的元胞数组, 存储层次分析过程各层的结果信息, ahpResult{k}也是元胞数组
%ahpResult{k}{1,j}返回第k+1层所有元素相对第k层j元素的权重向量, 第k+1层元素不受第k层j元素支配的权重为0
%ahpResult{k}{2,j}返回第k+1层所有元素相对于第k层第j元素的判断矩阵的最大特征值
%ahpResult{k}{3,j}返回第k+1层所有元素相对于第k层第j元素的判断矩阵的一致性比率.
RI=[0 0 ]; % 平均随机一致性指标
n = length(C); %得到C的长度n, 于是知道模型总层数为n+1
ahpResult = cell(n,1); % ′存储各层结果信息
for k = 1:n
m_k = size(C{k},2); % k层的元素个数
ahpResult{k} = cell(m_k,1);
for kk = 1:m_k
%求第k+1层各元素对第k层kk元素的成对比较矩阵的特征值和特征向量
[V,D] = eig(C{k}{1,kk});
[maxD,ind] = max(diag(D)); % 求最大特征值和其位置
%为存储第k+1层所有元素相对k层kk元素的权重预留出空间，长度应等于C{k}{2,kk}的长度
ahpResult{k}{1,kk} = zeros(length(C{k}{2,kk}),1);
%将相应正互反矩阵属于最大特征值的特征向量归一化后赋给
ahpResult{k}{1,kk}中相应位置
%这些位置由逻辑数组C{k}{2,kk}决定
ahpResult{k}{1,kk}(C{k}{2,kk}) = V(:,ind)/sum(V(:,ind));
ahpResult{k}{2,kk} = maxD; % C{k}{1,kk}正互反矩阵的最大特征值nn = size(C{k}{1,kk},1); % C{k}{1,kk}的阶数
ahpResult{k}{3,kk} = (maxD-nn)/(nn-1)/RI(nn); % 相应的一致性比率.
end
end
W = ahpResult{1}{1,1};
for k = 2:n
% cat(2,ahpResult{k}{1,:})把k+1层所有元素相对k层各个元素的权重向量横向排在一起生成权重矩阵U^(k)
W = cat(2,ahpResult{k}{1,:})*W;
end
用该函数实现层次分析法的关键是，把整个层次结构存入嵌套元胞数组C中（见程序注释）：
C{k}——存储第k+1层与第k层的结构（k=1,…,n）；
设第k层有m k个元素，其中第j元素与第k+1层的结构关系存储到C{k}{…, j}中（j=1,…,m k），需要存储的信息有：
①受第j元素支配的第k+1层各元素的判断矩阵
②第k+1层各元素是否受第k层第j元素支配（即有没有连线）所以需要两个位置，即C{k}{1, j}和C{k}{2, j}.
例1某工厂有一笔企业留成利润，需要决定如何分配使用。已经决定有三种用途：奖金、集体福利措施、引进技术设备。考察准则也有三个：是否能调动职工的积极性、是否有利于提高技术水平、考虑改善职工生活条件。建立如下层次模型：
经过工厂决策人员讨论，得到如下判断矩阵：
1. 第2层对第1层
三个元素C1, C2, C3都受A支配，判断矩阵C{1}{1,1}为
相应的逻辑数组C{1}{2,1}为[true truetrue].
2. 第3层对第2层
(1) 第3层对第2层第1个元素C1
受C1支配的只有两个元素P1和P2，判断矩阵C{2}{1,1}为
相应的逻辑数组C{2}{2,1}为[true truefalse].
(2) 第3层对第2层第2个元素C2
受C2支配的只有两个元素P2和P3，判断矩阵C{2}{1,2}为
相应的逻辑数组C{2}{2,2}为[false true true].
(3) 第3层对第2层第3个元素C3
受C3支配的只有两个元素P1和P2，判断矩阵C{2}{1,3}为
相应的逻辑数组C{2}{2,3}为[true truefalse].
3. 有了上面的分析，层次模型的元胞数组表示C已经确定，调用函数即可
C = cell(2,1);%共n+1=3层, 故n=2
C{1}{1,1} = [1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1];%第2层（C层）关于第1层（目标层A）的判断矩阵
C{1}{2,1} = [true truetrue];%相应的逻辑数组
C{2}{1,1} = [1 1/3;3 1];%第3层（P层）关于第2层第1元素C1的判断矩阵C{2}{2,1} = [true truefalse];%相应的逻辑数组
C{2}{1,2} = [1 1/5;5 1];%第3层（P层）关于第2层第2元素C2的判断矩阵C{2}{2,2} = [false true true];%相应的逻辑数组
C{2}{1,3} = [1 2;1/2 1];%第3层（P层）关于第2层第3元素C3的判断矩阵C{2}{2,3} = [true truefalse];%相应的逻辑数组
[W,ahpResult]=ahp(C);%调用ahp求解
W %输出总排序的权重向量
运行结果：
W =
W就是方案层各个方案所占的比重，可见引进技术设备所占比重最大，改善员工福利次之。体现在奖金分配上，即用全部留成利润的%引进技术设备，%改善员工福利，%发奖金。
例2假设某人在制定食谱时有三类食品可选：肉、面包、蔬菜。这三类食品所含营养成分及单价如下表所示：
假设该人体重为55kg, 每天对各类营养的最小需求为
维生素A 7500IU
维生素B2
热量Q
问题是：应如何制定食谱使得在保证营养的前提下支出最小？
单纯考虑问题条件，容易建立如下的线性规划模型：设选择肉x1, 面包x2, 蔬菜x3, 则有
用Matlab求解线性规划问题的函数linprog, 可以求出最优解：
f = [;;];
A = -[ 25; ; ];
b = -[7500;;];
options = optimset('LargeScale', 'off', 'Simplex', 'on');
[x,fval,flag] =
linprog(f,A,b,[],[],[0;0;0],[infinfinf],[],options)
运行结果：
x = 0
fval=
flag = 1 %表示算法成功
求解出的结果是，每天不吃肉，吃面包, 蔬菜, 最低支出为元。但实际考虑的话，这个方案是难以让人接受的，只考虑了营养够、价格低，没有考虑到营养均衡（需要吃一定量的肉）。
为此，我们先用层次分析法确定每天需要肉、面包、蔬菜的比重，再重新线性规划。建立如下的层次模型：
注意：由于第2层支出因素D 2直接支配第4层，需要在第3层补
上一个因素“补项B ”（仍当作“支出”看待），它只受D 2支配，并且
支配D 2的每个支配因素（第4层的肉Me, 面包Br, 蔬菜Ve ）。
有了上面的层次结构，再根据偏好建立判断矩阵（当然偏好因人而异）：
1. 第2层对第1层
判断矩阵：
{}{}131/3111,1C ?=? ???
逻辑数组：C{1}{2,1}=[true true].
2. 第3层对第2层
(1) 第3层对第2层第1元素D 1
判断矩阵：
{}{}1121121/221,11/21C ??= ? ? ???
逻辑数组：C{2}{2,1}=[true truetrue false].
(2) 第3层对第2层第2元素D 2
判断矩阵：C{2}{1,2}=[1]
逻辑数组：C{2}{2,2}=[false falsefalseture].
3. 第4层对第3层
(1) 第4层对第3层第1元素A
判断矩阵（用数据直接做比得到）：
{}{}10.3527/0.00050.3527/250.0005/0.352710.0005/2525/0.352725/0.00131,105C ??= ? ? ???
逻辑数组：C{3}{2,1}=[true true true].
(2) 第4层对第3层第2元素B 2
判断矩阵（用数据直接做比得到）：
{}{}10.0021/0.00060.0021/0.0020.0006/0.002110.0006/0.0020.002/0.00210.002/0.0006131,2C ?? ?=????
逻辑数组：C{3}{2,2}=[true true true].
(3) 第4层对第3层第3元素Q
判断矩阵（用数据直接做比得到）：
{}{}111.93/11.5111.93/1.0411.51/11.93111.51/1.041.04/11.93 1.04/11.131,351C ??= ? ? ???
逻辑数组：C{3}{2,3}=[true true true].
(4) 第4层对第3层第4元素B
判断矩阵（用单价比的倒数，因为单价越高越不重要）：
{}{}10.006/0.02750.007/0.02750.0275/0.00610.007/0.0060.0275/0.0070.006/0.31,40071C ??= ? ? ???
逻辑数组：C{3}{2,4}=[true true true].
4. 有了上面的分析，层次模型的元胞数组表示C 已经确定，调用函数即可
C = cell(3,1);
C{1}{1,1} = [1 1/3;3 1];
C{1}{2,1} = true(2,1);
C{2}{1,1} = [1 1 2;1 1 2; 1/2 1/2 1];
C{2}{2,1}=[true truetrue false];
C{2}{1,2}=1;
C{2}{2,2} = [false,false,false,true];
C{3}{1,1} = [1,,25;,1,25;25/,25/,1 ];
C{3}{2,1}=true(3,1);
C{3}{1,2} = [1,,;,1,;,,1 ];
C{3}{2,2}=true(3,1);
C{3}{1,3} = [1,,;,1,;,,1 ];
C{3}{2,3}=true(3,1);
C{3}{1,4} = [1,,;,1,;,,1 ];
C{3}{2,4}=true(3,1);
[W,ahpResult]=ahp(C);
W
运行结果：
W =
该结果表明，按这个人的情况，肉、面包、蔬菜的比例取, , 比较合适。引入参变量k , 令x 1=, x 2=, x 3=, 将其代入前文的线性规划
模型，得到
min 0.0116..13.411675000.0017 1.63386.02828548.50f k s t k k =??≥??≥??≥?≥??
用linprog 求解：
f = [];
A = -[;;];
b = -[7500;;];
W = [ = optimset('LargeScale', 'off', 'Simplex', 'on');
[k,fval,flag] = linprog(f,A,b,[],[],[0],[inf],[],options)
x = k*W
运行结果：
k = +03
fval =
flag = 1
x =
故k =, x 1=, x 2=, x 3=. 每天食品支出元。
注：对于不同的人可以有不同的判断矩阵C{1}{1,1}, 即营养与支出的相对重要程度，例如，修改为[1 1/3; 3 1], 可以得到x 1=, x 2=, x 3=. 每天食品支出元。
主要参考文献：吴鹏，《Matlab 高效编程技巧与应用：25个案例分析》
第11章。
层次分析法建模 层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法 70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。 传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有： 机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系； 统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、 社会现象）现象的规律。 基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法 （2）AHP建模方法基本步骤 （3）AHP建模方法基本算法 （3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。 参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社 2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社 3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社 一、问题举例： A．大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如： ①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）； ②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉-Reputation）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。 问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？
disp('请输入判断矩阵A(n阶)'); A=input('A='); [n,n]=size(A); x=ones(n,100); y=ones(n,100); m=zeros(1,100); m(1)=max(x(:,1)); y(:,1)=x(:,1); x(:,2)=A*y(:,1); m(2)=max(x(:,2)); y(:,2)=x(:,2)/m(2); p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1)); while k>p i=i+1; x(:,i)=A*y(:,i-1); m(i)=max(x(:,i)); y(:,i)=x(:,i)/m(i); k=abs(m(i)-m(i-1)); end a=sum(y(:,i)); w=y(:,i)/a; t=m(i); disp(w);disp(t); %以下是一致性检验 CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56
1.58 1.59]; CR=CI/RI(n); if CR<0.10 disp('此矩阵的一致性可以接受!'); disp('CI=');disp(CI); disp('CR=');disp(CR); end function AHPInit1(x,y) %层次分析的初始化 %默认只有两层x为准则数，y为方案数 %CToT为准则对目标生成的比较阵 %EigOfCri为准则层的特征向量 %EigOfOpt为选项层的特征向量 EigOfCri=zeros(x,1);%准则层的特征向量 EigOfOpt=zeros(y,x); dim=x;%维度 RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];%RI标准%生成成对比较阵 for i=1:dim CToT(i,:)=input('请输入数据:'); end CToT %输出 pause, tempmatrix=zeros(x+1);
%% AHP weight calculation %%data input clc clear all A =[1 3 5 7 9 5;1/3 1 3 9 3 3;1/5 1/3 1 3 3 1/3;1/7 1/9 1/3 1 5 1/3;1/9 1/3 1/3 1/5 1 1/3;1/5 1/3 1 3 3 1]; %%Consistency calculation and weight vector calculation [n,n] = size(A); [v,d] = eig(A); r = d(1,1); CI = (r-n)/(n-1); RI = [0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; CR = CI/RI(n); if CR<0.10 CR_Result = 'pass'; else CR_Result = 'no pass'; end % % Weight vector calculation w = v(:,1)/sum(v(:,1));
w = w'; % % output disp('The judgment matrix weight vector calculation report：'); disp('coincidence indicator：');disp(num2str(CI)); disp('Consistency ratio：');disp(num2str(CR)); disp(' Consistency test results：');disp(CR_Result); disp('eigenvalue:');disp(num2str(r)); disp('weight vector:');disp(num2str(w));
基于Matlab的层次分析法及其运用浅析 本文通过使用Matlab软件进行编程,在满足同一层次中各指标对所有的下级指标均产生影响的假定条件下,实现了层次分析法的分析运算。本程序允许用户自由设定指标层次结构内的层次数以及各层次内的指标数,通过程序的循环,用户只需输入判断矩阵的部分数据,程序可依据层次分析法的计算流程进行计算并作出判断。本程序可以方便地处理层次分析法下较大的运算量,解决层次分析法的效率问题,提高计算机辅助决策的时效性。 标签：Matlab层次分析法判断矩阵决策 在当前信息化、全球化的大背景下,传统的手工计算已不能满足人们高效率、高准确度的决策需求。因此计算机辅助决策当仁不让地成为了管理决策的新工具、新方法。基于此,本文在充分发挥计算机强大运算功能的基础上,选用美国MathWorks公司的集成数学建模環境Matlab R2009a作为开发平台,使用M语言进行编程,对计算机辅助决策在层次分析法中的运用进行讨论。试图通过程序实现层次分析法在计算机系统上的运用,为管理决策探索出新的道路。 1 层次分析法的计算流程 根据层次分析法的相关理论,层次分析法的基本思想是将复杂的决策问题进行分解,得到若干个下层指标,再对下层指标进行分解,得到若干个再下层指标,如此建立层次结构模型,然后根据结构模型构造判断矩阵,进行单排序,最后,求出各指标对应的权重系数,进行层次总排序。 1.1 构造层次结构模型在进行层次分析法的分析时,最主要的步骤是建立指标的层次结构模型,根据结构模型构造判断矩阵,只有判断矩阵通过了一致性检验后,方可进行分析和计算。其中,结构模型可以设计成三个层次,最高层为目标层,是决策的目的和要解决的问题,中间层为决策需考虑的因素,是决策的准则,最低层则是决策时的备选方案。一般来讲,准则层中各个指标的下级指标数没有限制,但在本文中设计的程序尚且只能在各指标具有相同数量的下级指标的假定下,完成层次分析法的分析,故本文后文选取的案例也满足这一假定。 1.2 建立判断矩阵判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较给判断矩阵的要素赋值时,常采用九级标度法(即用数字1到9及其倒数表示指标间的相对重要程度),具体标度方法如表1所示。 1.3 检验判断矩阵的一致性由于多阶判断的复杂性,往往使得判断矩阵中某些数值具有前后矛盾的可能性,即各判断矩阵并不能保证完全协调一致。当判断矩阵不能保证具有完全一致性时,相应判断矩阵的特征根也将发生变化,于是就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的一致性程度。在层次分析法中,令判断矩阵最大的特征值为λmax,阶数为n,则判断矩阵的一致性检验的指标记为:
层次分析法及m a t l a b程 序 Prepared on 21 November 2021
层次分析法建模 层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法 70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，采用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。 传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有： 机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系； 统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述 （自然现象、社会现象）现象的规律。 基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法 （2）AHP建模方法基本步骤 （3）AHP建模方法基本算法 （3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。 参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社 2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社 3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社 一、问题举例： A．大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如： ①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）； ②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉-Reputation）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲） 等。 问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序 工作选
层次分析法 1）建立层次结构模型： （2）构造判断矩阵 判断矩阵() ij A a =应为正互反矩阵，而且ij a 的判断如下（1~9尺度法）： （3）单层排序及一致性检验 1、单层排序 求解判断矩阵A 的最大特征值max λ，再由最大特征值求出对应的特征向量
ω()max A ωλω=，并将ω标准化，即为同一层相对于上一层某一因素的权重，根据此 权重的大小，便可确定该层因素的排序。
2、一致性检验 取一致性指标max 1 n CI n λ-= -，（n 为A 的阶数） 令CR RI = ，若0.1CR <，则认为A 具有一致性。 否则，需要对A 进行调整，直到具有满意的一致性为止。 （4）层次总排序及一致性检验 假定准则层12,,,n C C C 排序完成，其权重分别为12,, ,n a a a ，方案层P 包含m 个方 案：12,, ,m P P P 。其相对于上一层的()1,2, ,j C j n =对方案层P 中的m 个方案进行单层排序，其排序权重记为12,,,j j mj b b b ()1,2, ,j n =，则方案层P 中第i 个方案Pi 的总 排序权重为 1 n j ij j a b =∑，见下表： 从而确定层的排序。 例： 纯文本文件txt3.txt 中的数据格式如下： 1 1 1 4 1 1/ 2 1 1 2 4 1 1/2 1 1/2 1 5 3 1/2 1/ 4 1/4 1/ 5 1 1/3 1/3 1 1 1/3 3 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1/4 1/2
4 1 3 2 1/ 3 1 1 1/4 1/5 4 1 1/2 5 2 1 1 3 1/3 1/3 1 1/7 3 7 1 1 1/3 5 3 1 7 1/5 1/7 1 1 1 7 1 1 7 1/7 1/7 1 1 7 9 1/7 1 1 1/9 1 1 matlab程序： >> fid=fopen('txt3.txt','r'); n1=6;n2=3; a=[]; for i=1:n1 tmp=str2num(fgetl(fid)); a=[a;tmp]; %读准则层判断矩阵 end for i=1:n1 str1=char(['b',int2str(i),'=[];']); str2=char(['b',int2str(i),'=[b',int2str(i),';tmp];']); eval(str1); for j=1:n2 tmp=str2num(fgetl(fid)); eval(str2); %读方案层的判断矩阵 end end ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]; %一致性指标[x,y]=eig(a); lamda=max(diag(y)); num=find(diag(y)==lamda); w0=x(:,num)/sum(x(:,num)); cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1) for i=1:n1 [x,y]=eig(eval(char(['b',int2str(i)]))); lamda=max(diag(y)); num=find(diag(y)==lamda);
一、引言 层析分析法是将定量与定性相结合的多目标决策法,是一种使用频率很高的方法,在经济管理、城市规划等许多领域得到了广泛应用。由于其结果受主观思维的影响较大,许多科研工作者对其进行了深入的研究,将模糊理论与层次分析法相结合,提出了模糊层次分析法。为克服层次分析法中判断矩阵的一致性与人类思维的一致性存在的显著差异,文献[1-2]引入了模糊一致矩阵。为解决解的精度及收敛问题,文献[3-4]引入幂法来求排序向量。运用模糊层次分析法研究实际问题时,常采用迭代法来得到精度更高的排序向量,这就要求选择合适的初始值并通过大量的计算,为此,文中利用三种方法计算了初始排序向量,并给出了算法的Matlab程序,最后通过实例说明。 二、模糊层次分析法 为解决AHP种所存在的问题,模糊层次分析法引入模糊一致矩阵,无需再进行一致性检验,同时使用幂法来计算排序向量,可以减少迭代齿数,提高收敛速度,满足计算精度的要求.具体步骤: 1.构造优先关系矩阵 采用0.1～0.9标度[2],建立优先判断矩阵 2.将优先关系矩阵转化为模糊一致矩阵 3.计算排序向量 (1)和行归一法: (2)方根法: (3)利用排序法: (4)利用幂法[5-6]求精度更高的排序向量: 否则,继续迭代。 三、模糊层次分析法的程序实现 给出模糊层次分析法的Matlab程序。 clear; clc; E=input('输入计算精度e:') Max=input('输入最大迭代次数Max:')
F=input('输入优先关系矩阵F:'); %计算模糊一致矩阵 N=size(F); r=sum(F'); for i=1:N(1) for j=1:N(2) R(i,j)=(r(i)-r(j))/(2*N(1))+0.5; end end E=R./R'; % 计算初始向量---------- % W=sum(R')./sum(sum(R)); % 和行归一法 %--------------------------------------------------------- for i=1:N(1) S(i)=R(i,1); for j=2:N(2) S(i)=S(i)*R(i,j); end end S=S^(1/N(1)); W = S./sum(S);%方根法%-------------------------------------------------------- % a=input('参数a=?'); %W=sum(R')/(N(1)*a)-1/(2*a)+1/N(1); %排序法 % 利用幂法计算排序向量----V(:,1)=W'/max(abs(W)); %归一化 for i=1:Max V(:,i+1)=E*V(:,i); V(:,i+1)=V(:,i+1)/max(abs(V(:,i+1))); if max(abs(V(:,i+1)-V(:,i)))k=i; A=V(:,i+1)./sum(V(:,i+1)); break Else End End 四、计算实例
层次分析法程序举例： A=[1 1/7 1/5 2 4 1/3;7 1 3 5 5 3;5 1/3 1 5 5 3;1/2 1/3 1/5 1 2 1/3;1/4 1/5 1/5 1/2 1 1/5;3 1/3 1/3 3 5 1]; [v,d]=eig(A); eigenvalue=diag(d); lamda=max(eigenvalue); cil=(lamda-6)/5; crl=cil/1.26; w1=v(:,1)/sum(v(:,1)) 挑选合适的工作。经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示。 程序： A=[1 1/7 1/5 2 4 1/3;7 1 3 5 5 3;5 1/3 1 5 5 3;1/2 1/3 1/5 1 2 1/3;1/4 1/5 1/5 1/2 1 1/5;3 1/3 1/3 3 5 1]; [v,d]=eig(A); eigenvalue=diag(d); lamda=max(eigenvalue); ci=(lamda-6)/5
cr=ci/1.26 w1=v(:,1)/sum(v(:,1)) B1=[1 1/4 1/2;4 1 3;2 1/3 1]; [v,d]=eig(B1); eigenvalue=diag(d); lamda=max(eigenvalue); cil1=(lamda-3)/2 cr1=cil1/0.52 b1w=v(:,1)/sum(v(:,1)) B2=[1 1/4 1/5;4 1 1/2;5 2 1]; [v,d]=eig(B2); eigenvalue=diag(d); lamda=max(eigenvalue); cil2=(lamda-3)/2 cr2=cil2/0.52 b2w=v(:,1)/sum(v(:,1)) B3=[1 1/2 2; 2 1 3;1/2 1/3 1]; [v,d]=eig(B3); eigenvalue=diag(d);
第八章 层次分析法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。 §1 层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型； （ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1 递阶层次结构的建立与特点 应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类： （i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。 （ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。 例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。 在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。 目标层O 选择旅游地 准则层C 景色 费用 居住 饮食 旅途 措施层P 1P 2P 3P 1.2 构造判断矩阵
一、概述 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHD）是将要决策的问题及其有关因素分解成目标、准则、方案等层次，进而进行定性和定量分析的决策方法。它的特征是合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程细致化（层次化、数量化）。 层次分析法广泛地应用到处理复杂的决策问题，而决策是基于该方法计算出的权重，所以也常用来确定指标的权重。 层次分析法的基本思路与人们对一个决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。例如，选购一台笔记本电脑，假设有三种不同品牌款式的笔记本电脑A、B、C供选择。我们一般会根据价格、外观、重量、用途、功耗、品牌等一些准则去反复比较这个三个候选。首先，会确定这些准则在自己心目中各占多大比重，不同的人这种比重会有很大差异（喜欢玩游戏的人看重硬件性能和散热、预算有限的人看重价格等）。其次，还会就每一个准则将A、B、C进行对比，比如A最便宜，B次之；C性能最好，B次之；C的品牌最知名等。最后，将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定一台作为最符合自己需求的电脑。 二、算法步骤 1. 将问题条理化、层次化，建立层次结构模型 1）最高层（目标层）——只有一个元素：决策目标； 2）中间层（准则层）——考虑的因素，决策的准则、子准则；
3）最底层（方案层）——决策时的备选方案、措施。 层次分析法要解决的问题是，求出最底层对最高层的相对权重，以此对最底层的方案、措施进行排序，选择最优方案。 注1：为了避免两两比较判断过于复杂，每层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个，否则应划分为若干子层； 注2：层次分析法只考虑相邻两个层次间自上向下的支配作用，认为同一层次的元素间相互独立，若考虑进来需要网络分析法（ANP ）。 例如前文提到的选购笔记本电脑的决策模型，可以建立如下的层次结构： 2. 构造判断矩阵（成对比较矩阵） 构造好层次模型后，针对某一层来讲，在比较第i 个元素与第j 个元素相对于上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重a ij 来表示，假设共有n 个元素参与比较，则矩阵 1111()n ij n n n nn a a A a a a ??? ?== ? ??? L M O M L 称为判断矩阵（或成对比较矩阵）。 Saaty 根据绝大多数人认知事物的心理习惯，建议用1~9及其倒数作为标度来确定a ij 的值。 其中，2, 4, 6, 8分别介于1, 3, 5, 7, 9对应的重要程度之间。显然，A 中的元素满足：
信息系统分析与设计作业 层次分析法确定绩效评价权重在matlab中的实现 小组成员：孙高茹、王靖、李春梅、郭荣1 程序简要概述 编写程序一步实现评价指标特征值lam、特征向量w以及一致性比率CR的求解。 具体的操作步骤是：首先构造评价指标，用专家评定法对指标两两打分，构建比较矩阵，继而运用编写程序实现层次分析法在MATLAB中的应用。 通过编写MATLAB程序一步实现问题求解，可以简化权重计算方法与步骤，减少工作量，从而提高人力资源管理中绩效考核的科学化电算化。 2 程序在matlab中实现的具体步骤 function [w,lam,CR] = ccfx(A) %A为成对比较矩阵，返回值w为近似特征向量 % lam为近似最大特征值λmax，CR为一致性比率 n=length(A(:,1)); a=sum(A); B=A %用B代替A做计算 for j=1:n %将A的列向量归一化 B(:,j)=B(:,j)./a(j); end s=B(:,1); for j=2:n s=s+B(:,j); end c=sum(s);%计算近似最大特征值λmax w=s./c; d=A*w lam=1/n*sum((d./w)); CI=(lam-n)/(n-1);%一致性指标 RI=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51];%RI为随机一致
性指标 CR=CI/RI(n);%求一致性比率 if CR>0.1 disp('没有通过一致性检验'); else disp('通过一致性检验'); end end 3 案例应用 我们拟构建公司员工绩效评价分析权重，完整操作步骤如下： 3.1构建的评价指标体系 我们将影响员工绩效评定的指标因素分为：打卡、业绩、创新、态度与品德。 3.2专家打分，构建两两比较矩阵 A = 1.0000 0.5000 3.0000 4.0000 2.0000 1.0000 5.0000 3.0000 0.3333 0.2000 1.0000 2.0000 0.2500 0.3333 0.5000 1.0000 3.3在MATLAB中运用编写好的程序实现 直接在MATLAB命令窗口中输入 [w,lam,CR]=ccfx(A) 继而直接得出 d = 1.3035 2.0000 0.5145 0.3926 w = 0.3102 0.4691 0.1242 0.0966 lam =4.1687
MATLAB教程网 第八章层次分析法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。 MATLAB教程网 § 1层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i）建立递阶层次结构模型； （ii）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii）层次单排序及一致性检验； （iv）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1递阶层次结构的建立与特点 应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类： （i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。 （ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配 的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。 例1假期旅游有R、F2、F3 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。 目标层0 选择旅游地
>> A= [1 2 5 6 4 7 2 4;1/2 1 2 4 2 7 1 2; 1/5 1/2 1 5 1 5 1/2 2 ; 1/6 1/4 1/5 1 1/3 3 1/2 1/4 ;1/4 1/2 1 3 1 5 1 2;1/7 1/7 1/5 1/3 1/5 1 1/7 1/5;1/2 1 2 2 1 7 1 2;1/4 1/2 1/2 4 1/2 5 1/2 1]; >> d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量 >> [V,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵 >> A= [1 2 5 6 4 7 2 4;1/2 1 2 4 2 7 1 2; 1/5 1/2 1 5 1 5 1/2 2 ;1/6 1/4 1/5 1 1/3 3 1/2 1/4 ;1/4 1/2 1 3 1 5 1 2;1/7 1/7 1/5 1/3 1/5 1 1/7 1/5;1/2 1 2 2 1 7 1 2;1/4 1/2 1/2 4 1/2 5 1/2 1]; d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量 [V,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵 d = 8.4243 -0.0020 + 1.7077i -0.0020 - 1.7077i -0.1240 + 0.7030i -0.1240 - 0.7030i -0.1103 + 0.3207i -0.1103 - 0.3207i 0.0483 V = Columns 1 through 7 0.7427 0.8569 0.8569 0.7153 0.7153 0.7100 0.7100 0.3893 0.1636 + 0.0231i 0.1636 - 0.0231i 0.1747 - 0.0500i 0.1747 + 0.0500i -0.2144 + 0.4572i -0.2144 - 0.4572i 0.2579 -0.0614 + 0.3195i -0.0614 - 0.3195i -0.0739 - 0.0916i -0.0739 + 0.0916i -0.1506 - 0.0176i -0.1506 + 0.0176i 0.0985 -0.0976 - 0.0879i -0.0976 + 0.0879i 0.0679 + 0.0635i 0.0679 - 0.0635i 0.0183 + 0.0558i 0.0183 - 0.0558i 0.2588 0.0176 + 0.1232i 0.0176 - 0.1232i 0.0227 + 0.3409i 0.0227 - 0.3409i -0.0373 - 0.2293i -0.0373 + 0.2293i 0.0519 0.0080 - 0.0585i 0.0080 + 0.0585i -0.0134 - 0.0662i -0.0134 + 0.0662i -0.0507 - 0.0850i -0.0507 + 0.0850i 0.3352 0.1943 - 0.0809i 0.1943 + 0.0809i -0.4321 + 0.2823i -0.4321 - 0.2823i 0.1131 + 0.3427i 0.1131 - 0.3427i
20. 层次分析法 一、概述 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHD）是将要决策的问题及其有关因素分解成目标、准则、方案等层次，进而进行定性和定量分析的决策方法。它的特征是合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程细致化（层次化、数量化）。 层次分析法广泛地应用到处理复杂的决策问题，而决策是基于该方法计算出的权重，所以也常用来确定指标的权重。 层次分析法的基本思路与人们对一个决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。例如，选购一台笔记本电脑，假设有三种不同品牌款式的笔记本电脑A、B、C供选择。我们一般会根据价格、外观、重量、用途、功耗、品牌等一些准则去反复比较这个三个候选。首先，会确定这些准则在自己心目中各占多大比重，不同的人这种比重会有很大差异（喜欢玩游戏的人看重硬件性能和散热、预算有限的人看重价格等）。其次，还会就每一个准则将A、B、C进行对比，比如A 最便宜，B次之；C性能最好，B次之；C的品牌最知名等。最后，将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定一台作为最符合自己需求的电脑。 二、算法步骤 1. 将问题条理化、层次化，建立层次结构模型 1）最高层（目标层）——只有一个元素：决策目标；
2）中间层（准则层）——考虑的因素，决策的准则、子准则； 3）最底层（方案层）——决策时的备选方案、措施。 层次分析法要解决的问题是，求出最底层对最高层的相对权重，以此对最底层的方案、措施进行排序，选择最优方案。 注1：为了避免两两比较判断过于复杂，每层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个，否则应划分为若干子层； 注2：层次分析法只考虑相邻两个层次间自上向下的支配作用，认为同一层次的元素间相互独立，若考虑进来需要网络分析法（ANP）。 例如前文提到的选购笔记本电脑的决策模型，可以建立如下的层次结构： 2. 构造判断矩阵（成对比较矩阵） 构造好层次模型后，针对某一层来讲，在比较第i个元素与第j 个元素相对于上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重a ij来表示，假设共有n个元素参与比较，则矩阵
第八章层次分析法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。 § 1层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i）建立递阶层次结构模型； （ii）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii）层次单排序及一致性检验； （iv）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1递阶层次结构的建立与特点 应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类： （i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。 （ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配 的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。 例1假期旅游有R、F2、F3 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。 目标层0 准则层C P1 P2 P3 措施层P 1.2构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。
matlab用层次分析法输入判断矩阵A(n阶)源程序如下：disp('请输入判断矩阵A(n阶)'); A=input('A='); [n,n]=size(A); x=ones(n,100); y=ones(n,100); m=zeros(1,100); m(1)=max(x(:,1)); y(:,1)=x(:,1); x(:,2)=A*y(:,1); m(2)=max(x(:,2)); y(:,2)=x(:,2)/m(2); p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1)); while k>p i=i+1; x(:,i)=A*y(:,i-1); m(i)=max(x(:,i)); y(:,i)=x(:,i)/m(i); k=abs(m(i)-m(i-1)); end a=sum(y(:,i)); w=y(:,i)/a; t=m(i); disp(w);disp(t); %以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; CR=CI/RI(n); if CR<0.10 disp('此矩阵的一致性可以接受!'); disp('CI=');disp(CI); disp('CR=');disp(CR); end function AHPInit1(x,y) %层次分析的初始化 %默认只有两层x为准则数，y为方案数 %CToT为准则对目标生成的比较阵 %EigOfCri为准则层的特征向量 %EigOfOpt为选项层的特征向量 EigOfCri=zeros(x,1);%准则层的特征向量 EigOfOpt=zeros(y,x); dim=x;%维度 RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];%RI标准 %生成成对比较阵 for i=1:dim CToT(i,:)=input('请输入数据:'); end CToT %输出 pause, tempmatrix=zeros(x+1);
层次分析法建模 层次分析法(AHP－Analytic Hierachy process)---- 多目标决策方法 70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的,就是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点,就是将决策者的经验判断给予量化,对目标(因素)结构复杂而且缺乏必要的数据情况下,採用此方法较为实用,就是一种系统科学中,常用的一种系统分析方法,因而成为系统分析的数学工具之一。 传统的常用的研究自然科学与社会科学的方法有: 机理分析方法:利用经典的数学工具分析观察的因果关系; 统计分析方法:利用大量观测数据寻求统计规律,用随机数学方法描述(自然现象、社会 现象)现象的规律。 基本内容:(1)多目标决策问题举例AHP建模方法 (2)AHP建模方法基本步骤 (3)AHP建模方法基本算法 (3)AHP建模方法理论算法应用的若干问题。 参考书: 1、姜启源,数学模型(第二版,第9章;第三版,第8章),高等教育出版社 2、程理民等, 运筹学模型与方法教程,(第10章),清华大学出版社 3、《运筹学》编写组,运筹学(修订版),第11章,第7节,清华大学出版社 一、问题举例: A.大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生,“双向选择”时,用人单位与毕业生都有各自的选择标准与要求。就毕业生来说选择单位的标准与要求就是多方面的,例如: ①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献(即工作岗位适合发挥专长); ②工作收入较好(待遇好); ③生活环境好(大城市、气候等工作条件等); ④单位名声好(声誉-Reputation); ⑤工作环境好(人际关系与谐等) ⑥发展晋升(promote, promotion)机会多(如新单位或单位发展有后劲)等。 问题:现在有多个用人单位可供她选择,因此,她面临多种选择与决策,问题就是她将如何作出决策与选择？——或者说她将用什么方法将可供选择的工作单位排序？ 工作选择 贡献收入发展声誉工作环境生活环境
假期旅游问题 现有三个目的地可供选择（方案）：风光绮丽的杭州（）,迷人的北戴河（）,山水甲 天下的桂林（）。有5个行动方案准则：景色、费用、居住、饮食、旅途情况。 目标层 准则层 方案层 选择旅游地的层次结构 1-9的标度方法 1-9的标度方法是将思维判断数量化的一种好方法。首先，在区分事物的差别时，人们 总是用相同、较强、强、很强、极端强的语言。再进一步细分，可以在相邻的两级中插入折衷的提法，因此对于大多数决策判断来说，1-9级的标度是适用的。其次，心理学的实验表 明，大多数人对不同事物在相同程度属性上差别的分辨能力在5-9级之间，采用1-9的 标度反映多数人的判断能力。再次，当被比较的元素其属性处于不同的数量级时，一般需要将较高数量级的元素进一步分解，这可保证被比较元素在所考虑的属性上有同一个数量级或比较接近，从而适用于1 -9的标度。 选择旅游地 J景费居饮旅 色用住食途 C2 C 3 C4 C5 C1 G 『1 1/2 4 3 3、 C2 2 1 7 5 5 A = C3 1/4 1/7 1 1/2 1/3 C4 1/3 1/5 2 1 1 C5 订/3 1/5 3 1 1」
相对于旅途 R P 2 F 3 P 「1 1 1/4、 B 5 =R 2 1 1 1/4 讥4 4 1」 程序： A=[1 1/2 4 3 3; 2 1 7 5 5; 1/4 1/7 1 1/2 1/3; 1/3 1/5 2 1 1; 1/3 1/5 3 1 1]; [x,y]=eig(A); eige nvalue=diag(y); m=max(eige nvalue); lamda=m n=fin d(m==eige nvalue); y_lamda=x(:,n); s=sum(y_lamda); W2=y_lamda./s B1=[ 1 2 5; 1/2 1 2; 相对于景色 P P 2 R P 1 f 1 2 5 B 1 =P 2 1/2 1 2 P 3 <1/5 1/2 '1 相对于费用 R P 2 P 3 R (1 1/3 1/8 B 2 =F2 3 1 1/3 叭 3 '1 ; B 3 R 『1 3 4 、 B 4 =P 2 1/3 11 F 3 '^1/4 1 '1』