第二章
1-为什么甘重绘疥学祺空的埋论万程甲竝狈包言甌机十巩以n
解答计量经济学模型考察的是具有因果关系的随机变量间的真体联系方式4由于是随机变量，意昧着影响被解释变量的因素是复杂的，除了解释变量的愍响外，还有其他无法在模型中独立列出的各种因素的影响4这样，理论模型中就必须使用一个称为随机干扰项的变量来代表所有这些无法在模型中独立表示出来的影响因素，以保证摸型在理论上的科学性奇
2-下列计量经讲学方程哪些是正确的？哪些是错课的？为件么？
(1)y t=a +21,2,
(2)y
t
=a^flX t+ p t, 21,2,…，叭
⑶E=d + flX t 4- ju t, f = 1,2,' :
⑷4
E =矗+点疋斗儿212…』：
(5)E-a + ；
(6)JR,=a +
⑺=丘+ ￡览十心* I = 1,2,…，
岸；
(8)y r=&+Bx严W2,…卯,
其中带"亠-者表示鋼古计值
解答计量经济学模型有两种类型：一是总体回归模型：另一是样本回归模型口两类回归模型都具有确定形式与随机形式两种表达方式：
总体回归模型的确定形式
说门産)二炖十矗疋
总捧回归模型的随机形式
丫 =佻+昭+抖
样本回归模型的确定形式
样本回归摸型的随机形式
Y 眾
除此之外「其他的表达形式均是错误的，因此判断如下:⑴错误；(2)正确：(3)错误；(4)错误；(5)错误；(6)正确；(7)正确；(8)错误。
4. 线性回归模型
E + +如 / = l,2,--,n
的零均值假设是否可以表示为丄y^.=o?为什么？
解答 线性回归模型中的零均值假设￡(^) = 0可以表示为 ￡(耳)=0, ￡(/^) = 0,
E(“3)= 0,… 但是不能表示为丄￡“=0,理由是
n M
丄工M *￡(//,) = 0 W i-l
严格说来，随机干扰项的零均值假设是关于X 的条件期望为零： ￡(/￡ 1X) = 0,其含义为在/取值为儿的条件下，所有其他因素对丫的各种可 能的影响平均下来为零。因此E(H )与丄￡>?是两个完全不同的概念。
^1=1
5. 假设已经得到关系式Y = P"X 的最小二乘估计，试回答：
(1) 假设决定把X 变量的单位扩大10倍，这样对原回归的斜率和截距会有 什么样的影响？如果把y 变量的单位扩大io 倍，又会怎样？
(2) 假定给X 的每个观测值都增加2,对原回归的斜率和截距会有什么样
的影响？如果给丫的每个观测值都增加2,又会怎样？
解答(1)记/?为原变量x 单位扩大10倍的变量，则x 丄、于是
可见，解释变量的单位扩大10倍时，回归的截距项不变，而斜率项将会成为原
=00 + 01
x ? lo
回归系数的丄*
10
同样地，记厂为原变量F单位扩大W倍的变量，贝IJK-—,于是
10
即厂=10箱+10焜；V
可见，被解释变量的单位扩大10倍时；截距项与斜率项都会比原回归系数扩大10倍*
⑵记+ 则原回归模型变为
Y = 0Z\X、；
= A+A（^*-2）珂几-2再） + 0X
记r* = r+2,则原回归模型变为
工壬虫“\X
即r=（A+2）+A^
可见，无论解释变量还是被解释变量以加法的形式变化，都会造成原回归模型的截距项变化，而斜率项不变。
6?假使在回归模型耳=几+ AM +同中*用不为零的常数必去乘每一个X 值，这会不会改变r的拟合值及残差？如果对每个x都加大一个非零常数又会怎样？「解答记原总体模型对应的样本回归模型为丫严B Q +B’X严％则有
Y的拟合值与残差分别为
记X； = %则有
记新总体模型对应的样本回归模型为则有
kkk
B\X = B Q
于是在新的回归模型下，y的拟合值与残差分别为O
=+ RXj
小-@+钠?）
" 1 "
誌-（0。+尹兀）
詁-（A+肚）
可见，对X乘非零常数后，不改变丫的拟合值与模型的残差。
如果记町=尤+5,则有
.亍=产 + 5,
于是新模型的回归参数分别为
d0 = r-d1F=y-A(^+^)
=Y_BLB?=B Q_6B\
在新的回归模型下，Y的拟合值与残差分别为
￡"。+铭.
=（九-的）
=B Q+B N
e；*（&+铭）
二￡T（A-矽）+A（尤+§）］
=￡-（九+施）
可见，对x都加大一个非零常数后，也不改变y的拟合值与模型的残差。
7.假设有人做了如下的回归：y产瓦+B E+勺其中，
必心?分别为厶尤?关于各自均值的离差。问A和九将分别取何值? 解答记元=丄》习，?贝U易知元=y=o,于是n n
b _为（兀-刃? -刃—工兀必
Bq-B E 可见，在离差形式下没有截距项，只有斜率
项。
9?记样本回归模型为X + 勺，试证明
（1）估计的丫的均值等于实测的丫的均值：
Y=Y
（2）残差和为零，从而残差的均值为零：_
工弓=0, e = 0
（3）残差项与X不相关：
.=0
（4）残差项与估计的Y不相关：
证（1）由于
￡=B°+B\Xi
U巨）+肚.
=r+4（^-^）
貝貝1 ■
这里用到了
2＞产工化—云)=0
(2)由一元回归中正规方程组中的第一个方程
工化-人-A兀)=o
知&=0
=0
(3)由一元回归中正规方程组中的第二个方程
工(K-B O—A X)X严0
知吝乳=0
(4)由(2)及⑶易知
二九工?+A工勺尤=0第三章
1.多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？
解答多元线性回归模型的基本假定仍然是针对随机干扰项与针对解释变量两大类的假设◎针对随机干扰项的假设有：零均值，同方差，无序列相关且服从正态分布。针对解释
变量的假设有：解释变量应具有非随机性，如果是
随机的，则不能与随机干扰项相关；各解释变量之间不存在（完全）线性相关关系。
在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量非随机或与随机干扰项不相关的假定；在有效性的证明中，利用了随机干扰项同方差且无序列相关的假定。
2.在多元线性回归分析中，f检验与F检验有何不同？在一元线性回归分析中
二者是否有等价的作用？
解答在多元线性回归分析中，t检验常被用作检验回归方程中各个参数的显著性，而F检验则被用作检验整个回归关系的显著性。各解释变量联合起来对被解释变量有显著的线性关系，并不意味着每一个解释变量分别对被解释变量有显著的线性关系。在一元线性回归分析中，二者具有等价作用，因为二者都是对共同的假设一解释变量的参数等于零——进行检验。
4.在一项调查大学生一学期半均成绩（Y）与毎周在学习（XJ、睦觉（无2）、
娱乐（兀）与其他各种活动（血）所用时间的关系的研究中，建立如下回归模型：3久+0/-02兀+03禺+04比+“
如果这些活动所用时间的总和为一周的总小时数168。问：保持其他变量不变, 而改变其中一个变量的说法是否有意义？该模型是否有违背基本假设的情况？如何修改此模型以使其更加合理？
解答由于尤+*2 +禺+血=168,当其中一个变量变化时，至少有一个其他变量也得变化，因此，保持其他变量不变，而改变其中一个变量的说法是无意义的。
显然，由于四类活动的总和为一周的总小时数168,表明四个X间存在完全的銭性关系，因此违背了解释变量间不存在（完全）多重共线性的假设.
可以去掉其中的一个变量，如去掉代表“其他”活动的变量尢，则新构成的三变量模型更加合理。如这时0】就测度了当其他两变量不变时，每周增加1小E寸的学习时间所带来的学习成绩的平均变化。这时，即使睡觉和娱乐的时间保持不变，也可以通过减少其他活动的时间来增加学习的时间。而这时三个变量间也不存在明显的共线性问题。