第二章连续介质力学的基本定律
在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。
2.1 应力矢量与应力张量
在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。
在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t对于任何物质坐标X和与之对应的接触面S上的单位法矢量n，表面力的存在形式为
()n t X t t,,
=(2.101) 通常，我们规定()n t X t t,,
=指向接触面S的外法向时为正，反之为负(见图2.1).
现在不管在X和S面与S'面的曲率相差多少。
为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S截断成两部分A和B，如图2.3所示。此时S面就是A和B相互作用的接触面，B部分对A部分一
点的作用，便可以用A部分截面上的表面力t
n
来表征，我们称之为应力矢量。反过来，考虑A部分对B部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量
t
n -。它与t
n
作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。即
t t
n n
=-(2.102) 对于物体内部的一点P，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同
方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态，设想在一点P的附近任意给定一个单位法矢量为
(),cos ,cos ,cos 321ααα=n
()n e n e n e ???=321,, (2.103) 的平截面。相应地，过P 点沿活动标架作三个坐标平面。于是它们在物体内截得一个微小四面体，如图2.4所示。在这个微小四面体的每一个面上，都受有物体的其余部分给它的作用力，不妨设在ABC 上受到的作用力为t A ?，在PBC ，PCA 与PAB 上的作用力分别为-t A 11?、-t A 22?与-t A 33?，其中?A 与?A i 分别为各微小平面的面积，作用于微小四面体ABCP 上单位质量的体力为b 。
现在假设对物体的任何部分，特别是对微小四面体ABCP 而言，动量的变化率与作用的合力成正比。虽然这是个很自然且牛顿第二定律更强的新假设(因为牛顿第二定律只适用于整个物体)，然而，它却不能用实验直接验证，因为不可能做内部表面接触力的直接测定，这种力的存在与大小只能由其它量的观测推知。描述一点是应力张量，描述通过一点的某一截面是应力矢量。
对于微小四面体ABCP ，柯西定律给出 t A t A t A t A b V ?????---+112233ρ =-+t A t A b V i i ???ρ
=-+t A t A bh V i i ???cos αρ1
3
==tma Va ρ?
=1
3
ρh Aa ? (2.104)
其中ρ为物体的密度，h 为P 点到ABC 面的距离，并且考虑到微小四面体的体积.
??V h A =1
3
(2.105)
2.104式也可写成
t t bh ha i i -+=cos αρρ131
3
(2.106)
当微小四面体体积趋于零时，即?A →0，?h →0，则有
t t i i =cos α (2.107) 考虑到2.103式，并令
t T e T e T e i i i i =++112233
=T e ij i (2.108) 则式2.107可写成
()()j ij i i i e T e n t t ?==αcos
()T
n e e T n j i ij ?=?=
()()n e e T t i j ij i i ?==αcos
()n T n e e T T j i ij ?=?= (2.109)
当T 对称时，则
t n T T n =?=? (2.110) 其中
j i ij e e T T = (2.111) 称为应力张量，其矩阵形式为
[]????
?
?????=3332
312322
211312
11T T T T T T T T T T (2.112) 如果物体中一点处的应力张量已知，那么由式2.112可以得到通过该点的任何截面上的应力矢量，因此应力张量完全地刻画了物体中一点的应力状态。 由A i 面上的应力矢量t i 的定义可知，()t X t t i i ,=，而由式2.108知
()t X T T ij ij ,=，因此式2.109变为
()()t X T n n t X t ,,,?= (2.113) 上式就是柯西假设的具体形式，常称之为柯西基本定理。
下面我们研究应力张量T 的各分量的力学意义。考虑到
T e T e t e ij i j i j =??=?
故知，T ij 代表作用于e i 方向截面上的应力矢量t i 在e j 方向上的分量，如图2.5所示。
我们从图2.5看到，应力张量T 的对角线元素()j i T ij =位于所作用平面的法线方向内，故称之为法向应力分量；应力张量T 的非对角线元素()j i T ij ≠位于所作用的平面内，故称为剪切应力分量。
2.2 质量守恒定律
物质无论经过怎样形式运动，其总质量是不变的，这就是古典连续介质力学中的最重要规律之一—质量守恒定律。下面我们研究质量守恒定律的数学表达式。
设ρ为物体的密度，dV 表示物质点的体积，由于在运动过程中质量保持不变，所以 ()0=dV Dt
D
ρ (2.201) 展开有
()0=+dV Dt
D dV Dt D
ρρ
(2.202)
又由式
()()dV divv dV x v dV Dt D
i
i ==?? (2.203) 于是式2.202可写成 D Dt v
x i i ρρ??+=0 (2.204) 其不变性形式为 D Dt
divv ρ
ρ+=0 (2.205) 其中
D Dt t v x i i
ρ?ρ??ρ?=+ (2.206) v t
?ρ
ρ?=
+?? 把上式代入式2.204，则得
()0=+i i x v t ?ρ???ρ (2.207) 其不变性形式为
()0div v v t
?ρ
ρρ?+=注明是张量，只是一个函数，既不是矢量，又不是张量
(2.208)
式2.205和式2.208就是质量守恒定律的数学表达式质量守恒方程，在连续介质力学中常称为连续性方程。
在正交曲线坐标系中，利用式:j i i g g H ?=，连续性方程可写为
()()()[]01
2133312232113
21=+++
H H v H H v H H v H H H t ρ?ρ?ρ???ρ (2.209) 在直角坐标系中，连续性方程为
()()()0=+++z v y v x v t z y x ?ρ??ρ??ρ???ρ (2.210) 在柱面坐标系中，利用第第一部分二章式2.13.03，连续性方程为
()()()011=+++z
v v r r rv r t z r ?ρ??θρ??ρ???ρθ (2.211) 在球面坐标系中，利用第一部分二章式式2.13.04，连续性方程为
()
()()0sin 1sin sin 1122=+++??
ρ?θ?θθρ?θ?ρ???ρ?θv r v r r v r r t r (2.212) 连续性方程也可用物质描述法表示。在这种情况下质量定恒定律要求
()()dV t x dV t X V V ,,000
ρρ??
= (2.213)
其中V 是物质在现时刻所占据的体积，而V 0是物质在时刻t 0所占据的体积。于是
()()[]000,,,0
JdV t t X x dV t X V V ρρ??
=
()0,0JdV t X V ρ?= (2.214) 因为这个关系式对任意体积V 0都必须成立，故得
ρρ0=J (2.215) 它表示ρJ 与时间无关，即
ρJ const = (2.216) 这就是物质形式的连续性方程。
2.3 动量平衡定律
欧拉把下列关系作为在连续介质中普遍成立的一般性原理：
Dm
Dt
f = (2.301) 它称为欧拉第一运动定律。上式说明任意物体具有的动量的变化率等于作用于该物体上的合力f 。
设所研究物体在其体积V 上受有连续分布的体力和在其体积的边界面S 上连续分布的接触力f c ，因此物体上所受合力为
f f f b c =+ (2.302) 其中
bdV f V b ρ?= (2.303) tdS f S c ?= (2.304) 物体的动量为
vdV m V ρ?= (2.305) dV Dt
Dx V ρ?=
于是将式2.302和式2.305代入式2.301则
bdV tdS adV V S V
ρρ???
+= (2.306)
其中a D x
Dt =22
表示x 点的加速度。由式2.109，可将上式改写为
adV bdV TdS n V V S ρρ???=+? (2.307)
利用高斯公式 TdV TdS n V S
??=???
(2.308)
则得
adV bdV TdV V V S
ρρ???
=+?? (2.309)
即
()0=-+???dV a b T V
ρρ (2.310)
考虑到V 的任意性，则
??+-=T b a ρρ0 (2.311) 即
divT b a +=ρρ (2.312) 需要指出的是，这里的散度是对于空间坐标的。上式称为柯西第一运动定律。其指标形式为
T b a ji i i i ;+=ρρ (2.313) 展开得
??????ρρT x T x T x b a 11121231
311+++= (2.314) ??????ρρT x T x T
x b a 12122232322+++= (2.315)
??????ρρT x T x T
x b a 131********+++= (2.316)
特别地，在静止的情况下，物体的加速度为零，则式2.313化为
divT b +=ρ0 (2.317) 在弹性力学中，上式称为平衡方程。
在柱面坐标系中，利用第一部分第二章2.13.4.d 可得上式化为
????θ??ρθθθ
T r r T T z T T r b rr r zr rr r +
++-+=10 (2.318) ????θ??ρθθθθθθθT r r T T z T T r b r z r r
+
++-+=10 (2.319) ????θ??ρθT r r T T z T r
b rz z zz rz
z +
+++=10 (2.320) 在球面坐标系中，利用第一部分第二章2.13.4.e ，则2.317式可化为
()0cot 21
sin 11=+--++++
r r rr r r rr b T T T T r T r T r r T ρθ???θ?θ?????θθθ?θ (2.321) ()[]
0cot 21
sin 11=+-+++++
θ??θθθθθθθθθρ???θ?θ???b T T T T r T r T r r T r r r (2.322) ()[]
0cot 21sin 11=+-+++++??θθ?????θ??ρθ???θ?θ???b T T T T r
T r T r r T r r r (2.323)
2.4 动量矩平衡定律
对于任意物体下列关系式成立：
DM Dt
l x x 0
0= (2.401) 其中M x 0表示物体绕x 0点的动量矩，l x 0表示作用于物体上的力对x 0点的合力矩。上式称为欧拉第二运动定律。
设作用于物体上的力矩只是由体力和接触力引起的,故其合力矩为
()()000S x V S l x x bdV x x td ρ=-?+-??? (2.402) 而物体的动量矩为 ()dV Dt
Dx
x x M V x ?
-=?00ρ (2.403) 将式2.402和式2.403代入式2.401，并考虑到
()0V D Dx
x x dV Dt Dt
ρ-?? (2.404) ()()()()20002V V V D x x Dx D x Dx D
dV x x dV x x dV Dt Dt Dt Dt Dt
ρρρ-=?+-?+-????
()()()200200
V V V Dx Dx D x Dx dV x x dV x x Dt Dt Dt D D dV Dt
t ρρρ=?+-?+-????张量本身叉乘是质量守恒
()202V D x
x x dV Dt
ρ=-?? (2.405)
可得
()()()0
S V
V
S
x x adV x x bdV x x td ρρ-?=-?+-???? (2.406)
其中a D x
Dt =22
表示x 点的加速度。考虑到式2.110和高斯公式，则
()()()()()()0
V
S S
S V
S
V
S
x x bdV x x td x x ad x x td x x n T d V ρρ-?-?+--?=-??-?????g 可知
()()()()adV x x dS T n x x bdV x x V S V ?--??-+?-=???000ρρ ()()()00V S x x b a dV n T x x dS ρ=-?-+??-??混合积互换 ()()(){}
00V x x b a T x x dV ρ=-?-+???-?????积分定理 ()()(){
}
00V ljk l l j j k i ij l l jlk k x x b a e T x x e dV ρε?ε??=-?-+??-???张量运算 ()()()[]
{}dV x x T a b x x e l l ij i j j l l k ljk V 00-+-?-=??ρε
()()()()[
]
dV x x T x x T a b x x e l l i ij l l i ij j j l l k ljk V 00;0-+-+-?-=??ρε
()()0;0V ljk k l ij i j l j il j i T b a e x x T dV εδρρ??=-?+??+-?根据平衡方程，红色部分为
dV e T k il ij ljk V δε?= dV e T k ij ijk V ε?=
=0 (2.407) 考虑到体积V 的任意性，得
εijk ij T =0 (2.408) 因此，T ij 必须对称张量，即
T T ij ji = (2.409) 或
T T T
= (2.410)
上式叫做柯西第二运动定律。柯西第二运动定律限定应力张量为对称张量，其中只有六个独立分量。
2.5 能量守恒定律
在连续介质中，如果只研究力学量的影响，而不考虑热学效应，那么连续介质的能量守恒定律可以直接由运动方程导出。首先，将运动方程
??+=T b Dv
Dt
ρρ (2.501)
点乘速度矢量v
()Dt
Dv
v b v T v ?=?+???ρρ (2.502)
在体积V 上积分
()bdV v dV T v Dt
Dv
v V V V ?+???=????ρρ (2.503)
考虑到
dV v v Dt D Dt Dv v V V ??
? ???=???21ρρ ()1202V V
D v vdV v v D D dV Dt t ρρ??
=?-? ?????质量守恒 vdV v Dt D V ?=?ρ2
1
dV v Dt D V
2
21ρ?= =DK
Dt
(2.504)
上式表示在体积V 中的总动能dV v K V 22
1
ρ?=的时间变化率。另外，考虑到
()i ij j T v T v ;=???
()ij i j i ij j T v T v ;,-=
()()T v v T :?-???= ()()T W D v T :+-???=
()::W T T v D T =???--反对陈与对称双点乘是0 ()T D v T :-???= (2.505)
这里利用了反称张量W 与对称张量T 之间的双重点积为零的性质。
把式2.504和式2.505代回到式2.503中去，则得
()bdV v dV v T TdV D Dt
DK V V V ?+???=+???ρ: (2.506)
运用高斯公式把上式右边第一体积分化为面积分，并利用柯西假设
t =t n T =?，则
()()()V
S T v dV n T v dS ???=???
?添加取掉无影响
vdS t S ?=? (2.507)
将上式代入式2.506，于是我们得到在纯力学作用下的能量方程
:D V S V DK D TdV t vdS b vdV Dt ρ+=?+????其中是速度梯度的对称部分
(2.508)
其中方程左边两项分别表示连续介质的动能和内能(应力生热)的时间变化率，右边两项分别表示接触力和体力所做的功率。若令U 表示内能，则能量方程5.508也可简洁地写成
DK Dt DU Dt DW
Dt += (2.509) 其中DW Dt
表示接触力和体力的功率，记号D 表示这个量不一定能写成某个函数
的全微分形式。
如果同时考虑机械能和非机械能，那么就必须用能量守恒定律的一般形式。能量守恒定律的一般形式可以表述为：动能加上内能对时间的变化率等于总功率加上在单位时间内供给物体的各种其它形式的能量。这些能量包括热能、化学能、电磁能等等。本书只考虑机械能和热能，于是能量守恒定律就化为著名的热力学第一定律的形式。
对于热力连续介质(thermomechanical continua)来说，通常把内能的时间变化率写成
?
=udV Dt D
Dt DU V ρ ()0V V Du dV u D dV Dt
Dt ρρ=+??是
?=dV Dt
Du
V ρ
(2.510) 其中u 称为比内能，表示每单位质量的内能密度。另外，我们定义矢量f 为在单
位时间内每单位面积的热通量，函数q 为在单位时间内每单位质量的热辐射量，于是物体总热量的增量变化率为
qdV ndS f Dt
Q
D V S ρ??+?-= (2.511)
其中n 为物体表面的外法向，热通量矢量f 由傅立叶定律给出，即
f k T =? (2.512) 这里k 为热传导系数，T 为温度。
于是热力连续介质的能量方程可以写成
DK Dt DU Dt DW Dt DQ
Dt +=+ (2.513) 或写成积分形式
qdV ndS f bdV v vdS t dV Dt Du vdV v Dt D V S V S V V ρρρρ??????+?-?+?=+?21 (2.514) 把上式右边面积分化为体积分后再移到左端，则有
()()12V
V D v v Du dV T v v b f q dV Dt Dt ρρρρ???
+=???+?-??+????????
?
?高斯公式 (2.515)
由于体积V 是任意的，故有
()q f b v v T u v v Dt D +??-?+???=???
??+?ρρ11
2 (2.516) 利用式2.505，则上式化为 ()[]q f b v T v T D Dt Du Dt Dv v +??-?+???+=+?
ρρ1:1 (2.517) 整理得 111:0Dv T b Du D T f t v D q Dt ρρρρρ??
??+- ???=-??++?平衡方程 (2.518)
考虑到运动方程成立，则有
Du Dt D T f q =-??+11
ρρ: (2.519) 或
Du Dt D T f x q ij ij i
i
=-+11ρρ?? (2.520)
上式表示物体内能的时间变化率等于应力功率和吸收的热量之和。 式2.513、式2.514、和式2.519都是能量守恒定律的表现形式。
2.6 状态方程熵定律
完整地表征一个热力学统称做是对这个系统状态的描述。用来描述这个状态的物理量称状态参数。状态参数随着时间变化表征一个热力学过程。但是，在一般情况下，这些状态参数并不全是独立的，它们之间存在着某种关系。这种关系就称为状态方程。如果某个状态参数可以通过其它几个状态参数表出，则称它为状态函数。
现在，我们考虑一个均匀的热力学系统，它处于平衡状态，即在没有外界影响的条件下，系统的各部分在长时间内不发生任何变化。描述这样一个热力学系统的状态参数为：几何参数V(体积)、力学参数p(压力)及热力学参数T(温度)。联系这三个量的关系的状态方程可写成
()0,,=T V p F (2.601)
这里需要指出的是，对于一定的物质来说，状态方程是普遍适用的，也就是说，构成热力学系统的物质一经选定，状态方程的具体形式也就确定了。 例如对于完全气体而言，状态方程的具体形式可写成
pV m M
R T =0 (2.602) 其中m 为气体的质量，M 为分子量，R 0是克分子气体常数。
在上一节我们曾叙述过热力学第一定律，它公设机械能和热能可以互相转换，但是，只根据热力学第一定律还不能判定这种转换过程是否可逆。事实上，所有的真实过程都是不可逆的，但可逆过程却是一个非常有用的假设，因为在许多情况下，能量耗损是可以忽略不计的。可逆性判据由热力学第二定律给出。
热力学第二定律公设存在两个独立状态函数：绝对温度T 和熵S 。它们有如下性质：绝对温度T 为一正量，它仅仅是经验温度θ(即我们通常见到的温度)的函数，熵S 和体积V 一样，是一个广延量，而温度是与熵相对应的强度量，正如压强是与体积相对应的强度量一样。一个物体的强度量代表物质的内在性质，与物体的质量大小无关，而一个物体的广延量则可分解为物体上各个子部分上的广延量之和。因此，一连续介质的总熵S 可写成下列形式：
sdV S V ρ?= (2.603) 这里s 表示连续介质中的熵密度，即每单位质量中的熵。
一个系统的熵既可由于与外界相互作用而发生改变，也可由于系统内部发生变化而改变，因此 ()()i e ds ds ds +=
(2.604)
这里ds 是熵密度的增量,()e ds 是由于与外部相互作用而引起的熵密度增量。()i ds 是由于系统内部发生变化而引起的熵密度的增量。()i ds 决不能为负值。它在可逆过程中为零，在不可逆过程中为正，即
()0>i ds (不可逆过程) (2.605) ()0=i ds (可逆过程) (2.606) 在可逆过程中，如果令()R dq 表示供给系统的每单位质量的热量，则()e ds 可表示为 ()()T
dq ds R e =
(可逆过程) (2.607)
按照热力学第二定律，在连续介质所占据的物理空间中总熵的时间变率不小于通过连续介质表面流入的熵与连续体内部源产生的熵之和。在数学上，这个熵原理可以以积分形式表示为
dS T n f edV sdV dt d
S V V ???
?-≥ρρ (2.608) 称之为克劳修斯—杜姆不等式，其中e 为单位质量中的局部熵源。上式中的等号成立时表示可逆过程，不等号成立时代表不可逆过程。 利用质量守恒定律
()dV dt d S dV dt ds sdV dt d V V V ρρρ???
+= dV dt
ds
V ρ?=
和高斯公式
dV T f dS T n f V V
????
?
????=? 考虑到体积V 的任意性，则由式2.608可得克劳修斯—杜姆不等式的微分形式 01≥???
????--T f e dt ds ρ (2.609)
2.7 主应力最大剪应力
t n T =?表示物体中一点周围不同方向上的应力矢量公式，当应力张量已知时，在给定的任何一个方向n 上的应力矢量就由t n T =?给出。下面，我们将要
讨论的问题是，对于某给定点来说，在什么方向上法向应力T n 取驻值。这个问题归结为在n 为单位矢量的条件下，即
n n n n n n 2
122232
=?=++
==n n k k 1 (2.701)
时，求T n 的条件极值问题。运用大家所熟知的拉格朗日乘子法，有
??λ??T n f
n n i i -=0 (2.702) 其中f 为约束条件
()011=-=-?=k k n n n n n f (2.703) 考虑到T T ij ji =，则由式2.110可得
T n t n T n n =?=??
()()()l l q p pq k k e n e e T e n ??= =δδkp k pq l ql n T n
=n T n p pq q (2.704) 将上式代入式2.702，则
??λ??T n f
n n i i
- ()()1---=k k i q pq p i n n n n T n n ??λ??
=+-????λ??n n T n n T n n n
n n p i pq q p pq q i k i
k 2 =+-δδλδpi pq q p pq qi ki k T n n T n 2 ()02=-=i q iq n n T λ (2.705)
或写成不变性形式，即
T n n ?=λ (2.706) 或
()0=?-n I T λ (2.707) 写成展开形式，则为
()0313212111=++-n T n T n T λ ()0323222121=+-+n T n T n T λ
()0333232131=-++n T n T n T λ (2.708) 上列方程中n 具有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零，即
T ij ij -=λδ0 (2.709) 或
λλλ312
230-+-=I I I (2.710)
其中
I T T T T trT ii 1112233=++== (2.711)
I T T T T T T T T T T T T 211122122111331332223
3233=++
()ij jj ii T T T -=21
()[]
22
2
1trT trT -= (2.712)
I T T T T T T T T T T T ij 3111213
1222
23313233
===det (2.713) 这里I 1，I 2，I 3是应力张量T 的三个主不变量，分别称为第一、第二、第三应力不变量。方程的解λ1，λ2，λ3为特征值，n 1
，n 2
，n 3
为特征矢量。其中若
λλi j ≠，则n n i j ⊥。
事实上，在n i
方向上法向应力值就是n i
所对应的特征值。将式2.706与n i
点
乘，得
λλi i i i i i i i
n n n T n t n =?=??=? (2.714)
则λi 就是n i
方向上的应力，称为主应力，而n i
称为主方向，主方向所确定的平面
称为主平面。
若n i
和n j
不两个不同的主方向()j i ≠，则在n i
面上n j
方向的剪应力T ij 为
T n T n n n ij i j i i j
=??==λ0 (2.715)
故主应力平面上的剪应力为零。若以(n 1
，n 2
，n 3
)为坐标单位基矢量，并令
λi i T =，则应力张量矩阵具有下列形式：
[]????
?
?????=32
10
00000
T T T T (2.716) 即
T Tn n i i i
= (2.717)
现在我们来讨论最大剪切应力问题。为了计算方便，不妨将坐标系选取在主方向上，即取(e 1，e 2，e 3)为主方向。设n 是通过物体内一点的某一平面的单位法向矢量，则
n n e n e n e n e k k =++=112233 (2.718) 作用于该平面的应力矢量分量为
t n T n e Te e k k i i i =?=? (2.719) n T e n Te k i ki i i i i δ= (2.720) 在该平面上的法向应力为 T t n n Te n e n i i i j j =?=??
=n n T i j i ij δ
2i i n T = (2.721) 若以T S 表示该平面的总剪应力的大小(如图2.6)，则
T t T S n 22
2
=- (2.722)
即
T t t T S n 22
=?-
()
2
i i i j j j i i i T n n e T n e T n -?=
()2
2
i
i i i i i T n n T n n -= (2.723)
222i i n n T T =-
我们仍运用拉格朗日乘子法计算T S 2
的驻值，考虑到n 为单位矢量，令 ()011=-=-?=i i n n n n n f (2.724) 则
??λ??T n f
n S k k 20+= (2.725) 其中
??????T n n T n n T T n S k i i i k n n k
2222=- 2222i i i ik n i i k n n T T n T n ?δ???
=- ??
?
()2
24i i ik n i i ik nT T nT δδ=- 224k i k n i n T n T T =-
()222k i i n n T TT =- (2.726)
()1-=
i i k
k n n n n f ??
?? ===222n n n n n i
i
k i ik k ??δ (2.727) 于是 ()2220k i i n n T TT λ-+= (2.729) 即
()0221211=+-λT T T n n
()0222222=+-λT T T n n
()0223233=+-λT T T n n (2.730) 利用条件2.724，则方程组2.730显然有一组解 n 11=±，n n 230== n 21=±，n n 130==
n 31=±，n n 120== (2.731)
但是这组解所确定的平面就是主平面，而在主平面上T S 2
0=，这不是我们所要
求的解。
假定在式2.730中n 10≠，n 20≠，n 30=，则
T T T n 12
120-+=λ
T T T n 22
220-+=λ (2.732) 将上列两式相减，则有
()02212221=---T T T T T n (2.733) 故得
T T T n =
-12
2
(2.734) 把它代入式2.721中并与n n 1222
1+=联立，则可解得
n 11
2
=±，n 212=±，n 30= (2.735)
这时n 方向与主方向e 2，e 3成45度角。 同样，若设n 10≠，n 20=，n 30≠和n 10=，n 20≠，n 30≠则对应的n 值分别为 n 11
2
=±，n 20=，n 312=± (2.736)
和
n 10=，n 212=±
，n 31
2
=± (2.737) 考虑到上列三组驻值，则
当()212
1
e e n +±
=时，()2121T T T S -±= (2.738) 当()132
1
e e n +±
=时，()1321T T T S -±= (2.739) 当()1221
e e n +±
=时，()3221T T T S -±= (2.740) 因此，剪切应力的最大值由下列三个值中的最大值给出
T T 122-，T T 312-，T T 23
2
- (2.741)
或
()()()2
min
max max n n S T T T -= (2.742)
<连续介质力学> QM 复习提纲(2010.12) 一、基本要求 1、掌握自由指标与哑指标的判别方法及表达式按指标展开； 2、掌握ij 与ijk e 的定义、性质及相互关系； 3、掌握二阶张量坐标转换的计算； 4、掌握二阶张量特征值、特征向量与三个不变量的计算方法； 5、掌握哈密顿微分算子及其基本计算； 6、掌握小变形应变张量、转动张量及转动向量的计算； 7、掌握正应变的计算； 8、掌握正应力、剪应力及应力向量的计算； 9、掌握应力张量与应变张量的对称性； 10、掌握能量密度及能通量密度向量的计算； 11、掌握各向同性线弹性体的广义胡克定律的两种形式； 12、掌握应力张量与体积膨胀率的关系； 13、掌握各向同性线弹性体的应变能密度函数； 14、会对材料的各个弹性参数之间的关系进行相互推导； 15、掌握从质点的运动方程推导Navier 方程的过程； 16、掌握从质点的运动方程出发推导纵横波的方程的过程； 17、掌握地震波速度与泊松比的关系； 18、掌握非均匀平面简谐波的传播特征； 19、掌握P 波、SV 波入射到自由界面上的传播特征； 20、掌握利用自由界面边界条件确定反射系数和反射波位移场的方法； 21、掌握Reilaygh 波和Stonely 波的传播特征； 22、掌握P 波入射到两种弹性体接触面上的反射系数和透射系数的计算方法； 二、复习题 简答论述题 1、试解释“连续介质”所必须满足的条件。 2、简述弹性动力学基本假设。 3、说明应力、应变、正应力、正应变、剪应力及剪应变的含义。 4、说明杨氏模量、泊松比、体积模量与剪切模量的物理含义。 5、简述小变形应变张量的几何解释。
材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面 轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1； 拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 6.纵向线应变和横向线应变 7.泊松比 8.胡克定律 9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?
10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 11.轴向拉压杆的强度计算公式 12.许用应力，脆性材料，塑性材料 13.延伸率 14.截面收缩率 15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点 到圆心距离r） 19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式
20.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转 切应力计算公式 22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如 阶梯轴）时或 24.等直圆轴强度条件 25.塑性材料；脆性材料 26.扭转圆轴的刚度条件? 或 27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式 , 28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 ,
岩石力学复习题B 一、选择题 1、岩石与岩体的关系是（ B ）。 （A）岩石就是岩体（B）岩体是由岩石和结构面组成的 （C）岩石是岩体的主要组成部分 2、大部分岩体属于（ C ）。 （A）均质连续材料（B）非均质材料 （C）非均质、非连接、各向异性材料 3、比较岩石抗压强度、抗剪强度和抗拉强度的大小为（ C ）。 （A）抗压强度<抗剪强度<抗拉强度（B）抗压强度>抗拉强度>抗剪强度（C）抗压强度>抗剪强度>抗拉强度 4、影响岩体力学性质各向异性的主要因素为（ B ）。 （A）地下水（B）结构面（C）构造应力场 5、巴西试验是一种间接测定岩石（ B ）强度的试验方法。 （A）抗压（B）抗拉（C）抗剪 6、蠕变是指介质在大小和方向均不改变的外力作用下，介质的（ B ）随时 间的变化而增大的现象。 （A）应力（B）应变（C）粘性 7、下列参数不是岩石强度指标的为（ A ）。 （A）弹性模量（B）内聚力（C）摩擦角 8、格里菲斯准则认为岩石的破坏是由于（ A ）。 （A）拉应力引起的拉裂破坏（B）压应力引起的剪切破坏 （C）压应力引起的拉裂破坏 9、按照库仑—莫尔强度理论，若岩石强度曲线是一条直线，则岩石破坏时破裂面与最大主应力作用方向的夹角为（ C ）。 （A）45°（B）45 2 ? ?+ （C） 45 2 ? ?- （D）60° 10、岩石质量指标RQD是（A ）以上岩芯累计长度和钻孔长度的百分比。A
（A ）10cm （B ）20cm （C ）30cm 11、下列关于岩石长期强度S ∞和瞬间强度S 0的关系正确的是（D ）。 （A ）S ∞＞S 0 （B ）S ∞≤S 0 （C ）S ∞≥S 0 （D ）S ∞＜S 0 12 A 13 C 二、 填空题 １． 就破坏机理而言，岩石材料破坏的主要形式有（ 断裂破坏 ）和 （ 流变破坏 ）两种。 ２． 岩石的弹性变形特性常用（ 弹性模量 ）和（ 泊松比 ）两 个常数来表示。 ３． 岩石变形性质按卸载后变形是否可以恢复可分为（ 弹性变形 ）和 （ 塑性变形 ）两类。 ４． 岩石的剪切模量G 可用岩石的弹性模量E 和泊松比μ计算，其计算公式为 （ 2(1)E μ+ ）；同样岩石的拉梅常数λ也可以用岩石的弹性模量 E 和泊松比μ计算，其公式为（ (1)(12)E μ μμ+- ）。 ５． 岩体基本质量应由受（ 岩石坚硬程度 ）和 （ 岩体完整程度 ）。 ６． 巴西劈裂试验中，P 为劈裂破坏时最大压力，D 为岩石圆盘的直径，T 为岩 石圆盘厚度，则岩石抗拉强度的公式为（ 2t P DT σπ= ）。 7本构关系，强度准则 8 松动和蠕动
材料力学常用公式标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]
材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式 （P 功率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式 （杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计 算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5. 6.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距 l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径 d，拉伸后试样直径d1） 7. 8.纵向线应变和横向线应变 9. 10.泊松比11.胡克定律 12.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 13. 承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变 形计算公式 14.轴向拉压杆的强度计算公式 15.许用应力，脆性材料 ，塑性材料 16.延伸率 17.截面收缩率 18.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 19.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之 间关系式 20.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆
21. （b）空心圆 22.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公 式（扭矩T，所求点到圆心距离r ） 23.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 24.扭转截面系数，（a）实心圆 25. （b）空心圆 26.薄壁圆管（壁厚δ≤ R 0 /10 ，R 为圆管 的平均半径）扭转切应力计算公式 27.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚 度GH p 的关系式 28.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或 各段的直径不同（如阶梯轴）时 或 29. 等直圆轴强度条件 30.塑性材料；脆性材料 31.扭转圆轴的刚度条件 或 32.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上 的应力计算公式 , 33.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 34.平面应力状态的三个主应力 , ,
材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式 (P功 率,n转速) 2.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式(杆件 横截面轴力F N,横截面面积A,拉应力为正) 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式(夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为 正) 5.纵向变形与横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样标距 l1;拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d1) 6.纵向线应变与横向线应变 7.泊松比 8.胡克定律9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 ? 10.承受轴向分布力或变截面的杆件,纵向变形计算公式 11.轴向拉压杆的强度计算公式 12.许用应力, 脆性材料,塑性 材料 13.延伸率 14.截面收缩率 15.剪切胡克定律(切变模量G,切应变g ) 16.拉压弹性模量E 、泊松比与切变模量G之间关系式 17.圆截面对圆心的极惯性矩(a)实心圆 (b)空心圆 18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式(扭矩T,所求 点到圆心距离r )
19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 20.扭转截面系数,(a)实心圆 (b)空心圆 21.薄壁圆管(壁厚δ≤ R0 /10 ,R0为圆管的平均半径)扭转 切应力计算公式 22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不 同(如阶梯轴)时或 24.等直圆轴强度条件 25.塑性材料;脆性材料 26.扭转圆轴的刚度条件? 或27.受内压圆筒形薄壁容器横截面与纵截面上的应力计算公 式, 28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 29.平面应力状态的三个主应力 , , 30.主平面方位的计算公式 31.面内最大切应力 32.受扭圆轴表面某点的三个主应力, , 33.三向应力状态最大与最小正应力 , 34.三向应力状态最大切应力
〈连续介质力学〉期末复习提纲一弹性力学部分 1、自由指标与哑指标判别（★） 2、自由指标与哑指标的取值范围约定 3、自由指标与哑指标规则 4> Einstein 求和约定（★） 5、Kronecker-delta 符号（★） 、、, f 0, i j 定乂：廿 性质:(1) §ij= Eji (2)e f -e)= % (3)戈=久+爲2+爲3=3 (6) S ik5kj=S ij 6、Ricci符号（置换符号或排列符号）（★） 1,北为1,2,3的偶排列 定义:e..k = -1, ■从为1,2,3的奇排列 0, 门，舛任两个相等 性质：(1) e ijk = e jki = e kij = -e Jik = -e ikj = -e kji (2)弓23 =幺23] =?】2 =1 (3)弓32=?2I =勺口=_1 ⑷e^ej=e ijk e k (5) (axb)k = egbj, a、b为向量 7、％与爲的关系（★） 魯i詁0 § ZQ
8、坐标变换（★） 向量情形： 旧坐标系： ox [兀込尹丘，仔，￡ 新坐标系： 州兀姿戸心乙列 变换系数： e[?e 尸（3 坐标变换关系： X ， i - 0ijXj x t = 0jXj 0厂（角）T 矩阵形式为： 011 012 013 011 0 】2 013 X * = 021 022 023 兀2 或[耳,兀;,堪]=[西，兀2,兀 021 022 023 A.几 2 A.3_ _^3_ .031 032 033. 011 012 013 A 011 012 013 兀2 — 021 022 023 %； 或[西，吃，兀3] = [X ，%；，兀；] 021 022 023 _031 032 033 _ .031 032 033. 张量情形 入芋与A“?是两个二阶张量，角是坐标变换系数矩阵，则有 気=炕0“九 矩阵形式为[匍=[0]|? ]|> ]，其中[A J=[A ]T （★） 9、 张量的基本代数运算 （1） 张量的相等 （2） 张量的加减法 （3） 张量的乘积 （4） 张量的缩并 （5） 张量的内积（★） （6） 张量的商法则 10、 几中特殊形式的张量 （1） 零张量 （2） 单位张量
材料力学常用公式 1.外力偶矩 计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关 系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计 算公式（杆件横截面轴力 F N，横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴 正方向逆时针转至外法线的方位 角为正） 5. 6.纵向变形和横向变形（拉伸前试 样标距l，拉伸后试样标距l1； 拉伸前试样直径d，拉伸后试样 直径d1） 7. 8.纵向线应变和横向线应变 9.10.泊松比 11.胡克定律 12.受多个力作用的杆件纵向变形计 算公式? 13.承受轴向分布力或变截面的杆 件，纵向变形计算公式 14.轴向拉压杆的强度计算公式 15.许用应力，脆性材 料，塑性材料 16.延伸率 17.截面收缩率 18.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 19.拉压弹性模量E、泊松比和切变 模量G之间关系式 20.圆截面对圆心的极惯性矩（a） 实心圆
21.（b）空心 圆 22.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到 圆心距离r） 23.圆截面周边各点处最大切应力计 算公式 24.扭转截面系数，（a） 实心圆 25.（b）空心圆 26.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ， R0为圆管的平均半径）扭转切应 力计算公式 27.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、 扭转刚度GH p的关系式 28.同一材料制成的圆轴各段内的扭 矩不同或各段的直径不同（如阶 梯轴）时或 29.等直圆轴强度条件 30.塑性材料；脆性 材料 31.扭转圆轴的刚度条件? 或 32.受内压圆筒形薄壁容器横截面和 纵截面上的应力计算公式 , 33.平面应力状态下斜截面应力的一 般公式 , 34.平面应力状态的三个主应力 ,
岩石力学练习题 （填空，选择，判断） 一、填空题 1．表征岩石抗剪性能的基本指数是（）和（）。 2．如果将岩石作为弹性体看待，表征其变形性质的基本指标是（）和（）。 3．岩石在单轴压力作用下，随加荷、卸荷次数的增加，变形总量逐次（），变形增量逐次（）。4．所谓洞室围岩一般是指洞室周围（）倍半径范围内的岩体。 5．边坡岩体中，滑移体的边界条件包括（）、（）和（）三种类型。 6．垂直于岩石层面加压时，其抗压强度（），弹性模量（）；顺层面加压时的抗压强度（），弹性模量（）。 7．莫尔强度理论认为：岩石的破坏仅与（）应力和（）应力有关，而与（）应力无关。8．岩石在复杂应力状态下发生剪切破坏时，破坏面的法线与最大主应力之间的夹角总是等于（）的；而破坏面又总是与中间主应力（）。 9．不论何种天然应力条件下，边坡形成后，在边坡表面岩体中的最大主应力的作用方向与边坡面（），最小主应力作用方向与边坡面（）。 10．主要的岩体工程分类有（）、（）、（）、（）等。 11．水对边坡岩体的影响表现在（）、（）和（）。 12．天然应力场的主要成分有（）、（）和（）。 13．地质结构面对岩体力学性质的影响表现在（）和（）。 14．结构面在法向应力作用下，产生（）变形，其变形性质用指标（）表征。 15．岩石抗拉强度的试验室方法有（）和（）。 16．地质结构面按力学条件可分为（）和（）。 17．岩体结构类型可分为（）、（）、( ）、（）和（）。 18．岩体的强度处在（）强度与（）强度之间。 19．结构面的线连续性系数是在（）至（）变化的。 20．水对岩石力学性质的影响表现在（）、（）和（）。 21．格里菲斯强度理论认为材料破坏的原因是（）。 22．八面体强度理论认为材料破坏的原因是（）。 23．有一对共轭剪性结构面，其中一组走向为N30E，而另一组为N30W，则岩体中最大主应力方向为（）。如果服从库仑－纳维尔判据，则岩体的内摩擦角为（）。 24．软弱夹层的基本特点有（）、（）、( ）、（）和（）。 25．岩体中逆断层形成时，最大主应力方向为（），最小主应力方向为（）。 26．原生结构面据其成因中划分为（）、（）、（）。 27．表征岩块变形特性的指标有（）和（）。 28．根据库仑强度理论，最大主应力与破裂面的夹角为（）。 29．据岩体力学的观点看，岩体的破坏类型有（）和（）。 30．岩体中的结构面据其地质成因分为（）、（）和（）。 31．岩体中一点的水平天然应力与铅直天然应力之比称为（）。 32．岩体中正断层形成时的应力状态是：最在主应力方向为（），最小主应力方向为（）。33．均质各向同性的连续岩体中的圆形洞室洞壁上一点的剪应力为（）。 34．洞室围岩压力的基本类型有（）、（）、（）和（）。 35．边坡形成后，边坡表面岩体中的最大主应力作用方向与边坡面（），最小主应力作用方
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A =??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。 动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为 极限应力理想情形。 塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []3n s σσ=， []b b n σ σ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横
截面上的应力分别为：l l ?= ε，A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T == max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤=t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形：??== l p l p dx GI T dx GI T ?；等直杆：p GI Tl =? 圆轴扭转时的刚度条件： p GI T dx d == '??，][max max ??'≤='p GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系 )() (x q dx x dQ =； ()()x Q dx x dM =；()()()x q dx x dQ dx x M d ==2 2 Q 、M 图与外力间的关系 a ）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 b ）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 c ）在梁的某一截面。 ()()0==x Q dx x dM ，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。 d ）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q 有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。
第一章 绪论 第一节 材料力学的任务 1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。 2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。 3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。 第二节 材料力学的基本假设 1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。木材是各向异性材料。 第三节 内力 1、内力：构件内部各部分之间因受力后变形而引起的相互作用力。 2、截面法：用假想的截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。 3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。 4、内力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩T ；弯矩M 第四节 应力 1、一点的应力： 一点处内力的集（中程）度。 全应力0lim A F p A ?→?=?；正应力σ；切应力τ；p =2、应力单位： （112，11×106 ，11×109 ） 第五节 变形与应变 1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。 2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。 3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。 4、小变形条件：材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。对构件进行受力分析时可忽略其变形。 5、线应变：l l ?=ε。线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。
材料力学总结一、基本变形
二、还有： （1）外力偶矩：)(9549 m N n N m ?= N —千瓦；n —转/分 （2）薄壁圆管扭转剪应力：t r T 22πτ= （3）矩形截面杆扭转剪应力：h b G T h b T 32max ;β?ατ= =
三、截面几何性质 （1）平行移轴公式：;2A a I I ZC Z += abA I I c c Y Z YZ += （2）组合截面： 1．形 心：∑∑=== n i i n i ci i c A y A y 1 1 ； ∑∑=== n i i n i ci i c A z A z 1 1 2．静 矩：∑=ci i Z y A S ； ∑=ci i y z A S 3. 惯性矩：∑=i Z Z I I )( ；∑=i y y I I )( 四、应力分析： （1）二向应力状态（解析法、图解法） a ． 解析法： b.应力圆： σ：拉为“+”，压为“-” τ：使单元体顺时针转动为“+” α：从x 轴逆时针转到截面的 法线为“+” ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ατασστα2cos 2sin 2 x y x +-= y x x tg σστα-- =220 22 min max 22 x y x y x τσσσσσ+??? ? ? ?-±+= c ：适用条件：平衡状态 (2)三向应力圆： 1max σσ=； 3min σσ=；2 3 1max σστ-= x
（3）广义虎克定律： [])(13211σσνσε+-=E [] )(1 z y x x E σσνσε+-= [])(11322σσνσε+-=E [] )(1 x z y y E σσνσε+-= [])(12133σσνσε+-=E [] )(1 y x z z E σσνσε+-= *适用条件：各向同性材料；材料服从虎克定律 （4）常用的二向应力状态 1．纯剪切应力状态： τσ=1 ，02=σ，τσ-=3 2．一种常见的二向应力状态： 22 3122τσσ σ+?? ? ??±= 2234τσσ+=r 2243τσσ+=r 五、强度理论 *相当应力：r σ 11σσ=r ，313σσσ-=r ，()()()][2 12 132322214σσσσσσσ-+-+-= r σx σ
尔雅 选修课《从“愚昧”到“科学“-科学技术简史》期末试题及答案 一、单选题
1
达尔文进化和演化的思想一定程度上受到了（）的着作《地质学原理》影响。 ? A、
赫顿
? B、
拉塞尔
? C、
赖尔
? D、
马尔萨斯
我的答案：C
2
产业革命最早开始于（）。 ? A、
农业
? B、
服装业
? C、
纺织业
? D、
采矿业
我的答案：C
3
通过对星星位置的观察，印度人确定了 27 宿，和中国 28 宿对应起来少了（）宿。
? A、
井
? B、
参
? C、
危
? D、
牛
我的答案：D
4
科学体制化的标志不包括（）。 ? A、
专门的机构
? B、
资金的来源
? C、
社会的认同
? D、
学术的交流
我的答案：C
5
在生长发育和繁殖的角度看，细胞分裂的方式是（）。 ? A、
有丝分裂
? B、
无丝分裂
? C、
减数分裂
? D、
不对称细胞分裂
我的答案：C
6
1606 年，（）和利玛窦合作翻译出了《几何原本》的前六卷。 ? A、
汤若望
? B、
南怀仁
? C、
徐光启
? D、
李之藻
我的答案：C
7
《几何原本》最早于（）传到了中国。 ? A、
13 世纪
? B、
14 世纪
? C、
15 世纪
? D、
16 世纪
我的答案：A
材料力学重点及其公式 材料力学的任务变形固体的基本假设外力分类：（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2 ）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力：P Hm —E 兰正应力、切应力。 应变。 杆件变形的基本形式（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转; 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷变化的载荷为动 载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限b破坏，塑性材料在其屈服极限 关系为：。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：l 皿 EA 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部 未知力。 圆轴扭转时的应力变形几何关系一圆轴扭转的平面假设d_ 。物理关系——胡克定律 d G G 。力学关系T °d_dx dA 2G d G2 dA圆轴扭转时的应力: dx A A dx dx A max T R T；圆轴扭转的强度条件： I p W t T max W t []，可以进行强度校核、截面设计和确 变形与应变：线应变、切 （4）弯曲；（5）组合变形。动载荷： 载荷和速度随时间急剧 s时失效。二者统称为极限应 力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为: n3 b n b ，强度条件: max max ，等截面杆max A 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为: l l1l，沿轴线方向的应变和横截面上 的应力分别为: l N P 站b 。横向应变为： l 'A A b E ，这就是胡克定律。E 色-，横向应变与轴向应变的b
1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截 面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从 x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5. 6.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距 l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 7. 8.纵向线应变和横向线应变 9. 10.泊松比
11.胡克定律 12.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 13.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 14.轴向拉压杆的强度计算公式 15.许用应力，脆性材料，塑性材料 16.延伸率 17.截面收缩率 18.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 19.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式
20.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 21.（b）空心圆 22.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求 点到圆心距离r） 23.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 24.扭转截面系数，（a）实心圆 25.（b）空心圆 26.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转 切应力计算公式 27.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 28.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同
（如阶梯轴）时或 29.等直圆轴强度条件 30.塑性材料；脆性材料 31.扭转圆轴的刚度条件? 或 32.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式 , 33.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 34.平面应力状态的三个主应力 ,
第二章连续介质力学的基本定律 在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。 2.1 应力矢量与应力张量 在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。 在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t对于任何物质坐标X和与之对应的接触面S上的单位法矢量n，表面力的存在形式为 ()n t X t t,, =(2.101) 通常，我们规定()n t X t t,, =指向接触面S的外法向时为正，反之为负(见图2.1). 现在不管在X和S面与S'面的曲率相差多少。 为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S截断成两部分A和B，如图2.3所示。此时S面就是A和B相互作用的接触面，B部分对A部分一 点的作用，便可以用A部分截面上的表面力t n 来表征，我们称之为应力矢量。反过来，考虑A部分对B部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量 t n -。它与t n 作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。即 t t n n =-(2.102) 对于物体内部的一点P，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同 方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态，设想在一点P的附近任意给定一个单位法矢量为
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 (1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。 变形固体的基本假设 (1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。 外力分类: 表面力、体积力;静载荷、动载荷。 内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2)在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上与内力。 应力: dA dP A P p A =??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变:线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 (1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转;(4)弯曲;(5)组合变形。 静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不在变化的载荷动载荷:载荷与速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因:脆性材料在其强度极限b σ破坏,塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理 想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为:[]3n s σσ=,[]b b n σσ=,强度条件:[]σσ≤??? ??=max max A N ,等截面杆 []σ≤A N max 轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为:l l l -=?1,沿轴线方向的应变与横截面上的应力分别为:l l ?= ε,A P A N ==σ。横向应变为:b b b b b -=?=1'ε,横向应变与轴向应变的关系为:μεε-='。 胡克定律:当应力低于材料的比例极限时,应力与应变成正比,即 εσE =,这就就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得:EA Nl l =? 静不定:对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===22ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力:t p W T R I T == max τ;圆轴扭转的强度条件: ][max ττ≤=t W T ,可以进行强度校核、截面设计与确定许可载荷。
江西理工大学研究生考试试卷 一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = 4.45 N 。（2）杨氏模量、 弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 20__12__—20__13__ 学年 第___一___学期 课程名称：_____有限元及数值模拟________ 考试时间:___2012___ 年__11__月___3___日 考试性质（正考、补考或其它）：[ 正考 ] 考试方式(开卷、闭卷)：[ 开卷 ] 试卷类别(A 、B):[ A ] 共 九 大题 温 馨 提 示 请考生自觉遵守考试纪律，争做文明诚信的大学生。如有违犯考试纪律，将严格按照《江西理工大学学生违纪处分规定》（试行）处理。 学院 专业 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十 一 十二 总 分 得分 p y A1 A2 L1 L2 图1
2. 如图2所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m，载荷F=20KN/m，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E，试求它的应力分布。（15分） 图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的 等效结点荷载。 图3
连续介质力学作业必做题 以下各题中，取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单 位基向量为),,(321e e e 。 2-1 如果物体在运动过程中保持任意两点间的距离不变，则称这样的运动为刚体 运动，试证：物体的运动若为刚体运动，则参考构形中的物质点X 变换到当前 构形中的空间位置x 时，必满足：)()()(t a A X t Q x +-?=，其中)(t Q 为正常正交 仿射量。 2-2 现取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向 量为),,(321e e e ，有一物体的变形为：33222011,,X x X x X k X x ==+=，试写出以下各量： 1）变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1-F ； 2）右，左Cauchy-Green 张量B C ,；并计算C 和B 的三个主不变量； 2-4 现取空间坐标系}{i x 为直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e ，有一物体的 小变形位移场为3212323213131))(())((e x x e x x x x e x x x x u -+++--=，试求： （1）P （0，2，-1）点的小应变张量e ，小转动张量Ω 及其反偶矢量ω ； （2）求P 点在9/)48(321e e e +-=ν方向上的线应变； （3）求P 点在9/)48(321e e e +-=ν和9/)744(321e e e -+=μ二方向上的直角 的变化量。 2-6 取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向量 为),,(321e e e ，有一物体的运动为： 11X x =， 2/)(2/)(32322X X e X X e x t t -++=-， 2/)(2/)(32323X X e X X e x t t --+=-， 试求物质和空间速度分量。
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类： 表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A = ??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应 力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []3 n s σσ=， []b b n σσ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?= ε，A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φ ρ γρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φρ γτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T == max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤=t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确
212 5 连续介质热力学 (一) 概念、理论和公式提要 连续介质热力学或热力学(thermo-mochanics)是连续介质力学和经典热力学的交叉或结合，是本世纪50年代开始发展起来的。连续介质热力学为连续介质力学提供了更为坚实的理论基础。 5-1 基本概念 (1) 能量贬值原理 孤立系统在自身变化过程中，有效作功能(有序能)不会增加，非作功能(无序能)不会减少，称为能量贬值原理。有效作功能减少表示系统的能量品质蜕化，系统自身产生了耗散机制，过程不可逆，有能量耗散。能量品质不变的过程为可逆过程。 (2) 熵 熵是反映不可逆过程的量，可看作是系统微观无序度的一种量度。系统的熵发生变化来自两个方面：(a)根据能量贬值原理，系统在变化过程中，由于产生了耗散机制，无序能是有增无减的，与此对应的熵增记作0d )(≥i S ，称为熵产或熵生成，或内部熵增，且0d )(≥i S ；这表明在孤立系统中熵只能产生，不能消失，这是一个普遍的客观规律。(b)系统在与外界进行能量交流时，非作功能发生迁移，与之相对应的熵增长率是可变动的，可增可减的，记r S d ，称为熵供、熵流或外部熵增。系统的总熵增S d 为 )()(d d d r i S S S += (5-1-1) 且有 )()(d d 0d r i S S S ≥≥， (5-1-2) 上式称为Clausius-Duhem 不等式或熵不等式，或经典热力学第二定律。熵是状态函数，)()(r i S S 和不是状态函数，且有 θ Q S r d d )(= (5-1-3) 0)(d >θθ，绝对温度是热力学温标是系统的热增量，Q 。
213 (3) 状态变量 内变量 确定或描述系统的状态所必需的(但不一定是充分的)参量总称为状态变量，其中彼此独立的状态变量称为基本状态变量，有时简称为状态变量。基本状态变量是客观实体，具有可测量性。其余的状态变量可表示为基本状态变量的函数，称为状态函数。在热力学系统中，一般将ε(设为小变形)和绝对温度θ作为(基本)状态变量。各状态变量之间的关系称为本构方程或状态方程。 对于不可逆过程，基本状态变量的现时值不足以确定或描述系统的现时状态，需要引入能以反映物质自身组织结构不可逆变化的一组参数。称为内变量， 记作Λ，， ，21=ααq 。内变量不一定能观测、但是独立存在的。内变量可以是张量，例如塑性应变张量，粘性应变张量等，也可以是标量，例如强化参量、相变程度、位错密度、损伤积累程度等。这里存在一个公理：恒存在一个由基本状态变量和内变量组成的完整集合，这个集合的现时值可唯一确定系统当前的不可逆热-力学状态。 5-2 热力学第一定律及其推论 热力学第一定律可表示为 Q L K U e &&&+=+)( (5-2-1) 式中 ??==v u v u t U d d D D &&ρρ (5-2-2) ??==v v t K d d 2 1D D v v vv &&ρρ (5-2-3) ??-=s v Q d d hn ργ& (5-2-4) ??+=s v L e d d )(vTn fv ρ (5-2-5) K U &&、分别是系统的总内能和总动能的时间导数，Q &是外界对系统的供热率，)(e L 为施加系统的外功率；γ为单位时间由外界提供给单位质量的热量，h 为单位时间流经单位面积的热流矢，n 为系统边界的法向单位矢。此处及今后都省去了积分区或R R ?和。