2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) （1）设生产函数为Q AL K αβ=,其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而
,,A αβ均为大于零的参数,则当1Q =时K 关于L 的弹性为_______
【分析】 本题主要考查弹性的概念。先将K 关于L 的数学表达式写出，再按弹性公式计算即可。
【详解】当1Q =时，由Q AL K α
β
=可得1
K A
L αβ
β
--
=，于是K 关于L 的弹性为
1
11
()()()
L
L K L A L K L A
L
α
αβ
β
ααεββ
-----
'==
-=- （2） 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万.若以t W 表示第t 年的工资总额（单位：百万元），则t W 满足的差分方程是___
【分析】这是一个简单建立差分方程模型的问题，直接按题意可列出关系式。
【详解】由题设有
1(10.2)2t t w w -=++，即11.22t t w w -=+
（3）设矩阵1111
11A 1111
11
k k k k ?????
?=??????
,且秩(A ) = 3,则__________k =. 【分析】 由秩(A ) = 3知，A 的行列式一定为零，从而可解出参数k 。不过应当注意的是：若0A =得到的参数不惟一，则应将参数带回去检验，以便确定哪一个是正确答案，因为0A =是秩(A ) = 3的必要条件而非充分；这种题最好用矩阵初等行变换化为阶梯形来完成。
【详解】法一：秩(A ) = 3知，A 的行列式一定为零，而
31111
11
(3)(1)1111
11k k A k k k k
=
=+- 从而1k =或3k =-
当1k =时，显然()1r A =不符合题意，因此一定有3k =-。
法二：对A 进行初等行变换，有
2211111111111101010101A 111001100111
11
011100032k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ??????
??????----?
?????=→→??????----??????-----??????
所以2
10
()3320
k r A k k -≠?=??--=?，从而3k =-
（4）设随机变量,X Y 的数学期望分别是2-和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5-。则根据切比雪夫不等式{6}_________P X Y +≥≤ 【分析】 根据切比雪夫不等式{}
2
()
()D Z P Z E Z εε
+≥≤知，只需求出Z X Y =+的
期望和方差。
【详解】令Z X Y =+，由于()2,()2E X E
Y =-=，()1,()4D X D Y ==，0.5XY ρ=- 所以 ()()()0E Z E X E Y =+=，
()()()()23XY D Z D X Y D X D Y ρ=+=++=
于是{}
2()1
{6}()6612
D Z P X Y P Z
E Z +≥=+≥≤
= （5）设总体X 服从正态分布2
(0,2)N ,而1215,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，
则随机变量22
110
22
11152()
X X Y X X ++=++ ,服从___分布，参数为_______ 【分析】 从Y 的表达式可以看出，分子分母均为正态随机变量的平方和，适当变换后服从2
χ分布，从而基本可判断Y 服从F 分布。 【详解】因为2(0,2),1,2,,15i X N i = 。于是
(0,1)2
i
X N ，从而有 222101()()(10)22X X χ++ ， 2221511()()(5)22
X X
χ++
故2
210122
11022
22
15111115(
)()2210(10,5)2()()()22
5
X X X X Y F X X X X ++++==++++
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数()f x 的导数在x a =处连续,又()
lim
1x a
f x x a
→'=--,则 (A) x a =是()f x 的极小值点. (B) x a =是()f x 的极大值点. (C)()()
,a f a 是曲线()y f x =的拐点.
(D) x a =不是()f x 的极值点, ()()
,a f a 也不是曲线()y f x =的拐点.
【分析】 已知条件中给出某极限的极限值为非零常数，讨论结论中出现“极值”或“拐点”此类问题一般利用极限保号性定理来完成；此题也可从()
lim
1x a
f x x a
→'=--中，找出隐含的条件()0,()1f a f a '''==-，然后来完成。
【详解】法一:由于()
lim
10x a
f x x a
→'=-<- 由极限保号性定理可得：存在0δ>，当0x a δ<-<时，恒有
()
0f x x a
'<- 从而，当(,)x a a δ∈-时，()0f x '>；当(,)x a a δ
∈+时，()0f x '<。所以x a =是()f x 的极大值点。
故应选（B ）
法二：由于函数()f x 的导数在x a =处连续,又()
lim
1x a
f x x a
→'=--，所以()0f a '=，又 ()()()
()lim
lim 10x a
x a f x f a f x f a x a x a
→→'''-''===-<--。 根据极值的第二判别法可得x a =是()f x 的极大值点，故应选（B ）
（2）设函数0
()()x
g x f u du =
?
，其中2
1(1),012
()1(1),123
x x f x x x ?+≤
?-≤≤??，则()g x 在区间()0,2 内
(A)无界 （B ）递减 (C) 不连续 (D) 连续
【分析】 本题设计不合理（C ）、（D ）中必有一项正确，根本不需考虑（A ）、（B ）。 而只有有限个第一类间断点的有界函数，其变上限的定积分存在，且是其变上限的连续函数，因此本题直接可知正确选项为（D ）。当然也可以按常规方法算出()g x 后再进行判定。 【详解】当01x <<时，有 230
111
()()262
x
x
u g x f u du du x x +=
==+?
?
当12x ≤<时，有 2221
011111115
()()236263636
x
x u u x x x x g x f u du du du +---=
=+=++-=-+?
??
所以3211
,0162
()5,12636
x x x g x x x x ?+<
显然()g x 在区间()0,2内连续。故应选（D ）。
（3）设1112131421
2223243132333441
42
43
44a a a a a a a a A a a a a a a a a ?????
?=??
????， 14
131211242322213433323144
43
42
41a a a a a a a a B a a a a a a a a ??
????=??????
10001010000101
00
0P ??????=??
????，21
00001001000
00
1P ??????=??????
，其中A 可逆，则1B -等于 （A ）112A PP - （B ）112P A P - (C) 112PP A - （Ｄ）1
21P A P -
【分析】 本题考查初等变换与初等矩阵的性质，注意到B 相当于由A 交换第一、四列，以及交换第二、三列所得的结果，也即对A 右乘对应的两个初等矩阵，因此对应其逆变为左乘两个初等矩阵（初等矩阵的逆还是初等矩阵），可见本题不进行具体计算也可以得出选项（C ）正确。
【详解】因为1P 是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而2P 是单位矩阵交换第
二、三列所得的初等矩阵，于是有 21B AP P =，从而
111111
211212
()B AP P P P A PP A ------===
（4）设A 是n 阶矩阵，α 是n 维列向量。若秩0T
A
αα
??
=????
秩()A ，则线性方程组
（A ） AX α=必有无穷多解 （B ）AX α=必有惟一解. （C ）00T
A X y αα
????
=?
???????仅有零解 （D ）00T
A
X y αα????
=?????
???
必有非零解 【分析】 本题涉及齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的判定问题，齐次线性方程组
是否有非零解，主要看系数矩阵是否列满秩，而非齐次线性方程组的解则要通过增广矩阵进行讨论。
【详解】法一：由题设，秩0T
A αα
??
=????
秩()1A n n ≤<+，所以00T
A
X y αα????
=????????
必有非零解。故应选（Ｄ）
法二：利用排除法
若A 可逆，则由AX α=可得：1
X A α-=，即AX α=必有惟一解，排除（Ａ）；
若A 不可逆，则AX α=必没有惟一解（此时可能有无穷多解或无解），排除（Ｂ）； 只有当
00T
A α
α
≠时，00T A
X y αα
????
=????????
才仅有零解，故排除（Ｃ）； 所以应选（Ｄ）。
（5）将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数， 则X 和Y 相关系数为
（Ａ）1- （Ｂ） 0 （Ｃ）
1
2
（Ｄ）1 【分析】本题考查随机变量的数字特征。只需注意到Y n X =-，即可得结论。 【详解】由Y n X =-可得，相关系数为1-。也可如下直接计算
因为cov(,)cov(,)[()]()()X Y X n X E X n X E X E n X =-=---
2
()()()()
n E X E X E X E n X
=---
22
()()()(())() nE X E X nE X E X D X =--+=-
于是相关系数1ρ====-
故应选（A）
三、（本题满分8 分）
设()
,,
u f x y z
=有连续的一阶偏导数,又函数()
y y x
=及()
z z x
=分别由下列两式
确定:2
xy
e xy
-=和
sin
x z
x
t
e dt
t
-
=?,求du dx
【分析】已知条件中给出了多个关系式,求偏导数(导数),微分(全微分),最简单的方法是将所有关系式求微分建立方程组,然后根据所求结论解方程组得到所求.
【详解】将所有关系式求微分得:
(1)
()()0(2)
sin()
()(3)
x y z
xy
x
du f dx f dy f dz
e ydx xdy ydx xdy
x z
e dx dx dz
x z
?
'''
=++---------
?
?
+-+=-----
?
?-
?=---------
-
?
从(2),(3)中解出
()(1)
(1),
sin()(1)
x xy
xy
x z e y e y
dz dx dy dx dx
x z x e x
--
=-==-
--
代入（1）得
()
(1)
sin()
x
x y z
y x z e
du f dx f dx f dx
x x z
-
'''
=-+-
-
从而
()
(1)
sin()
x
x y z
du y x z e
f f f
dx x x z
-
'''
=-?+?-
-
四、（本题满分8 分）
已知()
f x在(,)
-∞+∞内可导，且
lim(),lim()lim[()(1)]
x
x x x
x c
f x e f x f x
x c
→∞→∞→∞
+
'==--
-
，求c的值．
【分析】要想求出c的值，关键是求出lim[()(1)]
x
f x f x
→∞
--，而已知条件是
lim()
x
f x e
→∞
'=因此需将函数的改变量()(1)
f x f x
--与函数()
f x的导数联系在一起，这就需用拉格朗日中值定理来完成．
【详解】由拉格朗日中值定理可得：
()(1)(),1
f x f x f x x
ξξ
'
--=-<<，
所以 lim[()(1)]lim ()lim ()x x f x f x f f e ξξξ→∞
→∞
→∞
''--===
又 2lim(
)c x x c
e x c
→∞
+=- 故 2c
e
e =， 于是12
c =
． 五 、（本题满分8 分） 求二重积分
221()2
[1]x y D
y xe
dxdy ++??的值,其中D 是由直线,1y x y ==-及1x =围成
的平面区域
【分析】二重积分的计算：⑴首先应画出积分域D 草图，
⑵根据草图观察积分域D 是否关于x 轴、
y 轴或直线y x =对称或者用某条曲线将D 划分使其一部分区域有某种对称性，
然后利用二重积分的对称性化简 ⑶ 根据图形和被积函数的
形式选择直角坐标或极坐标化为二次积分计算。 【详解】画出积分域D 草图（右图） 用直线y x =-将D 划分为1234D D D D +++，显然12D D +关于y 轴对称，34D D +关于x 轴对称。
222211()()2
2
[1]x y x y D
D
D
y xe
dxdy ydxdy yxe
dxdy +++=+??????
22221234
12
34
11()()2
2
x y x y D D D D D D D D ydxdy ydxdy yxe
dxdy yxe dxdy ++++++=
+
+
++
??
??
??
??
1
23011122
22233y D ydxdy dy ydx y dy y ---===-=-=-?????对称性
、(本题满分7分)
已知抛物线2y px qx =+（其中0,0p q <>）在第一象限内与直线5x y +=相切，且
此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S 。（1） 问
p 和q 为何值时，S 达到最大? （2）求出此最大值
【分析】本题综合考查了导数几何意义的使用、平面图形求面积、最值等知识点。先画出抛物线的草图，求出面积S 与,p q 的关系，再根据题设抛物线在第一象限内与直线5x y +=相切确定,p q 的关系式，从而将 S 转化为一元函
数，最后求此一元函数最值即可。 【详解】画出抛物线草图如右图所示。求得它与x 轴交点的横坐标为120,q
x x p
==-。则面积S 为：
2
320
11
()()
32
q
q p
p
S px qx dx px qx --
=+=+?
3
2
6q p
= 因直线5x y +=与抛物线2
y px qx =+相切，从而它们有唯一公共点，由方程组
2
5x y y px qx
+=??
=+? 得
25px qx x +=-，其根的判别式必定为零。即
2
(1)200q p ++=， 2
(1)20
q p +=-
将2(1)20q p +=-，代入3
2
6q S p
=可得 33
24
200,(0)63(1)
q q S q p q ==>+ 又25
200(3)
3(1)
q q S q -'=+，从而()S q 有唯一驻点3q =。当03q <<时，()0S q '>；当3q >时，()0S q '<。于是当3q =时，()S q 取最大值。 此时4p =-
，从而最大值225S =。
设()f x 在区间[]0,1上连续,在()0,1内可导,且满足110
(1)()(1)x k f k xe f x dx k -=>?
。
证明至少存在一点()0,1ξ∈,使得1()(1)()f f ξξξ-'=-
【分析】 本题属题型“已知()f x 在闭区间上连续，在开区间内可导，且满足…，证明在开区间内至少存在一点ξ，使()()f M ξξ'=”。按相应做题步骤（构造辅助函数、找子区间、用罗尔定理）完成即可。不过对该类题型如果已知条件中出现定积分，通常被积函数就是辅助函数
【详解】构造辅助函数1()()x
F x xe
f x -=
因为()f x 在区间[]0,1上连续，且1k >由积分中值定理可得：存在1[0,]c k
∈，使
1110
1
()()x c k xe f x dx ce f c k
--=?
由于()f x 在区间[]0,1上连续,在()0,1内可导，且满足110
(1)()(1)x k f k
xe f x dx k -=>?
，
所以()F x 在区间[]0,1上连续,在()0,1内可导，且110
(1)(1)()()x k F f k
xe f x dx F c -===?
，
故由罗尔定理可得：至少存在一点()0,1ξ∈,使得，()0F ξ'=，即 111()()()0e f e f e f ξξξξξξξξ---'-+=
从而1()(1)()f f ξξξ-'=-
八、（本题满分7分）
已知()n f x 满足 1()()n x n n f x f x x e -'=+（n 为正整数），且(1)n e
f n
=
，求函数项级数1
()n
n f
x ∞
=∑之和。
【分析】 本题主要考查微分方程与级数的知识。先求出方程的特解，再求级数的和。 【详解】方程1()()n x n n f x f x x e -'=+是一阶线性微分方程，其通解为
11()[]()dx
dx n x
x n n f x e x
e e dx C e x C n
--??=+=+? 由(1)n e f n =可得：0C =，故1()n x
n f x x e n
=。
下面求级数1
()n
n f
x ∞
=∑之和
法一：
令11111
()()()(1)ln(1)n n n x x x n x n n n n n x x x S x f x e e e e x n n n ∞
∞
∞∞
-====-====--=--∑∑∑∑
法二：1
()()n
n S x f
x ∞
==
∑，则
111()()n n n x x x x
n n n x x x S x e e e d x n n n
∞
∞∞==='===∑∑∑? 1
01
1()ln(1)1x
x
x
n x
x
n e
x
dx e
dx e x x ∞
-====---∑?
?
九、（本题满分9分）
设矩阵111111a A a a ????=??????，112β????=????-??
。已知线性方程组AX β=有解但不唯一，试求 （1）a 的值；（2）正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵。
【分析】本题主要考查线性方程组解的存在性、求特征值特征向量和施密特正交化。 由题设，()()3r A r A =<，化增广矩阵为阶梯形矩阵可判断a 的取值；确定a 的值后，求出A 的特征值、特征向量，然后正交化、单位化可得正交矩阵Q
【详解】（1）对线性方程组AX β=的增广矩阵进行初等行变换，有
2
1111
111
111110110011011201120
0(1
)(2
)2
a
a a A a a a a a a a a a a a a ??????
??????=→--→--??
?
?????????------+--?????? 因为线性方程组AX β=有解但不唯一，所以()()3r A r A =<，从而2a =-。 （2）由（1）知
1
12121211A -????=-????-??
则A 的特征多项式为
1
12111111
1
2
11210302
11211211
E A λλλλλλλλλλ---=-+-=-+-=+------ 11
(3)
(3)(3)21
λλλλλλ=+=+--
故矩阵A 的特征值为1233,0,3λλλ=-==。
当13λ=-时，线性方程组(3)0E A X --=的基础解系为1(1,2,1)T α=-； 当20λ=时，线性方程组(0)0E A X --=的基础解系为2(1,1,1)T α=； 当33λ=时，线性方程组(3)0E A X -=的基础解系为3(1,0,1)T α=- 从而A 的特征值1233,0,3λλλ=-==对应的特征向量依次为123,,ααα。
由于实对称矩阵属于不同特征值的特向量正交，因此123,,ααα相互正交。将123,,ααα单
位化得
1232,1),,1)T T T εεε=
-==-
令0Q ?=??，则有300000003T Q AQ -??
??=??
????
十、（本题满分8分）
设A 为n 阶实对称矩阵，秩（A ）n =，ij A 是()ij n n A a ?=中元素ij a 的代数余子式（,1,2,,)i j n = ，二次型
1211
(,,,)n n
ij
n i j
i j A f x x x x x A ===
∑∑
（1）记12(,,,)T n X x x x = ，把12(,,,)n f x x x 写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1
A -；
（2）二次型()T
g X X AX =与()f X 的规范形是否相同？说明理由。
【分析】证明二次型()f X 的矩阵为1
A -，也即证明1
()T f X X A X -=，而要将1
A -与
题设中的代数余子式联系起来，自然想到公式*A A A
=；对于二次型()T
g X X AX =与
()f X 的规范形是否相同，可考虑它们同号的特征值得个数是否相同或对应矩阵是否合同，
若答案是肯定的，则它们的规范性相同。
【详解】（1）二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵形式为
1121112222*
12()n n n
n nn T
T A A A A A A A A A A f X X
X X X A A
????????
????== 因秩（A ）n =，所以矩阵A 可逆，且*
1
A A A
-=
由于111()()T T A A A ---==，故1
A -也是实对称矩阵，从而二次型()f X 的矩阵为1
A - （2）法一：由于11111()()()T T T A AA A A A -----===，所以A 与1
A -合同，从而二次型()T g X X AX =与()f X 的规范形相同。
法二：设A 的特征值为(1,2,,)i i n λ= ，由于1
A -存在，所以0i λ≠，从而1
A -的全部特征值为
1
(1,2,,)i
i n λ= 。可见A 与1A -同号的特征值的个数相同，从而二次型
()T g X X AX =与()f X 的规范形相同。
法三：对二次型()T
g X X AX =做可逆线性变换1
X A Y -=，其中12(,,,)T n Y y y y = ，
则 11
()()T T T g X X AX Y A AA Y --==
111
()()T T T T T Y A Y Y A Y Y A Y ---===
由此得知A 与1
A -合同，从而二次型()T
g X X AX =与()f X 的规范形相同。
十一、（本题满分8 分）
生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为 5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多 少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (()20.977Φ=,其中()x Φ是标准正态分布函数).
【分析】 本题是中心极限定理的简单应用。只需找出一组独立同分布的随机变量数列（本题为每箱的重量），则由中心极限定理知，其和（总重量）的极限分布为正态分布，因此其和近似服从正态分布，且正态分布的期望与方差可以通过公式算出来
【详解】设i X （1,2,,i n = ）是装运的第i 箱的重量（单位：千克），n 为所求箱数。 由题设可以把12,,,n X X X 视为独立同分布的随机变量，而n 的总重量 12n n S X X X =+++
是独立同分布的随机变量之和。
由题设，有()50i E X =
5=，()50n E S n =，
=根据列维-林德伯格中心极限定理，n S 近似服从正态分布(50,25)N n n 。而箱数n 根据下述条件确定
{
}5000n P S P ≤=≤
0.977(2)≈Φ>=Φ
2>，解得98.0199n <。即最多可以装98箱。
十二、（本题满分8 分）
设随机变量X 和Y 的联和分布是正方形{(,)|13,13}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布， 试求随机变量U X Y =-的概率密度()p u
【分析】求二维随机变量函数的概率密度，一般是先求出分布函数来完成的。写出正方形{(,)|13,13}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布的密度函数，求出随机变量U 的分布函数。
【详解】由题设知：X 和Y 的联和密度为
1
,13,13
(,)40,x y f x y ?≤≤≤≤?=???其它
随机变量U 的分布函数{}{}
()F u P U u P X Y u =≤=-≤。 显然0u ≤时，()0F u =； 2u ≥时，()1F u =； 当02u <<时，
{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤
(,)x y u
f x y dxdy -≤=
??
1
4x y u
dxdy -≤=
?? 21
[4(2)]4
u =
--
综上2
0,04(2)(),0241,2
u u F u u u ≤??
--?=<
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数学史概论期末试题一 一、单项选择题 1．世界上第一个把π计算到3.1415926＜n ＜3.1415927 的数学家是( B ) A.刘徽B.祖冲之C.阿基米德D.卡瓦列利2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( C )A.秦九韶B.杨辉C.朱世杰D.贾宪 3．就微分学与积分学的起源而言( A ) A.积分学早于微分学B.微分学早于积分学C.积分学与微分学同期D.不确定4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( D ) A.《孙子算经》B.《墨经》C.《算数书》D.《周髀算经》5．简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫( D )。 A.笛卡尔公式 B.牛顿公式 C.莱布尼茨公式 D.欧拉公式 6．中国古典数学发展的顶峰时期是( D )。A.两汉时期B.隋唐时期C.魏晋南北朝时期D.宋元时期 7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是( A )。A.莱布尼茨B.约翰·伯努利C.雅各布·伯努利D.欧拉8．1834 年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是( B )。 A.高斯 B.波尔查诺 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 9．古埃及的数学知识常常记载在（A ）。A.纸草书上B.竹片上C.木板上D.泥板上 10．大数学家欧拉出生于（A ）A.瑞士B.奥地利C.德国D.法国 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（D ）。A.比例术B.面积术C.体积术D.开方术 13．最早采用位值制记数的国家或民族是( A )。A.美索不达米亚B.埃及C.阿拉伯D.印度 二、填空题 14 15．在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。 16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为_杨辉_ 17卷，包括有（5）条公理、（5）条公设。 18．两千年来有关 20，被称为“数学之王”的数学家是（高斯）。 欧氏几何对应的情形是曲率恒等于零， 对应的情形是曲率为负常数。 ．中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《周髀算经》，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的（赵爽）。 三、简答题 26．简述莱布尼茨生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就。答：莱布尼茨于1646 年出生在德国的莱比锡，其主要数学成就有：从数列的阶差入手发明了微积分；论述了积分与微分的互逆关系；引入积分符号；首次引进“函数”一词；发明了二进位制，开始构造符号语言，在历史上最早提出了数理逻辑的思想。 27．写出数学基础探讨过程中所出现的“三大学派”的名称、代表人物、主要观点。答：一，逻辑主义学派，代表人物是罗素和怀特黑德，主要观点是：数学仅仅是逻辑的一部分，全部数学可以由逻辑推导出来。二，形式主义学派，代表人物是希尔伯特，主要观点是：将数学看成是形式系统的科学，它处理的对象不必赋予具体意义的符号。三，直觉主义学派，代表人物是布劳维尔，主要观点是：数学不同于数学语言，数学是一种思维中的非语言的活动，在这种活动中更重要的是内省式构造，而不是公理和命题。 29．《周髀算经》(作者，成书年代，主要成就) 答：该书出版于东汉末年和三国时代，但从史上考证应成书于公元前240 年至公元前156 年之间，可能是北汉平侯张苍修订和补写而成；书中记载的数学知识主要有：分数运算、等差数列公式及一次内插公式和勾股定理在中国早期发展的情况。 31.简述刘徽所生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。 答：刘徽生活在三国时代；代表著作有《九章算术注》；主要成就：算术上给出了系统的分数算法、各种比例算法、求最大公约数的方法，代数上有方程术、正负数加减法则的建立和开平方或开立方方法；在几何上有割圆术及徽率。 一、单项选择题 1．世界上讲述方程最早的著作是( A ) A.中国的《九章算术》 B.阿拉伯花拉子米的《代数学》 C.卡尔丹的《大法》 D.牛顿的《普遍算术》 2．《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为( B )。 A.托勒玫 B.帕波斯 C.阿波罗尼奥斯 D.丢番图 3．美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族，他们主要用的是( A )。A.六十进制B.十进制C.五进制D.二十进制 4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著( B )。A.《考工记》B.《墨经》C.《史记》D.《庄子》5．下列数学著作中不属于“算经十书”的是( A )。A.《数书九章》B.《五经算术》C.《缀术》D.《缉古算经》6．微积分诞生于( C )。A.15 世纪B.16 世纪C.17 世纪D.18 世纪 7．以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( D )。A.爱奥尼亚学派B.伊利亚学派C.诡辩学派D.毕达哥拉斯学派8．最早记载勾股定理的我国古代名著是( A )。 A.《九章算术》 B.《孙子算经》 C.《周髀算经》 D.《缀术》 9．首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( A )。A.中国B.印度C.阿拉伯D.古希腊 10．在《几何原本》所建立的几何体系中，“整体大于部分”是( D )。A.定义B.定理C.公设D.公理 11．刘徽首先建立了可靠的理论来推算圆周率，他所算得的“徽率”是( B )。A.3.1 B.3.14 C.3.142 D.3.1415926 12．费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的( C )。A.求瞬时速度的方法B.求切线的方法C.求极值的方法D.
初中新生入学摸底考试 数学试卷 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
初中新生入学摸底考试数学试卷 班级姓名得分 一、填空题（每题1分，共10分） 1、一个圆锥和一个长方体等底等高，它们的体积相差10立方分米，这个圆锥的体积是（）立方分米 2、0.43是由4个（）和3个（）组成的；也可以看作是由（）个1%组成的 3、张强在班上的座位用数对表示是（6,5），是在第（）列第（）行，他同桌的座位也用数对表示，可能是（），也可能是（） 4、一个梯形的面积是84平方米，上底是6米，下底是8米，它的高是（）米 5、把83：6 1化成最简单的整数比是（），比值是（） 6、袋中有4个红球，6个黑球。任意摸出1个球，摸到黑球的可能性是（）。 7、0.75=（）%=（）÷4=（）÷2=（）：（） 8、一辆自行车的车轮直径是0.5米，如果这辆自行车的车轮每分钟转200圈，它每分钟行（）米 9、根据图中的信息回答问题 （1）售出图书最多的一天比最少的一天多（）册 （2）星期五售出的图书册数是星期四的（）% 10、一节圆柱形铁皮烟囱长1米，直径20厘米，10节这样的烟囱要（）铁皮 11、写出A 、B 、C 、D 、E 、F 点表示的数 二、判断（每题1分，共5分） 1、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形（） 1、32的倒数是2 3（） 2、方程4x=0的解是x=0（） 3、在3的后面添上一个百分号，这个数就缩小100倍。（） 4、用4个圆心角都是90°的扇形，一定可以拼成一个圆（） 三、选择题（每题2分，共10分） 1、车轮滚动一周，所行的路程是车轮的（） 2、 A ．直径?B ．周长?C ．面积 3、0.25的小数点向左移动一位，再向右移动两位，这个小数就（） A 、扩大100倍 B 、缩小100倍 C 、扩大10倍 D 、缩小10倍 3、被减数、减数与差的和是80，差与减数的比是5:3，差是（） A 、50 B 、25 C 、15 4、低于正常水位0.16米记为－0.16，高于正常水位0.02米记为（） A 、+0.02 B 、－0.02 C 、+0.18 5、一个长方体的长、宽、高分别是a 、b 、h ，如果高增加x ，新的长方体体积比原来增加（ ）。 A.abx? B.xbhx? C.ab(b+x)
2021-2022年高二数学3月入学考试试题文 本试卷分试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，共4页；答题卡共4页.满分100分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 注意事项： 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1. 若, 则直线的斜率为 A. B. C. D. 2. 某单位有840名职工，现采取系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…， 840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间 A.11 B.12 C.13 D.14 3. 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2 下列两个事件是互斥但不对立的事件是
A.至少有一个白球，都是白球 B.至少有一个白球，至少有一个红球 C.至少有一个白球，都是红球 D.恰有一个白球，都是白球 4. 读右边的程序，若输入，则输出 A. B. C. D. 5. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动， 得到如下的列联表： 由) )()()(()(2 2 d b c a d c b a bc ad n K ++++-=算得，观测值 8.750 605060)20203040(1102≈????-??=k . 附表： 参照附表，得到的正确结论是 A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
2021学年高三下学期入学考试数学（一） 一、填空题 1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，则U A =____. 【答案】{}2,3 【解析】结合所给的集合和补集的定义，可得U A 的值. 【详解】 解：由全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-， 可得： {}2,3U A = ， 故答案为：{}2,3. 【点睛】 本题主要考查集合和补集的定义，相对简单. 2．复数 3i i +（i 是虚数单位）的虚部为____. 【答案】3- 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，可得原复数的虚部. 【详解】 解：(3)313131 i i i i i i i i +?+-+= ==-?-， 故原复数的虚部为3-， 故答案为：3-. 【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 3．某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为____. 【答案】9 【解析】先求出抽样比，由此可求出高三年级应抽取的学生人数. 【详解】 解：由题意可得：抽样比301 11001000900100 f = =++， 故高三年级应抽取的学生人数为：1 9009100 ?=，
故答案为：9. 【点睛】 本题主要考查分层抽样的相关知识，求出抽样比是解题的关键. 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______． 【答案】 1011 【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111 S =++???+=-=???，应填答案 10 11 ． 5．函数( )2 2log 43y x x =+-的定义域为____. 【答案】()14-, 【解析】由对数函数真数大于0，列出不等式可得函数的定义域. 【详解】 解：由题意得：2043x x +-＞，解得：4x -1＜＜， 可得函数的定义域为：()14-,， 故答案为：()14-,. 【点睛】 本题主要考查函数的定义域及解一元二次不等式，属于基础题型. 6．劳动最光荣.某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为____. 【答案】 310 【解析】分别计算出从5名学生中选出 2名学生的选法，与从3名男生选出 2名男生的选法，可得恰好选中2名男生的概率. 【详解】 解：由题意得：从5名学生中选出 2名学生，共有2 510C =种选法；
高二上学期数学开学考试试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题（每题5分，共60分） (共12题；共24分) 1. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 已知焦点在轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是（） A . B . C . D . 2. （2分）(2018·肇庆模拟) 双曲线的焦点坐标为（） A . B . C . D . 3. （2分）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
4. （2分） (2017高二下·遵义期末) 椭圆2x2+y2=6的焦点坐标是（） A . （± ，0） B . （0，± ） C . （±3，0） D . （0，±3） 5. （2分）已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（） A . B . C . D . 6. （2分）已知椭圆双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（） A . x＝± B . y＝± C . x＝± D . y＝± 7. （2分）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（） A .
B . C . D . 8. （2分）下列命题中，真命题是（） A . ?x0∈R，≤0 B . ?x∈R，＞ C . a+b=0的充要条件是=﹣1 D . a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 9. （2分）命题“若a＞b，则ac2＞bc2（a，b∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（） A . 4 B . 3 C . 2 D . 0 10. （2分）已知双曲线3x2-y2=9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（） A . B . C . 2 D . 4
重庆八中高2017届高三上入学考试 数学试题（文科） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．sin(150)-的值为 A ．12 - B ． 12 C ．32 - D ． 32 2．已知命题:,20x p x R ?∈>，命题:,sin cos 2q x R x x ?∈+>，则 A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C ．命题()p q ∧?是真命题 D ．命题()p q ∨?是假命题 3．已知函数221,1 (),1 x x f x x ax x ?+>∈，则“()f x 在1x =处取得最大值”是“(1)f x +为偶函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
1.导致欧洲中世纪黑暗时期出现的主要原因是什么? 因为中世纪时期是欧洲最为混乱的时期,也是其经济、政治、文化、军事等全面停滞发展的时期,当时的欧洲居民生活在水深火热之中,所以被称为黑暗时期. 1、政治的黑暗、政权的分散：自罗马帝国衰亡后,中欧、西欧被来自东欧的日耳曼民族统治,日耳曼民族又有很多种族,因此相互征伐不断,如法兰克帝国、神圣罗马帝国、英格兰王国、教皇国等等,这些国家相互征伐、动乱不已,而且中世纪时期虽然是欧洲的封建时期,但却不集权、不统一,类似分封制的封建制度导致封建国家缺乏强有力的基础,例如神圣罗马帝国、皇帝仅仅是一个称号而已.而封建地主又对百姓盘剥,加之战乱不断、瘟疫横行,民不聊生. 2、宗教的干涉：这一时期的基督教对各国的干扰极强,甚至对政权的建立、稳定都十分重要.宗教严格的控制文化教育、人们的生活：一方面他们严格要求中下层教士及普通百姓,另一方面,上层教士又和封建势力相勾结,腐败没落,压榨百姓和人民,中世纪的宗教裁判所又有极大的权力,可以处死他们所认为的异端分子,由于思想、科学被严格控制,这一时期的欧洲思想、文化、科学鲜有成就. 3、经济的没落,由于盘剥严重、科技落后,这一时期的经济几乎没有发展,没有进步就代表了落后； 4、瘟疫盛行：宗教的干涉,科技的落后,医学的不发达,导致瘟疫的盛行,540年~590年查士丁尼瘟疫导致东地中海约2500万人死亡；1346
年到1350的鼠疫导致欧洲约2500万人死亡,灾难极大地打击的了欧洲的经济、政治甚至人口的发展. 简而言之,这一时期的欧洲百姓生活在一种暗无天日,毫无希望的生活里,所以被称为黑暗时期. 2、在欧洲中世纪黑暗时期曾经出现过那些知名的数学家，他们在当时那样的背景下各自做了哪些数学工作？ 答：罗马人博伊西斯（罗马贵族），曾不顾禁令用拉丁文从古希腊著作的片段中编译了一些算术、几何、音乐、天文的初级读物，他把这些内容称为“四大科”，其中的数学著作还被教会学校作为标准课本使用了近千年之久，但博伊西斯本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。 7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。在数学方面，比德曾写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法。当时，对耶稣复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比德大师就是最先求得复活节的人。 培根是英格兰人（贵族），曾在牛津大学和巴黎大学任教，会多种语言，对当时几乎所有的知识感兴趣，号称“万能博士”。他提倡科学，重视现实，反抗权威（应为不惧权威）。他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的。在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来，即用数量和尺规刻画的。培根认为：“寻找和发
高二下学期月考 数 学 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟。 2．请将各题答案填写在答题卡上， 3．本试卷主要考试内容：人教A 版2－2（不考第二章）、2－3． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．若复数z 满足2 1z i i =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2．已知()tan 1f x x =+，()f x '为()f x 的导数，则π3f ?? '= ??? （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．复数()5 2412z i i i = ++-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．若180,4X B ?? ?? ?，则DX =（ ） A ．20 B ．40 C ．15 D ．30 5．已知随机变量ξ服从正态分布() 24,N σ．若()20.3P ξ<=，则()26P ξ<<=（ ） A ．0.4 B ．0.6 C ．0.3 D ．0.5 6．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()f x '的部分图象如图所示，则（ ） A ．()f x 在()3,+∞上单调递增 B ．()f x 的最大值为()1f
C ．()f x 的一个极大值为()1f - D ．()f x 的一个减区间为()1,3 7．若()3o f x '=，则()() 000 3lim x f x x f x x ?→+?-=?（ ） A ．3 B ．9 C ．19 D ．6 8．三个男生和五个女生站成一排照相，要求男生不能相邻，且男生甲不站最左端，则不同站法的种数为（ ） A ．12000 B ．15000 C ．18000 D ．21000 9 ．二项式n 的展开式中第13项是常数项，则n =（ ） A ．18 B ．21 C ．20 D ．30 10．设点P 是曲线()()2 1ln f x x x =+-上的任意一点，则点P 到直线340x y --=的距离的最小值为 （ ） A B C D 11．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一 个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有（ ） A ．36种 B ．48种 C ．68种 D ．84种 12．已知对任意实数x 都有()()3e x f x f x '=+，()01f =-，若不等式()()2f x a x <-（其中1a <） 的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．41,3e 2?? ?? ?? B ．4,13e ?? ?? ?? C ．271,4e 2?? ?? ? ? D ．2 74,4e 3e ?? ?? ?? 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．若复数 ()312a ai i --∈R 是纯虚数，则2a i +=__________． 14．由一组观测数据()()()1122,,,, ,,n n x y x y x y 得回归直线方程为3y x a =+， 若 1.5x =，2y =，则a =__________． 15．已知函数()2ln 1e x f x x += +-，则()f x 的最大值为__________．
成都龙泉中学2014级高三下期入学考试卷 数 学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 注意事项： 1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b ﹣a ，a ∈A ，b ∈B}，则C 中元素的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2.已知i 是复数的虚数单位，若复数(1)|2|z i i +=，则复数z =（ ） A. i B. 1i -+ C. 1i + D. 1i - 3.已知)12(+x f 是偶函数，则函数)2(x f 的图象的对称轴是（ ） A.1-=x B.x =1 C.2 1- =x D.2 1= x 4.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2 =2-，则()f 1=（ ） A.-3 B. -1 C.１ D.3 5. 经过抛物线2 4x y =的焦点和双曲线2 2145 y x -=的右焦点的直线方程为 （ ） A ．330x y +-= B ．330x y +-= C ．4830x y +-= D ．4830x y +-=
6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．1 B ．2 3 C ．1321 D ． 610 987 7. ,a b 为平面向量，已知(4,3),2(3,18),a a b =+=则,a b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－8 65 C.1665 D ．－1665 8.不等式2 ()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（ ） 9. 在△ABC 中，若2,23a b ==,030A = , 则B 等于（ ） A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或150 10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ） A.13 B. 16 C.83 D. 43 11．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为( ) 02,2P -，角速度为1，那 么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（ ） P 0 P O y
1. 简述数学史的定义及数学史课程的内容。 答：数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治经济和一般文化的联系。数学史课程的功能可以概括成以下四部分: （1）掌握历史知识：通过学习关于数学的专门知识,更好的从整体上把握数学。 （2) 复习已有知识:按学科讲述学过的数学知识，系统的提高对该学科的理解。 （３) 了解新的知识：通过学习数学各学科的发展，了解没有学过的学科的内容。 (4) 受到思想教育:通过了解数学家为数学而奋斗的高尚品质,陶冶数学情操。 2．简述数学内涵的历史发展。 答:数学的内涵随时代的变化而变化，一般可分为四个阶段。 A数学是量的科学:公元前４世纪。 Ｂ数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学;19世纪。 C 数学研究各种量之间的关系与联系：２０世纪50年代。 Ｄ数学是作为模式的科学:２0世纪8０年代。 1.简述河谷文明及其数学。 答:历史学家往往把四大文明古国的文明称之为“河谷文明”,因为这些国家是在河流的入海口建立的。尼罗河孕育了埃及文明；底格里斯河、幼发拉底河孕育了巴比伦文明；黄河和长江孕育了中国文明;印度河和恒河孕育了印度文明。埃及、美索不达米亚的数学产生较早,纪元前已经衰微,而印度、中国的数学崛起较晚，却延续至中世纪。 ２. 简述纸草书与泥板文书中的数学。 答: 古埃及人在一种纸莎草压制成的叶片上书写，幸存至今，被称为纸草书。莱茵德纸草书(现存于伦敦大英博物馆）中有８4个数学题目；莫斯科纸草书(现存于俄国普希金精细艺术博物馆）中有25个数学题目；还有其他纸草书。 纸草书中的数学知识包括:(1)算术,包括加法运算、单位分数、十进制计数、位置法；（2)几何,包括面积、体积计算和四棱台体积公式。 美索不达米亚人用尖芦管在湿泥板上写字，然后将湿泥板晒干或烘干，幸存至今,被称之为泥板文书。出土50万块其中数学文献300块。 泥板文书中的数学包括：（1）记数，包括偰形文、６0制、位值原理;（2)程序化算法，包括??１.414２13；(３)数表；(4)x2–pｘ–q＝0 ,x3＝a,X3+Ｘ2=a (5) 几何,测量、面积、体积公式、相似形、勾股数值。代数学。 1．简述几何三大问题及历史发展。 答：用圆规和没有刻度的直尺完成作图(称为尺规作图）； （１）画圆为方:作一个与给定圆面积相等的正方形; (２)倍立方体：求作一个正方体，使其体积等于已知正方体体积的两倍; （3)三等分角:分任意角为三等份角。 历史发展：从古代希腊开始，人们对三大问题做了不断的探索但没有解决;直到1９世纪人们才能用代数学等的知识彻底解决了;彻底解决证明是不可能的，有的人不了解历史有时仍然盲目的研究它。 2．简述欧几里得的几何《原本》。 答:欧几里德集古代希腊论证数学之大成，写成第一部典范的数学著作几何《原本》。 前六卷相当于几何内容。第1卷首先用23个定义给出了点、钱、面、圆以及平行线等原始概念,接着提出了5个公社和5个公理,第２卷主要讨论几何代数，第3卷是与圆有关的一些问题,包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理,第４卷在引入了圆的内接和外切圆形的概念以后,讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题,第５卷讨论了有关量的比例理论，第6卷主要是将激励理论应用于平面几何，其中包括相似三角形等。第7、8、9卷主要研究初等数论。第10卷讨论无理数。后３卷是立体几何的内容.
初一新生入学数学摸底考试试卷01 一、 填空题。（每小题2分，共20分） （1）7 4的倒数是（ ），（ ）的倒数是5。 （2）一个圆的半径是1分米，它的周长是（ ），面积是（ ）。 （3）在2∶3中，如果前项加上2，要使比值不变，后项要加上（ ）。 （4）甲数的52与乙数的2 1相等，则甲数与乙数的最简比是（ ）。 （5）4.5除以4.5与它的倒数相乘的积，商是（ ）。 （6）从A 城到B 城，甲要行5小时，乙要行4小时，甲的速度是乙的（ ）%。 （7）一个正方体的棱长为6厘米，它的体积为（ ）立方厘米。 （8）有一列数210342103421034…，问第64个数是（ ）。 （9）在1——100中，有（ ）个数是3的倍数。 （10）啸鸣在一长方形纸上剪下一个面积最大的三角形，三角形面积与长方形面积的比是（ ），剪法有（ ）种。 二、 选择题。（每小题2分，共14分） （1）80吨重的货物增加20%以后，结果是 （ ）。 ①16吨重。 ②96吨。 ③80吨。 （2）60千克重的物品增加它的60%后，再减少60%，结果是 （ ） ①60千克 ②38.4千克 ③21.6千克 （3）一次数学测验时，老师出了33道题，规定答对一道题得8分，答错一道题扣3分。小红全部答出了题，但得了0分，小红答对了（ ）道题。 ①7 ②8 ③9 ④10 （4）把一个圆柱体木块削制成一个圆锥体，需要削去的部分一定是圆柱体木块的（ ） ① 13 ② 23 ③ 2倍 ④ 不能确定 （5）以圆的半径为边长的正方形的面积是30平方分米，则圆的面积是（ ） ① 94.2平方分米 ②90平方分米 ③47.1平方分米 ④30平方分米。 （6）一个正方形有四个角，剪去其中一个角，还剩有几个角？ （ ） ①5个 ②4个 ③3个 ④可能有5个，4个或3个 （7）已知三角形两条边长分别为2、9，又知周长是偶数，那么第三边是( )。 ①7 ②8 ③9 ④11 三、计算（24分） （1） 解方程。（每题3分，共12分） ①4x+ 91=5 ②5 4+x=9
新津中学高2015级高二（下）入学考试（数学） 一、选择题（每题5分，共60分） 1.下列命题中是假命题的是（ ） A.若a b ?=0（a 0≠，0b ≠），则a b ⊥ B.若|a |=|b |，a b = C.若ac 2 >bc 2 ，则a>b D.5>3 2.将十进制数93化为二进制数为（ ） A.1110101（2） B.1010101（2） C.1111001（2） D.1011101（2） 3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ） A. 3 4 B. 56 C. 16 D. 13 4.经过椭圆2 212 x y +=的一个焦点作倾斜角为45。的直线l 交椭圆于A 、B 两点两点，设O 为坐标原点，则OA OB ?=（ ） A.-3 B.- 13 C.-1 3 或-3 D. 1 3 ± 5.直线x+(a 2 +1)y+1=0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是（ ） A.[0，4π ] B.[ 34 π ，π） C.[0，4π]?（2 π ，π） D.[ 4π，2π）?[34 π，π） 6.在直平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （a 为常数）所表示的平面区域的面积为2， 则a 的值为（ ） A.-5 B.1 C.2 D.3 7. 有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A ． 101 B ．103 C ．21 D ．10 7 8.已知点A （1，1）和直线l ：x+y-2=0，那么到定点A 的距离和到定直线l 距离相等的点的轨迹为（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 9.已知圆C ：(x-1)2 +(y-2)2 =25及直线l ：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m ∈R)，则直线l 过的定点及直线与
河南省郑州市2018 届高三上入学考试数学试题（文）含答案 郑州 2017-2018 上期高三入学测试 文科数学试题卷 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A{ x N n6} ，B{ x R x23x0} ，则 A B（） {3,4,5,6} B { x 3 x6} C {4,5,6} D { x x0或3 x 6} A．．．． 2. 已知a i b 2i （ a,b R ），其中 i 为虚数单位，则 a b（）i A． -3B． -2C． -1D．1 3. 每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生 3 人，女生 2 人，现需选出 2 名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的 2 名志愿者性别相同的概率为（） A．3 B． 2 C． 1 D． 3 55510 4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还. ”其意思为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地，请问第二天走了（） A． 96 里B． 48 里 C. 192里D．24里 5. 已知抛物线 x 2 8 y 与双曲线y 2x21（ a0 ）的一个交点为 M , F 为抛物线的焦点，a2 若 MF 5 ，则该双曲线的渐近线方程为（） A．5x 3y 0B．3x 5y 0 C.4x 5y 0D．5x 4 y 0 6.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框 图（图中“ mMODn ”表示m除以n的余数），若输入的m, n 分别为495，135，则输出的m（） A． 0B．5C. 45D．90
浙江省2018年10月自学考试数学史试题 课程代码：10028 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题2分，共24分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。”这个函数定义在18世纪后期占据了统治地位，给出这个函数定义的数学家是( ) A.莱布尼茨 B.约翰·贝努利 C.欧拉 D.狄利克雷 2.发现著名公式eiθ=cosθ+isinθ的是( ) A.笛卡尔 B.牛顿 C.莱布尼茨 D.欧拉 3.我国最古的一部算书——《算数书》是( ) A.传世本 B.甲骨文算书 C.钟鼎文算书 D.竹简算书 4.我国古代十部算经中年代最晚的一部( ) A.《孙子算经》 B.《张邱建算经》 C.《缉古算经》 D.《周髀算经》 5.由于对分析严格化的贡献而获得了“现代分析之父”称号的德国数学家是( ) A.魏尔斯特拉斯 B.莱布尼茨 C.欧拉 D.柯西 6.牛顿和莱布尼茨几乎同时进入微积分的大门，他们的工作也是相互独立的，但在发表的时间上( ) 1
A.牛顿先于莱布尼茨 B.莱布尼茨先于牛顿 C.牛顿和莱布尼茨同时 D.谁先谁后尚未定论 7.我国古代文献《墨经》一书中的“平”、“厚”，就是现代几何课本中所指的( ) A.平面与空间 B.平行与高度 C.平行与体积 D.面积与体积 8.中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是( ) A.周公后人荣方与陈子 B.三国时期的赵爽 C.西汉的张苍、耿寿昌 D.魏晋南北朝时期的刘徽 9.“幂势既同，则积不容异”的原理在我国现行教材中称为( ) A.祖暅原理 B.祖冲之原理 C.平衡法 D.阿基米德原理 10.《九章算术》是从先秦至_________的长时期里经众多学者编撰、修改而成的一部数学著作。( ) A.西汉 B.三国 C.东汉 D.魏晋南北朝 11.希尔伯特在_________中使用公理化方法对欧几里得《原本》中的公理体系进行完善。( ) A.《数学问题》 B.《几何基础》 C.《数学基础》 D.《几何问题》 12.古希腊数学家帕波斯的唯一传世之作《数学汇编》被认为是( ) A.古希腊论证数学的发端 B.古希腊数学的颠峰 C.古希腊数学的安魂曲 D.古希腊演绎几何的最高成就 二、填空题(本大题共10小题，每空1分，共16分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.用圆圈符号“O”表示零，可以说是_________的一大发明，有零号的数码和十进位值记数在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至_________。 2
2019-2020年高二下学期开学考试数学试题含答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.从一批产品中取出3件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（） A.事件B与C互斥 B.事件A与C互斥 C.任何两个均不互斥 D.任何两个均互斥 2.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（） A. B. C. D. 3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为（）元. A.45 B.46 C. D. 4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查， 为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组 采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人 中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做 问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（） A.7 B.8 C.9 D.10 5.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选三人作代表，这五人入选的机会均等，则甲或乙被选中的概率是（） A. B. C. D. 6.已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（） A.5 B.7 C.4 D.3 7.已知实数满足，那么的最小值为（） A. B. C. D. 8.F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，为定点，则的最小值是（） A. B. C. D. 9.已知命题，使；命题，都有.给出下列结论： ①命题“”是真命题； ②命题“”是真命题； ③命题“”是假命题； ④命题“”是假命题. 其中错误的是（） A.②③ B.②④ C.③④ D.①③ 10.已知，在上，在上，且，点是内的动点，射线交线段于点，则的概率为（） A. B. C. D. 11.已知双曲线，是左焦点，是坐标原点，若双曲线左支上存在点，使，则此双曲线的离心率的取值范围是（） A. B. C. D.
第（5）题图 射洪中学2014级高三下期入学考试 文 科 数 学 第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则C U )(B A =( ) A.{}134，， B.{}34， C. {}3 D. {}4 （2）在复平面内,复数21i z i = +(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （3）若从3个海滨城市和两个内陆城市中随机选2个去旅游，那么概率是 7 10 的事件是（ ） A.至少选一个海滨城市 B.恰好选一个海滨城市C.至多选一个海滨城市D.两个都选海滨城市 （4）已知向量(0,1)a =，(2,1)b =-，则|2|a b +=（ ） A ．22 B ．5 C ．2 D ．4 （5）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A ． 5603 B ．580 3 C ．200 D ．240 （6）在等差数列{}n a 中，已知40,2210471=+=+a a a a ，则公差=d （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （7）直线b y x =+43与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12 （8）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是
江苏省名校初中入学水平测试试题 一、填空题: 2．三个不同的三位数相加的和是2993，那么这三个加数是____＿_． 3.小明在计算有余数的除法时，把被除数４72错看成42７，结果商比原来小5,但余数恰巧相同．则该题的余数是___＿__． 4．在自然数中恰有４个约数的所有两位数的个数是____＿_. 5．如图，已知每个小正方形格的面积是1平方厘米，则不规则图形的面积是_____＿. ６.现有2克、3克、6克砝码各一个,那么在天平秤上能称出______种不同重量的物体. 7．有一个算式: ?五入的近似值，则算式□中的数依次分别是__＿＿__． 8.某项工作先由甲单独做45天,再由乙单独做１8天可以完成,如果甲乙两人合作可3０天完成。现由甲先单独做2０天，然后再由乙来单独完成，还需要______天． 9．某厂车队有3辆汽车给A、B、C、D、E五个车间组织循环运输。如图所示,标出的数是各车间所需装卸工人数.为了节省人力,让一部分装卸工跟车走,最少安排＿__＿＿_名装卸工保证各车间的需要． 1０.甲容器中有纯酒精340克，乙容器有水4０0克，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精与水混合;第二次将乙容器中的一部分混合液
倒入甲容器，这时甲容器中纯酒精含量７0％,乙容器中纯酒精含量为2０％，则第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是__＿___克． 11、27:（ )=0.７5＝ ) ( 6=（ ）％ 12、在学过的统计图中，需表示各部分同总数的关系时，用( )统计图较适合;需表示数量增减变化时的情况用( ）统计图较合适。 13、木料总量、每件家具的用料和制成家具的件数这三种量:当（ ）一定时,（ )和( ）成反比例。 １4、计算：=÷?-+÷?-+987654321_＿＿__＿_________＿__＿. 15、 求满足下面等式的方框中的数： ，□＝____＿＿ _＿. 16、如右图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是___＿＿＿__平方厘米． １7、一件工程甲、乙合作需3天完成,乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需18天完成，现甲、乙、丙三人合做需＿_____＿_＿＿_天. 二、选择题： １、2 1 5?=÷a b ，则b a 与的简比是（ )。 A 、1﹕10 B 、５﹕2 C 、2﹕5 Ｄ、10﹕1 2、b a 是一个真分数,如果分子、分母都增加1,则分数值( ）。 A 、不变 B 、增加 C 、减少 3、一市斤大米原来售价２元，先提价10%，再降价1０％，问现在每市斤大米的售价是（ ）。 Ａ．2元 Ｂ.2.2元C.1.9元 Ｄ．1.９8元 4、某年１0月份有５个星期六,4个星期日,这年的1０月1日是( ) A 、星期一 B 、星期二 C 、星期三 Ｄ、星期四 5、下面三个图形中（每格是正方形）,不是正方体表面积展开图是（ )。 A 、 B 、 C 、 D 、 ６、一批货物重360吨，一辆汽车单独运要运60次,一艘轮船单独运要运15次。现在一辆汽车和一艘轮船同时运输,多少次可以运完？( ） A 、1536060360÷+÷ B 、)15 1 601(1+÷ C 、)1560(360+÷ D 、 24厘米