A
B
C
D
E F
1.甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( ) A,
3827a
3 C,313a D,38
9
a 2.夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之
比为( )
A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3
3.设二面角a αβ--的大小是0
60,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是( )
A,
3
B,3cm C,2
3
cm
D,3cm 4.如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC
的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是( )
A,324
a
B,3
24a
C,
312a
D,3
12
a 5.棱长为的正八面体的外接球的体积是( ) A,
6
π
B,
27
C,3
D,3 6.若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α
的位置关系是 .
7.若异面直线,a b 所原角为0
60,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 .
8.如图(1),在直四棱柱1111A B C D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
C
D
F A
B
O
C
D E
O
A
A B C D P Q
9.如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成0
60; ④MN 与CD 所在直线互相垂直.
其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)
10.如图,在ABC ?中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将ADE ?沿 DE 折起来使得A 到1A ,且1A DE B --为0
60的二面角,求1A 到直线BC 的最小距离.
11.如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=a (0)a >,PA ⊥平面ABCD,且PA=1.
(1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQ ⊥QD?并说明理由;
(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ ⊥QD,求这时二面角Q PD A --的正切.
12. 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.
A B
C
D
A B
C D
图(1)
A B
E
N
M 图(2)
D
O
C
A
P
x
z
13.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,122AB BB ==,
P 为B 1C 1的中点.
(1)求直线AC 与平面ABP 所成的角;
(2)求异面直线AC 与B P 所成的角; (3)求点B 到平面APC 的距离.
14.如图,正四棱锥P-ABCD 中,侧棱P A 与底面ABCD 所成的角的正切值为2
6
。
(1)求侧面P AD 与底面ABCD 所成二面角的大小 ;
(2)若E 是PB 中点,求异面直线PD 与AE 所成的角的正切值 ;
(3)在侧面P AD 上寻找一点F 使EF ⊥侧面PBC
15:在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中,问
共线的三点组的个数是多少
16.如图,在三棱锥P -ABC 中,AB ⊥BC ,AB =BC =12
PA , 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,OP ⊥底面ABC . (Ⅰ)求证OD ∥平面PAB ; (Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦.
P
P E
D
C
B A
17. 如图1,已知ABCD 是上.下底边长分别为2和6,高为3的等腰梯形,将它沿对称轴OO 1折成直二面角,如图2 (Ⅰ)证明:AC ⊥BO 1;
(Ⅱ)求二面角O -AC -O 1的余弦.
18.已知圆柱的底面半径为3,高为4,A 、B 两点分别在两底面圆周上,并且AB=5,求异面直线AB 与轴OO /之间的距离。
19.简单选填题
1、已知βα,是平面,m ,n 是直线,给出下列命题:
①若βαβα⊥?⊥,则m m ,;
②若βαββαα//,////,,则,n m n m ??;
③如果ααα与是异面直线,那么、n n m n m ,,??相交;
图1
④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且,则,且??=? 其中正确命题的个数是( ) A .4
B .3
C .2
D .1
2、已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面βα,,有下列命题
①若αα//,,//m n n m 则?; ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥; ③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ??; ④若αββαβα⊥⊥?=⊥n m n n m 则,,,, ;
其中正确的命题个数是
( )
A .1
B .2
C .3
D .4
3、α、β为两个互相垂直的平面,a 、b 为一对异面直线,下列条件:①a //α、b β?;②a ⊥α、b β//;③a ⊥α、b β⊥;④a //α、b β//且a 与α的距离等于b 与β的距离.其中是a ⊥b 的充分条件的有 ( )
A .①④
B .①
C .③
D .②③
4、已知三条不重合的直线m 、n 、l ,两个不重合的平面βα,,有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则?; ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥;
③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ??; ④若αββαβα⊥⊥?=⊥n m n n m 则,,,, ; 其中正确的命题个数是
A .1
B .2
C .3
D .4
5、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线,,αβ是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是
A .若α∥β,,l a n β??,则l ∥n
B .若α⊥β,l a ?,则l ⊥β
C .若l ⊥n ,m ⊥n ,则l ∥m
D .若l ⊥α, l ∥β,则α⊥β
6、若二面角l αβ--为 ,直线m α⊥,直线n β?,则直线m 与n 所成的角取值范围是
A .
B .
C .
D .
7、已知直线l 与平面α成0
45角,直线m α?,若直线l 在α内的射影与直线m 也成45°角,则l 与m 所成的角是
A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
8、设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中E ,F 分别是棱A 1A ,B 1B 中点,G 为BC 上一点,若C 1F ⊥EG ,则FG
D 1∠为( )
A .60°
B .90°
C .120°
D .150°
9、已知三棱锥BCD A -中,0
60,,1,90=∠⊥===∠ADB BCD AB CD BC BCD 面,点E 、F 分别在AC 、AD 上,使面CD EF ACD BEF //,且面⊥,则平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的正弦值为 ( )
A B C D 10、从P 点出发三条射线PA ,PB ,PC 两两成60°,且分别与球O 相切于A ,B ,C 三点,若球667
7
42
31[,]
62
ππ[,]32
ππ[,]63
ππ
(0,)2π56
π
的体积为4π
3,则OP 的距离为( )
A . 2
B . 3
C .3
2
D .2
11、直线l 与平面α成45°角,若直线l 在α内的射影与α内的直线m 成45°角,则l 与m 所
成的角是( )
A .30°
B .45°
C . 60°
D .90°
12、一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是 ( )
A .8π
B .6π
C .4π
D .π
13、已知线段AB 在平面α外,AB 两点到平面α的距离分别是1和3,则线段AB 中点到平面α的距离是__________.
14、正三棱锥P -ABC 的四个顶点同在一个半径为2的球面上,若正三棱锥的侧棱长为23,则正三棱锥的底面边长是____________.
15、(江苏省启东中学高三综合测试三)三棱锥P -ABC 的四个顶点点在同一球面上,若PA ⊥底面ABC ,底面ABC 是直角三角形,PA=2, AC=BC=1,则此球的表面积为 。
16、四面体ABCD 中,共顶点A 的三条棱两两相互垂直,且其长分别为361、
、,若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为 。
答案:1.过顶点A,V 与高作一截面交BC 于点M,点O 为正四面体的中心,1O 为底面ABC 的
中心,
设正四面体VABC 的棱长为m ,则=VM,1O M =13AM =,
1233O A AM =
=,13VO m ==,得113
OO VO VO m a =-=-
在1Rt AOO ?中,22211AO OO AO =+,即2
22(
)()33a m a m =-+,得3
m a =.
则1VO =
4
3
a ,有203111(sin 60)32V ABC V m VO -=????=
.选B. 温馨提示:正四面体外接球的半径VO :内切球的半径1OO =1
:3:13
a a =. 2. 32212341
::(
):(2):(2)2:3:133
V V V R R R R R πππ=???=,选B. 3.设PA ⊥棱a 于点A,PM ⊥平面α于点M,PN ⊥平面β于点N,PA=t ,PAM θ∠=,则
sin 1sin(60)2
t t αα=??-=?,
5sin αα=,
有sin α=
或(舍去),
所以1sin 3
t α=
=
cm ,选B. 4.由DE ⊥EF,EF//AC,有DE ⊥AC,又AC ⊥BD,DE
BD=D,得AC ⊥平面ABD.
由对称性得0
90BAC CAD BAD ∠=∠=∠=,
于是AB AC AD ===
. 3
11()3222224
B ACD V a a a -=????=,选B.
5.可由两个相同的四棱锥底面重合而成,
有2r =
得2
r =
,
外接球的体积3433
V r π=
=,选D. 6.当2AB <时,AB//α;当2AB =时,AB//α或AB ⊥α;当2AB >时,AB//α或与α斜交. 7.由EF EA AB BF =++,得2
222
2cos EF
EA AB BF EA BF θ=+++??
(1)当0
60θ=时,有2
1
9412212
AB =+++???
,得2AB =(2)当0
120θ=时,有219412212
AB
=++-???,得6AB =.
8. AC ⊥BD.(或ABCD 是正方形或菱形等)
9.将展开的平面图形还原为正方体NACF EMBD -,可得只②,④正确.
10.解:设ABC ?的高AO 交DE 于点1O ,令1AO x =, 由
12=,有112OO x =-,
在11A OO ?中,01160A O O ∠=,有2220
11111112cos 60A O A O O O A O O O =+-???
得1
AO =当6x =时,1A 到直线BC 的最小距离为6.
11.解:(1)(如图)以A 为原点建立空间直角坐标系,设BQ x =,则 Q (1,,0)x ,P(0,0,1),D (0,,0)a 得(1,,1)PQ x =-,(1,,0)QD a x =--
由PQ QD ⊥,有(1,,1)(1,,0)0x a x -?--=,得2
10x ax -+= ①
若方程①有解,必为正数解,且小于a .由2
()40a ?=--≥,0a >,得2a ≥. (i)当2a ≥时,BC 上存在点Q,使PQ ⊥QD;
(ii)当02a <<时, BC 上不存在点Q,使PQ ⊥QD.
(2)要使BC 边上有且只有一个点Q,使PQ ⊥QD,则方程①有两个相等的实根, 这时,2
()40a ?=--=,得2a =,有1x =.
又平面APD 的法向量1(1,0,0)n =,设平面PQD 的法向量为2(,,)n x y z = 而(1,1,0)QD =-,(0,2,0)(0,0,1)(0,2,1)PD =-=-,
由2200n QD n PD ??=???=??,得(,,)(1,1,0)0(,,)(0,2,1)0x y z x y z ?-=???-=?,解得,2x y z y ==有2(1,1,2)n =,则
121212cos ,n n n n n n ?<>=
==?,
则12tan ,n n <>=所以二面角
Q PD A --
12. 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积
→→→→
||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ?=∠=?.
由于→
AB =(2, 2, 2), →
AC =(1, 2, 4), 因此
→
→
4
21222k
j i =?AC AB =4i -6j +2k .
于是
142)6(42
1|264|21222=+-+=+-=?k j i ABC S .
13. (1)∵AB ⊥平面BC 1,PC ?平面BC 1,∴AB ⊥PC
在矩形BCC 1B 1 中,BC=2,BB 1=1,P 为B 1C 1的中点,∴PC ⊥PB ∴PC ⊥平面ABP ,∴∠CAP 为直线AC 与平面ABP 所成的角
∵
,
AC=,∴在Rt △APC 中,∠CAP=300
∴直线AC 与平面ABP 所成的角为300 (2)取A 1D 1中点Q ,连结AQ 、CQ ,在正四棱柱中,有AQ ∥BP ,
∴∠CAQ 为异面直线AC 与BP 所成的角 在△ACQ
中,AQ AC CQ =
===
∴∠CAQ=600 ∴异面直线AC 与BP 所成的角为600 (也可用向量法) (3)过点B 作BH ⊥AP 于H , 由题(1) PC ⊥平面ABP ,∴PC ⊥BH ∴BH ⊥平面APC ∴BH 的长即为点B 到平面APC 的距离
在Rt △ABP 中,AB=2,3
BP BH ==
15解答:两端点都为顶点的共线三点组共有
282
=个;两端点都为面的中心共线三点组共
有6132?=个;两端点都为各棱中点的共线三点组共有123
182?=个,且没有别的类型的共线三点组,所以总共有2831849++=个
16.解答
OP ABC OA OC AB BC ⊥== 平面,,,
.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥ ,,
O OP z 以为原点,射线为非负轴,建立空间直角坐标系,0,0,0,,0,,0,0222AB a A B C ?????= ? ? ? ? ?????设,则()0,0,.OP h P h =设,则 ()
D PC 为的中点,Ⅰ212,0,,42OD a h PA a ??
?∴=-= ? ? ????
又1
...2
OD PA OD PA OD PAB ∴=-∴∴ 平面∥∥
()
2,PA a = Ⅱ,h ∴=
,44OD ??
∴=- ? ???
,PBC n ?=- ?可求得平面的法向量210cos ,OD n OD n OD n ?∴??==? OD PBC θ设与平面所成的角为,210
sin cos ,OD n θ=??=则
OD PBC ∴ 与平面所成的角为.
17.解答(I )证明 由题设知OA ⊥OO 1,OB ⊥OO 1.所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角,即OA ⊥OB . 故可以O 为原点,OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图3,则相关各点的坐标是A (3,0,0),B (0,3,0),C (0,1,3)O 1(0,0,3).
从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=?+-=?-=-=BO BO 所以AC ⊥BO 1.
(II )解:因为,03331=?+-=?BO 所以BO 1⊥OC ,由(I )AC ⊥BO 1,所以BO 1
⊥平面OAC ,1BO 是平面OAC 的一个法向量.设),,(z y x =是0平面O 1AC 的一个法向量,由,3.0,033001=??
?==++-???
???=?=?z y z y x O 取得
)3,0,1(=. 设二面角
O —AC —O 1的大小为θ,由n 、1BO 的方向可知=<θn ,1BO >,所以COS <=cos θn ,
1BO .
43|
|||11
=?BO n 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arccos
18. 在圆柱底面上AO ⊥OO /,BO /⊥OO /,又OO /是圆柱的高,AB=5,所以d=
2
3
3。即异面直线AB 与轴OO /之间的距离为
2
3
3。 19. 答案 1~5 CBCBD 6~12 CCBBBCC 13、 1或2 14、3 15、6π 16、π16
高三数学立体几何高考题 1.(2012年7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出 的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 (A )6 (B )9 (C )12 (D )18 2.(2012年8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 (A )6π (B )43π (C )46π (D )63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ). A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为______. 5.(2014年8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 事一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4, 底面边长为2,则该球的表面积为( ) A.81π4 B .16π C .9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为1620π+,则r =( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 9(2016年7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的 圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 , 则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 10(2016年11)平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,11//CB D α平面, ABCD m α=I 平面,11ABB A n α=I 平面,则m ,n 所成角的正弦值为 (A )32 (B )22 (C )33 (D )1 3 11.(2017年6)如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12.(2017年16)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S-ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________。
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
(一) 1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。 : `
} (一) 2.83 3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD (Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 ()1,0,0A ,()03,0B ,,() 1,3,0C -,()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- < 设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0, 0, {n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0,m 0, { PB BC ?=?= 可取m=(0,-1,3-) 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - <
(二) 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ \ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB ⊥⊥(Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 . 《
2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC; --为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直,M是?CD上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科: 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ .
历年江苏高考数学立体几何真题汇编(含详解) (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ? ??? ?E ,F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)??????? ?? ?CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,E ,F 分别是A 1B ,A 1C 的中点,点D 在B 1C 1上, A 1D ⊥ B 1 C . 求证:(1)EF ∥平面ABC (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明:(1)由E ,F 分别是A 1B ,A 1C 的中点知EF ∥BC , 因为EF ?平面ABC ,BC ?平面ABC ,所以EF ∥平面ABC (2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1, 又A 1D ?平面A 1B 1C 1,故CC 1⊥A 1D , 又因为A 1D ⊥B 1C ,CC 1∩B 1C =C , CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ,又A 1D ?平面A 1FD , 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C (2010年第16题)
高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
(2012江西省)(本小题满分12分) 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,E ,F 是线段AB 上的两点,且DE ⊥AB ,CF ⊥AB ,AB=12,AD=5, BC=42,DE=4.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使A ,B 两点重合与点G ,得到多面体CDEFG. (1) 求证:平面DEG ⊥平面CFG ; (2)求多面体C DEFG 的体积。 2012,山东(19) (本小题满分12分) 如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形, ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =; (Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 2012浙江20.(本题满分15分)如图,在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中,,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点,F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 (Ⅰ)证明:(i) 11;EF A D //ii ()111;BA B C EF ⊥平面 (Ⅱ)求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
(2010四川)18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中,点M 是棱'AA 的中点,点O 是对角线'BD 的中点, (Ⅰ)求证:OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线; (Ⅱ)求二面角''M BC B --的大小; 2010辽宁文(19)(本小题满分12分) 如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形,11B C A B ⊥ (Ⅰ)证明:平面11A B C ⊥平面11A BC ; (Ⅱ)设D 是11A C 上的点,且1//AB 平面1B CD ,求11:A D DC 的值。
2015 年高考立体几何大题试卷 1.【 2015 高考新课标2,理 19】 如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=16,BC =10, AA18 ,点E,F分别在 A1 B1,C1D1上, A1 E D1F 4 .过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方 形. D F C A E B D C A B ( 1 题图) (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线AF 与平面所成角的正弦值. 2. 【 2015 江苏高考, 16】如图,在直三棱柱ABC A1 B1C1中,已知AC BC , BC CC1,设 AB1的中点为D, B1C BC1 E .求证:(1) DE // 平面 AA1C1C ; (2)BC1AB1. A C B E D A C B ( 2 题图)(3 题图) 3. 【2015 高考安徽,理19】如图所示,在多面体A1 B1 D1 DCBA ,四边形 AA1B1 B , ADD A , ABCD 均为正方形, E 为 B D 的中点,过 A1 , D , E 的平面交CD于F. 1 1 1 1 1 (Ⅰ)证明:EF / / B1C ;(Ⅱ)求二面角 E A1 D B1余弦值.
4.【2015江苏高考,22】如图,在四棱锥P ABCD 中,已知 PA平面ABCD,且四边形 ABCD 为直角梯形,ABC BAD,PA AD 2, AB BC 12 ( 1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值; ( 2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ 与 DP 所成角最小时,求线段BQ 的长 A P D Q B F A D G B C E C ( 4 题图)( 5 题图) 5 .【 2015 高考福建,理 17】如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形, AB ^平 面 BEC, BE^ EC,AB=BE=EC=2 , G,F 分别是线段 BE, DC 的中点 . ( Ⅰ ) 求证:GF / /平面ADE; ( Ⅱ ) 求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 6. 【 2015 高考浙江,理17】如图,在三棱柱ABC A1B1C1 - 中,BAC 90o, AB AC 2 ,A1A 4 ,A1在底面ABC的射影为BC的中点, D 为B1C1的中点. (1)证明:A1D平面A1B C; (2)求二面角A1-BD- B1的平面角的余弦值.
2015-2017立体几何高考真题 1、(2015年1卷6题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ,则12384r ??==16 3 r =,所以米堆的体积为211163()5433????=3209,故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22,故选B. 考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、(2015年1卷11题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π,则r=( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π,解得r=2,故选B. 考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、(2015年1卷18题)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.
全国卷历年高考立体几何真题归类分析(含答案) 类型一:直建系——条件中已经有线面垂直条件,该直线可以作为z轴或与z轴平行,底面垂直关系直接给出或容易得出(如等腰三角形的三线合一)。这类题入手比较容易,第(Ⅰ)小问的证明就可以用向量法,第(Ⅱ)小问往往有未知量,如平行坐标轴的某边长未知,或线上动点等问题,以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解,对于向上动点问题这主意共线向量的应用。 1.(2014年全国Ⅱ卷)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC; (Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积. 2.(2015年全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 3.(2015年全国Ⅱ卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
4.(2016年全国Ⅲ卷)如图,四棱锥P ABC -中,PA ⊥底面面ABCD ,AD ∥BC , 3AB AD AC ===,4PA BC ==,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点. (I )证明MN 平面PAB ;(II )求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 5.(2017全国Ⅱ卷)如图所示,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ,1 2 AB BC AD == ,o 90BAD ABC ∠=∠=, E 是PD 的中点. (1)求证:直线//CE 平面PAB ; (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45,求二面角M AB D --的余弦值. E M D C B A P 类型二:证建系(1)——条件中已经有线面垂直条件,该直线可以作为z 轴或与z 轴平行,但底面垂直关系需要证明才可以建系(如勾股定理逆定理等证明平面线线垂直定理)。这类题,第(Ⅰ)小问的证明用几何法证明,其证明过程中的结论通常是第(Ⅱ)问证明的条件。第(Ⅱ)小问开始需要证明底面上两条直线垂直,然后才能建立空间直角坐标系。 6.(2011年全国卷)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明:P A ⊥BD ; (Ⅱ)若PD =AD ,求二面角A-PB-C 的余弦值.
立体几何复习精选 一.选择 10 1模 5.已知p :直线a 与平面α内无数条直线垂直,q :直线a 与平面α垂直.则p 是q 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 三.大题 18.如图5所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径,60ABD ∠=,45BDC ∠=,ADP BAD △∽△. (1)求线段PD 的长; (2)若11PC R =,求三棱锥P ABC -的体积. C P A B 图5 D
09 1模 如图4,A A 1是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点, 12AA AB ==. (1)求证:BC ⊥平面AC A 1; (2)求三棱锥1A ABC -的体积的最大值.
18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中,过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -,且这个几何体的体积为 403 。 (1)证明:直线1A B ∥平面11CDD C ; (2)求棱1A A 的长; (3)求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。 10 1模 17.(本小题满分14分) 如图6,正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ,AE ⊥平面CDE ,且3AE =,6AB =. (1)求证:AB ⊥平面ADE ; (2)求凸多面体ABCDE 的体积. A B C D E 图5
3. 【2015 高考安徽,理 19】如图所示,在多面体 A 1B 1D 1DCBA ,四边形 AA 1B 1B , ADD 1 A 1 , ABCD 均为正方形, E 为B 1D 1的中点,过 A 1,D, E 的平 面交 CD 1于 F. 2015 年高考立体几何大 题试卷 1.【 2015 高考新课标 2,理 19】 如图,长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB=16 , BC =10, AA 1 8,点E ,F 分别在 A 1B 1, C 1D 1上, A 1E D 1F 4 .过点 E , F 的平 面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方 形. B (1 题图) Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) Ⅱ)求直线 AF 与平面 所成角的正弦值. 2. 【2015 江苏高考, 16】 如图,在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中,已知 AC BC , BC CC 1,设 AB 1的中点为 D , B 1C BC 1 E . 求证:( 1) DE // 平面 AA 1C 1C ; 2) BC 1 AB 1 . C 2 题 图) 3 题图)
(Ⅰ)证明:EF //B1C ;(Ⅱ)求二面角E A1D B1余弦值 .
4. 【2015 江苏高考, 22】如图,在四棱锥 P ABCD 中,已知 PA 平面 ABCD ,且 四边形 ABCD 为直角梯 形, ABC BAD ,PA AD 2, AB BC 1 2 ( 1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; 2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长 面 BEC ,BE ^ EC ,AB=BE=EC=2 ,G ,F 分别是线 段 ( Ⅰ ) GF//平面 ( Ⅱ)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 6.【2015 高考浙江,理 17】如图,在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 -中, BAC 90o , AB AC 2, A 1A 4, A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点, D 为B 1C 1的中点 . (1)证明: A 1D 平面 A 1B C ; 2)求二面角 A 1 -BD- B 1的平面角的余弦值 4 题图) 5 题图) 5 .【 2015 高考福建, 理 17】如图, 在几何体 ABCDE 中, 四边形 ABCD 是矩形, AB ^ 平 BE , DC 的中点 . D
2015-2017高考立体几何题汇编 2017(三)16.a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角;②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°;④直线AB 与a 所成角的最小值为60°; 其中正确的是________。(填写所有正确结论的编号) 2017(三)19.(12分)如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD =∠CBD ,AB =BD . (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)过AC 的平面交BD 于点E ,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D –AE –C 的余弦值. 2017(二)4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A .90π B .63π C .42π D .36π 2017(二)10.已知直三棱柱111ABC A B C -中,120ABC ∠=?,2AB =, 11BC CC ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A . 32 B . 155 C . 105 D . 33 2017(二)19.(12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且 垂直于底 面ABCD ,o 1 ,90,2 AB BC AD BAD ABC == ∠=∠= E 是PD 的中点. (1)证明:直线CE ∥平面PAB ; (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45,求二面角M AB D --的余弦值. 2017(一)7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
2016年文科数学立体几何高考题汇总 1.(2016北京文11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________. 2.(2016北京文18)(本小题14分) 如图,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,,AB DC DC AC ⊥∥ (I )求证:DC PAC ⊥平面; (II )求证:PAB PAC ⊥平面平面; (III)设点E 为AB 的中点,在棱PB 上是否存在点F ,使得PA CEF ⊥平面?说明理由. 3.(2016天津文17) (本小题满分13分) 如图,四边形ABCD 是平行四边形,平面AED ⊥平面ABCD ,EF||AB ,AB=2,BC=EF=1,6,DE=3,∠BAD=60o,G 为BC 的中点. (Ⅰ)求证:FG||平面BED ; (Ⅱ)求证:平面BED ⊥平面AED ; (Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ) 65 【解析】 试题分析:(Ⅰ)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行寻找与论证,往往结合平几知识,如本题构造一个平行四边形:取BD 的中点为O ,可证四边形OGFE 是平行四边形,从而得出OE FG //(Ⅱ)面面垂直的证明,一般转化为证线面垂直,而线面垂直的证明,往往需多次利用线面垂直判定与性质定理,而线线垂直的证明有时需要利用平几条件,如本题可由余弦定理解出0 90=∠ADB ,即AD BD ⊥(Ⅲ)求线面角,关键作出射影,即面的垂线,可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直,即面的垂线:过点A 作DE AH ⊥于点H ,则⊥AH 平面BED ,从而直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.再结合三角形可求得正弦值
立体几何高考真题大题 Company Document number:WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
立体几何高考真题大题 1.(2016高考新课标1卷)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD ∠=,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60. (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ?平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平面FDC E .(Ⅱ)建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m 及平面C B E 的法向量 n ,再利用cos ,n m n m n m ?= 求二面角. 试题解析:(Ⅰ)由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E . 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E . (Ⅱ)过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由(Ⅰ)知DG ⊥平面F ABE . 以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -. 由(Ⅰ)知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =,则DF 2=,DG 3=,可 得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D . 由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E . 又平面CD AB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E . 由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角, C F 60∠E =.从而可得(C -.
图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 11.(北京8)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点, 则 P 到各顶点的距离的不同取值有( ) A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 2.(广东卷6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( ) A .1 6 B .1 3 C .2 3 D .1 3. (广东卷8)设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A .若//l α,//l β,则//αβ B .若l α⊥,l β⊥,则//αβ C .若l α⊥,//l β,则//αβ D .若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 4. (湖南卷7)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于 A . 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8).一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为( ) A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. (辽宁卷10)已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若,, ,AB AC ⊥112AA O =,则球的半径为 A . 317 B .210 C .13 2 D .310 B .. (全国卷11)已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中,则与平面所成角的正弦值等于 (A ) 23 (B )3 (C )23 (D )1 3 8. (四川卷2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )
历年高考数学真题精选(按考点分类) 专题31 垂直关系(学生版) 1.(2019?北京)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为菱形,E 为CD 的中点. (Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若60ABC ∠=?,求证:平面PAB ⊥平面PAE ; (Ⅲ)棱PB 上是否存在点F ,使得//CF 平面PAE ?说明理由. 2.(2015?重庆)如图,三棱锥P ABC -中,平面PAC ⊥平面ABC ,2 ABC π ∠= ,点D 、E 在线段AC 上,且2AD DE EC ===,4PD PC ==,点F 在线段AB 上,且//EF BC . (Ⅰ)证明:AB ⊥平面PFE . (Ⅱ)若四棱锥P DFBC -的体积为7,求线段BC 的长. 3.(2015?福建)如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A ,B 的点,PO 垂直于圆O 所在的平面,且1PO OB ==, (Ⅰ)若D 为线段AC 的中点,求证;AC ⊥平面PDO ; (Ⅱ)求三棱锥P ABC -体积的最大值; (Ⅲ)若2BC =,点E 在线段PB 上,求CE OE +的最小值.
4.(2014?四川)在如图所示的多面体中,四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形 (Ⅰ)若AC BC ⊥,证明:直线BC ⊥平面11ACC A ; (Ⅱ)设D 、E 分别是线段BC 、1CC 的中点,在线段AB 上是否存在一点M ,使直线//DE 平面1A MC ?请证明你的结论. 5.(2014?福建)如图,三棱锥A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,CD BD ⊥. (Ⅰ)求证:CD ⊥平面ABD ; (Ⅱ)若1AB BD CD ===,M 为AD 中点,求三棱锥A MBC -的体积. 6.(2014?广东)如图1,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,1AB =,2BC PC ==作如图2折叠;折痕//EF DC ,其中点E ,F 分别在线段PD ,PC 上,沿EF 折叠后点 P 叠在线段AD 上的点记为M ,并且MF CF ⊥. (1)证明:CF ⊥平面MDF ; (2)求三棱锥M CDE -的体积.
立体几何复习精选 一.选择 10 1模 5.已知p :直线a 与平面α无数条直线垂直,q :直线a 与平面α垂直.则p 是q 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 三.大题 18.如图5所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的接四边形,其中BD 是圆的直径,60ABD ∠=,45BDC ∠=,ADP BAD △∽△. (1)求线段PD 的长;
(2)若11 PC R =,求三棱锥P ABC -的体积. C P A B 图5 D
09 1模 如图4,A A 1是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点, 12AA AB ==. (1)求证:BC ⊥平面AC A 1; (2)求三棱锥1A ABC -的体积的最大值.
18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中,过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -,且这个几何体的体积为 403 。 (1)证明:直线1A B ∥平面11CDD C ; (2)求棱1A A 的长; (3)求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。 10 1模 A B
17.(本小题满分14分) 如图6,正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ,AE ⊥平面 CDE ,且3AE =,6AB =. (1)求证:AB ⊥平面ADE ; (2)求凸多面体ABCDE 的体积.
如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==,2AB =.以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M . (1)求证:平面ABM ⊥平面PCD ; (2)求点O 到平面ABM 的距离. B
空间立体几何高考知识点汇总及经典题目
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空间立体几何 知识点归纳: 1. 空间几何体的类型 (1)多面体:由若干个平面多边形围成的几何体,如棱柱、棱锥、棱台。 (2) 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。如圆柱、圆锥、圆台。 2.一些特殊的空间几何体 直棱柱:侧棱垂直底面的棱柱。 正棱柱:底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥:底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体:所有棱都相等的四棱锥。 3.空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和 圆柱的表面积 :222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积:2S rl r ππ=+ 圆台的表面积: 22S rl r Rl R ππππ=+++ 球的表面积:24S R π= 4.空间几何体的体积公式 柱体的体积 :V S h =?底 锥体的体积 :13 V S h =?底 台体的体积 : 1 )3 V S S S S h =+ +?下下上上( 球体的体积: 343 V R π= 5.空间几何体的三视图 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图。 侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图。 俯视图:光线从几何体的上面向右边正投影,得到的投影图。 画三视图的原则: 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽,侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 (1) 直线与直线的位置关系:相交;平行;异面。
高中数学立体几何专题训练 1、(2017?山东)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线 为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.(Ⅰ)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP 的大小;(Ⅱ)当AB=3,AD=2时,求二面角E﹣AG﹣C的大小. 2、(2017?浙江)如图,已知四棱锥P﹣ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:CE∥平面PAB; (Ⅱ)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 3、(2017?江苏)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°.(Ⅰ)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(Ⅱ)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.
4、(2017?北京卷)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD, 点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD= ,AB=4.(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 5、(2017?新课标Ⅰ卷)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
6.在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.(I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC; (II)已知EF=FB=1 2 AC ==BC.求二面角F BC A --的余弦值 . 7(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,5 AB=,6 AC=,点E,F 分别在AD,CD上, 5 4 AE CF ==,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D EF ' 的位置OD'=(I)证明:D H'⊥平面ABCD; (II)求二面角B D A C ' --的正弦值 . 8.(15年山东理科)如图,在三棱台DEF ABC -中,2, AB DE = (Ⅰ)求证:// BD平面FGH; (Ⅱ)若CF⊥平面ABC,,,45, AB BC CF DE BAC ⊥=∠= 求平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小.
2015年高考立体几何大题试卷 1.【2015高考新课标2,理19】 如图,长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ,=10BC ,18AA =,点E ,F 分别在11A B , 11C D 上,114A E D F ==.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方 形. (1题图) (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 2.【2015高考,16】 如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,已知BC AC ⊥,1CC BC =,设1AB 的中点为D ,E BC C B =11 .求证:(1)C C AA DE 11//平面; (2)11AB BC ⊥. (2题图) (3题图) 3. 【2015高考,理19】如图所示,在多面体111A B D DCBA ,四边形11AA B B , 11,ADD A ABCD 均为正方形,E 为11B D 的中点,过1,,A D E 的平面交1CD 于F. (Ⅰ)证明:1//EF B C ; (Ⅱ)求二面角11E A D B --余弦值. A B C D E A B C D D C A E F A B C B
4. 【2015高考,22】如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边 形ABCD 为直角梯 形,2 ABC BAD π ∠=∠= ,2,1PA AD AB BC ==== (1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值; (2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长 (4题图) G F B A C D E (5题图) 5 .【2015高考,理17】如图,在几何体ABCDE 中,四边形ABCD 是矩形,AB 平面BEC , BE EC ,AB=BE=EC=2,G ,F 分别是线段BE ,DC 的中点. (Ⅰ)求证://GF 平面ADE ; (Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值. 6.【2015高考,理17】如图,在三棱柱111ABC A B C --中,90BAC ∠=,2AB AC ==, 14A A =,1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 为11B C 的中点. (1)证明:1A D ⊥平面1A B C ; (2)求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值. P A B C D Q