2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3分)已知集合P={x∈R|﹣2<x≤3},,则()A.P∩Q={x∈R|﹣1<x<3}B.P∪Q={x∈R|﹣2<x<3}
C.P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3}D.P∪Q={x∈R|﹣2<x≤3}
2.(3分)已知复数,其中i是虚数单位,则|z|=()
A.2 B.1 C.D.
3.(3分)在△ABC中,“A>B”是“”的()条件.
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
4.(3分)已知l,m,n为三条不重合的直线,α,β为两个不同的平面,则()A.若m⊥α,m⊥β,则α∥βB.若l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,则l⊥αC.若α∩β=l,m?α,m⊥l,则m⊥βD.若m∥n,m?α,则n∥α
5.(3分)如图1对应函数f(x),则在下列给出的四个函数中,图2对应的函
数只能是()
A.y=f(|x|)B.y=|f(x)|C.y=f(﹣|x|)D.y=﹣f(|x|)
6.(3分)已知实数x,y满足约束条件则的取值范围是()
A.B.C.D.
7.(3分)若有5本不同的书,分给三位同学,每人至少一本,则不同的分法数是()
A.120 B.150 C.240 D.300
8.(3分)现已知函数f(x)=x2﹣4x+1,且设1≤x1<x2<x3<…<x n≤4,若有|f (x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(x n
﹣1
)﹣f(x n)|≤M,则M的最小值为()
A.3 B.4 C.5 D.6
9.(3分)已知A,B,C是单位圆上不同的三点,O为
坐标原点,若
,则=()
A .
B .
C .
D .
10.(3分)已知正四面体ABCD和平面α,BC?α,当平面ABC与平面α所成的二面角为60°,则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为()
A .
B .
C .或
D .或
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.(3分)已知角α的终边与单位圆的交点坐标为,则sinα=,tanα=.
12.(3分)若随机变量ξ的分布列为:
若,则x+y=,D(ξ)=.
13.(3分)如图为某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为,表面积为.
14.(3分)已知等比数列{a n},等差数列{b n},T n是数列{b n}的前n项和.若a3?a11=4a7,且b7=a7,则a7=,T13=.
15.(3分)若的展开式中常数项为60,则实数a的值是.16.(3分)过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线,
交双曲线的两条渐近线于A,B两点,若,则双曲线的离线率为.
17.(3分)已知函数f(x)=,若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则的取值范围是.
三、解答题(共5小题,满分74分)
18.(14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c2=a2+b2+ab.(1)求角C的大小;
(2)若,求△ABC的面积.
19.(15分)如图,在四棱锥A﹣BCDE中,AC⊥平面BCDE,∠CDE=∠CBE=90°,BC=CD=2,DE=BE=1,AC=,M为AE的中点.
(1)求证:BD⊥平面AEC;
(2)求直线MB与平面AEC所成角的正弦值.
20.(15分)已知函数.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)记f(x)在[﹣1,1]上的最小值为g(a),求证:当x∈[﹣1,1]时,恒有.
21.(15分)已知椭圆.
(1)若椭圆C的一个焦点为(1,0),且点在C上,求椭圆C的标准方程;
(2)已知椭圆C上有两个动点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,且OA ⊥OB,求线段|AB|的最小值(用a,b表示).
22.(15分)已知正项数列{a n}满足a1=2,且.
<a n;
(1)求证:1<a n
+1
(2)记,求证:.
2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3分)已知集合P={x∈R|﹣2<x≤3},,则()A.P∩Q={x∈R|﹣1<x<3}B.P∪Q={x∈R|﹣2<x<3}
C.P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3}D.P∪Q={x∈R|﹣2<x≤3}
【解答】解:由≤0,得
或,
解得﹣1≤x<3,
故P∩Q={x∈R|﹣1≤x<3},P∪Q={x∈R|﹣2<x≤3}.
故选:D.
2.(3分)已知复数,其中i是虚数单位,则|z|=()
A.2 B.1 C.D.
【解答】解:∵=,
∴|z|=.
故选:B.
3.(3分)在△ABC中,“A>B”是“”的()条件.
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
【解答】解:∵在三角形中,>0,
∴sin2>sin2,
∵cosA=1﹣2sin2,cosB=1﹣2sin2,
∴cosA<cosB,则A>B,
即,“A>B”是“”的充要条件,
故选:C
4.(3分)已知l,m,n为三条不重合的直线,α,β为两个不同的平面,则()A.若m⊥α,m⊥β,则α∥βB.若l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,则l⊥αC.若α∩β=l,m?α,m⊥l,则m⊥βD.若m∥n,m?α,则n∥α
【解答】解:由l,m,n为三条不重合的直线,α,β为两个不同的平面,知:在A中,若m⊥α,m⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故A正确;
在B中,若l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,则l与α相交、平行或l?α,故B错误;在C中,若α∩β=l,m?α,m⊥l,则m与β相交、平行或m?β,故C错误;在D中,若m∥n,m?α,则n∥α或n?α,故D错误.
故选:A.
5.(3分)如图1对应函数f(x),则在下列给出的四个函数中,图2对应的函
数只能是()
A.y=f(|x|)B.y=|f(x)|C.y=f(﹣|x|)D.y=﹣f(|x|)
【解答】解:由图(2)知,图象对应的函数是偶函数,故排除B,
且当x>0时,对应的函数图象右侧与左侧关于y轴对称,
而y轴左侧图象与(1)中的图象对应的函数y=f (x)的图象相同,
故当x>0时,对应的函数是y=f(﹣x),得出A,D不正确.
故选:C
6.(3分)已知实数x,y满足约束条件则的取值范围是()
A.B.C.D.
【解答】解:由实数x,y满足约束条件作出可行域如图所示的阴影
部分.
则的取值范围是斜率k的取值范围,且k PC≤k或k≤k PA.
解得A(0,1),
解得C(,﹣)
而k PA==﹣2,k PC==.
∴k或k≤﹣2,
故选:A.
7.(3分)若有5本不同的书,分给三位同学,每人至少一本,则不同的分法数是()
A.120 B.150 C.240 D.300
【解答】解:根据题意,分2步进行分析:
①,将5本不同的书分成3组,
若分成1、1、3的三组,有=10种分组方法;
若分成1、2、2的三组,有=15种分组方法;
则有15+10=25种分组方法;
②,将分好的三组全排列,对应三人,有A33=6种情况,
则有25×6=150种不同的分法;
故选:B.
8.(3分)现已知函数f(x)=x2﹣4x+1,且设1≤x1<x2<x3<…<x n≤4,若有|f
)﹣f(x n)|≤M,则M的最小(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(x n
﹣1
值为()
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:函数f(x)=x2﹣4x+1的对称轴为x=2,
∵1≤x1<x2<x3<…<x n≤4,
∴f(1)=﹣2,f(2)=﹣3,f(4)=1,
)﹣f(x n)|≤|f(1)﹣f ∴|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(x n
﹣1
(2)|+|f(4)﹣f(2)|=1+4=5,
∴M≥5,
故选:C
9.(3分)已知A,B,C是单位圆上不同的三点,O为坐标原点,若
,则=()
A.B.C.D.
【解答】解:∵A,B,C是单位圆上不同的三点,O为坐标原点,∴||=||=||=1.
由?5+13=﹣12,则25+169+130=144,?
,
由?12+13=﹣5,
则144+169+2×=25?,
则==﹣+=﹣.
故选:B
10.(3分)已知正四面体ABCD和平面α,BC?α,当平面ABC与平面α所成的二面角为60°,则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.或D.或
【解答】解:如图,设正四面体ABCD的棱长为2,过A作AO⊥底面BCD,
连接DO并延长,交BC于E,连接AE,可知∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角,
在Rt△AOE中,可得OE=,AE=,
∴cos,则sin.
设平面BCD与平面α所成的锐二面角为θ,∠AED=α,
当平面BCD与平面ABC在α异侧时,如图,
则cosθ=cos(α﹣60°)=cosαcos60°+sinαsin60°=;
当平面BCD与平面ABC在α同侧时,如图,
则cosθ=cos[180°﹣(α+60°)]=﹣cos(α+60°)
=﹣[cosαcos60°﹣sinαsin60°]=﹣()=.
∴平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为.
故选:A.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.(3分)已知角α的终边与单位圆的交点坐标为,则sinα=
,
tanα=﹣.
【解答】解:角α的终边与单位圆的交点坐标为,则x=﹣,y=,r=|OP|=1,
∴sinα==,tanα==﹣,
故答案为:,﹣.
12.(3分)若随机变量ξ的分布列为:
若,则x+y=,D(ξ)=.
【解答】解:∵,
∴由随机变量ξ的分布列,知:,
∴x+y=,x=,y=,
D(ξ)=(﹣1﹣)2×+(0﹣)2×+(1﹣)2×+(2﹣)2×=.故答案为:,.
13.(3分)如图为某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为,表面积为4+4.
【解答】解:由三视图可知几何体为四棱锥,作出直观图如图所示:
其中底面ABCD是边长为2正方形,E到底面ABCD的距离为:,
EA==2.
∴棱锥的体积V==.
棱锥的四个侧面均为正三角形,EB=ED=2,
∴棱锥的表面积S=22+4×=4+4.
故答案为:;4+4.
14.(3分)已知等比数列{a n},等差数列{b n},T n是数列{b n}的前n项和.若a3?a11=4a7,且b7=a7,则a7=4,T13=52.
【解答】解:因为{a n}为等比数列,且a3?a11═4a7,
由等比数列的性质可得a3?a11=a7?a7=4a7,所以解得a7═4,
因为{b n}为等差数列,且b7═a7═4,
所以由等差数列的前n项求和公式得:T13═13×(b1+b13)×=13××2b7=13b7=13×4=52
故答案为a7=4,T13=52.
15.(3分)若的展开式中常数项为60,则实数a的值是±2.
【解答】解:的展开式的通项
=.
由,可得(舍),由6﹣=0,得r=4.
∴的展开式中常数项为==60,解得a=±
2.
故答案为:±2.
16.(3分)过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线,
交双曲线的两条渐近线于A,B两点,若,则双曲线的离线率为
.
【解答】解:双曲线的渐近线方程为y=±x,
设双曲线上的P(m,n),则﹣=1.①
联立,解得x=,
取A(,n),
同理可得B(﹣,n).
=(﹣m,0),=(﹣﹣m,0),
由?=﹣,
可得(﹣m)(﹣﹣m)=﹣,
化为m2﹣n2=﹣,②
由①②可得=,
则e====.
故答案为:.
17.(3分)已知函数f(x)=,若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则的取值范围是[,
] .
【解答】解:作函数f(x)=的图象如右,
由图可知,x1+x2=﹣2,x3x4=1;1<x4≤2;
故=x3+=+x4,1<x4≤2;
由y=+x4在(1,]递减,(,2]递增.
故x4=取得最小值,且为2=,
当x4=1时,函数值为,当x4=2时,函数值为.
即有取值范围是[,].
故答案为:[,].
三、解答题(共5小题,满分74分)
18.(14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c2=a2+b2+ab.(1)求角C的大小;
(2)若,求△ABC的面积.
【解答】解:(1)由余弦定理可知:cosC==﹣,
由0<C<π,则C=;
(2)由sinA=,由C=,则A为锐角,
∴cosA==,
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×(﹣)+×=,
由正弦定理可知:=,则a===,
则△ABC的面积S=×absinC=×2××=,
∴△ABC的面积为.
19.(15分)如图,在四棱锥A﹣BCDE中,AC⊥平面BCDE,∠CDE=∠CBE=90°,BC=CD=2,DE=BE=1,AC=,M为AE的中点.
(1)求证:BD⊥平面AEC;
(2)求直线MB与平面AEC所成角的正弦值.
【解答】证明:(1)连结EC,BD,交于点O,
∵BC=CD=2,DE=BE=1,∴EC⊥BD,
∵AC⊥平面BCDE,BD?平面BCDE,
∴BD⊥AC,
∵EC∩AC=C,
∴BD⊥平面AEC.
解:(2)∵在四棱锥A﹣BCDE中,AC⊥平面BCDE,∠CDE=∠CBE=90°,
BC=CD=2,DE=BE=1,AC=,M为AE的中点.
∴以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,过O作AC的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,
∴BO=,EO=,CO=,
∴E(0,﹣,0),A(0,,),
M(0,,),B(,0,0),
=(,﹣,﹣),平面AEC的法向量=(1,0,0),
设直线MB与平面AEC所成角为θ,
sinθ===.
∴直线MB与平面AEC所成角的正弦值为.
20.(15分)已知函数.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)记f(x)在[﹣1,1]上的最小值为g(a),求证:当x∈[﹣1,1]时,恒有.
【解答】解:(1)f(x)=x3+|x﹣1|,
当x≥1时,f(x)=x3+x﹣1的导数为f′(x)=x2+1>0,
可得f(x)递增;
当x<1时,f(x)=x3+1﹣x的导数为f′(x)=x2﹣1,
由f′(x)>0,可得x<﹣1;由f′(x)<0,解得﹣1<x<1.
综上可得,f(x)的增区间为(1,+∞),(﹣∞,﹣1);
减区间为(﹣1,1);
(2)证明:当0<a<1时,f(x)在[﹣1,a)递减,在(a,1]递增,
可得f(x)的最小值为g(a)=f(a)=a3+1﹣a;
f(x)的最大值为f(﹣1)或f(1),
由f(﹣1)﹣g(a)﹣=a﹣﹣a3﹣1+a﹣=2a﹣a3﹣3<0恒成立;
又f(1)﹣g(a)﹣=﹣a﹣a3﹣1+a﹣=﹣a3﹣1<0恒成立;
当a≥1时,f(x)在[﹣1,1]递减,
可得f(x)的最小值为g(a)=f(1)=+a﹣1=a﹣,
最大值为f(﹣1)=a+,
则a+≤a﹣+恒成立.
综上可得当x∈[﹣1,1]时,恒有.
21.(15分)已知椭圆.
(1)若椭圆C的一个焦点为(1,0),且点在C上,求椭圆C的标准方程;
(2)已知椭圆C上有两个动点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,且OA ⊥OB,求线段|AB|的最小值(用a,b表示).
【解答】解:(1)由题意可知:椭圆的左焦点F1(﹣1,0),右焦点F2(1,0),则|PF1|+|PF2|=2a,则+=+=4=2a,
则a=2,b2=a2﹣c2=3,
∴椭圆C的标准方程为;
(2)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
则椭圆的极坐标方程为ρ2(b2cos2θ+a2sin2θ)=a2b2,
设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+),
则
|AB|2=|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+
=+
,
=[(b2cos2θ+a2sin2θ)+(b2sin2θ+a2cos2θ)](+)
=(2++)≥,
∴|AB|的最小值为.
22.(15分)已知正项数列{a n}满足a1=2,且.
<a n;
(1)求证:1<a n
+1
(2)记,求证:.
【解答】证明:(1)∵a1=2>1,成立,
假设a k>1成立,则有2a k
>1成立,即成立,
﹣1
>1,
即a k
+1
a n﹣a n﹣1===>0,
,
∴a n>a n
+1
<a n.
∴1<a n
+1
(2)=
=
=
=(a n﹣a n+1)?﹣(),
∵=<,
>2(),
)﹣3()+2()
∴原式<2(a n﹣a n
+1
<
=3[()﹣()],
∴b 1+b2+b3+…+b n<3[()﹣()+()﹣()+…+()﹣()
=3[]
<3()
=3(2﹣)=6﹣3,
∴.