线性代数期末试卷一
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
（5）设矩阵210120001?? ?
= ? ???
A ，矩阵
B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是
单位矩阵，则||=B __________.
解：||=B 1
9
.
显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得
36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式
03
03
0||3003
=-B
故 1||9
=
B . 方法二：因||3=A ，则*31
||||9-==A A
将**
2=+ABA BA E 移项得 *
(2)-=A E BA E 两端取行列式得
1||91??=B ，故1||9
=B .
二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为
（A ）010100.101?? ? ? ??? （B ）010101001?? ? ? ???. （C ）010100011?? ? ? ???. （D ）011100001?? ?
? ???
.
解：（D ）正确. 由题意
12=AE B ，其中12010100001??
?
= ? ???
E 为第一种类型初等矩阵，
23(1)=BE C ，其中23100(1)011001?? ?
= ? ???
E 为第三种类型初等矩阵.
于是有 1223(1)==AE E C AQ
则 1223010100011(1)100011100001001001?????? ??? ?
=== ??? ? ??? ???????
Q E E
与所给答案比较，选（D ）.
（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有 （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.
设A 为m n ?矩阵，B 为n p ?矩阵，
因为 =AB 0
故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.
又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n 因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）. 取101000??= ???A ，100110?? ? = ? ? -?? B ，则0000??= ???AB ， 由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误. 取101010-??= ???A ，100110?? ? = ? ? -?? B ，则0000??= ???AB ， 由A 的行向量组线性无关知（C ）错误. 三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组 121212(1)0, 2(2)20,(2)()0, n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=??++++=?≥???++++=?L L L L L 试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000a a a a a n n n n a na a ++???? ? ?+- ? ? =→= ? ? ? ? ? ?+-???? A B L L L L L L L L L L . 当0a =时，()1r n = 120n x x x +++=L ， 由此得基础解系为 T T T 121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ， 于是方程组的通解为 1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有 (1)11110 00221 002100.00 100 1n n a a n n +? ? ++?? ? ? ?- ?-→→ ? ? ? ? ? ?- ?? ?-? ? B L L L L L L L L L L 可知(1) 2 n n a +=- 时，()1r n n =- 120,30,0, n x x x x nx x -+=??-+=????-+=?M 由此得基础解系为 T (1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为 x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为 111112222 (1)||.2n a a n n a a n n n n a -+++? ?= =+ ??? +A L L L L L 当||0=A ，即0a =或(1) 2 n n a +=-时，方程组有非零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 1111111122220000,0000n n n n ???? ? ? ? ?=→ ? ? ? ? ? ????? A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为 120,n x x x +++=L 由此得基础解系为 T T T 121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ， 于是方程组的通解为 1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当(1) 2 n n a +=- 时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000 a a a a a n n n n a na a ++???? ? ?+- ? ?=→ ? ? ? ? ? ?+-???? A L L L L L L L L L L . 1111000021 002100.00 10 1a n n +???? ? ?-- ? ?→→ ? ? ? ? ? ?--? ??? L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为 1213 120, 30,0, n x x x x nx x -+=??-+=????-+=?M 由此得基础解系为 T (1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为 x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分） 设矩阵12314315a -?? ? =-- ? ??? A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化. 解：A 的特征多项式为 1 2322014 3 14 3 1 515 a a λλλ λλλλ-----=------- 1 1 01 0(2)14 3 (2)13 3 1 5 115 a a λλλλλλ-=--=--------- 2 (2)(8183)a λλλ=--++. 若2λ=是特征方程的二重根，则有2 2161830a -++=，解得2a =-. 当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-?? ? -=- ? ?--?? E A 的秩为1，故2λ=对应的 线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化. 若2λ=不是特征方程的二重根，则2 8183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得 2 3 a=-. 当 2 3 a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵 323 4103 2 11 3 ?? ? - ? -= ? ? -- ? ?? E A的秩为2，故4 λ=对应的 线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化. 线性代数期末试卷二 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.） （6）同数学（一）一、（5）. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.） （13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）. 三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组 12341234 12341234(1)0, 2(2)220,33(3)30,444(4)0, a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=??++++=??++++=??++++=? 试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有 111111112222200.33333004444400a a a a a a a a a a a ++???? ? ?+- ? ?=→= ? ?+- ? ? ? ?+-???? A B 当0a =时，()14r = 由此得基础解系为 T T T 123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη， 于是所求方程组的通解为 112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时， 11111000021002100,3010301040014001a a ++???? ? ?-- ? ?→→ ? ?-- ? ? ? ?--???? B 可知10a =-时，()34r = 121314 20,30,40,x x x x x x -+=?? -+=??-+=? 由此得基础解系为 T (1,2,3,4)=η， 于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式 311112222||(10)33334 4 4 4a a a a a a ++= =+++A . 当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111 1112 2220 0003333 000044450000???? ? ? ? ? =→ ? ? ? ? ? ????? A ， 故方程组的同解方程组为 12340.x x x x +++= 其基础解系为 T T T 123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη， 于是所求方程组的通解为 112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有 911 1911 12 82220 1000337330 010******* 0010--???? ? ? -- ? ? =→ ? ? -- ? ? ? ?--????A 911100 002 10021 00301030 1040 0140 01-???? ? ?-- ? ? →→ ? ? -- ? ? ? ?--? ??? ， 故方程组的同解方程组为 21314 12, 3,4, x x x x x x =?? =??=? 其基础解系为T (1,2,3,4)=η， 于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分） 同数学（一）三、（21）. 线性代数期末试卷三 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （4）二次型222 123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________. 解：秩为 2 . 222 123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222 123121323222222x x x x x x x x x =++++- 于是二次型f 的表示矩阵为 211121112?? ? =- ? ?-?? A 易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2. 二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有 （A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确. 因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B 故 ||||||||=B P A Q 当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确. 当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误. 当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确. 当,A B 相似时，（A ）才正确. （13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵* ≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系. （A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确. 因* =A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于* A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成， 故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A . 现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾. 由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0 的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误. 尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确. 三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题分13分） 设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T (1,3,3)=-β. 试讨论当,a b 为何值时， （I ）β不能由123,,ααα线性表示； （II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式； （III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得 112233k k k ++=αααβ. （*） 记123(,,)=A ααα. 对矩阵()A β施以初等行变换，有 1111()22230323a b a a b -?? ?=+-- ? ?-+-??A β111101000a b a b -?? ? →- ? ?-?? . （I ）当0,a b =为任意常数时，有 1111()0010001b -?? ? =- ? ?-?? A β. 可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示. （II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 12311 1,,0,k k k a a =- == 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为 1211 (1)a a =-+ βαα. （III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有 110011()011 .0000a a ? ?- ? ? ?=- ? ? ? ??? A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为 12311 1,(),k k c k c a a =-=+=，其中c 为任意常数. β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为 1231 1(1)()c c a a =-+++βααα. （21）（本题满分13分） 111b b b b b b ?? ? ?= ? ? ?? ? A L L M M M L . （I ）求A 的特征值和特征向量； （II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1o当0b ≠时， 1 1||1 b b b b b b λλλλ-------= ---E A L L M M M L 1 [1(1)][(1)] n n b b λλ-=-----. 故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L . 对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则 1111[1(1)]1b b b b n b b b ?? ? ?=+- ? ? ??? ξξL L M M M L ， 解得T 1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为 T 1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）. 对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由 1110 00(1)0 00b b b b b b b b b b ---???? ? ?--- ? ?--=→ ? ? ? ? ? ?---? ??? E A L L L L M M M M M M L L ， 解得基础解系 T 2(1,1,0,,0)=-ξL ， T 3(1,0,1,,0)=-ξL ， … … T (1,0,0,,1)n =-ξL . 故全部特征向量为 2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2o当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1o当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1 diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2o当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E . 注：T 1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出. 线性代数期末试卷四 一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.） （4）设1 010100,001--?? ?== ? ?-??A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001?? ? ? ?-?? . 由010100001-?? ?= ? ?-??A 得2100010001-?? ? =- ? ???A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E . 由1-=B P AP 得2004 12004-==B P A P E 于是 2004 2210020030022010020030001002001-?????? ? ? ?-=-=--= ? ? ? ? ? ?-?????? B A E A . （5）设33()ij a ?=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是 __________. 解：T (1,0,0). 在方程=Ax b 两端左乘T A T T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ?????? ??? ?=== ??? ? ??? ???????x A b 将 12131a a ?? ? = ? ??? x 代回=Ax b 有 2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ?????? ??? ? = ??? ? ??? ??????? 由此得 22 121311a a ++= 因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100?? ? = ? ??? x . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （12）同数学（三）二、（12）. 三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题满分13分） 设线性方程组 123412341 2340, 220,3(2)(4)41, x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=?? +++=??+++++=? 已知T (1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求 （I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （II ）该方程组满足23x x =的全部解. 解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102 112032441λλλλ?? ?= ? ?++??A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---?? ? → ? ?---?? （I ）当1 2λ≠时，有 1001011 010.221100122?? ? ? ?→- - ? ? ? ??? A 因()()34r r == T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22 k =-+--ξ， 其中k 为任意常数. 当1 2 λ=时，有 11101220131100000? ?-- ? ? → ? ? ??? A .