江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试
高三数学试卷（理）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．
（必做题部分）
一、填空题（每小题5分，共70分）
1、已知集合{}A |3|1x x =-≤，{}
2B 540x x x =-+≥，则A B = ▲ ． 2、已知a ，b ，c R ∈，命题“若3=++c b a ，则2
2
2
c b a ++≥3”的否命题是______▲_____． 3、若)12
7cos(,31)12sin(π
απ
α+=+
则的值为 ▲ . 4、函数()f x ln x x =-2单调递减区间是 ▲ ．
5、已知|a |=2，|b |=3，a 和b 的夹角为45°，若向量(λa + b )⊥(a +λb )，则实数λ的值
为 ▲ ．
6、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有()()f x f x =+4，当
(,)x ∈-20时，()x f x =2，则()()f f -20122013＝ ▲ ．
7、设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则n a = ▲ ． 8、已知命题p
：()f x =在(]0,∞-∈x 上有意义，命题q ：函数
2lg()y ax x a =-+的定义域为R ．如果p 和q 有且仅有一个正确，则a 的取值范围
▲ ．
9、设函数sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设线段
AB 的长为()f x ，则函数()f x 单调递增区间 ▲ ．
10、当102x ≤≤时，31
|2|2
ax x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
11、已知存在实数a ，满足对任意的实数b ，直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线，则实数a 的取值范围是 ▲
12、设x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为___▲_____．
13、设实数1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[],x a a ∈3，都有[,]y a a ∈2满足方程c y x a a =+log log ，这时，实数a 的取值的集合为 ▲ ． 14、已知函数⎩
⎨
⎧>+-≤-=)0(1)1()
0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺
序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝ ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c
＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a 与2b c -
垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求b c +
的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b
.
16、(本题满分14分)
已知函数12
(log )()1
a a
f x x x a -=
--，其中0a >且1a ≠. （1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
（2）对于函数()f x ，当(1,1)x ∈-时，2(1)(1)0f m f m -+-<，求实数m 的取值范围； （3）当(,2)x ∈-∞时，()6f x -的值恒为负数，求函数a 的取值范围.
17、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2,1,2,3,n a n -=…． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （III ）设(3)n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB 为直径的半圆，点O 为圆心，下部分是以AB 为斜边的等腰直角三角形，DE 、
DF 是两根支杆，其中AB ＝2 m ，∠EOA ＝∠FOB ＝2x (0＜x ＜π
4
)．现在弧EF 、线段DE 与线
段DF 上装彩灯，在弧AE 、弧BF 、线段AD 与线段BD 上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k ，节能灯的比例系数为k (k ＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和．
(1) 试将y 表示为x 的函数；
(2) 试确定当x 取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？
19．（本小题满分16分） 已知函数x x x x f 323
1)(23
+-=
（R x ∈）的图象为曲线C ． （1）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐
标的取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的
所有直线方程；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知数列{}n a ，{}n b 满足：()1*n n n b a a n N +=-∈． （1）若11,n a b n ==，求数列{}n a 的通项公式； （2）若()112n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．
①记()611n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为等差数列；
②若数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a 应满足
的条件．
