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大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(
0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .
(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.
2. )
时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x
x βα.
(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()
x x αβ与是等价无穷小;
(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.
3. 若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且
'>()0f x ,则( ).
(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;
(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.
)
(
)( , )(2)( )(1
=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设
(A )22x (B )2
2
2x +(C )1x - (D )2x +.
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =
+→x
x x sin 2
)
31(l i m .
6. ,)(cos 的一个原函数是已知
x f x
x
=⋅
⎰x x
x
x f d cos )(则
.
7.
lim
(cos cos cos )→∞
-+++=2
2
2
21
n n n
n
n
n π
π
ππ .
8. =
-+⎰
2
12
12
211
arcsin -
dx x
x x .
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17
7
x x x x ⎰+-求
11. .
求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32
)(1020
)(dx x f x x x x xe x f x
12. 设函数)(x f 连续,=⎰1
0()()g x f xt dt
,且→=0
()
lim
x f x A x ,A 为常数. 求
'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.
13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解.
四、 解答题(本大题10分)
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点
M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围
成平面图形D.
(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V .
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)
16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且
)(0
=⎰π
x d x f ,
cos )(0
=⎰π
dx x x f .
证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提
示:设
⎰=
x
dx
x f x F 0
)()()
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
5. 6
e . 6.c x x +2
)cos (21 .7. 2π. 8.3π.
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导
(1)c o s ()()x y
e y xy xy y +''++
+= cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==,(0)1y '=-
10. 解:7
67u x x dx du ==
1(1)112
()7(1)71u du du
u u u u -==-++⎰⎰原式 1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11. 解:1
01
23
3
()2x f x dx xe dx x x dx
---=+-⎰⎰⎰
1
23
()1(1)x
xd e x dx
--=-+--⎰⎰
00
2
32
cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰
令
321
4e π
=
--
12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
===
⎰⎰1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
2
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠⎰
2
()()A
(0)lim
lim
22x x x f u du
f x
g x x →→'===⎰
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A g x A x
→→-'==-
=
⎰,'()g x 在=0x 处连续。
13. 解:2
ln dy y x dx x +=
22
(ln )dx dx x x y e e xdx C -
⎰⎰=+⎰ 2
11
ln 39x x x Cx -=-+
1
(1),09y C =-=,
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题(本大题10分)
14. 解:由已知且0
2d x
y y x y
'=+⎰,
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程:022
=--r r
解出特征根:.2,121=-=r r
其通解为
x x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=,得
31,3221==
C C
故所求曲线方程为:x
x e e y 23132+=-
五、解答题(本大题10分)
15. 解:(1)根据题意,先设切点为)ln ,(00x x ,切线方程:)
(1
ln 000x x x x y -=-
由于切线过原点,解出e x =0,从而切线方程为:
x
e y 1= 则平面图形面积
⎰-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
(2)三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1,则
2131
e V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
⎰-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6221+-=
-=e e V V V π
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)
16. 证明:1
()()q
f x d x q f x dx -⎰⎰1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰
1
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--⎰⎰
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有:
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
证毕。
17.
证:构造辅助函数:π
≤≤=⎰x dt t f x F x
0,)()(0。其满足在],0[π上连续,在)
,0(π上可导。)()(x f x F =',且0)()0(==πF F 由题设,有
⎰⎰⎰⋅+===π
π
π
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ,
有⎰=π
0sin )(xdx x F ,由积分中值定理,存在),0(πξ∈,使0sin )(=ξξF 即
0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理,知存在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈,使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ,即0)()(21==ξξf f .
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的 无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
页眉内容 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()() x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =⋅ ⎰x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+⎰ 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ⎰+-求
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的 无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
大一上学期高数期末 考试 欧阳光明(2021.03.07) 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '=(B )(0)1f '=(C )(0)0f '=(D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B )()() x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小;(D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()02x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则(). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 (A )22 x (B ) 2 22x +(C )1x -(D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 4. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 5. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则. 6. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ. 7. = -+? 2 1 2 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f ( )(0)2f '= ( )(0)1f '=( )(0)0f '= ( )()f x 不可导 )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα ( )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; ( )()()x x αβ与是等价无穷小; ( )()x α是比()x β高阶的无穷小; ( )()x β是比()x α高阶的无穷小 若 ()()()02x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ) ( )函数()F x 必在0x =处取得极大值; ( )函数()F x 必在0x =处取得极小值; ( )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; ( )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 ( )22x ( )2 2 2x +( )1x - ( )2x + 二、填空题(本大题有 小题,每小题 分,共 分) = +→x x x sin 2 ) 31(lim ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则
lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x 三、解答题(本大题有 小题,每小题 分,共 分) 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .d )1(17 7 x x x x ?+-求 . 求,, 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 设函数)(x f 连续, =?1 ()()g x f xt dt ,且→=0 () lim x f x A x ,A 为常数 求'()g x 并讨论 '()g x 在=0x 处的连续性 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解 四、 解答题(本大题 分) 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点 M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的 倍 与该点纵坐标之和,求此曲线方程 五、解答题(本大题 分) 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及 轴围成平面图形 求 的面积 ; 求 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题(本大题有 小题,每小题 分,共 分)
大一高等数学期末考试试卷及答案详解 一、选择题 1. 该题为微分求导题,考察对基本微分法则的掌握。 解答:根据指数函数的求导法则,对指数函数f(x)进行求导,得到f'(x)=3x^2。将x=2代入f'(x),得到f'(2)=3×2^2=12。因此,选项C为正确答案。 2. 该题为函数极值题,考察对函数极值点的判断和求解。 解答:首先计算函数f(x)的导函数f'(x)。根据导数定理,函数在极值点处的导数为0。将f'(x)=2x-3=0,求解得到x=3/2。接下来通过二阶导数的符号判断极值类型。计算f''(x)=2,由此可知二阶导数恒为正,故x=3/2是函数f(x)的极小值点。因此,选项A为正确答案。 3. 该题为定积分计算题,考察对定积分的理解和计算。 解答:根据定积分的定义,将被积函数f(x)=2x在区间[1,3]上进行积分,即∫(1->3) 2x dx。对函数f(x)进行不定积分,得到F(x)=x^2+C。将上限3代入不定积分结果,再减去下限1代入不定积分结果,得到∫(1->3) 2x dx=F(3)-F(1)=(3)^2+C-(1)^2+C=9+C-1-C=8。因此,选项B为正确答案。 4. 该题为二重积分计算题,考察对二重积分的理解和计算。 解答:首先对被积函数f(x,y)=x+2y进行内积分,得到 f_1(y)=xy+2y^2/2=x(y+y^2)。接下来对内积分结果进行外积分,即对
f_1(y)在区间[0,1]上积分,得到∫(0->1) x(y+y^2) dy。先对y进行积分,得到∫(0->1) (xy+xy^2) dy=x/2 + x/3=5x/6。因此,选项C为正确答案。 二、填空题 1. 该题为极限计算题,考察对极限的求解。 解答:将x趋近于无穷大时,分子和分母的最高次项均为x^4,根据极限的最高次项的性质,可以将该极限简化为计算3/(-2)= -3/2。因此,空格中应填入-3/2。 2. 该题为导数计算题,考察对反函数求导的理解和计算。 解答:首先求出函数f(x)=e^x的导函数,得到f'(x)=e^x。根据反函数求导的公式,可以得到f^(-1)'(x)=1/f'(f^(-1)(x))。代入f(x)=e^x,得到f^(-1)'(x)=1/(e^x)。因此,空格中应填入1/(e^x)。 三、解答题 1. 该题为二阶导数计算题,考察对多次求导的掌握。 解答:首先对原函数f(x)=4x^3-3x去求导,得到f'(x)=12x^2-3。再对f'(x)求导,得到f''(x)=24x。因此,原函数f(x)的二阶导数为 f''(x)=24x。 2. 该题为函数极限计算题,考察对函数极限的求解和极限性质的使用。 解答:首先对给定函数进行变换,令t=1/x。当x趋近于0时,t趋近于无穷大。将原极限转化为t趋近于无穷大时,函数ft的极限。代入
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷(1) 课程名称:高等数学(上) 考试方式:闭卷 完成时限:120分钟 班级: 学号: 姓名: 得分: 一、填空(每小题3分,满分15分) 1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 0 2.设 f''(-1) = A,则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A 3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 4
4.已知 f(x) 连续可导,且 f(x)。0,f(0) = 1,f(1) = e,f(2) = e,∫f(2x)dx = 1/2ex,则 f'(0) = 1/2 5.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x),则 f'(0) = 1 二、单项选择(每小题3分,满分15分) 1.函数 f(x) = x*sinx,则 B 选项为正确答案,即当x → ±∞ 时有极限。 2.已知 f(x) = { e^x。x < 1.ln x。x ≥ 1 },则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在,答案为 D。 3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。1/(2e)),答案为 C。 4.下列广义积分中发散的是 A 选项,即∫dx/(x^2+x+1)在 区间 (-∞。+∞) 内发散。 5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。+∞) 内可导,且 f(x) < g(x),则必有 B 选项成立,即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题(每小题7分,共56分) 1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx) lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosx lim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosx lim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x) 应用洛必达法则) 2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/x lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)} lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))} lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))} lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()() x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =⋅ ⎰x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+⎰ 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ⎰+-求
大一高等数学期末考试试卷 (一) 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0 x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3 分)定积分 22 π π - ⎰的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为2 3x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=⎰ . 3. (3分)2 1 lim sin x x x →= . 4. (3分)3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6 分)设y =求.y ' 3. (6分)求不定积分2 ln(1).x x dx +⎰ 4. (6分)求 3 (1),f x dx -⎰ 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪ =+⎨⎪+>⎩
5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=⎰ ⎰所确定,求.dy 6. (6分)设 2 ()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰ 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞⎛ ⎫+ ⎪⎝⎭ 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 2 2y x x π π⎛⎫=- ≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. (7分)求曲线32 32419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰ ⎰ (二) 一、 填空题(每小题3分,共18分) 1.设函数()2 31 22+--=x x x x f ,则1=x 是()x f 的第类间断点. 2.函数( )2 1ln x y +=,则='y . 3.= ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 21lim . 4.曲线x y 1= 在点⎪⎭ ⎫ ⎝⎛2,21处的切线方程为. 5.函数2 3 32x x y -=在[]4,1-上的最大值,最小值 . 6.=+⎰dx x x 2 1arctan . 二、 单项选择题(每小题4分,共20分)
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及 答案 高等数学I(大一第一学期期末考试题及答案) 1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时, $\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。 2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。 3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续,则 $a=e^{-1}$。 4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导,则 $f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。 5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。
6.确定函数 $y(x)$,使得 $y(x)$ 的导函数为 $y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$,则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。 7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x- 3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。 8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(- \infty,0)\cup(1,+\infty)$。 9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$,结果为 $-1/2$。 10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,则 $F(x)=\int_a^x(x- t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。 11.计算积分 $\int\dfrac{x\cos x}{3\sin^2 x}dx$,结果为 $- \dfrac{x}{3\sin x}+\ln|\sin x|+C$。
大一上学期高数期末考试之吉白夕 凡创作 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不成导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B ) ()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导 且'>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 (A )22 x (B ) 2 22x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 4. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 5. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =⋅ ⎰x x x x f d cos )(则 . 6. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 7. = -+⎰ 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A)(0)2f '= (B)(0)1f '=(C)(0)0f '= (D)()f x 不可导。 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C)()x α是比()x β高阶的无穷小; (D)()x β是比()x α高阶的无穷小。 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( )。 (A)函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D)函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B)2 2 2x +(C )1x - (D)2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ⋅⎰x x x x f d cos )(则 。 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ 。 8. = -+⎰ 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y 。 10. .d )1(17 7 x x x x ⎰+-求
大一(第一学期)高数期末考试题及答案 LT
解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. 6 e . 6.c x x +2 )cos (21 .7. 2π. 8.3π. 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导 (1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos() ()cos()x y x y e y xy y x e x xy +++'=-+ 0,0x y ==,(0)1y '=- 10. 解:7 67u x x dx du == 1(1)112 ()7(1)71u du du u u u u -==-++⎰⎰原式 1 (ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712 ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:1 023 3 ()2x f x dx xe dx x x dx ---=+-⎰⎰⎰ 023 ()1(1)x xd e x dx --=-+--⎰⎰ 02 32 cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令 321 4e π = -- 12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。 === ⎰⎰1 ()()()x xt u f u du g x f xt dt x (0)x ≠ 02 ()()()(0) x xf x f u du g x x x -'= ≠⎰ 2 ()()A (0)lim lim 22x x x f u du f x g x x →→'===⎰
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0,(),0 x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3 分)定积分22 ππ-⎰的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. (3分) 201lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. (6 分)设2,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +⎰ 4. (6分)求3 0(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩
5. (6分)设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰ 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 2 2y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰ 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →⋅= 5分 53 = 1分 2 解 22l n l n l n (1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分
第一学期期末考试试卷(1) 课程名称: 高等数学(上) 考试方式: 闭卷 完成时限:120分钟 班级: 学号: 姓名: 得分: . 一、填空(每小题3分,满分15分) 1、x x x x 2 sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(,则=--'--'→h h f f h ) 12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t t e y e x 2在0=t 处切线方程的斜率为 4、已知)(x f 连续可导,且2 )2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>,='⎰1 0)2() 2(dx x f x f 5、已知21)(x e x f x +=,则='')0(f 二、单项选择(每小题3分,满分15分) 1、函数x x x f sin )(=,则 ( ) A 、当∞→x 时为无穷大 B 、当∞→x 时有极限 C 、在),(+∞-∞内无界 D 、在),(+∞-∞内有界 2、已知⎩ ⎨⎧≥<=1,ln 1 ,)(x x x e x f x ,则)(x f 在1=x 处的导数( ) A 、等于0 B 、等于1 C 、等于e D 、不存在 3、曲线x xe y -=的拐点是( ) A 、1=x B 、2=x C 、),1(1-e D 、)2,2(2 -e 4、下列广义积分中发散的是( ) A 、⎰1 0sin x dx B 、⎰-101x dx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、 ⎰ +∞ 2 2ln x x dx 5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导,)()(x g x f <,则必有( ) A 、 )()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'