2019年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i
2．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}
3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分
别为m和n，则m﹣n=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）
A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等
5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）
A．l1⊥l4B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定
8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）
A．60 B．90 C．120 D．130
二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）
9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．
10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为．
11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个
数的中位数是6的概率为．
12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= ．
13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= ．
（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1
建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．
【几何证明选讲选做题】
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．
17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25，30]30.12
（30，35]50.20
（35，40]80.32
（40，45]n1f1
（45，50]n2f2
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．
18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．
19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{a n}的通项公式．
20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率
为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．
2019年广东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i
【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．
【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，
故选：A．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，
∴M∪N={﹣1，0，1，2}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分
别为m和n，则m﹣n=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，
直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，
则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的
（）
A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等
【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．
【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，
即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，
即两个双曲线的焦距相等，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．
5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．
【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），
A．若=（﹣1，1，0），则cosθ＝=，不满足条件．B．若=（1，﹣1，0），则cosθ＝==，满足条件．
C．若=（0，﹣1，1），则cosθ＝=，不满足条件．D．若=（﹣1，0，1），则cosθ＝=，不满足条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本
题的关键．
6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该
地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近
视人数．
【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，
∴样本容量=10000×2%=200，
分层抽样抽取的比例为，
∴高中生抽取的学生数为40，
∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20．
故选：A．
【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键．
7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）
A．l1⊥l4B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定
【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定．
【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，
又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．
故A、B、C错误．
故选：D．
【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，
在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．
8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）
A．60 B．90 C．120 D．130
【分析】从条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．
【解答】解：由于|x i|只能取0或1，且“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
①x i中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；
②x i中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；
③x i中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．
∴总共方法数是++=130．
即元素个数为130．
故选：D．
【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分
类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想
方法．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）
9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，
或③．
解①求得x≤﹣3，解②求得x∈?，解③求得x≥2．
综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y=﹣5x+3．．【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程．
﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，
【解答】解；y′＝
∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3．
故答案为：y=﹣5x+3
【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题．
11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个
数的中位数是6的概率为．
【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论
【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，
若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序
进行排列的．比较基础．
12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 ．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导
公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．
【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，
∵sin（B+C）=sinA，
∴sinA=2sinB，
利用正弦定理化简得：a=2b，
则=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= 50 ．
【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．
【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，
∴a10a11=e5，
∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…ａ20）=ln（a10a11）10
=ln（e5）10=lne50=50．
故答案为：50．
【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．
（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．
【分析】首先运用x=ρcosθ
，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方
，y=ρsinθ
程组，解之求交点坐标．
【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ
，
，即为ρ2sin2θ=ρcosθ
化为普通方程为：y2=x，
，化为普通方程为：y=1，
曲线ρsinθ=1
联立，
即交点的直角坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题
【几何证明选讲选做题】
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= 9 ．
【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，
∴=，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△CDF∽△AEF，
∴=（）2=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．
【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ
的值，从而求得f（﹣θ）的值．
的值，再由θ∈（0，），求得sinθ
【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
∴Asin（+）=Asin=A?=，
∴A=．
（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），
∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ＝cosθ＝，∴cosθ＝，再由θ∈（0，），可得sinθ＝．
∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ＝．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中
档题．
17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到
样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25，30]30.12
（30，35]50.20
（35，40]80.32
（40，45]n1f1
（45，50]n2f2
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．
【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；
（3）利用对立事件可求概率．
【解答】解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；
（2）频率分布直方图：
（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，
已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，
∴P（A）==，
∴P（）=1﹣P（A）=，
∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为．【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题．
18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．
【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；
（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算
即可．
【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC，
∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；
（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，
∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，
∴DF=，AF==，
∴CF==，又FE∥CD，
∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，
0）
设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，
∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），
由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），
设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，
cosθ＝
|cos＜，＞|===
∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：
【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确
求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．
19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{a n}的通项公式．
【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数
学归纳法证明．
【解答】解：（1）由S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：
S2=4a3﹣20 ①
又S3=S2+a3=15 ②
联立①②解得：a3=7．
再在S n=2na n+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：
a1=2a2﹣7 ③
又S3=a1+a2+7=15 ④
联立③④得：a2=5，a1=3．
∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7；
（2）∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1．
由此猜测a n=2n+1．
下面由数学归纳法证明：
1、当n=1时，a1=3=2×1+1成立．
2、假设n=k时结论成立，即a k=2k+1．
那么，当n=k+1时，
由S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，得，
，
两式作差得：．
∴
==2（k+1）+1．
综上，当n=k+1时结论成立．
∴a n=2n+1．
【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题．
20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．
（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1?k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程．
【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为+=1．
（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，
②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，
+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，
∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，
整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，
∴﹣1=k1?k2==﹣1，
∴x02+y02=13．
把点（±3，±2）代入亦成立，
∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．
21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．
（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．
【解答】解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，
要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，
即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，
则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，
∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，
由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，
由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，
综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）．
（2）f′（x）==
=﹣，
由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0
解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x ＜﹣1+，
即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），
同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）．
（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，
∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0
即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，
∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，
∵k＜﹣6，
∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），
∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），
且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使
f（x）＞f（1）的集合为：
（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ) 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共1２小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.设集合Ｍ={0,1,2},N={}2|320x x x -+≤,则M N ?=( ) A ． {1} B. {2｝ C. ｛０，1} D. ｛1,2} 【答案】D 【解析】 把M={0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。所以选D. 2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） Ａ． - ５ Ｂ. ５ C ． - 4+ i D. － 4 - i 【答案】Ｂ 【解析】 . ,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+= 3.设向量a,b 满足｜ａ+b a-b ｜ a ? b = ( ) A ． 1 B ． 2 C. 3 D. 5 【答案】Ａ 【解析】 . ,1,62-102∴,6|-|,10||2 222A b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+ 4.钝角三角形AB Ｃ的面积是12 ,AB ＝ ，则AC=( ) A. ５ B. C ． 2 D. 1 【答案】B 【解】
. .5,cos 2-4 3π ∴ΔABC 4π .43π,4π∴, 22 sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。 为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======???== 5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0．６，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ) Ａ. ０.８ B. 0．75 C. ０.6 D. 0.45 【答案】 A 【解析】 . ,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=?= 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3ｃm ，高为６cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) Ａ. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13 【答案】 C 【解析】 ..27 10 π54π34-π54π.342π944.2342π. 546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为== ∴=?+?=∴=?=∴π 7.执行右图程序框图,如果输入的ｘ,t 均为2,则输出的S= ( ） A. 4 B. 5 Ｃ. ６ D. 7 【答案】 C 【解析】
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3） 2．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（） A．1 B．C．D．2 3．（5分）（2016?新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97 4．（5分）（2016?新课标Ⅰ）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（） 《 A．B．C．D． 5．（5分）（2016?新课标Ⅰ）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距 离为4，则n的取值范围是（） A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，） 6．（5分）（2016?新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 7．（5分）（2016?新课标Ⅰ）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）
A．B．C． D． 8．（5分）（2016?新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（） A．a c＜b c B．ab c＜ba c : C．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c 9．（5分）（2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 10．（5分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 理科数学 解析人 跃华 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合{}{} 131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=U A B x x D ．A B =?I 【答案】A 【解析】{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=< ∴{}0A B x x =
3. 设有下面四个命题（） 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ． A ．13p p ， B ．14p p ， C ．23p p ， D ．24p p ， 【答案】B 【解析】1:p 设z a bi =+，则 2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确； 3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复 数，故3p 不正确； 4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确； 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】45113424a a a d a d +=+++= 6165 6482 S a d ?=+ = 联立求得11 272461548a d a d +=???+=??① ② 3?-①②得()211524-=d 624d = 4d =∴ 选C 5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的 x 的取值围是（） A ．[]22-， B ．[]11-， C ．[]04， D ．[]13， 【答案】D 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=， 于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤ 3x ∴1≤≤ 故选D
2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3 页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位 置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 2 {|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3) 2 （2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1（B C D ）2
（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）（B ）（C ）（D ） （5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 （A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π （7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为 ）（B ）
·江西卷(理科数学) 1.[2019·江西卷] z 是z 的共轭复数， 若z ＋z ＝2， (z －z )i ＝2(i 为虚数单位)， 则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算 【考查方式】给出共轭复数和复数的运算， 求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易 【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ， b ∈R )， 则z ＝a －b i ， 所以2a ＝2， －2b ＝2， 得a ＝1， b ＝－1， 故z ＝1－i. 2.[2019·江西卷] 函数f (x )＝ln(2 x －x )的定义域为( ) A.(0， 1] B.[0， 1] C.(－∞， 0)∪(1， ＋∞) D.(－∞， 0]∪[1， ＋∞) 【测量目标】定义域 【考查方式】根据对数函数的性质， 求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由2 x －x >0， 得x >1或x <0. 3.[2019·江西卷] 已知函数f (x )＝|| 5x ， g (x )＝2 ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1， 则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数 【考查方式】给出两个函数， 求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易 【试题解析】由g (1)＝a －1， 由()1f g ????＝1， 得|1| 5 a －＝1， 所以|a －1|＝0， 故a ＝1. 4.[2019·江西卷] 在△ABC 中， 内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c .若2 2 ()c a b ＝－＋6， C ＝π 3 ， 则△ABC 的面积是( ) A.3 D.【测量目标】余弦定理， 面积 【考查方式】先利用余弦定理求角， 求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab +-＝262ab ab -＝12， 所以ab ＝6， 所以ABC S V ＝1 sin 2 ab C . 5.[2019·江西卷] 一几何体的直观图如图所示， 下列给出的四个俯视图中正确的是( )
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题，本题共12小题，每小题5份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设i i i z 211++-=，则=z A.0 B. 2 1 C.1 D.2 2. 已知集合{ } 02|2 >--=x x x A ，则=A C R A. {}21|<<-x x B.{}21|≤≤-x x C.{}{}2|1|>- 线方程为 A.x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y = 6.在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB A.AC AB 4143- B.AC AB 43 41- C.AC AB 4143+ D.AC AB 4 341+ 7.某圆柱的高为2，地面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A.172 B.52 C.3 D.2 8.设抛物线x y C 4:2 =的焦点为F ，过点()0,2-且斜率为 3 2 的直线与C 交于N M ,两点，则=?FN FM A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数()()()a x x f x g x x x e x f x ++=?? ?>≤=,0 ,ln 0 ,，若()x g 存在2个零点，则a 的取值范围是 A.[)0,1- B.[)+∞,0 C.[)+∞-,1 D.[)+∞,1 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AC AB ,，ABC ?的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为321,,p p p ，则 A B 2019年高考数学试题整体分析 1.试题突出特色： “突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力，综合运用数学思维方法 分析问题、解决问题的能力。”2019年高考数学卷一个突出的特点是，试题突出 学科素养导向，注重能力考查，全面覆盖基础知识，增强综合性、应用性，以反映 我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会 实际，在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务。 2.试题考查目标： （1）素养导向，落实五育方针 2019年高考数学科结合学科特点，在学科考查中体现五育要求，整份试卷 站在落实“五育”方针的高度进行整体设计。理科Ⅰ卷第4题以著名的雕塑 “断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。文 科Ⅰ 卷第17题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡 导高质量的劳动成果。理科Ⅰ卷第（15）题引入了非常普及的篮球运动，以其 中普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，要求考生应用数学 方法分析、解决体育问题。这些试题在考查学生数学知识的同时，引导学生加 强体育锻炼，体现了对学生的体育教育。（2）突出重点，灵活考查数学本质2019年高考数学试题，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基 础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和 逻辑推理能力。固本强基，夯实发展基础。理科（4）题源于北师大版必修五67页；理科（22）题源于北师大版4-4第53页；理科（16）和华师大附中五月押题卷（14）几乎一模一样。理科（21）题可视为2011清华大学七校联考自主招生考试 题的第15题改编。题稳中有变，助力破解应试教育。主观题在各部分内容的布局 和考查难度上进行动态设计，打破了过去压轴题的惯例。这些改革释放了一个明显 的信号：对重点内容的考查，在整体符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下，在各部分内容的布局和考查难度上都可以进行调整和改变，这在一定程度上有 助于考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重 点知识和重点内容，同时有助于破解僵化的应试教育。 （3）情境真实，综合考查应用能力数学试题注重考查数学应用素养，体现综合性 和应用性的考查要求。试卷设置的情境真实、贴近生活，同时具有深厚的文化底蕴，体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用。 理科Ⅰ卷第（6）题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置 了排列组合试题，体现了中国古代的哲学思想。理科第（21）题情境结合社会现实，贴近生活，反映了数学应用的广阔领域，体现了数学的应用价值，有利于在中学数 学教育中激发学生学习数学的热情，提高对数学价值的认识，提升数学素养，对中 学的素质教育有很好的导向和促进作用。 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 1、设,则= z =1?i 1+i +2i |z|A.0 B. c.1 D. 1222、已知集合A=，则?R A= {x │x 2?x ?2>0}A. B. {x │?1 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2） 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A . 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t )，BC u u u v =1，则AB BC ?u u u v u u u v = A . -3 B. -2 C. 2 D. 3 4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++. 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A. B. C. D. 5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1 2019年普通高等学校招生全国统一考试（I 卷） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知集合}06|{}24|{2<--=<<-=x x x N x x M ，，则=N M I A. }34|{<<-x x B. }24|{-<<-x x C. }22|{<<-x x D. }32|{< 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ I 卷） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 i ，则 | z | ．设 z 2i i 1 1 A ． 0 C ． 1 D ． 2 B ． 2 2．已知集合 A x x 2 x 2 0 ，则 R A = A ． x 1 x 2 B ． x 1 x 2 C ． x | x 1 x | x 2 D ． x | x1 x | x 2 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入 变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和，若 3S 3 S 2 S 4 ， a 1 2，则 a 5 A ． 12 B ． 10 C ． 10 D ．12 5．设函数 f (x) x 3 (a 1)x 2 ax ，若 f ( x) 为奇函数，则曲线 y f (x) 在点 (0,0) 处的切线方程为 A ． y 2x B ． y x C ． y 2x D ． y x 6．在 △ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB 3 1 AC 1 3 3 1 1 3 A ． AB 4 B ． AB AC C ． AB AC D ． AB AC 4 4 4 4 4 4 4 7．某圆柱的高为 2，底面周长为 16 ，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在正视图上 的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面 上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 A ．2 17 B ．2 5 C ． 3 D ．2 8 C ： y 2 =4x 的焦点为 F ，过点（ –2 0 2 的直线与 C 交于 M ， N 两点，则 FM FN = ．设抛物线 ， ）且斜率为 3 2017年高考全国卷II理科数学试卷评析 人民网-教育频道作者：2017-06-08 2017年高考课标全国卷II理科数学遵循《课程标准》的基本理念，严格贯彻《2017年全国(新课标卷)考试说明》基本要求，试卷以知识为载体，以思维能力为核心，全面考查学生的的推理论证，运算，空间想象，数据处理以及应用和创新能力。 具体来说有以下几个特点： 全面检测双基，突出考查重点。试卷注重对基础知识与基本技能的考查，贴近教学实际，试卷中的每种题型均设置了数量较多的基础题，如第3题以我国古代数学名著《算法统宗》中的数学问题为背景考查学生对数列基础知识的掌握，具有一定人文特色。同时试卷中数学知识体系的主干内容占有较高比例，如对函数与导数、三角函数与解三角形、立体几何、解析几何、数列、概率统计等内容有非常高比重的考查，充分体现了高考对主干知识的重视程度。 强调通性通法，坚持能力立意。试卷注重通性通法在解题中的运用，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础，避免一味钻研偏难怪试题，从而使学生能够在数学学习上获得正常的发展，如第7题考查逻辑推理能力，凸显数学既是一门工具性的基础学科更是一门逻辑思维的学科，如选择第12题考察向量，难度较大，但仍然不离平时强调的定比分点以及相关结论。同时试卷坚持能力立意，全面考查运算求解、空间想象、抽象概括、推理论证、数据处理以及综合运用有关知识分析和解决问题的能力，其中运算求解能力贯穿试卷始终。 考查数学素养，关注数学应用。数学素养涵盖数学的基础知识、基本技能和它们所体现的数学思想方法与能力，以及在此基础上的应用意识和创新意识，如第18题以养殖水产为题材，贴近生活实际，所用数学知识(计数和概率)也不复杂，考查学生的阅读理解能力与运用数学模型解决实际问题的能力，更贴近学生应用能力的真实水平。 难度结构合理，提高区分层次。试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定梯度，能较好区分不同程度的学生，有利于高校选拔，如选择题第1-9题，填空题第14题、解答题的第17、18题以及选做题的第23、24题都属于基础题，绝大多数学生都能顺利解答;选择题第10、11题，填空题13、15，解答题第19、22题难度中等，对中档程度学生不会构成太大困难;作为能力把关的第12、16、20、21题知识综合性较强，难度较大，能力要求更高。但这部分试题的设置也是由浅入深，上手容易，但要完整解答并非易事。如第21题第(1)问考查导数在不等式恒成立问题中的应用，问题常规，但需要学生在这过程中合理的构造函数，强调导数的工具作用，第(2)问以第(1)问的结果为铺垫，考查学生的知识迁移能力、思维灵活性、解题创造性。 2017新课标全国卷1理科数学试题及答案 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题 卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码 横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对 应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答 题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答 案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6．621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 8．右面程序框图是为了求出满足3n ?2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别填入 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合，，则 （A）（B）（C）（D） （2）设，其中x，y是实数，则 （A）1（B）（C）（D）2 （3）已知等差数列前9项的和为27，，则 （A）100（B）99（C）98（D）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A）（B）（C）（D） （5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 （A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 （A）17π（B）18π（C）20π（D）28π （7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 （A）（B） （C）（D） （8）若，则 （A）（B）（C）（D） （9）执行右面的程序图，如果输入的，则输出x，y的值满足 （A）（B）（C）（D） (10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 (13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=. (14)的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案） （15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为。 （16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。 2020高考全国二卷理科数学试题分析解析解读 2020年高考数学试题，聚焦学科主干的内容，突显了关键能力和数学素养的考查，重视数学应用价值，关注创新意识培养，考察数学建模。试题体现考主干知识、考基本能力、考核心素养，重视思维、关注应用、鼓励创新的指导思想，很好的体现了高考评价体系“一核、四层、四翼”的内涵和要求。 ●试卷总体结构变化很大，比较2018年、2019年的试题，2020年理科试题难度也明显加大，题目文字阅读量增多。主观题在各部分的内容布局和考查难度上进行较大的改变，由去年的解析几何压轴回归到之前的导数压轴题的惯例，而解析几何解答题位置提前到19题，难度下降，首次放弃了直线和曲线位置关系的考察。今年试题突显了数学学科素养的导向，注重基本能力的考查，全面覆盖了基础知识，增强了综合性及应用性，以社会生活中真实情境作为问题的载体，贴近实际，联系社会生活，在数学教育和评价中真正的落实了“立德树人”的根本任务。 2017—2020年理科试题对比表： 客观题 主观题 2020年高考数学Ⅱ卷试题具有以下特点： 聚焦主干知识，突出核心素养 2020年数学高考试卷注重对高中基础内容的全面考查。集合、三角、概率、数列、解析几何、立体几何、函数、平面向量、排列组合、复数等内容在选择题和填空题中得到了有效的考查。2019年算法和线性规划没有考查，2020年也没有考查，这与新课标的导向一致。新课标中删掉了三视图，弱化了排列组合，而且在2018年、2019年两年没考之后，今年又回到高考试题中，虽然难度不大，但是给我们一个信号，所有知识都在考察范围内。填空压轴题为复合命题真值判断和立体几何结合问题，这也是首次把简易逻辑放到压轴题位置。 在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现了全面性、基础性和综合性的考查要求。理科Ⅱ卷客观题中除了3、4、12文字阅读量偏大外，其余试题比较常规，比较柔和。在解答题中重点考查了解三角形、概率统计、圆锥曲线、立体几何、函数与导数等主干内容。其中解答题18题考察了相关系数（相关系数的概念和公式在必修三阅读与思考中涉及，新教材中统计方面提高了对相关系数的要求，为了实现平稳过渡，对于相关系数的考察并不难。） 联系生活实际，建立数学模型 2020年的数学高考试题，紧密联系实际，设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色，着重考查了考生灵活运用高2019年全国一卷高考数学试题分析
2018全国一卷理科数学试题
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(完整版)2019年全国一卷理科数学试卷
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