一次函数的表达式、图象、性质（讲义）
?
课前预习
1. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为______，数值始终不变的量为______；变量分为______和________．
2. 表示变量之间的关系通常有三种方法，它们是___________、_____________、__________．
3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出下列点的坐标：
A (1，2)，
B (2，4)，
C (-1，-2)，
D (1，1)，
E (-1，3)，
F (1，-3)．
（1）作出直线BC ；
（2）C ，D ，E ，F 四点中，在直线AB 上的是___________．
? 知识点睛
1. 函数（1）一般地，如果在一个变化过程中有_______x 和y ，并且对于任意一个x 都有______的
一个y 和它对应，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是______，y 是________． （2）表示函数的方法一般有_______、________和________．
2. 一次函数（1）表达式（也称“解析式”或“关系式”）________________________．
特别地，当b =0时，称y 是x 的正比例函数（y =kx ，k 为常数，k ≠0）． （2）图象画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
①一次函数图象是____________，因此画一次函数的图象时，只需确定___点即可，通常找________、________；
②正比例函数图象是一条经过__________的______，因此画正比例函数的图象时，只需再确定___点即可，通常找______． （3）性质 ①k 反映图象的______________． 当k >0时，图象过第_________象限； 当k <0时，图象过第_________象限． 若两条直线互相平行，则12k k ． ②b 是直线与y 轴交点的____坐标．
当k >0且b >0时，图象过第__________象限； 当k >0且b <0时，图象过第__________象限； 当k <0且b >0时，图象过第__________象限； 当k <0且b <0时，图象过第__________象限． ③增减性
当k>0时，y的值随着x值的增大而____（即y与x_________）；当k<0时，y的值随着x值的增大而____（即y与x_________）．
?精讲精练
1.下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）
A． B．．
2.已知下列函数关系式：①y=2x+1；②
1
y
x
=
；③y=x2-1；④y=-8x；⑤y=3．其中表示一次函数的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.已知函数y=(k-2)x+2k+1，当k_______时，它是正比例函数；当k________时，它是一次函数．
4.已知函数y=(m-2)x2n+1-m+n，当m=______，n=______时，它是正比例函数；当m____，n=___
时，它是一次函数．
5.（1）点(1，-1)______（填“在”或“不在”）直线y=2x-3上；试写出直线y=2x-3上任意一点的坐标
____________．
（2）满足关系式y=2x-3的x，y所对应的点(x，y)都在一次函数_____________的图象上；一次函数y=2x-3的图象上的点(x，y)都满足关系式_________________．
6.下列四个点，在正比例函数
2
5
y x
=-
的图象上的是（）
A．(2，5) B．(5，2) C．(2，-5) D．(5，-2)
7.若点(m，n)在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是（）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
8.（1）正比例函数y=3x的图象经过_____________象限；
（2）一次函数y=x+2的图象经过_____________象限；
（3）一次函数y=-5x-3的图象经过_____________象限．
9.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是（）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
10.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，下列结论正确的是（）
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
11.一次函数y=kx+b中，若k<0，b>0，则它的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
12.下列一次函数：
①y=5x-6；②y=-0.3x+3；③y-3；④y=x．
其中y的值随x的增大而减小的是________．（填写序号）
13.若y=kx-4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是（）
A．-4 B．
1
2
C．0 D．3
14.若一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，则对k和b的
符号判断正确的是（）
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
15.已知一次函数y=kx-k，若y随x的增大而增大，则该函数的图象经过（）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
16.一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限
17.已知函数y=kx+b的图象如图所示，则函数y=2kx+b的图象可能是（）
A． B．C． D．
18.直线y=-x与y=-x+5的位置关系是_______，直线y=-x的图象可以看作是由直线
y=-x+5__________________.
19.若直线y=(2m-1)x+m-2与直线y=-3x-1平行，则m=_______．
20.将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是（）
A．y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=2(x-2) D．y=2(x+2)
21.对于一次函数y=-2x+4，下列结论错误的是（）
A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向上平移2个单位得到y=-2x的图象
D．函数的图象与y轴的交点坐标是(0，4)
一次函数的表达式、图象、性质（习题）
?例题示范
例1：已知一次函数y=-mx-2m，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过第_____________象限．
?巩固练习
1.下列图象中，不表示y是x的函数的是（
）
A．B．C．D．
2.已知下列函数关系式：①
1
2
y
x
=
；②y=2x+1；③
1
2
x
y
-
=
；④y=2x．其中是一次函数的有
（）A．1个B．2个C．3个D．4个
3.下列四个点中，在正比例函数
1
3
y x
=-
的图象上的是（）
A．(1，3) B．(3，1) C．(1，-3) D．(3，-1)
4.一次函数y=-3x-2的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5.已知一次函数y=kx+1，若y随x的增大而减小，则该一次函数的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6.下列对一次函数y=3x+1的描述错误的是（）
A．图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大
C．图象与直线y=3x相交D．图象可由直线y=3x向上平移1个单位得到7.一次函数y=kx+b的图象如图所示，下列结论正确的是（）
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
8.若一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而增大，且图象与y轴的负半轴
相交，则对k和b的符号判断正确的是（）
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
9.在一次函数y=1-3x中，y随x的增大而________
10.已知函数
2
(2)1
m
y m x m
-
=-++，当m=________时，它是一次函数；当m=______时，它是正比
例函数．
11.若点(-4，y1)，(2，y2)都在直线
1
2
2
y x
=-+
上，则y1，y2的大小关系是______________．
12.（1）一次函数y=-2x+5的图象经过_______________象限；
（2）请写出一个图象经过第一、二、三象限的一次函数表达式：________________．
13.若一次函数y=ax+1-a中，y随x的增大而减小，则此一次函数的图象经过_____________象限．
14.若直线y=(m+4)x+m-2与直线y=3-5x平行，则m=_____．
15.直线y=-2x与y=-2x-3的位置关系是______，函数y=-2x-3的图象可以看作是由直线
y=-2x_______________________．
16.下列三个函数y=-2x，
1
4
y x
=-
，y
=x的共同点是：①_____________________；
②_____________________；③________________．
17.作出一次函数y=-x+1的图象．
解：①列表：
一次函数计算（讲义）
?课前预习
1.要画出一次函数y kx b
=+的图象，需要______个点的坐标，通常找________，________；正比例函数图象经过坐标原点，因此只需再确定____点即可，通常找________．
2.计算下列各式：
①
20
4
k b
b
-+=
?
?
=
?②
23
5
y x
y x
=-+
?
?
=-+
?
3.x轴上的点____坐标等于零；y轴上的点____坐标等于零；平行于x轴的直线上的点____坐标相
同；平行于y轴的直线上的点____坐标相同．
4.一次函数y=3x+4与y轴的交点坐标是__________；若一次函数y=3x+b与y轴的交点为(0，4)，
则b=______，一次函数的表达式为_______________．
?知识点睛
一、数形结合看函数
从“数”的角度看从“形”的角度看
平面内一点
一次函数的表达式（二元一次方程）
二、特征及操作
函数图象经过一点（即点在直线上），坐标代入表达式；
求交点坐标，联立两个函数的表达式，解方程组；
已知两点坐标求一次函数表达式，利用待定系数法．
?精讲精练
1.若点M在函数y=2x-1的图象上，则点M的坐标可能是（）
A．(-1，0) B．(0，-l) C．(1，-1) D．(2，4)
2.若直线y=2x+1经过点(m+2，1-m)，则m=______．
3.一次函数y=-2x+3的图象与x轴交于点_______，与y轴交于点__________．
4.在一次函数2
1
2
1
+
=x
y
的图象上，到y轴的距离为1的点的坐标为__________________．5.若点(3，-4)在正比例函数y=kx的图象上，那么这个函数的解析式为（）
A．
4
3
y x
=
B．
4
3
y x
=-
C．
3
4
y x
=
D．
3
4
y x
=-
6. 若正比例函数的图象经过点(-1，2)，则这个图象必经过点（ ）
A ．(1，2)
B ．(-1，-2)
C ．(2，-1)
D ．(1，-2)
7. 已知某个一次函数的图象经过点A (-2，0)，B (0，4)，求这个函数的表达式．
8. 已知某个一次函数的图象经过点A (3，0)，B (0，-2)，求这个函数的表达式．
9. 若一次函数y=kx +3的图象经过点A (1，2)，求这个函数的表达式．
10. 若一次函数y=2x+b 的图象经过点A (-1，1)，则b =______，该函数图象经过点B (1，_____ )和点
C ( _____，0)．
11. 已知直线y =kx +b 与直线y =-x +1平行，且过点(8，2)，则一次函数的表达式是_______________． 12. 如图，直线l 是一次函数y =kx +b 的图象，填空：
（1）k =______，b =______； （2）当x =4时，y =______； （3）当y =2时，x =______．
13. 已知y 是x 的一次函数，下表给出了部分对应值：
14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y =-x +3与y =3x -5的图象交于点M ，求点M 的坐标．
15. 若直线y =2x+b 经过直线y=x -2与直线y =3x +4的交点，则b 的值为（ ）
A ．-11
B ．-1
C ．1
D ．6
16. 当b=
______时，直线y =2x +b 与y =3x -4的交点在x 轴上．
17. 点A ，B ，C ，D 的坐标如图所示，求直线AB 与直线CD 的交点
18. 如图，直线l 1，l 2相交于点A ．求A 的坐标．
19. （1）两直线
111
l y k x b =+：，
222
l y k x b =+：的位置关系与关
于x ，y 的二元一次方程组1122
y k x b y k x b =+??
=+?的解的联系： （其中4个常数均不为零．每小题第一个空选填“唯一”、“无”或“无穷多组”；其余空选填“=”或“≠”）
①当1l 与2l 相交时，方程组有__________解， 12
___k k ．
②当1l 与2l 平行时，方程组______解，
12
___k k ，
12
___b b ．
③当1l 与2l 重合时，方程组有__________解，12
___k k ，
12
___b b ．
（2）若将两直线写成
1111
l a x b y c +=：，
2222
l a x b y c +=：的形式；则该二元一次方程组为
??
?=+=+2
22111c y b x a c y b x a ，从二元一次方程组的角度考虑解的情况：
（其中6个常数均不为零．每小题第一个空选填“唯一”、“无”或“无穷多组”；其余空选填“相交”、“平行”或“重合”）
①当11
2
2a b a b ≠时，方程组有__________解，1l 与2l _____． ②当111
222a b c a b c =≠时，方程组______解，1l 与2l _____． ③当112
2a b a b ==1
2c c 时，方程组有________解，1l 与2l _____． 20. 如果方程组2524x y x y k +=??+=?有无穷多组解，那么方程组27548kx y x y +=??+=?的解的情况是（ ）
A ．唯一解
B ．无穷多组解
C ．无解
D ．都有可能
21. 已知直线y =x -3与y =2x +2的交点为(-5，-8)，则方程组30
220x y x y --=??
-+=?
的解是____________；一次函数1y x =+的图象与25y x =--的图象的交点坐标是____________．
一次函数计算（习题）
? 例题示范
例1：如图，已知直线
12l y x
=：，直线2l
与x 轴交于点A (1，0)，与y 轴交于点B (0，2)，求直线1
l 与直线2
l 的交点C 的坐标．
? 巩固练习
1. 如果点A (-2，a )在一次函数1
3
2y x =-+的图象上，那么a 的值为
（ ） A ．-7
B ．3
C ．-1
D ．4
2. 若正比例函数的图象经过点(2，6)，则这个正比例函数的解析式为____________；
3. 若一次函数y =-x +a 的图象经过点A (1，-1)，则a =_____，它过点B (-2，___ )；
4. 过点(-1，-3)且与直线y =1-x 平行的直线的表达式是____________．
5. 一次函数y =-3x +9的图象与x 轴的交点坐标是__________；与y 轴的交点坐标是__________；与
坐标轴所围成的三角形的面积是__________．
6. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过点(-3，2)，且与直线y =-2x +4交于x 轴上的同一点，则该一次
函数的表达式为_________．
7. 若一次函数y =ax +4与y =bx -2的图象在x 轴上相交于同一点，则b
a 的值为_____．
8. （1）已知一次函数y =kx +b 的图象与y 轴交点的纵坐标为-2，且经过点(5，3)，则该函数的表达
式为____________；
（2）若直线y =ax +5经过一次函数y =4-3x 与y =2x -1图象的交点，求a 的值为_____．
9. 已知y 是x 的一次函数，根据下表信息可知：a =______，
b =______，
c =______．
10. 如右图，直线l 的函数表达式为
__________________． 11. 一次函数
11
y k x b =+的图象l 1与
22
y k x b =+的图象l 2相交于点P ，则
方程组11
22
y k x b y k x b =+??
=+?的解是___________．
12. 若关于x ，y 的方程组56166
45x y x y m +=??
?+=??有无穷多组解，则关于x ，y 的方程组45710711x y mx y +=??+=?的解为
___________．
13. 已知某个一次函数的图象过点A (-3，0)，B (0，5)，求这个函数的表达式．
14. 如图，一次函数的图象经过点A ，且与正比例函数y =-x 的图象交于点B ，求该一次函数的表达
式．
一次函数综合应用（讲义）
?
课前预习
1. 如图，直线l 1的表达式为y =-3x +3，且l 1与x 轴相交于点D ，直线l 2
经过
A ，
B 两点，直线l 1，l 2相交于点
C ． （1）点
D 的坐标为_____________； （2）直线l 2
的表达式为_____________； （3）点C 的坐标为_____________．
2. 如图，在平面直角坐标系中，点A (2，0)，点B (0，4)．
（1）△AOB 的面积为_____________；
（2）点P 是y 轴上一点，若1
2AOP AOB
S S =△△，则点P 的坐标为______．
? 精讲精练
1. 已知直线l 1与l 2相交于点P ，直线l 1的表达式y =2x +3，点P 的横坐标
为-1，且l 2交y 轴于点A (0，-1)．则直线l 2的表达式为____________．
2. 已知函数13y x b
=-+的图象与x 轴、y 轴分别交与点A ，B ，与函数y =x
的图象交于点M ，点M 的横坐标为3，则点A 的坐标为___________．
3. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过点(-2，5)，且与y 轴相交于点P ，直线1
3
2y x =-+与y 轴相交
于点Q ，点Q 恰与点P 关于x 轴对称，则这个一次函数的表达式为___________．
4. 如图，已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2：y =-x +5，直线l 1，l 2与x
于点B ，C ，l 1，l 2相交于点A ．则S △ABC =________．
5. 如图，直线y =2x +m （m >0）与x 轴交于点A (-2，0)，直线
y =-x +n （n >0）与x 轴、y 轴分别交于点B ，C 两点，并与直线y =2（m >0）相交于点D ，若AB =4． （1）求点D 的坐标；
（2）求出四边形AOCD 的面积．
6. 已知直线3y mx =-中，y 随x 的增大而减小，且与直线x =1，x =3和x 轴围成的四边形的面积为
8，则m =________．
7. 已知直线6y kx =-经过第一、三、四象限，且与直线x =-1，x =-3和x 轴围成的四边形的面积为
16，则k =________．
8. 如图，直线y =x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．
（1）求A ，B 两点的坐标；
（2）过点B 作直线BP ，与x 轴交于点P ，且使PO =2AO ，求直线BP 的表达式．
9. 已知直线y =kx +b 经过点(5，0)____________________．
10. 若一次函数y =kx +3的图象与坐标轴的两个交点间的距离为5，则k 的值为__________．
11. 已知正比例函数和一次函数的图象都经过点M (3，4)，且正比例函数和一次函数的图象与y 轴围
成的面积为15
2，求此正比例函数和一次函数的解析式．
12. 如图，直线y =kx +6与x 轴、y 轴分别交于点E ，F ，已知点E 的坐标为(8，0)，点A 的坐标为
(6，0)．（1）求k 的值；
（2）若P 是直线y =kx +6上的一个动点，当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为9？请说明理由．
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线1y x =+与3
3
4y x =-+相交于点A ，两直线与x 轴分别交于点
B 和点
C ，
D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A ，B ，C 的坐标；
（2）当BD =CD 时，求点D 的坐标；
（3）若△BDC 的面积是△ABC 面积的2倍，求点D 的坐标．
一次函数综合应用（习题）
? 例题示范
例1：一次函数y =kx +b 的图象经过点A (0，3)，且与正比例函数y =-x 的图象相交于点B ，点B 的横坐标为-1，求一次函数的表 达式．
? 巩固练习
1. 已知一次函数y =2x +a 和y =-x +b 的图象都经过点A (-2，0)，且与y 轴分别交于点B ，C ，则
△ABC 的面积为________．
2. 已知直线y =kx +b 和直线1
3
2y x =-+与y 轴的交点相同，且经过点
(2，-1)，则这个一次函数的表达式是____________．
3. 已知一次函数y =kx -3经过点M ，则此直线与x 轴、y 轴围成的三角
形的面积为________．
4. 在平面直角坐标系中，O 为原点，直线y =kx +b 交x 轴于点A (-2，0)，交y 轴于点B ．若△AOB
的面积为8，则k 的值为________．
5. 已知直线y =kx +1，y 随x 的增大而增大，且与直线x =1，x =3以及x 轴围成的四边形的面积为
10，则k 的值为________．
6. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过点(0，2)，且与坐标轴围成的三角形的面积为2，则这个一次函
数的表达式是____________．
7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数1
6
2y x =-+的图象与
x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与正比例函数y =x 的图象交于第一象限内的点C ．
（1）求A ，B ，C 三点的坐标； （2）S △AOC =________．
8. 如图，直线y =2x +3与直线y =-2x -1相交于C 点，并且与y 轴分别交于A ，B 两点．
（1）求两直线与y 轴交点A ，B 的坐标及交点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积．
9. 一次函数y =2x -3的图象与y 轴交于点A ，另一个一次函数图象与y 轴
交于点B ，两条直线交于点C ，C 点的纵坐标为1，且S △ABC =5，求另一条直线的解析式．
10. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过点(0，10)，且与正比例函数
12y x
=
的图象相交于点(4，a )．
（1）求一次函数y =kx +b 的解析式；
（2）求这两个函数图象与y 轴所围成的三角形的面积．
11. 如图，直线y =kx +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，已知点A 的坐标为(-3，0)，点C 的坐标为
(-2，0)．（1）求k 的值；
（2）若P 是直线y =kx +4上的一个动点，当点P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为3？请说明理由．
一次函数图象的应用（讲义）
? 课前预习
1. 我们一般从四个方面来研究一次函数，这四个方面分别是_________、__________、
_________、___________．
123．表达式：_______________________________．图象：_________________________________增减性：__________________________ __________________________一次函数．性质过象限：__________________________ _____4??
??????????
?
???
??
??
??
??
??
??_____________________ __________________________ __________________________．计算：待定系数法求表达式
2. 若一次函数y =kx +b 的图象不经过第二象限，则k _____0，b ______0．
3. 已知m >0，n <0，请在如图所示的坐标系中分别作出y =mx +n ，y =nx +m 的大致图象．
第3题图 第4题图
4. 如图，直线12y x
=与直线224y x =--相交于点A ，请回答下列问题：
当x =-3时，
12
y ___y ；当x =-1时，
12
y ___y ；当x =1时，
12
y ___y ．
? 精讲精练
1. 若实数a ，b ，c 满足a +b +c =0，且a
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 一次函数y =kx -k 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.在同一坐标系中，正比例函数y=kx与一次函数y=x-k的图象可能是（）
A． B． C． D．
4.已知一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0），它们在同一平面直角坐
标系中的图象可能是（）
A． B． C． D．
5.两个一次函数y1=mx+n，y2=nx+m，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A． B． C． D．
一次函数图象的应用（习题）
?例题示范
例1：已知一次函数y=kx+b与正比例函数y=kbx，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A． B． C． D．
?巩固练习
1.下列关于直线y=-2x+1的描述中，正确的是（）
A．图象必经过点(-2，1)B．图象经过第一、二、三象限
C．当x>1
2时，y<0D．y随x的增大而增大
2.
y=kx-1的图象不经过第____象限．
3.如果直线y=ax+b经过第一、三、四象限，那么直线y=bx+a经过
第__________象限，直线
b
y x
a
=-
经过第_______象限．
4. 正比例函数y =2kx 的图象如图所示，则y =(k -2)x +1-k 的图象可能是（ ）
y x
O
y x
O
x
O y O x y
A ．
B ．
C ．
D ． 5. 一次函数y =mx +2与正比例函数y =2mx （m 为常数，且m ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可
能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6. 两条直线y 1=ax +b 与y 2=bx +a
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 一次函数y =kx +k 在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8. 一次函数y =mx -n 与正比例函数y =mnx （m ，n 为常数，且mn ≠0）在同一平面直角坐标系中的图
象中，一定不正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
? 思考小结 1. 一次函数图象分析
①只有一个一次函数图象时，根据函数的性质，判断k ，b 的符号．