一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:,
【答案】(1)∠BPQ=30°;
(2)该电线杆PQ的高度约为9m.
【解析】
试题分析:(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可;
(2)设PE=x米,在直角△APE和直角△BPE中,根据三角函数利用x表示出AE和BE,根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值,再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长,则PQ的长度即可求解.
试题解析:延长PQ交直线AB于点E,
(1)∠BPQ=90°-60°=30°;
(2)设PE=x米.
在直角△APE中,∠A=45°,
则AE=PE=x米;
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中,BE=
3
3
PE=
3
3
x米,
∵AB=AE-BE=6米,
则3
,
解得:3
则BE=(33+3)米.
在直角△BEQ中,QE=
3
3
BE=
3
3
(33+3)=(3+3)米.
∴PQ=PE-QE=9+33-(3+3)=6+23≈9(米).
答:电线杆PQ的高度约9米.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
2.已知Rt△ABC中,AB是⊙O的弦,斜边AC交⊙O于点D,且AD=DC,延长CB交⊙O 于点E.
(1)图1的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由;
(2)如图2,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
①若CF=CD时,求sin∠CAB的值;
②若CF=aCD(a>0)时,试猜想sin∠CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写出结果)
【答案】(1)AE=CE;(2)①;②.
【解析】
试题分析:(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°,由于
AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径,根据切线的性质可得
∠AEF=90°,从而可证到△ADE∽△AEF,然后运用相似三角形的性质可得=AD?AF.①当CF=CD时,可得,从而有EC=AE=CD,在Rt△DEC中运用三角函数可得
sin∠CED=,根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC,即可求出sin∠CAB的值;②当CF=aCD(a>0)时,同①即可解决问题.
试题解析:(1)AE=CE.理由:
连接AE、DE,如图1,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90,∴∠ADE=∠ABE=90°,∵AD=DC,
∴AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,∵∠ABE=90°,∴AE是⊙O的直径,∵EF是⊙OO的切线,
∴∠AEF=90°,∴∠ADE=∠AEF=90°,又∵∠DAE=∠EAF,∴△ADE∽△AEF,∴,∴=AD?AF.
①当CF=CD时,AD=DC=CF,AF=3DC,∴=DC?3DC=,∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED===;
②当CF=aCD(a>0)时,sin∠CAB=.
∵CF=aCD,AD=DC,∴AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,∴=DC?(a+2)DC=(a+2),∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,
∴sin∠CAB=sin∠CED==.
考点:1.圆的综合题;2.探究型;3.存在型.
3.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,点D在边AC上且BD平分∠ABC,设CD=x.
(1)求证:△ABC∽△BCD;
(2)求x的值;
(3)求cos36°-cos72°的值.
【答案】(1)证明见解析;(215
-+;(3758+
【解析】
试题分析:(1)由等腰三角形ABC 中,顶角的度数求出两底角度数,再由BD 为角平分线求出∠DBC 的度数,得到∠DBC=∠A ,再由∠C 为公共角,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC 与三角形BCD 相似;
(2)根据(1)结论得到AD=BD=BC ,根据AD+DC 表示出AC ,由(1)两三角形相似得比例求出x 的值即可;
(3)过B 作BE 垂直于AC ,交AC 于点E ,在直角三角形ABE 和直角三角形BCE 中,利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值,代入原式计算即可得到结果. 试题解析:(1)∵等腰△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=36°, ∴∠ABC=∠C=72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠ABD=∠CBD=36°, ∵∠CBD=∠A=36°,∠C=∠C , ∴△ABC ∽△BCD ; (2)∵∠A=∠ABD=36°, ∴AD=BD , ∵BD=BC , ∴AD=BD=CD=1,
设CD=x ,则有AB=AC=x+1, ∵△ABC ∽△BCD ,
∴AB BC BD CD =,即11
1x x +=, 整理得:x 2+x-1=0,
解得:x 115
-+,x 215--(负值,舍去),
则15
-+; (3)过B 作BE ⊥AC ,交AC 于点E ,
∵BD=CD ,
∴E 为CD 中点,即DE=CE=
15
-+, 在Rt △ABE 中,
cosA=cos36°=15
1514151AE AB -++
+==-++, 在Rt △BCE 中,cosC=cos72°=15
15414
EC BC -+-+==
, 则cos36°-cos72°=51+=
-154
-+=12. 【考点】1.相似三角形的判定与性质;2.等腰三角形的性质;3.黄金分割;4.解直角三角形.
4.问题背景:
如图(a ),点A 、B 在直线l 的同侧,要在直线l 上找一点C ,使AC 与BC 的距离之和最小,我们可以作出点B 关于l 的对称点B′,连接A B′与直线l 交于点C ,则点C 即为所求.
(1)实践运用:
如图(b),已知,⊙O 的直径CD 为4,点A 在⊙O 上,∠ACD=30°,B 为弧AD 的中点,P 为直径CD 上一动点,则BP+AP 的最小值为 . (2)知识拓展:
如图(c),在Rt △ABC 中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,E 、F 分别是线段AD 和AB 上的动点,求BE+EF 的最小值,并写出解答过程. 【答案】解:(1)2.
(2)如图,在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′.
∵AD平分∠BAC,∴点B与点B′关于直线AD对称.
过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连接BE.
则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) .
在Rt△AFB/中,∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10,
∴.
∴BE+EF的最小值为
【解析】
试题分析:(1)找点A或点B关于CD的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和MN的交点P就是所求作的位置,根据题意先求出∠C′AE,再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值:
如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB最小,且等于A.作直径AC′,连接C′E,
根据垂径定理得弧BD=弧DE.
∵∠ACD=30°,∴∠AOD=60°,∠DOE=30°.∴∠AOE=90°.
∴∠C′AE=45°.
又AC为圆的直径,∴∠AEC′=90°.
∴∠C′=∠C′AE=45°.∴C′E=AE=AC′=2.
∴AP+BP的最小值是22
(2)首先在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′,再过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连接BE,则线段B′F的长即为所求.
5.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)
已知:如图,AB是半圆O的直径,弦//
CD AB,动点P、Q分别在线段OC、CD 上,且DQ OP
=,AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与
点C、D不重合),20
AB=,
4
cos
5
AOC
∠=.设OP x
=,CPF
?的面积为y.(1)求证:AP OQ
=;
(2)求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)当OPE
?是直角三角形时,求线段OP的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
2
36030050
(10)
13
x x
y x
x
-+
=<<;(3)8
OP=
【解析】
【分析】
(1)证明线段相等的方法之一是证明三角形全等,通过分析已知条件,OP DQ
=,联结OD后还有OA DO
=,再结合要证明的结论AP OQ
=,则可肯定需证明三角形全等,寻找已知对应边的夹角,即POA QDO
∠=∠即可;
(2)根据PFC
?∽PAO
?,将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求;(3)分成三种情况讨论,充分利用已知条件
4
cos
5
AOC
∠=、以及(1)(2)中已证的结论,注意要对不符合(2)中定义域的答案舍去.
【详解】
(1)联结OD,∵OC OD
=,
∴OCD ODC
∠=∠,
∵//
CD AB,
∴OCD COA
∠=∠,
∴POA QDO
∠=∠.
在AOP
?和ODQ
?中,
{
OP DQ
POA QDO
OA DO
=
∠=∠
=
,
∴AOP
?≌ODQ
?,
∴AP OQ
=;
(2)作PH OA
⊥,交OA于H,
∵4cos 5
AOC ∠=, ∴4455OH OP x =
=,3
5PH x =, ∴1
32
AOP S AO PH x ?=
?=. ∵//CD AB , ∴PFC ?∽PAO ?, ∴
22
10(
)()AOP
y CP x S OP x
?-==, ∴2360300
x x y x
-+=,当F 与点D 重合时,
∵4
2cos 210165
CD OC OCD =?∠=??=, ∴
101016x x =-,解得50
13
x =, ∴2360300x x y x
-+=
50
(10)13x <<; (3)①当90OPE ∠=时,90OPA ∠=, ∴4
cos 1085
OP OA AOC =?∠=?
=; ②当90POE ∠=时,
101025
4cos cos 25OC CQ QCO AOC =
===
∠∠,
∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622
=-=, ∵
50
1013
OP <<, ∴7
2
OP =
(舍去); ③当90PEO ∠=时,∵//CD AB , ∴AOQ DQO ∠=∠, ∵AOP ?≌ODQ ?, ∴DQO APO ∠=∠, ∴AOQ APO ∠=∠,
∴90AEO AOP ∠=∠=,此时弦CD 不存在,故这种情况不符合题意,舍去; 综上,线段OP 的长为8.
6.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点
A 、点
B ,且ABO ?的面积为8. (1)求k 的值;
(2)如图,点P 是第一象限直线AB 上的一个动点,连接PO ,将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ,设点P 的横坐标为t ,点C 的横坐标为m ,求m 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围);
(3)在(2)的条件下,过点B 作直线BM OP ⊥,交x 轴于点M ,垂足为点N ,点K 在线段MB 的延长线上,连接PK ,且0PK KB P +=,2PMB KPB ∠=∠,连接MC ,求四边形BOCM 的面积.
【答案】(1)1k =;(2)4m t =+;(3)32BOCM
S =.
【解析】 【分析】
(1)先求出A 的坐标,然后利用待定系数法求出k 的值;
(2) 过点P 作PD x ⊥轴,垂足为D ,过点C 作CE x ⊥轴,垂足为E ,证
POD OCE ???可得OE PD =,进一步得出m 与t 的函数关系式;
(3)过点O 作直线OT AB ⊥,交直线BM 于点Q ,垂足为点T ,连接QP ,先证出
QTB PTO ???;再证出KPB BPN ∠=∠;设KPB x ∠=?,通过计算证出PO PM =;
再过点P 作PD x ⊥轴,垂足为点D ,根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到
OD BO
PD MO
=,列式可求得t=4;所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形,最后可得其面积为32. 【详解】
解:(1)把0x =代入4y kx =+,4y =, ∴4BO =, 又∵
4ABO S ?=,
∴
1
42
AO BO ?=,4AO =, ∴(4,0)A -,
把4x =-,0y =代入4y kx =+, 得044k =-+, 解得1k =. 故答案为1;
(2)解:把x t =代入4y x =+,4y t =+, ∴(,4)P t t +
如图,过点P 作PD x ⊥轴,垂足为D ,过点C 作CE x ⊥轴,垂足为E ,
∴90PDO CEO ∠=∠=?, ∴90POD OPD ∠+∠=?,
∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC , ∴90POC ∠=?,OP OC =, ∴90POD EOC ∠+∠=?, ∴OPD EOC ∠=∠, ∴POD OCE ???, ∴OE PD =,
4m t =+.
故答案为4m t =+.
(3)解:如图,过点O 作直线OT AB ⊥,交直线BM 于点Q ,垂足为点T ,连接QP ,
由(1)知,4AO BO ==,90BOA ∠=?, ∴ABO ?为等腰直角三角形,
∴45ABO BAO ∠=∠=?,9045BOT ABO ABO ∠=?-∠=?=∠, ∴BT TO =, ∵90BTO ∠=?, ∴90TPO TOP ∠+∠=?, ∵PO BM ⊥, ∴90BNO ∠=?, ∴BQT TPO ∠=∠, ∴QTB PTO ???, ∴QT TP =,PO BQ =, ∴PQT QPT ∠=∠, ∵PO PK KB =+,
∴QB PK KB =+,QK KP =, ∴KQP KPQ ∠=∠,
∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠,TQB TPK ∠=∠, ∴KPB BPN ∠=∠, 设KPB x ∠=?, ∴BPN x ∠=?, ∵2PMB KPB ∠=∠, ∴2PMB x ∠=?,
45POM PAO APO x ∠=∠+∠=?+?,9045NMO POM x ∠=?-∠=?-?, ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=?+?=∠, ∴PO PM =,
过点P 作PD x ⊥轴,垂足为点D , ∴22OM OD t ==,
9045OPD POD x BMO ∠=?-∠=?-?=∠, tan tan OPD BMO ∠=∠, OD BO PD MO =,
4
42t t t =+, 14t =,22t =-(舍)
∴8OM =,由(2)知,48m t OM =+==, ∴CM y 轴, ∵90PNM POC ∠=∠=?, ∴BM OC ,
∴四边形BOCM 是平行四边形,
∴4832BOCM
S
BO OM =?=?=.
故答案为32.
【点睛】
本题考查了一次函数和几何的综合题,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.
7.如图,在?ABCD中,AC与BD交于点O,AC⊥BC于点C,将△ABC沿AC翻折得到
△AEC,连接DE.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(2)若AC=4,BC=3,求sin∠ABD的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
613
【解析】
【分析】
(1)根据?ABCD中,AC⊥BC,而△ABC≌△AEC,不难证明;
(2)依据已知条件,在△ABD或△AOC作垂线AF或OF,求出相应边的长度,即可求出∠ABD的正弦值.
【详解】
(1)证明:∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC,
∴BC=CE,AC⊥CE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴AD=CE,AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形,
∵AC⊥CE,
∴四边形ACED是矩形.
(2)解:方法一、如图1所示,过点A作AF⊥BD于点F,
∵BE=2BC=2×3=6,DE=AC=4,
∴在Rt△BDE中,
2222
BD BE DE64213
=+=+=∵S△BDE=1
2
×DE?AD=
1
2
AF?BD,
∴AF613
213
=,
∵Rt△ABC中,AB22
34
+5,
∴Rt △ABF 中,
sin ∠ABF =sin ∠ABD =613613
5
AF AB ==
方法二、如图
2所示,过点O 作OF ⊥AB 于点F , 同理可得,OB =1
132
BD =, ∵S △AOB =11
OF AB OA BC 22
?=?, ∴OF =
23655
?=, ∵在Rt △BOF 中,
sin ∠FBO =
0613
513F OB ==
, ∴sin ∠ABD =
613
.
【点睛】
本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质,矩形的判定和性质,平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度,关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin ∠ABD .
8.
如图,△ABC 中,AC =BC =10,cosC =
3
5
,点P 是AC 边上一动点(不与点A 、C 重合),
以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D,过点D作DE⊥CB于点E.
(1)当⊙P与边BC相切时,求⊙P的半径.
(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围.
(3)在(2)的条件下,当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.
【答案】(1)
40
9
R=;(2)2
5
880
320
x
y x x
x
=-+
+
;(3)50105
-.
【解析】【分析】
(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=3
5
,则
sinC=4
5
,sinC=
HP
CP
=
10
R
R
-
=
4
5
,即可求解;
(2)首先证明PD∥BE,则EB BF
PD PF
=,即:20
2
4
588
x y
x
x
x
y
-+
--
=,即可求解;
(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=EP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.
【详解】
(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,
连接HP ,则HP ⊥BC ,cosC =35,则sinC =45
, sinC =
HP CP =10R R -=4
5,解得:R =409
; (2)在△ABC 中,AC =BC =10,cosC =
3
5
, 设AP =PD =x ,∠A =∠ABC =β,过点B 作BH ⊥AC ,
则BH =ACsinC =8,
同理可得:CH =6,HA =4,AB =45,则:tan ∠CAB =2, BP =228+(4)x -=2880x x -+,
DA =
25x ,则BD =45﹣25
x , 如下图所示,PA =PD ,∴∠PAD =∠CAB =∠CBA =β,
tanβ=2,则cosβ5
,sinβ5
, EB =BD cosβ=(525
x )5=4﹣25
x ,
∴PD ∥BE ,
∴EB BF
PD PF
=,即:202
4588x y x x
x y
-+-=,
整理得:y 25x
x 8x 803x 20
-++
(3)以EP 为直径作圆Q 如下图所示,
两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦,
∵点Q是弧GD的中点,
∴DG⊥EP,
∵AG是圆P的直径,
∴∠GDA=90°,
∴EP∥BD,
由(2)知,PD∥BC,∴四边形PDBE为平行四边形,
∴AG=EP=BD,
∴AB=DB+AD=AG+AD=5
设圆的半径为r,在△ADG中,
AD=2rcosβ
5DG
5
AG=2r,
5=52r
51
,
则:DG
5
50﹣5
相交所得的公共弦的长为50﹣5
【点睛】
本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.
9.已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.
(1)如图1,求证:KE=GE;
(2)如图2,连接CABG,若∠FGB=1
2
∠ACH,求证:CA∥FE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG交AB于点N,若sin E=3
5
,AK10CN
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)△EAD 是等腰三角形.证明见解析;(3)20
1013
. 【解析】 试题分析:
(1)连接OG ,则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°,由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ,从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG ,这样即可得到KE=GE ;
(2)设∠FGB=α,由AB 是直径可得∠AGB=90°,从而可得∠KGE=90°-α,结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α,这样在△GKE 中可得∠E=2α,由∠FGB=1
2
∠ACH 可得∠ACH=2α,这样可得∠E=∠ACH ,由此即可得到CA ∥EF ; (3)如下图2,作NP ⊥AC 于P ,
由(2)可知∠ACH=∠E ,由此可得sinE=sin ∠ACH=3
5
AH AC =,设AH=3a ,可得AC=5a ,CH=4a ,则tan ∠CAH=
4
3
CH AH =,由(2)中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ,从而可得CK=AC=5a ,由此可得HK=a ,tan ∠AKH=
3AH
HK
=,AK=10a ,结合AK=10可得a=1,则AC=5;在四边形BGKH 中,由∠BHK=∠BKG=90°,可得∠ABG+∠HKG=180°,结合∠AKH+∠GKG=180°,∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH , 在Rt △APN 中,由tan ∠CAH=43PN AP
=,可设PN=12b ,AP=9b ,由tan ∠ACG=
PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ,由此可得AC=AP+CP=13b =5,则可得b=5
13
,由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析:
(1)如图1,连接OG .
∵EF 切⊙O 于G ,
∴OG ⊥EF ,
∴∠AGO+∠AGE=90°, ∵CD ⊥AB 于H , ∴∠AHD=90°, ∴∠OAG=∠AKH=90°, ∵OA=OG , ∴∠AGO=∠OAG , ∴∠AGE=∠AKH , ∵∠EKG=∠AKH , ∴∠EKG=∠AGE , ∴KE=GE . (2)设∠FGB=α, ∵AB 是直径, ∴∠AGB=90°,
∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α, ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α,
∵∠FGB=
1
2
∠ACH , ∴∠ACH=2α, ∴∠ACH=∠E , ∴CA ∥FE .
(3)作NP ⊥AC 于P . ∵∠ACH=∠E , ∴sin ∠E=sin ∠ACH=3
5
AH AC =,设AH=3a ,AC=5a , 则224AC CH a -=,tan ∠CAH=
4
3
CH AH =, ∵CA ∥FE , ∴∠CAK=∠AGE , ∵∠AGE=∠AKH , ∴∠CAK=∠AKH ,
∴AC=CK=5a ,HK=CK ﹣CH=4a ,tan ∠AKH=AH
HK
=3,2210AH HK a +=, ∵10 ∴
1010a =
∴a=1.AC=5, ∵∠BHD=∠AGB=90°, ∴∠BHD+∠AGB=180°,
在四边形BGKH 中,∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°,
∴∠ABG+∠HKG=180°,∵∠AKH+∠HKG=180°,∴∠AKH=∠ABG,
∵∠ACN=∠ABG,
∴∠AKH=∠ACN,
∴tan∠AKH=tan∠ACN=3,∵NP⊥AC于P,
∴∠APN=∠CPN=90°,
在Rt△APN中,tan∠CAH=
4
3
PN
AP
=,设PN=12b,则AP=9b,
在Rt△CPN中,tan∠ACN=PN
CP
=3,
∴CP=4b,
∴AC=AP+CP=13b,∵AC=5,
∴13b=5,
∴b=5
13
,
∴CN=22
PN CP
+=410b?=20
10 13
.
10.如图,某次中俄“海上联合”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,3≈1.7)
【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米
【解析】试题分析:过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度,用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD,利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解.
试题解析:过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度,根据题意得:∠ACD=30°,∠BCD=68°,
设AD=x,则BD=BA+AD=1000+x,
在Rt△ACD中,CD=
tan AD ACD
=
tan30
x
= 3x
在Rt△BCD中,BD=CD?tan68°,
∴325+x=3x?tan68°
解得:x≈100米,
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米.
点睛:本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是作出辅助线,从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解.
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