圆锥曲线第1讲 椭圆
【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义:
平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2(
2
12F F a >)的点的轨迹叫椭圆,这两
个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作a 2)大于这两个定点之间的距离
2
1F F (记作c 2),否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下:
(ⅰ)当c a 22>时,点的轨迹是椭圆;
(ⅱ)当c a 22=时,点的轨迹是线段21F F
; (ⅲ)当c a 22<时,点的轨迹不存在。
注2:若用M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为
a
MF MF 221=+(c a 22>,
c
F F 221=),即
2
121F F MF MF >+.
注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件:
a
MF MF 221=+千万不可忘记。
2. 椭圆的第二定义:
平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e (10< 二、椭圆的标准方程 (1)焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 2 2=+b y a x (0>>b a ); (2)焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y (0>>b a ). 注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴;长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴。 (1)注2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 其方程为12222=+b y a x (0>>b a )或122 22=+b x a y (0>>b a );若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠). 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x (0>>b a )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-; (2)对称性:关于x 轴、y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; (3)顶点:左右顶点分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ;上下顶点分别为),0(1b B ,),0(2b B -; (4)长轴长为a 2,短轴长为b 2,焦距为c 2; (5)长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=; (6)准线方程:c a x 2 ± =; (7)焦准距:c b 2 ; (8)离心率: a c e = 且10< (9)焦半径:若),(00y x P 为椭圆122 22=+b y a x 在第一象限内一点,则由椭圆的第二定义, 有 1ex a PF +=, 2ex a PF -=; (10)通径长:a b 22 . 注1:椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点)0,(2c F 和右 准线l :c a x 2=为例,可求得其焦准距为 c b c c a c c a 2222= -=-. 注2:椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最 短的弦。设椭圆的方程为122 22=+b y a x (0>>b a ),过其焦点)0,(2c F 且垂直于x 轴的直线交该双曲线于A 、B 两点(不妨令点A 在x 轴的上方),则),(2a b c A ,) ,(2 a b c B -,于是该椭圆的通径长为 a b a b a b AB 2 222 )(=--=. 四、关于椭圆的标准方程,需要注意的几个问题 (1)关于椭圆的标准方程,最基本的两个问题是:其一,当题目已指明曲线的位置特征,并给出了“特征值”(指a 、b 、c 的值或它们之间的关系,由这个关系结合2 2 2 b a c -=,我们可以确定出a 、b 、c 的值)时,我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程;其二,当题目已给出椭圆的标准方程时,我们便能准确地判断出曲线的位置特征,并能得到a 、b 、 c 的值。 (2)椭圆的标准方程中的参数a 、b 、c 是椭圆所固有的,与坐标系的建立无关;a 、b 、 c 三者之间的关系:222b a c -=必须牢固掌握。 (3)求椭圆的标准方程,实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a 、b 。根据题目已知条件,我们列出以a 、b 为未知参数的两个方程,联立后便可确定出a 、b 的值。特别需要注意的是:若题目中已经指明椭圆的焦点在x 轴或y 轴上,则以a 、b 为未知参数的方程组只有一个解,即a 、b 只有一个值;若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上,则以a 、b 为未 知参数的方程组应有两个解,即a 、b 应有两个值。 (4)有时为方便解题,中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为 122=+ny mx ,但此时m 、n 必须满足条件:0>m ,0>n ,且n m ≠. 五、点与椭圆的位置关系 点),(00y x P 与椭圆122 22=+b y a x (0>>b a )的位置关系有以下三种情形: (ⅰ)若122 220=+b y a x ,则点),(00y x P 在椭圆上; (ⅱ)若122 022 0>+b y a x ,则点),(00y x P 在椭圆外; (ⅲ)若122 022 0<+b y a x ,则点 ),(00y x P 在椭圆内; 【例题选讲】 题型1:椭圆定义的应用 1. 平面内存在一动点M 到两个定点1F 、2F 的距离之和为常数a 2(2 12F F a ≥),则点M 的轨迹是() A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 椭圆或线段 解:由题意知,2 1212F F a MF MF ≥=+ (ⅰ)当212F F a >时,点M 的轨迹是椭圆; (ⅱ)当 2 12F F a =时,点M 的轨迹是线段21F F . 故点M 的轨迹是椭圆或线段 2. 已知圆C : 36)1(22=+-y x ,点)0,1(-A ,M 是圆C 上任意一点,线段AM 的中垂线l 和直线CM 相交于点Q ,则点Q 的轨迹方程为__________. 解:圆C : 36)1(2 2=+-y x 的圆心坐标为)0,1(C ,半径6=r 连接QA ,由l 是直线AM 的中垂线知, QA QM = ∴6===+=+r CM QC QM QC QA 而 2 =AC ,∴ AC QC QA >+ 于是点Q 的轨迹是以)0,1(-A ,)0,1(C 为左右焦点的椭圆,其中62=a ,22=c 3=?a ,1=c ,819222=-=-=c a b 又该椭圆的中心为坐标原点 故点Q 的轨迹方程为1 892 2=+y x 3. 已知点)0,3(A ,点Q 是圆 42 2=+y x 上的一个动点,线段AQ 的垂直平分线交圆的半径OQ 于点P ,当点Q 在圆周上运动时,点P 的轨迹方程为__________. 解:圆O : 42 2=+y x 的圆心坐标为)0,0(O ,半径2=r 连接PA ,由l 是直线AQ 的垂直平分线知, PA PQ = ∴2===+=+r OQ PQ PO PA PO 而 3 =OA ,∴ OA PA PO >+ 于是点P 的轨迹是以)0,0(O ,)0,3(A 为左右焦点的椭圆,其中22=a ,32=c 1=?a , 23 = c , 41431222= -=-=c a b 又该椭圆的中心为OA 的中点 ) 23, 0()2 3,0(OA 故点P 的轨迹方程为1 41)2 3(2 2=+-y x 注:本题点P 的轨迹方程虽是椭圆,但该椭圆不关于坐标原点对称,而是关于点) 0,23 ( 对 称,其方程可由把椭圆1 42 2 =+y x 沿x 轴向右平移了23个单位得到。 4. 方程 2 222222++=+--+y x y x y x 表示的曲线是() A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段 解:由2222222++=+--+y x y x y x ,有() 1,02 2 22)1()1(22∈=++-+-y x y x 这表明,点),(y x P 到定点)1,1(F 的距离与它到定直线l :02=++y x 的距离之比等于常 数22(1 220<<).由椭圆的第二定义知,点),(y x P 的轨迹是椭圆,即方程 2 222222++=+--+y x y x y x 表示的曲线是椭圆。 5. 椭圆1 3122 2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上。若线段1PF 的中点在y 轴上,则 1 PF 是 2 PF 的() A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍 解:在椭圆13122 2=+y x 中, 9312,3,122 2222=-=-===b a c b a 3,3,32===∴c b a 于是)0,3(),0,3(21F F - 又 线段1PF 的中点在y 轴上,而O 是线段21F F 的中点 轴 y PF 2∴ 于是轴x PF ⊥2 (法一)在12F PF Rt ?中,2 2 12221F F PF PF += 36 944))((22 212121=?===-+∴c F F PF PF PF PF 又由椭圆的定义,有 3 4322221=?==+a PF PF ① 333436 21== -∴PF PF ② 联立①、②得, 237233341=+= PF ,23 237342=-=PF 故723 23 721 ==PF PF ,即1PF 是2 PF 的7倍。 (法二)2332322= ==a b PF ,而34322221=?==+a PF PF 23723341=- =∴PF 故723 23 721 ==PF PF ,即1PF 是2 PF 的7倍。 6. 设1F 、2F 为椭圆1 492 2=+y x 的两个焦点,P 为椭圆上的一点。已知P ,1F ,2F 是一个 直角三角形的三个顶点,且 2 1PF PF >,则 2 1 PF PF =__________. 解:在椭圆1492 2=+y x 中, 549,4,92 2222=-=-===b a c b a 5,2,3===∴c b a 于是)0,5(1-F ,)0,5(2F (ⅰ)当 9021=∠PF F 时,2054422 212 22 1=?===+c F F PF PF 又 6 32221=?==+a PF PF ① 8220 362 ) ()(2 2212 2121=-= +-+= ?∴PF PF PF PF PF PF 于是4 84364)()(21221221=?-=?-+=-PF PF PF PF PF PF 又 2 1PF PF > 2 21=-∴PF PF ② 联立①、②得, 422 61=+=PF ,2 462=-=PF 于是此时 22 4 2 1 == PF PF (ⅱ)当 9012=∠F PF 时, 2 2 12221F F PF PF += 20 544))((22 212121=?===-+∴c F F PF PF PF PF 而 6 32221=?==+a PF PF ③ 310 62021== -∴PF PF ④ 联立③、④得, 3146282310 61==+ = PF , 34 31462 =-=PF 于是此时27 34314 2 1==PF PF 故21 PF PF 的值为2或27 题型2:求椭圆的方程 7. (1)若方程1352 2=-+-k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围是__________; (2)若方程1 352 2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则k 的取值范围是__________; (3)若方程1 35=-+-k k 表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是__________. 解:(1) 方程1352 2=-+-k y k x 表示椭圆 544335030 5<<<?? ? ??-≠->->-∴k k k k k k 或 故当)5,4()4,3(?∈k 时,方程1 352 2=-+-k y k x 表示椭圆。 (2) 方程1 352 2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆 43350305<?? ? ??->->->-∴k k k k k 故当)4,3(∈k 时,方程1 352 2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆。 (3) 方程1352 2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆 5453030 5<??? ??->->->-∴k k k k k 故当)5,4(∈k 时,方程1 352 2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆。 8. 已知椭圆142 2=+m y x 的焦距为2,则m =__________. 解:由题意知,22=c 1=∴c 于是12 2 2 ==-c b a (*) (ⅰ)当椭圆142 2=+m y x 的焦点在x 轴上时,42=a ,m b =2 于是由(*)式,有314=?=-m m (ⅱ)当椭圆14=+m 的焦点在y 轴上时,m a =2,42 =b 于是由(*)式,有514=?=-m m 故m 的值为3或5 9. 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且经过点)0,3(P ,则该椭圆的方程为__________. 解:由题设条件知,b a b a 3232=??=① (ⅰ)当椭圆的焦点在x 轴上时,设其方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 则由该椭圆过点)0,3(P ,有10 922=+b a ② 联立①、②得,92 =a ,12 =b 于是此时该椭圆的方程为1 922 =+y x (ⅱ)当该椭圆的焦点在y 轴上时,设其方程为122 22=+b x a y (0>>b a ) 则由该椭圆过点)0,3(P ,有19 022=+b a ③ 联立①、③得,92 =b ,812 =a 于是此时该椭圆的方程为1 98122=+x y 故所求椭圆的方程为192 2=+y x 或198122=+x y 10. 已知椭圆的中心在坐标原点、以坐标轴为对称轴,且经过两点)1,6(1P ,)2,3(2--P ,则椭圆的方程为__________. 解:设所求椭圆的方程为 122=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠) 则由该椭圆过)1,6(1P ,)2,3(2--P 两点,有?? ?=+=+12316n m n m ,解得:????? ==3191n m 故所求椭圆的方程为1 319122=+y x ,即1392 2=+y x . 11. 在平面直角坐标系xoy 中,椭圆C 的中心为坐标原点,焦点1F 、2F 在x 轴上,离心率为 22 . 若过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点,且2ABF ?的周长为16,那么C 的方程为 __________. 解:由椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,可设其方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 16 2=?ABF C 16 22=++∴AF BF AB 而 1 1AF BF AB += 16 2216)()(21212211=+?=+++=+++∴a a AF AF BF BF AF BF AF BF ,即164=a 于是4=a 又 22 == a c e 2242222=?== ∴a c 于是88162 2 2 =-=-=c a b 故椭圆C 的方程为18162 2=+y x 题型3:椭圆的性质 12. 椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5,最大值为15,则椭圆的方程为_________. 解:不妨设所求椭圆的方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 设),(y x P 是该椭圆上任意一点,)0,(c F 是其一个焦点 令? ? ?==θθ sin cos b y a x ,πθ20≤≤ 则 θ θθθθ2222222sin cos 2cos )0sin ()cos (b c ac a b c a PF ++-=-+-= ) sin 1(cos 2)sin (cos sin )(cos 2cos 22222222222θθθθθθθ-+-+=-++-=c ac a c a c ac a θ θθθcos )cos (cos cos 22222c a c a c ac a -=-=+-= 又0>>c a ,]1,1[cos -∈θ θ θcos cos c a c a PF -=-=∴ 于是当0=θ,即点),(y x P 为椭圆122 22=+b y a x 的右顶点时,PF 取得最小值,且 c a PF -=min ][; 当πθ=,即点),(y x P 为椭圆122 22=+b y a x 的左顶点时,PF 取得最大值,且c a PF +=max ][. 因而由题意,有???==? ? ??=+=-510155c a c a c a 7525100222=-=-=∴c a b 故所求椭圆的方程为1751002 2=+y x 注:由本题可见,椭圆的右(左)顶点到右(左)焦点的距离最小,到左(右)焦点的距离最大。以后在遇到相关问题时,这个结论可以直接用。 13. 已知椭圆的中心在坐标原点,在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点1B 、2B 的连线互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为510-,则这个椭圆的方程为__________. 解:由该椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,可设其方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 设)0,(c F 是该椭圆的右焦点,则与其较近的长轴的端点为)0,(a A 于是有510-=-c a (*) 又 ),0(1b B ,),0(2b B -是该椭圆上的对称点,)0,(c F 是该椭圆的右焦点 F B F B 21=∴ 又F B F B 21⊥ 21FB B ?∴为等腰直角三角形,其中 9021=∠FB B 于是有 OF OB =2,即c b = 又2 2 2 c b a += 222c a =∴,即c a 2=,代入(*),得5=c 于是10=a ,5=b 故所求椭圆的方程为15102 2=+y x 题型4:与椭圆的焦点有关的三角形问题 14. 设P 是椭圆14522=+x y 上的一点,1F 、2F 是该椭圆的两个焦点,且 3021=∠PF F , 则 2 1PF F S ?=__________. 解:在椭圆14522=+x y 中, 145,4,52 2222=-=-===b a c b a 1,2,5===∴c b a 于是)1,0(1F ,)1,0(2-F 在21PF F ?中,由余弦定理,有2 12 2 12 22 1212cos PF PF F F PF PF PF F ?-+= ∠ 2 12 122 12 1222 12 2 121221224224422)(PF PF PF PF b PF PF PF PF c a PF PF F F PF PF PF PF ??-= ??--=?-?-+= 2 3822 12 1212 12= ??-= ??-=PF PF PF PF PF PF PF PF b 于是 )32(16)32)(32() 32(16321621-=-+-=+= ?PF PF 故348)32(421 )32(1621sin 21212121-=-=?-?=∠??= ?PF F PF PF S PF F 15. 已知1F 、2F 分别为椭圆1 9162 2=+y x 的左、右焦点,点P 在该椭圆上. 若点P 、1F 、2 F 是一个直角三角形的三个顶点,则21F PF ?的面积为____________. 解:在椭圆19162 2=+y x 中, 7916,9,162 2222=-=-===b a c b a 7,3,4===∴c b a 于是)0,7(1-F ,)0,7(2F (ⅰ)当21F PF Rt ?以点1F 或2F 为直角顶点时, 4921==a b PF 或49 22= =a b PF ,而72221==c F F 7497249212121121=??=?= ∴?F F PF S F PF 或749 7249212121221=??=?=?F F PF S F PF 于是此时总有 749 21= ?F PF S 并且此种情形下,b x y x P P P =<±=?±=-±=-±=±=3491699)1671(9)161(9,72 即点) 49,7(±±P 在椭圆19162 2=+y x 上,满足题意。 (ⅱ)当21F PF Rt ?以点P 为直角顶点时, 设 ),(00y x P 则7 2221 212121212100212121PF PF c PF PF F F PF PF y y F F PF PF S F PF ?=?=?=??=?= ? 又 8 42221=?==+a PF PF , 28 74422 212221=?===+c F F PF PF 18236 228642 ) ()(2 22 12 2121==-= +-+= ?∴PF PF PF PF PF PF 于是此时 b PF PF y =>== ?= 379 72187 22 10 这表明,此种情形下,点),(00y x P 在椭圆1 9162 2=+y x 外,不满足题意。 故21F PF ?的面积为7 49 16. 已知1F 、2F 是椭圆在x 轴上的两个焦点,P 为椭圆上一点, 6021=∠PF F . (1)求该椭圆离心率的取值范围; (2)求证:21PF F ?的面积只与该椭圆的短轴长有关. 解(1):由该椭圆的焦点在x 轴上,可设其方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 在21PF F ?中,由余弦定理,有2 12 2 12221212cos PF PF F F PF PF PF F ?-+= ∠ 2 12 122 12 1222 12 2 121221224224422)(PF PF PF PF b PF PF PF PF c a PF PF F F PF PF PF PF ??-= ??--= ?-?-+= 2 122 12 12=??-= PF PF PF PF b 22134b PF PF = ?∴ 又 2 22 121)2 ( a PF PF PF PF =+≤? 2 234 a b ≤∴ 而2 2 2 c a b -= 222223431)(34c a a c a ≤?≤-∴,即2 241a c ≥ 于是 414122 22 2 = ≥=a a a c e 又10< 121 <≤∴e 故该椭圆离心率的取值范围是) 1,21 [ 证(2):由(1)知, 22134b PF PF = ? 2 2212133233421sin 2121b b PF F PF PF S PF F =??=∠??= ∴? 故21PF F ?的面积只与该椭圆的短轴长有关 题型5:椭圆中的最值问题 17. 设1F 是椭圆1 592 2=+y x 的左焦点,点P 是椭圆上的一个动点,)1,1(A 为定点,则 1 PF PA +的最小值为__________. 解:在椭圆1592 2=+y x 中,92=a ,52=b ,4592 22=-=-=b a c 2,5,3===∴c b a 于是该椭圆的左右焦点分别为)0,2(1-F ,)0,2(2F 622121==+≥++a PF PF AF PA PF 2 6)10()12(662221-=-+--=-≥+∴AF PF PA 故[] 2 6min 1-=+PF PA 18. 若),(y x B 满足1 422 =+y x (0≥y ),则43--x y 的最大值、最小值分别为__________. 解:在椭圆1422 =+y x (0≥y )中,42=a ,12=b ,3142 22=-=-=b a c 3,1,2===∴c b a 于是该椭圆的左右焦点分别为)0,3(1-F ,)0,3(2F 43--x y 表示椭圆1 422 =+y x (0≥y )上的点),(y x P 与定点)3,4(0P 之间的连线的斜率 令k x y =--43 ,则直线0PP 的方程为)4(3-=-x k y ,即k kx y 43-+= 联立?????-+==+k kx y y x 4314 22 ,得 [] 04)43(4)43(8)41(222=--+-++k x k k x k 令 [][] 02634)43(4)41(4)43(82 222 =+-=--+--=?k k k k k k 则 331- =k ,33 1+=k (舍去) 又 2324030= --=A P k ,这里)0,2(A 为椭圆1422 =+y x (0≥y )的右顶点 故23max = k ,331min -=k ,即43--x y 的最大值为23,最小值为33 1-. 19. 在直线l :04=-+y x 上任取一点M ,过点M 且以椭圆1 12162 2=+y x 的焦点为焦点作 椭圆,则点M 的坐标为__________时,所作的椭圆的长轴最短,此时该椭圆的方程为__________. 解:在椭圆11216=+中,162=a ,122=b ,412162 22=-=-=b a c 2,32,4===∴c b a 于是该椭圆的左右焦点分别为)0,2(1-F ,)0,2(2F 要使过点M 且以椭圆1 12162 2=+y x 的焦点为焦点所作的椭圆的长轴最短 必须使 2 1MF MF +最小 设)0,2(2F 关于直线l :04=-+y x 的对称点为 ),(002y x F ' 则由???????=-+++-=-?--0420221)1(2 0000y x x y ,即???=-+=--06020000y x y x ,得???==2400y x )2,4(2'∴F 于是直线' 21F F 的方程为 ) 4(31 )4()2(4022-=----= -x x y ,即023=+-y x 显然,使 2 1MF MF +取得最小值的点M 即为直线' 21F F 与直线l 的交点 联立? ??=-+=+-04023y x y x ,得????? ==2325y x ) 23,25(M ∴ 此时 []10 240)02()]2(4[222121min 21 ==-+--=' ='+=+F F MF MF MF MF 101022='?='∴a a ,6410222=-=-'='c a b 故所求椭圆的方程为16102 2=+y x 20. 若点O 和点F 分别为椭圆1342 2=+y x 的中心和左焦点,点P 为椭圆上任意一点,则 ?的最大值为__________,此时点P 的坐标为__________. 解:在椭圆134=+中, 134,3,42 2222=-=-===b a c b a 1,3,2===∴c b a 于是)0,1(-F 设),(y x P 则),(y x =,),1(y x +=,并且22≤≤-x 于是3 41 )41(3)1(222 2 2 2 ++=-++=++=++=?x x x x x y x x y x x ,]2,2[-∈x 令 341)(2 ++= x x x g ,]2,2[-∈x 其对称轴为 2 4 1 21-=?- =x ∴函数)(x g 在]2,2[-上单调递增 于是6 32241 )2()]([2max =++?==g x g 将2=x 代入方程13422=+y x 中,得0=y )0,2(P ∴ 故?的最大值为6,此时点P 的坐标为)0,2(. 21. 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率 23 = e . 已知点 ) 23,0(P 到这个椭圆上一点的最远距离为7,则该椭圆的方程为__________,该椭圆上到点P 的距离为7的点的坐标是__________. 解:由该椭圆的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,可设其方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 23 == a c e 224323a c a c =?= ∴, 而222b a c -= 2222241 43a b a b a =?= -∴,即224b a = 于是椭圆12222=+b y a x 的方程可化为142222=+b y b x 设),(y x M 是该椭圆上任意一点 则 493)1(4493)23()0(2222 2222 + -+-=+-+=-+-=y y b y b y y x y x PM 49 43322+ +--=b y y ,b y b ≤≤- 令 49 433)(22+ +--=b y y y g ,],[b b y -∈ 其对称轴为 21 )3(23- =-?-- =y (ⅰ)当b -<- 21,即 21< b 时,函数)(y g 在],[b b -上单调递减 此时, 2222max )23 (49349433)()]([+=++=+ ++-=-=b b b b b b b g y g 于是72323)23(][2max =+=+=+=b b b PM 解得: 21237> -=b 这显然与 21 < b 矛盾,因此此种情况不存在。 (ⅱ)当b >- 21时,这显然与0>b 矛盾,因此此种情况不存在。 (ⅲ)当 b b <-<-21,即21>b 时,函数)(y g 在]21,[--b 上单调递增,在] ,21[b -上单调递减 此时,3 449 42343)21()]([22max +=+++-=-=b b g y g 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离相等的点的轨迹叫抛物线,这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。 注1:在抛物线的定义中,必须强调:定点F不在定直线l上,否则点的轨迹就不是一个抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2:抛物线的定义也可以说成是:平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3:抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时,这两者可以相互转化,这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种: (1) px y2 2= ( > p),其焦点为 )0, 2 ( p F ,准线为2 p x- = ; (2) px y2 2- =(0 > p),其焦点为 )0, 2 ( p F- ,准线为2 p x= ; (3) py x2 2= ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F ,准线为2 p y- = ; (4) py x2 2- = ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F- ,准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程px y 22±=(0>p )或py x 22±=(0>p )的特点在于:等号的一端 是某个变元的完全平方,等号的另一端是另一个变元的一次项,抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应:当抛物线的对称轴为x 轴时,抛物线方程中的一次项就是x 的一次项,且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向;当抛物线的对称轴为y 轴时,抛物线方程中的一次项就是y 的一次项,且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =(0>p )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:0≥x ,R y ∈; (2)顶点:坐标原点)0,0(O ; (3)对称性:关于x 轴轴对称,对称轴方程为0=y ; (4)开口方向:向右; (5)焦参数:p ; (6)焦点: )0,2(p F ; (7)准线: 2p x - =; (8)焦准距:p ; (9)离心率:1=e ; (10)焦半径:若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=(0>p )上一点,则由抛物线的定义,有20p x PF + =; (11)通径长:p 2. 注1:抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22= 解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则高中数学平面解析几何知识点总结
高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
高中数学解析几何测试题答案版(供参考)
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总