珠海市斗门一中2009届高三暑假强化训练（二） 数学（文科）
第Ⅰ卷（共50分）
参考公式：
锥体的体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 球的表面积公式：2
4πS R =，其中R 是球的半径． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．满足{}1234M a a a a ?，，，，且{}{}12312
M a a a a a = ，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z = ，则z
z
等于（ ） A ．i
B ．i -
C ．1±
D ．i ±
3．函数π
πln cos 2
2y x x ??=-
<< ???的图象是（ ）
4．给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
5．设函数2
211()21x x f x x x x ?-?=?+->??，
，，，
≤则
1(2)f f ??
???
的值为（ ） A ．
1516
B ．2716
-
C ．
89
D ．18
6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是（ ）
A ．9π
B ．10π
C ．11π
D ．12π
7．已知0＜a ＜2，复数z a i =+(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是
x
x
A ．
B ．
C ．
D ．
俯视图 正(主
)视图 侧(左)
视图
8．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向
量
1)(c o s s i n )A A =-=，，m n ．若⊥m ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B
，的大小分别为（ ） A ．ππ
63
，
B ．
2ππ
36
， C ．ππ36
，
D ．ππ33
，
9．
（ ）
A
B ．
5
C ．3
D ．
85
10．已知πcos sin 6αα??-
+= ??
?7πsin 6α?
?+ ??
?的值是（ ）
A ．
B
C ．45
-
D ．
45
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （一）必做题（11-13题）
11．执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 12．已知2(3)4log 3233x f x =+，则
8
(2)(4)(8)(2)f f f f ++++ 的值等于 ． 13．设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ?-+?
--?????
，，
，，≥≤≥≥
则2z x y =+的最大值为 ．
（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为
cos 3,4cos (0,0)2
π
ρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 、2C 交点的极坐标为 ．
15.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切点，切点为A
，PA ＝2.AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R =________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
16．（本小题满分12分）已知函数())cos()f x x x ω?ω?+-+（0π?<<，
0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为
π
2
． （Ⅰ）求π8f ??
???
的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．
17．（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．
从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （Ⅰ）求1A 被选中的概率； （Ⅱ）求1B 和1C 不全被选中的概率． 18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，
AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==
P
（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． 19．（本小题满分14分） 将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，
111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足
2
21(2)n
n n n
b n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ??
????
成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当814
91
a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a
20．（本小题满分14分）设函数2321()x
f x x e ax bx e
=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设32
2()3
g x x x =-，
试比较()f x 与()g x 的大小．
21．（本小题满分14分）已知曲线11(0)x
y
C a b a b
+
=>>：所围成的封闭图形的面积为
1C 的内切圆半径为
3
．记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；
（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．
（1）若M O O A λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．
珠海市斗门一中2009届高三暑假强化训练（二）
文科数学（答案）
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．B 10．C
二、填空题
11．4 12．2008
13．11
14.【解析】我们通过联立解方程组cos 3(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=?≥≤
解得6ρπθ?=?
?=
??
,即两曲线
的交点为)6
π
.
15.【解析】依题意，我们知道PBA PAC ?? ,由相似三角形的性质我们有
2PA PB
R AB
=,
即2221
PA AB R PB ?===?
三、解答题
16．解：
（Ⅰ）())cos()f x x x ω?ω?+-+
1
2)cos()2x x ω?ω??=+-+???
π2sin 6x ω??
?=+- ??
?．
因为()f x 为偶函数，所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立，
因此ππsin()sin 6
6x x ω?ω???-+-=+-
??
?
． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ω?ω?ω?ω?????????--
+-=-+- ? ? ? ??
???????， 整理得πsin cos 06x ω???
-
= ??
?
． 因为0ω>，且x ∈R ，所以πcos 06???
-
= ??
?
． 又因为0π?<<，故ππ62?-
=．所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω?
?=+= ??
?． 由题意得
2π
π
22
ω= ，所以2ω=．故()2cos 2f x x =
．因此ππ2cos 84f ??
== ???
（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移
π
6
个单位后，得到π6f x ?
?- ??
?的图象，
所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ???
?????=-=-=- ? ? ????
??
?????． 当π
2π22ππ3k x k -
+≤≤（k ∈Z ）， 即π2π
ππ63
k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减，
因此()g x 的单调递减区间为π2πππ63k k ?
?
+
+???
?
，（k ∈Z ）
． 17．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基
本事件空间
Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，，
132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则
M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，
122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}
事件M 由6个基本事件组成，因而61
()183
P M =
=． （Ⅱ）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成，
所以31()186P N =
=，由对立事件的概率公式得15
()1()166
P N P N =-=-=． 18．（Ⅰ）证明：在ABD △中，
由于4AD =，8BD =
，AB =
所以222
AD BD AB +=．故AD BD ⊥．
C M
P
D
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，
BD ?平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ， 又BD ?平面MBD ，
故平面MBD ⊥平面PAD ．
（Ⅱ）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．
因此PO 为四棱锥P ABCD -的高， 又PAD △是边长为4的等边三角形．
因此42
PO =
= 在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，
所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB
=， 此即为梯形ABCD 的高， 所以四边形ABCD
的面积为2425
S ==．
故1
243
P ABCD V -=
??= 19．（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，
2
21n
n n n
b b S S =-， 又12n n S b b b =+++ ，所以
12
12()1()n n n n n n
S S S S S S ---=--，即112()
1n n n n S S S S ---=-， 所以
1111
2
n n S S --=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ??????
是首项为1，公差为1
2的等差数列．
由上可知
111
1(1)22
n n n S +=+-=，即21n S n =+．
所以当2n ≥时，12221(1)
n n n b S S n n n n -=-=
-=-++． 因此112
2(1)n n b n n n =??
=?-?+?
， ，
，．≥
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >． 因为1213
1212782
?+++=
= ， 所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项，
故81a 在表中第13行第三列，因此2
81134
91
a b q ==-
． 又132
1314
b =-
?，所以2q =．
记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，
则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)
k k k k b q S k q k k k k --==-=--+-+ ≥．
20．解：（Ⅰ）因为221()e (2)32x f x x x ax bx e '=
+++1
e (2)(32)x x x x ax b e
=+++， 又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，
因此6203320a b a b -+=??++=?，，
解方程组得1
3a =-，1b =-．
（Ⅱ）因为1
3a =-，1b =-，所以1()(2)(e 1)x
f x x x e
'=+-， 令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =．
因为当(2)x ∈-∞-，
(01) ，时，()0f x '<；当(20)(1)x ∈-+∞ ，，时，()0f x '>． 所以()f x 在(20)-，
和(1)+∞，上是单调递增的；在(2)-∞-，和(01)，上是单调递减的． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知23
211()e 3
x f x x x x e =
--，故23211
()()e (e )e e
x x f x g x x x x x -=-=-，
令1()e x h x x e =-，则1()e 1x
h x e
'=-．令()0h x '=，得1x =，
因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤，所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减． 故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥；
因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增． 故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥．
所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又2
0x
≥，
因此()()0f x g x -≥，故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥．
21．解：
（Ⅰ）由题意得2ab ?=?
?=
又0a b >>，解得2
5a =，2
4b =．
因此所求椭圆的标准方程为22
154
x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，
()A A A x y ，．
解方程组22
154x y y kx ?+=???=?
，，
得222045A x k =+，22
2
2045A k y k =+， 所以222
2
2222
202020(1)
454545A
A
k k OA x y k k k +=+=+=+++．
设()M x y ，，由题意知(0)MO OA λλ=≠，
所以2
2
2
MO OA λ=，即2222
2
20(1)
45k x y k
λ++=+， 因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为1
y x k
=-
， 即x k y =-，因此2222
22222222
20120()4545x y x y x y x y x y
λλ??+ ?+??+==++ ， 又2
2
0x y +≠，所以2
2
2
5420x y λ+=，故
22
245
x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，M 的轨迹方程为22
2(0)45
x y λλ+=≠．
（2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045A
x k =+，22
2
2045A k y k =+，
由22
1541x y y x k ?+=????=-??
，，
解得22
2
2054M k x k =+，222054M y k =+， 所以22
2
2220(1)45A
A
k OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，222
20(1)54k OM k +=+．
解法一：由于22
2
14AMB
S
AB OM = △2222180(1)20(1)44554k k k k ++=??++2222400(1)(45)(54)
k k k +=++ 22
222400(1)45542k k k +??+++ ?
??
≥2
22221600(1)4081(1)9k k +??
== ?+??， 当且仅当22
4554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值
是409
AMB S =
△． 当0k =
，140229
AMB S =?=>△． 当k
不存在时，140
429
AMB S ==>△．
综上所述，AMB △的面积的最小值为40
9
．
解法二：因为
2
2
2222
111120(1)20(1)4554k k OA
OM
k k +
=+++++2224554920(1)20k k k +++==+， 又
2
2
112OA OM
OA
OM
+
≥，409OA OM ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成
立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是40
9
AMB S =△． 当0k =
，140229
AMB S =
?=>△．当k
不存在时，140429AMB
S ==>△．综上所述，AMB △的面积的最小值为409
．