●高考明方向
1.理解命题的概念．
2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、
否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
★备考知考情
常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，
考查形式以选择题为主，试题多为中低档题目，
命题的重点主要有两个：
一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；
二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维.
一、知识梳理《名师一号》P4
知识点一命题及四种命题
1、命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
注意：
命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句
都不是命题。
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系．
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．
注意：(补充)
1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题
知识点二 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件的概念 （1）充分条件：
q p ? 则p 是q 的充分条件
即只要有条件
p 就能充分地保证结论q 的成立，
亦即要使q 成立，有p 成立就足够了，即有它即可。
（2）必要条件：
q p ? 则q 是p 的必要条件 q p ??q p ???
即没有q 则没有
p ，亦即q 是p 成立的必须要有的
条件，即无它不可。 (补充)（3）充要条件
q p ?且q p ?即p q ?
则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）
“
p 是q 的充要条件”也说成“p 等价于q ”、
“q 当且仅当
p ”等
(补充)2、充要关系的类型 （1）充分但不必要条件 定义：若
q p ?，但p q ?/， 则
p 是q 的充分但不必要条件；
（2）必要但不充分条件 定义：若 p q ?
，但q p ?/，
则
p 是q 的必要但不充分条件
（3）充要条件
定义：若
q p ?，且
p q ?，即p q ?，
则
p 、q 互为充要条件；
（4）既不充分也不必要条件 定义：若
q p ?/，且p q ?/， 则
p 、q 互为既不充分也不必要条件．
3、判断充要条件的方法：《名师一号》P6 特色专题 ①定义法；②集合法；③逆否法（等价转换法）． 逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性
集合法----利用集合的观点概括充分必要条件 若条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．
（1）若?≠
A B ，则p 是q 的充分但不必要条件
（2）若?≠B A ，则
p 是q 的必要但不充分条件
（3）若B A =，则p 是q 的充要条件 （4）若B A ?/，且B A ?
/， 则p 是q 的既不必要也不充分条件
(补充)简记作----若A 、B 具有包含关系，则 （1）小范围是大范围的充分但不必要条件 （2）大范围是小范围的必要但不充分条件
二、例题分析
（一）四种命题及其相互关系
例1.(1) 《名师一号》P4 对点自测1
命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题 是( )
A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数
B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数
C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数
D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数
答案 C
例1.(2) 《名师一号》P5 高频考点 例1
下列命题中正确的是( )
①“若a ≠0，则ab ≠0”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－
1
2
3是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④
解析:
①中否命题为“若a＝0，则ab＝0”，正确；
②中逆命题不正确；
③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，
故其逆否命题正确；
④中原命题正确故逆否命题正确．
答案 B
注意：《名师一号》P5 高频考点例1 规律方法在判断四个命题之间的关系时，
首先要分清命题的条件与结论，
再比较每个命题的条件与结论之间的关系．
要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为
原命题，也就相应的有了它的“逆命题”
“否命题”“逆否命题”；
判定命题为真命题时要进行推理，
判定命题为假命题时只需举出反例即可．
对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．
例1.(3) 《名师一号》P4 对点自测2
(2014·陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()
A．真，假，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
解析易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，
但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，
同时否命题也为假．
注意：《名师一号》P5 问题探究问题2
四种命题间关系的两条规律
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
互为逆否命题的两个命题同真假．
(2)当判断一个命题的真假比较困难时，
可转化为判断它的逆否命题的真假．
同时要关注“特例法”的应用．
例2．(1)(补充)
（2011山东文5)已知a，b，c∈R，命题“若a b c
++=3，
则222a b c ++≥3”的否命题．．．
是（ ） (A)若a+b+c≠3，则222a b c ++<3
(B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3 (C)若a+b+c≠3，则222a b c ++≥3 (D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=3
【答案】A [来
【解析】命题“若p ，则q ”的否命题是：“若p ?，则q ?”
例2．(2)(补充)
命题：“若0xy =，则0x =或0y =”的否定．．
是：________
【答案】若0xy =，则0x ≠且0y ≠ 【解析】命题的否定只改变命题的结论。
注意：
命题的否定与否命题的区别
（二）充要条件的判断与证明 例1.(1)(补充) （07湖北）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④s p ??是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ） A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤ 答案:Ｂ 注意： 1、利用定义判断充要条件
《名师一号》P6 特色专题 方法一 定义法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题 ——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，
根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系． q p ? 则p 是q 的充分条件； q 是
p 的必要条件
2、利用逆否法判断充要条件
《名师一号》P6 特色专题 方法三 等价转化法
当所给命题的充要条件不好判定时，可利用四种命题的关系，对命题进行等价转换．常利用原命题与逆命题的
q r s
p
真假来判断p 与q 的关系．令p 为命题的条件，q 为命题的结论，具体对应关系如下：
①如果原命题真而逆命题假，
那么p 是q 的充分不必要条件； ②如果原命题假而逆命题真，
那么p 是q 的必要不充分条件； ③如果原命题真且逆命题真， 那么p 是q 的充要条件； ④如果原命题假且逆命题假，
那么p 是q 的既不充分也不必要条件．
简而言之,逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性
例1.(2)《名师一号》P6 特色专题 例1 (2014·北京卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． 则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【规范解答】
若q >1，则当a 1＝－1时，a n ＝－q n －1，{a n }为递减数列，所以“q >1” ?/ “{a n }为递增数列”；
若{a n }为递增数列，则当a n ＝－? ????12n
时，a 1＝－12，q ＝12
<1，即“{a n }为递增数列”?/“q >1”．故选D.
例1.(3)《名师一号》P6 特色专题 例2
(2014·湖北卷)设U 为全集．A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ?C ，B ??U C”是“A∩B ＝φ”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【规范解答】 如图可知，存在集合C ，使A ?C ，B ??U C ，则有A∩B ＝φ.若A∩B ＝φ，显然存在集合C.满足A ?C ，B ??U C.故选C .
例1.(4) 《名师一号》P4 对点自测5
已知p ：－4 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析:－4 注意： 3、利用集合法判断充要条件 《名师一号》P6 特色专题 方法二 集合法 涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关的命题时，一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性．具体对应关系如下： 若条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断． （1）若?≠ A B ，则p 是q 的充分但不必要条件 （2）若?≠B A ，则 p 是q 的必要但不充分条件 （3）若B A =，则p 是q 的充要条件 （4）若B A ?/，且B A ? /， 则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----若A 、B 具有包含关系，则 （1）小范围是大范围的充分但不必要条件 （2）大范围是小范围的必要但不充分条件 例2.《名师一号》P5 高频考点 例3 函数f (x )＝??? log 2x ，x >0， 2x －a ，x ≤0 有且只有一个零点的 充分不必要条件是( ) A ．a ≤0或a >1 B ．0 2 解析:因为f (x )＝??? log 2x ，x >0， 2x －a ，x ≤0 有且只有一个零点 的充要条件为a ≤0或a >1.由选项可知，使“a ≤0或a >1”成立的充分条件为选项D. 注意：《名师一号》P5 高频考点 例3 规律方法 有关探求充要条件的选择题，解题关键是： 首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项； 其次，利用以小推大的技巧，即可得结论． 务必审清题，明确“谁是条件”！ 此题选项是条件！ 练习：(补充) 已知:3≠p x 且2≠y ，:5+≠q x y ，则p 是q 的 条件。 答案: 既不充分条件也不必要条件 例3.《名师一号》P6 特色专题 例3 已知命题p ：关于x 的方程4x 2－2ax ＋2a ＋5＝0的解集 至多有两个子集，命题q ：1－m≤x≤1＋m ，m>0，若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 【规范解答】 ∵p ?是q ?的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件． 对于命题p ，依题意知 Δ＝(－2a)2－4·4(2a ＋5)＝4(a 2－8a －20)≤0， ∴－2≤a≤10， 令P ＝{a|－2≤a≤10}，Q ＝{x|1－m≤x≤1＋m ，m>0}， 由题意知?≠ P Q ， ∴??? m>0， 1－m<－2，1＋m≥10 或??? m>0， 1－m≤－2，1＋m>10， 解得m≥9.因此实数m 的取值范围是{m|m≥9}． 注意：(补充) 凡结合已知条件求参数的取值范围 是求满足条件的等价条件即充要条件 练习：(补充) 已知:210;:11(0)p x q m x m m -≤≤-≤≤+>. 若p ?是q ?的必要但不充分条件， 求实数m 的取值范围． 解：p ?是q ?的必要但不充分条件 即 p ??/q ? 且 q ??p ? 等价于 q ?/p p ?q 即 p 是q 的充分但不必要条件 令{}210A x x =-≤≤ {}11(0)B x m x m m =-≤≤+> 则 A B ? 即 12 110 m m -≤-??+≥? 解得 9m ≥ 所以实数m 的取值范围是{}9m m ≥ 注：A 是B 的真子集，须确保12 110 m m -≤-??+≥? 中的等号不同时取得 例4. (补充) 求证：关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的 充要条件是a ≤1. 证明：充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0的根为x ＝－1 2 ，方程有一个负根，符合题意． 当a <0时，Δ＝4－4a >0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个 不相等的实根，且1 a <0，方程有一正一负根，符合题意．