实验2 查找第K小元素的问题

查找第k小元素分治法思路
分治法是一种常用的算法思想，可以用来解决许多问题，如在一个数组中查找第k小的元素。

这种问题可以通过分治法来解决。

首先，将数组分成大小相等的几个子数组，然后找出每个子数组的中位数。

通过比较每个中位数和目标值，可以将问题缩小到一个子数组中。

如果目标值小于中位数，则只需要在左侧子数组中寻找第k小元素，否则只需要在右侧子数组中寻找第k小元素。

如果目标值恰好等于中位数，那么中位数就是第k小元素。

通过递归调用该算法，最终可以找到第k小元素。

该算法的时间复杂度为O(nlogn)，与快速排序类似。

但是，该算法需要额外的空间来存储中位数，因此在空间复杂度方面略劣于快速排序。

- 1 -。

福建工程学院计算机与信息科学系实验报告2010 – 2011 学年第一学期任课老师：实验题目1．设计程序利用分治策略求n个数的最大值和最小值。

2．利用分治策略，在n个不同元素中找出第k个最小元素。

实验时间实验开始日期：报告提交日期：实验目的、要求一、算法设计技术当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。

对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。

如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。

这就是分治策略的基本思想。

下面通过实例加以说明。

【例】在n个元素中找出最大元素和最小元素。

我们可以把这n个元素放在一个数组中，用直接比较法求出。

算法如下：void maxmin1(int A[],int n,int *max,int *min){ int i;*min=*max=A[0];for(i=2;i < n;i++){ if(A[i] > *max) *max= A[i];if(A[i] < *min) *min= A[i];}}上面这个算法需比较2(n-1)次。

能否找到更好的算法呢？我们用分治策略来讨论。

把n个元素分成两组：A1={A[1],...,A[int(n/2)]}和A2={A[int(N/2)+1],...,A[N]}分别求这两组的最大值和最小值，然后分别将这两组的最大值和最小值相比较，求出全部元素的最大值和最小值。

如果A1和A2中的元素多于两个，则再用上述方法各分为两个子集。

直至子集中元素至多两个元素为止。

例如有下面一组元素：-13，13，9，-5，7，23，0，15。

用分治策略比较的过程如下：图中每个方框中，左边是最小值，右边是最大值。

从图中看出，用这种方法一共比较了10次，比直接比较法的14次减少4次，即约减少了1/3。

算法设计与分析第三版第四章课后习题答案4.1 线性时间选择问题习题4.1问题描述：给定一个长度为n的无序数组A和一个整数k，设计一个算法，找出数组A中第k小的元素。

算法思路：本题可以使用快速选择算法来解决。

快速选择算法是基于快速排序算法的思想，通过递归地划分数组来找到第k小的元素。

具体步骤如下： 1. 选择数组A的一个随机元素x作为枢纽元。

2. 使用x将数组划分为两个子数组A1和A2，其中A1中的元素小于等于x，A2中的元素大于x。

3. 如果k等于A1的长度，那么x就是第k小的元素，返回x。

4. 如果k小于A1的长度，那么第k小的元素在A1中，递归地在A1中寻找第k小的元素。

5. 如果k大于A1的长度，那么第k小的元素在A2中，递归地在A2中寻找第k-A1的长度小的元素。

6. 递归地重复上述步骤，直到找到第k小的元素。

算法实现：public class LinearTimeSelection {public static int select(int[] A, int k) { return selectHelper(A, 0, A.length - 1, k);}private static int selectHelper(int[] A, int left, int right, int k) {if (left == right) {return A[left];}int pivotIndex = partition(A, left, righ t);int length = pivotIndex - left + 1;if (k == length) {return A[pivotIndex];} else if (k < length) {return selectHelper(A, left, pivotInd ex - 1, k);} else {return selectHelper(A, pivotIndex + 1, right, k - length);}}private static int partition(int[] A, int lef t, int right) {int pivotIndex = left + (right - left) / 2;int pivotValue = A[pivotIndex];int i = left;int j = right;while (i <= j) {while (A[i] < pivotValue) {i++;}while (A[j] > pivotValue) {j--;}if (i <= j) {swap(A, i, j);i++;j--;}}return i - 1;}private static void swap(int[] A, int i, int j) {int temp = A[i];A[i] = A[j];A[j] = temp;}}算法分析：快速选择算法的平均复杂度为O(n)，最坏情况下的复杂度为O(n^2)。

数据结构的试题及答案一、选择题1. 在数据结构中，线性表的顺序存储方式被称为：A. 栈B. 队列C. 链表D. 数组答案：D2. 以下哪种数据结构是动态数据结构？A. 数组B. 链表C. 栈D. 队列答案：B3. 树的度是树内所有节点的度的最大值，树的深度是树的最长路径上的节点数。

以下哪个选项正确描述了树的度和深度？A. 度是节点的最大值，深度是路径上节点数B. 度是路径上节点数，深度是节点的最大值C. 度是节点的最大值，深度是节点的最大值D. 度是路径上节点数，深度是路径上节点数答案：A二、简答题1. 请简述链表和数组的区别。

答案：链表和数组是两种不同的数据存储方式。

数组是连续的内存空间，可以通过索引快速访问元素，但插入和删除操作可能需要移动大量元素。

链表由一系列节点组成，每个节点包含数据部分和指向下一个节点的指针，链表的插入和删除操作不需要移动其他元素，但访问特定元素需要从头开始遍历。

2. 什么是二叉搜索树？它有哪些特点？答案：二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其左子树中的任何节点的值，并且小于或等于其右子树中的任何节点的值。

BST的主要特点是它支持快速的查找、插入和删除操作，时间复杂度为O(log n)。

三、计算题1. 给定一个链表，编写一个算法来删除链表中的重复元素。

答案：以下是删除链表中重复元素的算法步骤：- 遍历链表，使用一个哈希表来记录已经遇到的元素。

- 当遍历到一个新元素时，检查它是否已经在哈希表中。

- 如果已经存在，删除当前节点，并继续遍历。

- 如果不存在，将元素添加到哈希表中，并继续遍历。

- 完成遍历后，链表中的重复元素将被删除。

2. 假设有一个二叉搜索树，编写一个算法来找到树中第k小的元素。

答案：以下是找到二叉搜索树中第k小元素的算法步骤：- 从根节点开始，使用中序遍历（左-根-右）。

- 遍历过程中，记录访问的节点数量。

- 当访问到第k个节点时，该节点即为所求的第k小的元素。

实验一找最大和最小元素与归并分类算法实现（用分治法）一、实验目的1．掌握能用分治法求解的问题应满足的条件；2．加深对分治法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

二、实验内容1、找最大和最小元素输入n 个数，找出最大和最小数的问题。

2、归并分类将一个含有n个元素的集合，按非降的次序分类（排序）。

三、实验要求（1）用分治法求解问题（2）上机实现所设计的算法；四、实验过程设计（算法设计过程）1、找最大和最小元素采用分治法，将数组不断划分，进行递归。

递归结束的条件为划分到最后若为一个元素则max和min都是这个元素，若为两个取大值赋给max，小值给min。

否则就继续进行划分，找到两个子问题的最大和最小值后，比较这两个最大值和最小值找到解。

2、归并分类使用分治的策略来将一个待排序的数组分成两个子数组，然后递归地对子数组进行排序，最后将排序好的子数组合并成一个有序的数组。

在合并过程中，比较两个子数组的首个元素，将较小的元素放入辅助数组，并指针向后移动，直到将所有元素都合并到辅助数组中。

五、源代码1、找最大和最小元素#include<iostream>using namespace std;void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin); int main() {int n;int left=0, right;int fmax, fmin;int num[100];cout<<"请输入数字个数：";cin >> n;right = n-1;cout << "输入数字:";for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}MAXMIN(num, left, right, fmax, fmin);cout << "最大值为：";cout << fmax << endl;cout << "最小值为：";cout << fmin << endl;return 0;}void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin) { int mid;int lmax, lmin;int rmax, rmin;if (left == right) {fmax = num[left];fmin = num[left];}else if (right - left == 1) {if (num[right] > num[left]) {fmax = num[right];fmin = num[left];}else {fmax = num[left];fmin = num[right];}}else {mid = left + (right - left) / 2;MAXMIN(num, left, mid, lmax, lmin);MAXMIN(num, mid+1, right, rmax, rmin);fmax = max(lmax, rmax);fmin = min(lmin, rmin);}}2、归并分类#include<iostream>using namespace std;int num[100];int n;void merge(int left, int mid, int right) { int a[100];int i, j,k,m;i = left;j = mid+1;k = left;while (i <= mid && j <= right) {if (num[i] < num[j]) {a[k] = num[i++];}else {a[k] = num[j++];}k++;}if (i <= mid) {for (m = i; m <= mid; m++) {a[k++] = num[i++];}}else {for (m = j; m <= right; m++) {a[k++] = num[j++];}}for (i = left; i <= right; i++) { num[i] = a[i];}}void mergesort(int left, int right) { int mid;if (left < right) {mid = left + (right - left) / 2;mergesort(left, mid);mergesort(mid + 1, right);merge(left, mid, right);}}int main() {int left=0,right;int i;cout << "请输入数字个数：";cin >> n;right = n - 1;cout << "输入数字:";for (i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}mergesort(left,right);for (i = 0; i < n; i++) {cout<< num[i];}return 0;}六、运行结果和算法复杂度分析1、找最大和最小元素图1-1 找最大和最小元素结果算法复杂度为O(logn）2、归并分类图1-2 归并分类结果算法复杂度为O(nlogn）实验二背包问题和最小生成树算法实现（用贪心法）一、实验目的1．掌握能用贪心法求解的问题应满足的条件；2．加深对贪心法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

如何找出数组中第k⼩的数
题⽬描述：给定⼀个整数数组，如何快速地求出该数组中第k⼩的数。

假如数组为{4，0，1，0，2，3}，那么第3⼩的元素是1。

分析与解答:
⾸先想到的是给数组排序,然后根据下标是K-1 的数,由于只要求第k⼩的数，因此，没有必要对数组进⾏完全排序，只需要对数组进⾏局部排序就可以了。

下⾯分别介绍这⼏种不同的实现⽅法。

⽅法⼀：排序法 (不推荐)
由于最⾼效的排序算法（例如快速排序）的平均时间复杂度为O（Nlog2N）
⽅法⼆：部分排序法
由于只需要找出第k⼩的数，因此，没必要对数组中所有的元素进⾏排序，可以采⽤部分排序的⽅法。

具体思路为：通过对选择排序进⾏改造，第⼀次遍历从数组中找出最⼩的数，第⼆次遍历从剩下的数中找出最⼩的数（在整个数组中是第⼆⼩的数），第k次遍历就可以从N-k+1（N为数组的长度）个数中找出最⼩的数（在整个数组中是第k⼩的）。

这种⽅法的时间复杂度为O（n*k）。

当然也可以采⽤堆排序进⾏k趟排序找出第k⼩的值。

⽅法三：快速排序⽅法 (推荐)
快速排序的基本思想是：将数组array[low…high]中某⼀个元素（取第⼀个元素）作为划分依据，然后把数组划分为三部分：（1）array[low…i-1]（所有的元素的值都⼩于或等于array[i]）、（2）array[i]、（3）array[i+1…high]（所有的元素的值都⼤于array[i]）。

在此基础上可以⽤下⾯的⽅法求出第k⼩的元素：。

实验报告二．实验内容(一)选择问题（求第K小元素）1.问题描述给定一个有n 个整数的数组A[1...n]和正整数k，寻找A中的第k小元素s（直接计算的阈值为6）。

2. 测试数据输入：17 21 5 23 9 37 15 3 11 25 31 13 29 7 19（第10小元素）8 33 17 51 57 49 35 11 25 37 14 3 2 13 52 12 6 29 32 54 5 16 22 23 7（第13小元素）输出：21223. 设计与实现的提示算法时间复杂性是衡量其优劣的重要指标，要求设计尽可能高效的算法，并分析其时间复杂性。

四、实验步骤（描述实验步骤及中间的结果或现象。

在实验中做了什么事情，怎么做的，发生的现象和中间结果）在VC++6.0中新建文件DivideConquer，并在此文件中编写如下代码：#include<stdio.h>void setData(int a[],int n)//初始化数组{printf("请输入%d个数组元素值：\n",n);for(int i=0 ; i<n ; i++){scanf("%d",&a[i]);}}void sort(int a[],int n)//冒泡排序{for(int i=0;i<n;i++)for(int j=i+1;j<n;j++){if(a[i]>a[j]){int k = a[i];a[i] = a[j];a[j] = k;}}}int localData(int a[] ,int value)//返回value在数组中的位置{int i = 0;while(a[i]!=value)i++;return i ;}void copyData(int a[],int d[],int n)//将数组d复制到数组a{for(int i=0;i<n;i++)a[i] = d[i];}int divisionRecursion(int a[] ,int n,int k)//分治递归，求第k小元素,n为数组a的元素个数{if(n <= 6)//将阀值设为6{sort(a,n);return a[k-1];}else{int b[10],c[10],d[50];int i = 0,j = 0 ,t = 0;while(i<n)//将原数组分成每组5（或<5）个元素的数组，{ //并对每组排序后分别取中项存于数组c中，再对数组c排序b[j++] = a[i++];if(i%5==0||i==n){sort(b,j);c[t++] = b[j/2];j = 0;}}sort(c,t);if(k == localData(a,c[t/2])) return c[t/2];//若k等于数组c中项在原数组a中的位置，则返回此中项即为所求else if(k < localData(a,c[t/2]))//若k小于c的中项在a中的位置，则抽出小于此中项的值存于数组d中，并复制到a，再进行递归{int i = 0,j = 0;while(i<n){if(a[i] < c[t/2])d[j++] = a[i];i++;}n=j;copyData(a,d,j);return divisionRecursion(a,n, k);}else //若k大于c的中项在a中的位置，则抽出大于此中项的值存于数组d中，并复制到a，再进行递归{int i = 0,j = 0;while(i<n){if(a[i] > c[t/2])d[j++] = a[i];i++;}k=k-n+j;n=j;copyData(a,d,j);return divisionRecursion(a ,n, k);}}}void main(){int a[50] , n , k , value;printf("请输入数组元素个数n的值：");scanf("%d",&n);setData(a ,n);//初始化数组printf("请输入第k小元素中k的值：");scanf("%d",&k);value = divisionRecursion(a,n,k);printf("数组的第%d小元素是：%d\n",k,value);}五、实验结果与讨论（描述最终得到的结果，并进行分析说明，可能的误差原因）编译并运行以上代码，测试两组数据，结果如下：六、总结无。

c语言第k小整数摘要：一、C 语言简介二、第k 小整数问题三、求解第k 小整数的算法1.暴力法2.快速排序法3.堆排序法四、总结与展望正文：C 语言是一种广泛应用于计算机领域的编程语言，简洁、高效是其最大的特点。

在算法竞赛和面试中，经常会遇到一些涉及C 语言的问题，其中求解第k 小整数的问题就是一个经典问题。

所谓第k 小整数问题，就是给定一个整数数组A，以及一个整数k，求数组A 中第k 小的整数。

这个问题看似简单，实则需要运用一定的算法知识才能解决。

为了解决这个问题，我们可以采用以下几种算法：1.暴力法：遍历整个数组，将数组元素按照从小到大的顺序排列，然后直接返回第k 小的元素。

这种方法的时间复杂度为O(n^2)，显然效率较低，不适合处理大规模数据。

2.快速排序法：利用快速排序的性质，对数组进行分区，然后根据分区情况调整k 的值。

具体而言，首先对数组A[low, high] 进行快速排序，将A[low] 与A[high] 进行交换，此时A[low] 为数组中的最小值。

如果k > n - low + 1，那么第k 小的整数就是A[low + k - 1]；否则，第k 小的整数就是A[high - k + 1]。

这种方法的时间复杂度为O(nlogn)，效率较高，是求解第k 小整数问题的首选算法。

3.堆排序法：利用堆排序的性质，对数组进行排序，然后直接返回第k 小的元素。

具体而言，首先构建一个大顶堆（或小顶堆），然后将堆顶元素与堆底元素进行交换，此时堆顶元素为数组中的最大值（或最小值）。

接下来，将堆的大小减一，并对剩余元素重新调整堆结构。

重复这个过程，直到堆的大小为k。

这种方法的时间复杂度为O(nlogn)，同样是一种高效的算法。

综上所述，求解第k 小整数问题有多种算法可供选择。

2023NOIP考题解析题目一：数据结构与算法本题主要考察的是对数据结构和算法的理解与运用。

给定一组数字序列，请设计一个算法，找出该序列中第k小的数字。

输入输入包括两行。

第一行为一个整数n，表示数字序列的长度。

第二行为n个以空格分隔的整数，表示数字序列。

输出输出一个整数，表示数字序列中第k小的数字。

样例输入89 2 4 7 1 5 3 8样例输出3题解思路为了找出第k小的数字，我们可以使用堆排序的算法。

首先，将输入的数字序列构建成一个小顶堆。

然后，依次将堆顶元素取出，并将其与堆尾元素进行交换，再对堆进行调整，直到取出k个数字为止。

具体实现步骤如下：1.将输入序列构建成一个小顶堆。

可以使用数组或者二叉堆来实现堆结构。

2.依次取出堆顶元素，并将其与堆尾元素进行交换。

3.对堆进行调整，以满足堆的性质。

4.重复步骤2和3，直到取出k个数字为止。

5.返回堆尾元素，即为第k小的数字。

时间复杂度分析构建小顶堆的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为数字序列的长度。

每次调整堆的时间复杂度为O(logn)。

因此，该算法的时间复杂度为O(n+klogn)。

题目二：动态规划本题主要考察的是动态规划的思想和应用。

给定一个包含n个正整数的序列，要求选取一个长度至少为2的子序列，使得该子序列中元素之和最大。

输入输入包括两行。

第一行为一个整数n，表示序列的长度。

第二行为n个以空格分隔的正整数，表示序列。

输出输出一个整数，表示选取的子序列中元素之和的最大值。

样例输入6-2 1 -3 4 -1 2 1 -5 4样例输出6题解思路该题可以使用动态规划的思想来解决。

定义一个数组dp，dp[i]表示以第i个元素结尾的子序列中元素之和的最大值。

则 dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])。

具体实现步骤如下：1.初始化一个长度为n的数组dp，初始值均为0。

2.根据动态规划的递推公式，计算dp数组的每个元素的值。