函数、极限、连续
一、填空题
1．（2004gj ）设函数x x x f -+=11ln
)(，则函数)1
()2(x
f x f +的定义域为 ． 解：由函数x x x f -+=11ln )(的定义域为1
，有???>->+，，0101x x 或
??
?<-<+，
，0101x x 前者得11<<-x ，后者无解）；有)1()2(x f x f +中的x 应满足12
f x f +的定义域为21< 1( f ． 解：令21= =y x ，则22 2== +y x ，由)()()(y f x f y x f +=+，有 1)2 1( 2)2 1( )2 1()2(==+=f f f f ，所以2 1 )2 1(= f ． 3．（2005gj ）极限=+++-+-∞ →x x x x x x sin 1 14lim 2 2 ． 解：11 1 2/)(sin 1/11/1)/1(4lim sin 1 14lim 2 222=-+-= +-++-+-=+++-+-∞ →-∞ →x x x x x x x x x x x x ． 4．（2002gj ）极限=-+∞→x x x x 1 sin 1312lim 2 ． 解：3 2312lim )11312(lim 1sin 1312lim 2222=-+=?-+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x x ． 5．（2014gj ）极限=+→x x x x 210 ) cos (sin lim ． 解：方法（1）=+=+→→x x x x x x x x x 42sin 2sin 10 21 ]) 2sin 1[(lim ) cos (sin lim 2 1e ． 方法（2）设x x x y 21) cos (sin +=，则x x x y 2) cos ln(sin ln += ， 因为2 1 )cos (sin 2sin cos lim 2)cos ln(sin lim ln lim 000 =+-=+=→→→x x x x x x x y x x x ， 所以=+→x x x x 21 ) cos (sin lim 2 1e ． 6．（2011gj ）设b ax x x x f ++-+= 23 2)(2，若0)(lim =∞→x f x ，则=a ，=b ． 解：（方法1）223)2()2(232)(22--+-++=++-+=x b x a b x a b ax x x x f ，由0)(lim =∞→x f x ， 即02 23)2()2(lim 2=--+-++∞→x b x a b x a x ，根据有理函数在∞→x 时极限的性质，有 ?? ?=-=+， ， 0202a b a 的42-=-=b a ，． （方法2）（按斜渐近线法求）由2)2(3 2lim 2=-+=-∞→x x x a x ，得2-=a ， 4234l i m )22 32(l i m 2=-+--+=-∞→∞→x x x x x b x x ，得4-=b ． 7．（2012gj ）设极限21 e 1 2sin )(1lim 30 =--+→x x x x f ，则=→)(lim 0 x f x ． 解：由1 e 1 2sin )(1lim 30 --+→x x x x f 存在，可知02sin )(lim 0 =→x x f x ，于是 当0→x 时，)(~2 2sin )(~ 12sin )(1x xf x x f x x f -+， 因为2)(lim 31 3)(lim 1 e 1 2sin )(1lim 30 ===--+→→→x f x x xf x x f x x x x ，所以，6)(lim 0=→x f x ． 8．（2011gj ）设)(x f 是连续函数，且4cos 1)(lim 0=-→x x f x ，则极限=??? ? ? +→x x x x f 1 0)(1lim ． 解：由42/)(lim cos 1)(lim 200==-→→x x f x x f x x ，有2)(lim 20=→x x f x ，且知0) (lim )(lim 00==→→x x f x f x x ． 设x x x f y 1)(1?? ? ??+ =，则x x x f y ] ) (1ln[ln + =，于是 2)(lim ] )(1ln[lim ln lim 200 ==+ =→→→x x f x x x f y x x x ，所以21 0e )(1lim =?? ? ??+→x x x x f ． 9．(2013gj)已知极限2)221(lim 2 12 =-++→x ax x x x ，则常数=a ． 解：（方法1）设2 1 2 )221(x ax x x y +-+=，则2 2) 221ln(ln x ax x x y +-+=，于是 2ln 2 22lim 22lim )221ln(lim ln lim 02202200==+-=+-=+-+=→→→→a x a x x ax x x x ax x x y x x x x ， 所以2 ln 2 = a ． （方法2）因为2e ])221[(lim )221(lim 22212 12 2 2 2 2 ==-+=-++--→+→a x ax x x x x x x ax x x x x x ，所以 2ln 2=a ，即2 ln 2=a ． 10．（2001gj ）函数?????≥+<-=， ，； ，0cos 01 e )(22x x x a x x x f x 在（-∞，+∞）上连续，则=a ． 解：22lim 1e lim )0(020==-=- -→→- x x x f x x x ；a x x a f x =+=-→+)cos (lim )0(2 0；a f =)0(， 由)0()0()0(f f f ==+ -，得2=a ． 11．（2004gj ）设函数????? =≠=,0, , 0,)(co s )(1 x a x x x f x 若)(x f 在区间)(∞+-∞，内连续，则 =a ． （注：此题有误，应改为????? =≤<=,0, , 20,)(cos )(1x a x x x f x π在区间]22[ππ，-上连续） 解：2 1cos 2sin lim cos ln lim 1 e e e ) (cos lim )(lim 00 - -→→=====→→x x x x x x x x x x x x f a ． 12．（2006）若?? ???≤->-=0,1e ,0,arctan e 1)(22sin x a x x f x x x 是区间)(∞+-∞，上的连续函数，则=a ． 解：1) 1e ()0(0 2-=-==a a f x x ；1)1e (lim )(lim )0(20 -=-==- -→→-a a x f f x x x ； 22/s i n lim arctan e 1lim )(lim )0(0sin 00-=-=-==+++→→→+ x x x f f x x x x x ， 只需函数)(x f 在0=x 点连续，应有)0()0()0(f f f ==+-，于是21-=-a ，得1-=a ． 二、单项选择题 13．（2004gj ）已知极限31 e 1 tan )(1lim 20 =--+→x x x x f ，则极限=→)(lim 0 x f x ，则极限= →)(lim 0 x f x （ ）． （A ） 12； （B ） 3； （C ） 1； （D ） 0． 解：由分母极限为零，易知0tan )(lim 0 =→x x f x ，于是 3)(lim 4 1 22tan )(lim 1 e 1 tan )(1lim 00 20 ==?=--+→→→x f x x x f x x f x x x x ，所以12)(lim 0=→x f x ．选（A ） 14．（2008gj ）当0→x 时，)1ln()11(22x x +--是比)1ln(n x +高阶的无穷小，而)1ln(n x +是比x cos ln 高阶的无穷小，则自然数n 等于（ ）． （A ） 4； （B ） 3； （C ） 2； （D ） 1． 解：当0→x 时，2 2~)1ln ()11(4 222 2 x x x x x -=?-+--，而n n x x ~)1ln (+，由于 )1ln ()11(22x x +--是比)1ln(n x +高阶的无穷小，有n >4． 又2 ~1cos ~)]1(cos 1ln[cos ln 2 x x x x ---+=，由于)1ln(n x +是比x cos ln 高阶的无 穷小，有2>n ，从而42< 15．（2009gj ）设函数)()()(x v x u x f +=，)()()(x v x u x g -=，又极限)(lim 0 x u x x →与) (lim 0 x v x x →都不存在，则下列结论中正确的是（ ）． （A ） 若极限)(lim 0 x f x x →不存在，则极限)(lim 0 x g x x →必定不存在； （B ） 若极限)(lim 0 x f x x →不存在，则极限)(lim 0 x g x x →必定存在； （C ） 若极限)(lim 0 x f x x →存在，则极限)(lim 0 x g x x →必定存在； （D ） 若极限)(lim 0 x f x x →存在，则极限)(lim 0 x g x x →必定不存在． 解：只有（D ）是正确的，事实上：若)(lim 0 x g x x →存在，由)(lim 0 x f x x →存在，则有 )(l i m 2)]()([lim 0 x u x g x f x x x x →→=+存在，与)(lim 0 x u x x →不存在矛盾，所以)(lim 0 x g x x →必定不存在． （A ）的否定用例子x x v x u sgn )()(==，在0=x 点，此时x x f sgn 2)(=，0)(≡x g ； （B ）的否定用例子x x v x x u sgn )(sgn 2)(==、，在0=x 点，此时x x f sgn 3)(=， x x g sgn )(=； （C ）的否定用例子x x v x x u sgn )(sgn )(-==、，在0=x 点，此时0)(≡x f ， x x g sgn 2)(=． 16．（2010j ）下列命题： （1）设a u n n =∞ →lim ，b v n n =∞ →lim ，且b a >，则必有n n v u >（ ，，，321=n ） ； （2）设n n v u >（ ，，，321=n ） ，且a u n n =∞ →lim ，b v n n =∞ →lim ，则必有b a >； （3）设n n n v x u ≤≤（ ，，，321=n ） ，且0)(lim =-∞ →n n n v u ，则n n x ∞ →lim 必存在． 正确的个数为( ) ． （A ） 零个； （B ） 1个； （C ） 2个； （D ）3个． 解：（1）是错误的，如1+=n n u n 、n v n 10=，则11l i m =+=∞→n n a n ，010 lim ==∞→n b n ，显然b a >， 但是没有n n v u >，如 102 1 11=<=v u ，只有n 充分大以后有n n v u >成立； （2）也是错误的，如n u n 2=、n v n 1=，显然n n v u >，而02lim ==∞→n a n ，01 lim ==∞→n b n ， 则b a =，而不是b a >，结论应是b a ≥； （3）也不正确，如n n n n v u x )1(-===，显然n n n v x u ≤≤，且00lim )(lim ==-∞ →∞ →n n n n v u ， 但是极限n n n n x )1(lim lim -=∞ →∞ →不存在．选（A ）． 17．（2001gj ）若极限0)(lim 0 u x x x =→?，且A u f u u =→)(lim 0 ，则（ ）． （A ） )]([lim 0 x f x x ?→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0 ?； （C ） )]([lim 0 x f x x ?→不存在； （D ） 以上选项均不对． 解：（A ）、（B ）的否定可以用例子：? ??∈∈=，，， ，Q x Q x x x c 0)(?取00=x ，000)(lim u x x ==→?， 而取)(sgn )(2u u f =，则1)(lim 0 =→u f u ，但是?? ?∈∈=， ，， ，c Q x Q x x f 10)]([?)]([lim 0 x f x ?→不存在，事实上：取，x x n 1= 则0)]([lim =∞→n n x f ?，又取n y n 2=，则1)]([lim =∞→n n y f ?． （C ）的否定，只要加条件0u u ≠，就是复合函数求极限定理，则有A x f x x =→)]([lim 0 ?． 所以，只能选（D ）． 18．（2002g ）曲线) 2)(1(1 arctan e 21 -++-=x x x x y x 的渐近线有（ ）． （A ） 1条； （B ） 2条； （C ） 3条； （D ） 4条． 解：由4 )2)(1(1arctan e lim )(lim 212 π =-++-=∞→∞→x x x x x y x x x ，水平渐近线为4π=y ； 由0) (lim =∞→x x y x ，曲线没有斜渐近线； 函数不连续点有210=-==x x x 、、，而21=-=x x 、都是跳跃间断点，在该处没有 渐近线，有∞=-++-=→→) 2)(1(1 arctan e lim )(lim 21 002 x x x x x y x x x ，铅直渐近线为0=x ． 所以曲线) 2)(1(1 arctan e 21 2 -++-=x x x x y x 有2条渐近线． 选(B) 19．（2006gj ）曲线12+-+ =x x x y （ ） ． （A ） 没有渐近线； （B ） 有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C ） 有一条铅直渐近线； （D ） 有两条水平渐近线． 解：函数12+-+ =x x x y 在)(∞+-∞， 内有定义，且处处连续，没有铅直渐近线； 2 1 /1/111/11lim 1 1lim )1(lim lim 2 22= +-+-=+---=+-+=-∞ →-∞ →-∞ →-∞ →x x x x x x x x x x y x x x x ， 有一条水平渐近线2 1= y ； +∞=+-+=+∞→+∞→)1(lim lim 2 x x x y x x ，21 lim lim 2=+-+=+∞→+∞→x x x x x y x x ，有一条斜渐近线且斜率2=a ．所以有一条水平渐近线和一条斜渐近线． （2 1 11lim )1(lim )2(lim 22 - =++-+-=-+-=-=+∞ →+∞ →+∞ →x x x x x x x x y b x x x ，斜渐近线为2 12- =x y ）．选（B ） 20．（2009gj ）函数x x x f -= 1ln )(的第一类间断点的个数为（ ）． （A ） 0； （B ） 1； （C ） 2； （D ） 3． 解：函数在210===x x x 、、三点无定义，由于2) 1(ln 1ln )(x x x x x f -= -= 是初等函数，所以函数共有三个间断点． 又1)1ln(lim )(lim 00 -=-=→→x x x f x x ，01ln lim )(lim 11=-=→→x x x f x x ， ∞=-=→→) 1ln(lim )(lim 22 x x x f x x ，所以10==x x 、是第一类间断点（且是可去间断点）， 而2=x 是第二类间断点（且是无穷间断点）．共有两个第一类间断点．选（C ） 三、计算与解答题 21. (2013gj)（本题7分）设10≠>a a 、，求极限20 )(lim x a x a x x x -+→． 解：（方法1）2)1ln(0 2[0201e lim 1)1(lim )(lim x x a x a x a x a a x x x x x x x x x -=-+=-++→→→ a ax x x a x x x x 1lim ) 1ln(lim 0 20==+=→→． （方法2）x a a x a x a x a x x a x a x x x x x x x 2ln )ln()()(lim )(lim 10 20-++++=-+-→→ 2ln )()(ln )()ln()(lim 2122 10a a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x -+++++++++=-→ a a a a a a a 1 ln 21ln 02111=-+++=． 22．（2010gj ）设n x n +++++++= 21131211，则极限=∞→n n x lim ． 解：)211 31211(lim lim n x n n n ++++ +++=∞→∞→ ]3211 3211211[ lim 211n n ++++++++++++=∞→ ]) 1(2432321[lim 23+++?+?+= ∞→n n n 2 5123)]111()4131()3121[(lim 223=+=+-++-+-+= ∞→n n n ． 23．（2012gj ）（本题7分）设数列21 1)2 1(-+=n n a a （ ，，，321=n ） ，且θcos 0=a （其中πθ<<0），求极限)1(4lim n n n a -∞ →． 解： 2 cos )2cos 1()21(21 2 101θθ=+=+=a a ， 221 21122 c o s )22/c o s 1()21(θ θ=+=+=a a ， 321 221232c o s )22/c o s 1()21(θ θ=+=+=a a ，依次类推，有n n a 2cos θ=，所以 2 )2/2 4(l i m )2 c o s 1(4l i m )1(4l i m 2 22 θθθ = ?=-=-∞ →∞ →∞ →n n n n n n n n n a ． 24．（2008j ）（本题6分）求b a ，的值，使函数 ?? ? ? ? ??>-≤≤+<--=1,11arctan ,10,,0,1 1)(x x x b ax x x ax x f 在所定义的区间上处处连续． 解：2 2/lim 11lim )0(00 a x ax x ax f x x -=-=--=- - →→- ，b b ax f x =+=+→+ )(lim )0(0，b f =)0(； b a b ax f x +=+=-→-)(lim )1(1 ，2 11arctan lim )1(1 π =-=+ →+x f x ，b a f +=)1(． 要使函数)(x f 定义的区间),(+∞-∞上处处连续，只需考虑函数)(x f 在0=x 与1=x 点 的连续性（其它点显然连续），由)0()0()0(f f f ==+-及)1()1()1(f f f ==+-，有 b a =- 2、2π=+b a ，得π=a 、2π -=b ． 四、证明题 25．（2001gj ）（本题8分）已知001>>x a ，，定义数列)3(4131n n n x a x x += +（ ，，，321=n ） ，证明极限n n x ∞ →lim 存在，并求之． 证明：当2>n 时，?? ? ? ??+++=+31 41n n n n n x a x x x x 443a x a x x x n n n n =≥，因此数列}{n x 有下界．又 ???? ??+=+41341n n n x a x x 1341=??? ? ?+≤a a ，即n n x x ≤+1，所以}{n x 单调递减，由极限存在准则知，数列}{n x 有极限． 设A x n n =+∞ →lim ，由??? ? ??+=+∞→++∞ →31 3lim 41lim n n n n n x a x x ，有??? ??+=3341A a A A ，即a A =4 ，解得4a A =（4A A -=舍去），所以4lim a x n n =+∞ →． 26．（2004gj ）（本题8分）设00>x ，1 12) 1(2--++= n n n x x x （ ，，，321=n ） ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求之． 证明：对任何自然数n ，都有 12111>++ =--n n n x x x ，且21) 1(21 1=++<--n n n x x x ， 所以数列}{n x 有界． 又)2)(2() (222222211 11n n n n n n n n x x x x x x x x ++-=???? ? ?+--???? ??+-=----+，这表明n n x x -+1与 1--n n x x 同号，进而可知n n x x -+1与01x x -同号． 当001≥-x x 时，数列}{n x 单调增加；当01x x <时，数列}{n x 单调减少，无论何种情况数列}{n x 都是单调有界数列，所以极限n n x ∞ →lim 存在． 设a x n n =∞ →lim ，令∞→n 对递推公式1 12)1(2--++= n n n x x x 两边取极限，有a a a ++=2) 1(2， 即22 =a ，解得a a = （根据极限的保号性，2-=a 舍去） ，所以2lim =∞ →n n x ． 27．（2010gj ）（本题8分）设121-≥a ，121+= +n n a a （ ，，，321 ），证明：极限n n a ∞ →lim 存在，并求其值． 证明：（方法1）12 12121211 11+++-= +-+= ----+n n n n n n n n a a a a a a a a ，于是 n n a a -+1与1--n n a a 同号，进而与12a a -同号． 对121-≥a ，若12a a ≥，则数列}{n a 单调增加；若12a a <，则数列}{n a 单调减少，因此无论何时，}{n a 是单调数列． 而1 111111212)3)(4(12a a a a a a a a +++-= -+= -． 当41>a 时，012<-a a ，此时数列}{n a 单调减少，且有下界6-． 当4121≤≤-a ，时用数学归纳法证明4≤n a ：根据假设1=n 时成立，设k n =时成立，即4≤k a ，当1+=k n 时，416121=≤+=+k k a a 亦成立，所以当4121≤≤-a ，数 列}{n a 既有下界6-又有上界4． 根据单调有界数列必有极限原理，所以极限n n a ∞ →lim 存在． 设a a n n =∞ →lim ，对递推公式121+= +n n a a 取极限，有12+=a a ，解得4=a ，所以 4lim =∞ →n n a ． （方法2）由4 44 124412401111-≤ ++-= -+=-≤----n n n n n a a a a a 1 1224444---≤ ≤-≤ n n a a ． 而00lim =∞ →n ，04 4lim 1 1=--∞ →n n a ，根据夹逼准则，04lim =-∞ →n n a ，所以4lim =∞ →n n a ． 28．（2009gj ）（本题6分）设函数)(x F 在0=x 点处连续，且0)0(=F ，又对任何实数x ，都有)()(x F x f ≤，证明函数)(x f 在0=x 点处也连续． 证明：由0)0()0(0=≤≤F f ，有0)0(=f ，从而0)0(=f ． 又由)()(x F x f ≤，有)()()(x F x f x F ≤≤-． 因为)(x F 在0=x 点处连续，有0)0()(lim 0 ==→F x F x ，进而0)(lim 0 =→x F x ，根据夹逼 准则，得)0(0)(lim 0 f x f x ==→，所以函数)(x f 在0=x 点处也连续． 29．（2004gj ）（本题6分）设正整数1>n ，证明方程 01122221212=-++++---x a x a x a x n n n n 至少有两个实根． 证明：设1)(121212-+++=--x a x a x x f n n n ，则其在区间),(+∞-∞上连续， 且1)0(-=f 、+∞=-∞ →)(lim x f x 、+∞=+∞ →)(lim x f x ． 当-∞→x 时，必存在01 当+∞→x 时，必存在02>x ，使得0)(2>x f 。由连续函数的零点定理可知，至少有一点)0(22x ，∈ξ，使得0)(2=ξf ． 综上可知，方程01121212=-+++--x a x a x n n n 至少有两个实根． 30．（2006j ）（本题8分）设函数)(x f 在闭区间]01[，上连续，且)1()0(f f =，证明对于任何给定的自然数2>n ，必存在)10[，∈n x 使得)1 ()(n x f x f n n +=． 证明：构造函数)1()()(n x f x f x F + -=∈x (]1,0[n n -）． 由)(x f 在闭区间]1,0[上连续，则)(x F 在闭区间]1 ,0[n n -上连续． 又)1()0()0(n f f F -=，)2()1()1(n f n f n F -=，)3 ()2()2(n f n f n F -=， )1()1 ()1(f n n f n n F --=-， ． （方法1）0)1()0()1 ()0(=-=-+f f n n F F ， 若0)0(=F ，取0=n x ，则∈n x )1,0[，于是0)(=n x F ，即)1()(n x f x f n n +=． 若0)0(≠F ，则0)1 ( )0(<-n n F F ，根据连续函数的零点定理，有∈n x )1,0(n n -（当 然)1,0[?n x ，使得0)(=n x F ，即)1 ()(n x f x f n n +=． 综上，必存在)10[，∈n x 使得)1 ()(n x f x f n n +=． （方法2）由0)1()0() 1 ()1()0(=-=-+++n f f n n n F n F F ，根据连续函数的平均 值定理（由介值定理得到），有∈n x ]1 ,0[n n -，使得 0) 1 ()1()0()(=-+++=n n n F n F F x F n ，所以)1()(n x f x f n n +=． 31．（2011j ）（本题7分）设函数)(x f 在闭区间][b a ，上连续，并对任一∈x ][b a ，，都存在∈y ][b a ，，使得)(2 1 )(x f y f = ，证明存在∈ξ][b a ，，使得0)(=ξf ． 证明：（方法1）由函数)(x f 在闭区间][b a ，上连续，则)(x f 在闭区间][b a ，上取得最小值m 与最大值M ，设最小值、最大值点分别为c 、d ，即m c f =)(、M d f =)(（c 、 ∈d ][b a ，）． 若0>m ，根据已知条件，有∈1x ][b a ，，使得2 )(21)(1m c f x f ==，与最小值为m 矛盾，所以m 不能大于零，即只有0≤m ． 若m 、M 至少由一个为零，则存在∈ξ][b a ，，使得0)(=ξf （其中ξ为c 或者d ）． 若m 、M 都不为零，由于对任一∈x ][b a ，，都存在∈y ][b a ，，使得)(2 1 )(x f y f = ，知0>M ，则在以c 、d 为端点的闭区间上函数)(x f 连续，且0)()( 综上，一定存在∈ξ][b a ，，使得0)(=ξf ． （方法2）若函数0)(≡x f ，则结论显然成立． 若函数)(x f 不恒为零，根据已知对任一∈x ][b a ，，都存在∈y ][b a ，，使得 )(2 1 )(x f y f = ，知)(x f 不可能恒负．若函数)(x f 恒正，这时其最小值0>m ，设最小值点为c ，即m c f =)(，再根据已知，存在∈y ][b a ，，使得2)(21)(m c f y f ==，与函数)(x f 最小值为m 矛盾，所以函数)(x f 也不能恒正． 综上，满足条件的连续函数)(x f 在区间][b a ，一定变号，所以一定存在∈ξ][b a ，，使得0)(=ξf ． 第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根． 班级：_______________ 学号：______________ 姓名：________________ 第十三章 多元函数的极限与连续性 §1. 平面点集 1.判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)(){}2 ,|E x y y x =<； (2)(){}2 2,|1E x y x y =+≠；(3)(){},|0E x y xy =≠； (4)(){},|0E x y xy ==；(5)(){},|02,222E x y y y x y =≤≤≤≤+；(6)()1,|sin ,0E x y y x x ?? ==>???? ； (7)(){}2 2,|10,01E x y x y y x =+==≤≤或； (8)(){},|,E x y x y =均为整数. 2．证明：平面点列{}n P 收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数 N ，使得当n N >时，对一切正整数p ，都有(,)n n p P P ρε+<. （其中(,)n n p P P ρ+表,n n p P P +之间的距离） §2. 多元函数的极限和连续性 1.求下列极限（包括非正常极限）： (1) 2200lim x y x y x y →→++； (2) ()332200 sin lim x y x y x y →→++； (3) 2200 x y →→； (4) ()22 00 1 lim sin x y x y x y →→++； (5) ()2 2 2 2 lim ln x y x y x y →→+； (6) 00lim cos sin x y x y e e x y →→+-； (7) 3 2 2 4200 lim x y x y x y →→+； (8) ()02 sin lim x y xy x →→； (9) 10 ln y x y x e →→+ (10) 12 1 lim 2x y x y →→-； (11) 4400 1 lim x y xy x y →→++； (12) 2222001lim x y x y x y →→+++； 题型 一．求下列函数的极限 二．求下列函数的定义域、值域 三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型 内容 一．函数 1.函数的概念 2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性 3.复合函数 4.基本初等函数与初等函数 5.分段函数 二．极限 （一）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则 （二）函数的极限 1.函数在无穷大处的极限 2.函数在有限点处的极限 3.函数极限的性质 4.极限的运算法则 （三）无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 2.无穷大量 3.无穷小量的性质 4.无穷小量的比较 5.等价无穷小的替换原理 三．函数的连续性 x处连续的定义 1.函数在点0 2.函数的间断点 3.间断点的分类 4.连续函数的运算 5.闭区间上连续函数的性质 例题详解 题型I函数的概念与性质 题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限） 题型III求数列的极限 题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值 题型V无穷小的比较 题型VI判断函数的连续性与间断点类型 题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明 自测题一 一． 填空题 二． 选择题 三． 解答题 3月18日函数与极限练习题 一．填空题 1.若函数121)x (f x -??? ??=，则______)x (f lim x =+∞ → 2.若函数1 x 1 x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→ 3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________ 4. 设 cos 0()0 x x f x x x ≤??=? >?? ，则 (0)f = __________ 5.已知函数 2 ()1 ax b x f x x x + 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==； 第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤ 基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x 第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞< 第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f = = ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ； 函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知 的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ② 要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知 第十六章 多元函数的极限与连续习题课 一 概念叙述题 1.叙述0 lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ． lim ()0,0,P P f P A εδ→=??>?>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-< （方形邻域）0,0,εδ??>?>当0x x δ-<，0y y δ-<， 00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-< （圆形邻域）0,0,εδ??>?>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=∞的定义． 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞??>?>-<-<≠>当时，有 0,0,0(,)G f x y G δδ??>?>< <>当时，有000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞??>?>-<-<≠<-当时，有 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞??>?>-<-<≠>当时，有． 3.叙述 0(,)(,) lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=??>?>?>>-<-<当时，有 4.叙述 0(,)(,) lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞??>?>?>-<<->当时，有 5. 叙述 (,)(,) lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义． (,)(,) lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞??>?><-><-当时，有． 注：类似写出(,)(,) lim (,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，?取0,,,x ∞+∞-∞， W 取0,,,y ∞+∞-∞． 6.叙述f 在点0P 连续的定义． f 在点0P 连续?ε?， 0δ?>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-< ?ε?， 0δ?>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-< 函数、极限与连续 复习题 一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x + 3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→ 第一章 函数与极限 §1 函数 一、是非判断题 1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ] 2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有 B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2 x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题 1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。 （A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是 （A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2 x 4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。 (A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=) 1arctan(+x e 2、 y=x x x ++ 3、 y=x ln ln ln 基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、 对数函数、 幂函数、 三角函数和反三角函数经 过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、 已知四个命题： （ 1）若 f (x) 在 x 0 点连续，则 f ( x) 在 x x 0 点必有极限 （2）若 f ( x) 在 x x 0 点有极限，则 f ( x) 在 x 0 点必连续 （3）若 f ( x) 在 x x 0 点无极限，则 f ( x) 在 x x 0 点一定不连续 （4）若 f ( x) 在 x x 0 点不连续，则 f (x) 在 x x 0 点一定无极限。 其中正确的命题个数是（ B ） A 、 1 B 、2 C 、 3 D 、 4 2、若 lim f ( x) a ，则下列说法正确的是（ C ） x x 0 A 、 f ( x) 在 x x 0 处有意义 B 、 f ( x 0 ) a C 、 f ( x) 在 x x 0 处可以无意义 D 、 x 可以只从一侧无限趋近于 x 0 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点 x 0 处连续的充要条件是在点 x 0 左、右连续 B 、函数 f ( x) 在点 x 0 处连续，则 lim f ( x) f ( lim x) x x 0 x x 0 C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数 f (x) 有 lim f ( x) f ( x 0 ) x x 0 4、已知 f ( x) 1 ，则 lim f ( x x) f ( x) 的值是（ C ） x x 0 x 1 1 B 、 x D 、 x A 、 C 、 x 2 x 2 5、下列式子中，正确的是（ B ） x x 2 1 x 1 x A 、 lim 1 B 、 lim 1 C 、 lim D 、 lim 0 1 x 0 x x 1 2(x 1) x1 x 1 x 0 x 6、 lim x 2 ax b ，则 a 、 b 的值分别为（ A ） 1 x 5 x 1 A 、 7和 6 B 、 7和 6 C 、 7和 6 D 、 7和 6 7、已知 f (3) 2, f (3) 2, 则 lim 2x 3 f ( x) 的值是（ C ） x 3 x 3 A 、 4 B 、 0 C 、 8 D 、不存在 8、 lim x a （ D ） 3 3 x a x a 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。 五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。 六、 单选题 七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大 九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） 十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（ ） 十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、 求下列极限 二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。 1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
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