3.2解一元一次方程（一） —合并同类项教学设计 教学目标: 1.经历运用方程解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效数学模型. 2.学会合并同类项,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程. 3.能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程. 教学重点:建立方程解决实际问题,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程. 教学难点:分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程. 教学过程: 一、设置情境,探究规律。 由有理数乘方一节中涉及到的数列找规律，需要数列中寻找那些信息引入。 教师设问：1.设第一个数为x？ 2. 设第二个数为x？ 3. 设第三个数为x？ 学生思考。 及时归纳：通过比较学生发现设第二个数较为合理，体现了上节课所学的合并同类项的相关应用。 二、例题分析，体现方法 出未知量列方程建模的思想。 采用学生叙述，教师板书的师生合作方式完成。 三、课堂练习，反馈调控 类比上个问题的解决方法，完成下题： 1.一个数列，按一定规律排列如下形式：
1，﹣4, 16，﹣64，256，﹣1024，…， 其中某三个相邻的数的和为﹣13312，求这三个数各是多少？ 2.三个连续的奇数的和是39，求这三个数. 学生独立完成。 四、火眼金睛，拓广探索： 展示日历表提出相关问题
分析：通过问题引导培养学生根据图片文字信息观察思考捕捉有用信息的能力，注意相邻日子之间的联系（同在一行，同在一列，斜向相邻的三个日期的关联。）利用所设未知数列出的方程要合理有利于应用上节课所学。答案要合理。 要求： ☆认真审题，多角度思维，寻找等量关系。 ☆灵活设未知数。 ☆注意检验，解释方程的解的合理性。 解： 五、综合应用，巩固提高 1．如果某一年5月份中，有五个星期五，他们的日期之和为80，那么这个月4号是星期几？ 2. 我校开展的数学课外兴趣小组活动，每周四进行一次活动，现知本月连续的三次活动的日子之和为27，你知道是哪三天吗？本月的四次活动的日子之和是多少呢？ 3.甲、乙双方投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润．已知甲乙的投资比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲乙可获得利润分别是多少元？ 学生思考，分组讨论，师生共同讲评。 六、课堂小结，知识梳理 七、作业 必做题： 教科书第92页习题3.2第4，5题 选做题： 某月的日历上,在3×3的方阵中，9 个数之和是126,则这个3×3 方阵的中心的那个数是多少？ 八、板书设计
4.3 一元一次方程的应用（1）教学设计 课题一元一次方程的应用（1）课时1课型新授 教学目标1、引导学生探索年龄问题中的条件和结论，学习寻找题目中的等量关系，列方程解决实际问题。 2、通过年龄问题，学习列方程解决实际问题的一般步骤。 重点：是探索年龄问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题难点：是找等量关系 措施：启法引导教具 准备黑板、彩色粉笔板书 设计 4.3一元一次方程的应用（1） 1、快乐问答，课前准备 2、合作交流，探究新知 3、一题多练，灵活应变 4、一题多变，再探再练 5、列方程解应用题步骤总结 6、随堂练习 7、课堂检测 教学过程 （包括导引新课、依标导学、异步训练、达标测试、作业设计等）上课时间： 讨论教材提供的问题情境。 通过师生交流，获得问题的初步解。并在求解的过程中关注学生在写代数式方面的情况。 2、想一想 3、做一做 4、议一议 二、深化训练 1、讨论教材中的“做一做”：进一步丰富整式的实际背景，并且因此引出用方程解决实际问题，讨论出用方程解决实际问题的基本步骤：理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答。 2、想一想 正确，小颖利用“x年后，爸爸的年龄=儿子年龄的3倍”列方程。小明利用“x年后，爸爸的年龄—今年爸爸的年龄=x”列方程。 3、做一做 列方程，求出x的值得4，说明4年前。 4、议一议 11+x==4 5 (39+x),x=101. 这相当于儿子112岁，爸爸140岁。在当今世界是难以实现的，所以这是不可能的。 随堂练习 课本P135页，随堂练习1、2
课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？简单总结列方程解应用题的一般步骤。 课堂作业 课本P135页习题4.7必做题1~3 选做题P148 4 学情分析 “一元一次方程”，是与实际生活密切相关的内容，新教材一改以往教材的编写手法，以模型思想为主线，从实际情景出发，基于学生现有的认知准备，引入并展开有关知识，最后以实践与探索为结尾。它让学生体验到了方程是解决实际问题的有效的数学模型，深刻认识方程与现实世界的密切关系，感受数学的价值。 （1）本章内容主要包括方程、一元一次方程、方程的解的概念；等式的性质；移项的法则；解一元一次方程的一般步骤；一元一次方程的实际应用。教材中，削弱了关于“方程”、“方程的解”、“解方程”等定义的严格书面叙述及区别，而是让学生在学习的过程中自己体验、总结、 归纳。学生有机会经历探索学习的过程；随着认识的深入逐步掌握概念及其内涵，符合学生的认知规律，较容易为学生所接受；选题方面显示了一定的层次性，让学生感觉仅凭原有知识解题过程繁杂、甚至无从入手，产生学习新知的迫切愿望。 （2）运用方程解决丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，展现用方程解决问题的一般过程。新教材中选用的范例来自于学生的现实生活，不再是纯粹的课堂知识，随时都有一显身手的机会，满足了学生强烈的好胜求胜心理，符合学生所处年龄阶段的性格特征，能激发他们学习的欲望和主动性。学习这样的数学知识，让他们感觉到是“我要学”而不是“要我学”，掌握了学习的主动权，有一种被尊重的感觉，不容易产生逆反心理。 （3）教材补充了丰富的课外知识，通过阅读材料、思考探索等形式出现的课外知识，不仅在系统的知识学习过程中插入了一些亮点，吸引学生的关注，而且启发学生通过课外的阅读充实自我，了解所学知识的文化背景，以便对知识有一个更系统、全面的认识，拓宽见识、形成共鸣，从而产生自我见解 效果分析：
定态薛定谔方程 一、定态Schr?dinger 方程 2 2(,)[()](,)2i r t V r r t t m ψψ?=-?+? (1) 在一般情况下，从初始状态ψ(r,0)求 ψ(r,t)是不容易的。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V 不显含时间 t （在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。 ()V r 与t 无关时，可以分离变量 令(,)()()r t r f t ψψ= 代入(1)式 2 2()1[()]()()()2i df t V r r f t dt r m ψψ=-?+ E = 其中E 是即不依赖于t ，也不依赖于r 的常量，这样 ()()df t i Ef t dt = (2) 2 2[()]()()2V r r E r ψψμ -?+= (3) ——定态薛定谔方程 由(2)解得 Et i ce t f -=)( 其中c 为任意常数。把常数c 放到()E r ψ 里面去，则 (,)()i Et E r t r e ψψ-= (4) 这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/?按照德布罗意关系E=h ν=?ω，E 就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值E ，所以这种状态称为定态，波函数ψ(r,t)称为定态波函数。 定态有两个含义：1、(,)()i Et E r t r e ψψ-= ；2、E 具有确定值；（判断是否为定态的依 据） 空间波函数()E r ψ 可由方程 2 2[()]()()2E E V r r E r m ψψ-?+= 和具体问题()E r ψ 应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schr?dinger 方程，()E r ψ 也可
一元一次方程的教学分析 一、学情分析 学生已学过等式、等式的基本性质以及方程、方程的解、解方程等知识，经历了分析简单数量的关系，并根据数量关系列出方程、求解方程、检验结果的过程。对方程已有初步认识，但并没有学习“一元一次方程”准确的理性的概念。 二、教学重难点 本节从有趣的“猜年龄”游戏入手，通过对五个熟悉的实际问题的分析，学生结合已有知识，得出一元一次方程。 本节的重点：学生在实际问题中分析、找到等量关系，准确列出方程，并总结所列方程的共同特点，归纳出一元一次方程的概念。 本节的难点：由特殊的几个方程的共同特点归纳一元一次方程的概念。 三、教学目标 1.在对实际问题情境的分析过程中感受方程模型的意义； 2.借助类比、归纳的方式概括一元一次方程的概念，并在概括的过程中体验归纳方法； 3.使学生在分析实际问题情境的活动中体会数学与现实
的密切联系。 四、教学过程 环节一：阅读章前图 内容1：阅读章前图中关于“?G番图”的故事。 目的：通过阅读章前图中的故事，激发同学们探索?G番图年龄的兴趣，进而引导学生通过列方程解决问题，感受利用方程可以解决实际问题，感受方程是刻画现实世界有效地模型。 环节二：自主阅读、学习 内容：让学生阅读本节教材P131随堂练习之前的内容，并完成书上的填空题。 目的：首先让学生回忆学过的等式、方程概念，对课本上的实例中各种量的关系分析清楚，找出等量关系，列出方程，体会不同类型的方程. 实际效果：多数学生能够分析教材实例中所蕴含的各种数量关系，并列出方程。要注意学生书写不规范，错误的地方，给予指正。 环节三：情境引入 内容：与学生共同分析完成课本呈现的五个情境： （1）如果设小彬的年龄为x 岁，那么“乘2 再减5 ”就是2 x - 5 ，所以得到方程：2 x - 5 = 21 组织活动：做猜年龄的游戏
一元一次方程的应用(3)教学设计
学情分析 本节内容为一元一次方程的应用（三）行程问题，学生在小学已经学习过用算数算法解这类问题中的相遇问题、追及问题，并且对有关的公式已比较熟悉。且通过前两节的学习，学生明确知道列方程解应用题的步骤，所以本节重难点均放在问题的分析（包括找已知量、未知量及等量关系）上，同时，通过合作探究，引导学生自主寻找不同题型的解题思路。 效果分析
从反馈情况看，学生对列方程解应用题的步骤更加熟练，能较熟练地分析问题中的已知量、未知量及其中的等量关系，并能灵活运用路程公式，小组合作探究比较成功，小组总结全面、到位。 不足之处在于题目设置有点多，致使学生展示和训练时间不足。 教材分析 本单元内容为一元一次方程的应用，是七年级学习的重点，本节内容为一元一次方程的应用中的类型之一----行程问题，包括追及问题、相遇问题以及往返问题（拓展题型）。 本节的知识重点是：分析问题中的数量关系，利用其中的等量关系列出方程，让学生用方程思想来解决问题。 评测练习 1.一队学生从学校出发去郊游，以4千米/时的速度步行前进.学生出发3/2时后，一位老师骑摩托车从原路经1/4时赶上学生.求摩托车的速度. 2.一架飞机在两个城市间飞行，无风时每小时飞行552公里，在一次往返飞行中，飞机顺风飞行了5.5小时，逆风飞行了6小时，求
这次飞行的风速. 课后反思 本节运用合作探究教学模式，最大程度提高学生的自主思考、小组合作能力。 本节课成功之处在于，刻意给学生提供较大的发挥空间，没有直接讲解，而是通过问题设置让学生在自主思考，小组探究中完成知识的升华，通过对几个题型的探究情况来看，绝大多数学生能自主思考得出结论，小组总结全面、到位，反馈效果好。 不足之处在于，由于题型有点多，造成学生展示及训练时间不足，加之，学生第一次参与录课，有点放不开，致使课堂氛围不够活跃。 课标分析 青岛版初中数学课程标准：一元一次方程的应用第三课时行程问题，要求理解行程问题中的追及、相遇问题，通过列一元一次方程解决实际问题，旨在提高学生的分析问题和解决问题的能力。 通过前两节的学习，学生已对列方程解应用题的步骤比较熟练，所以，本节重点放在分析问题上。继续引导学生找问题中的等量关系，从而提高学生分析问题的熟练程度。
实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法 一．实验目的 1．掌握定态薛定谔方程的矩阵解法。 2．掌握几种矩阵特征值问题数值解法的原理，会调用相应的子程序求解具体问题。 二．实验内容 1．问题描述 以/2ω/()m ω为长度单位，一维谐振子的哈密顿量为 2 202d H x dx =-+, 其本征值为21n E n =+，本证波函数为 2 /2)()n n x H x ?=-， 其中()n H x 为厄米多项式，满足递推关系 11()2()2()n n n H x xH x nH x +-=-。 用矩阵方法求 2 22d H x x dx =-++ 的本证能量和相应的波函数。 2．问题分析 H E ψψ= 0()|j j j t c ψ?∞ ==>∑ 0||i i j i j i j c E c x Ec ??∞ =+<>=∑ 11|j j j x ???-+>=>>
11||||j j j j x x ????-+<>= <>= 0010010 112111,211,11,1 n n n n n n n n n n n n E x c c x E x c c E x E x c c x E c c -------?????????????????????????=??????????????????????? ? 3．程序编写 子程序及调用方法见《FORTRAN 常用算法程序集（第二版）》第三章 徐士良，P97 4．实验要求 ◆用恰当的算法求解以上实对称三对角矩阵的特征值问题。 ◆取n=8，给出H 的全部特征值和相应的特征向量。 5．实验步骤 ● 启动软件开发环境Microsoft Developer Studio 。 ● 创建新工作区shiyan03。 ● 创建新项目xm3。 ● 创建源程序文件xm3.f90，编辑输入源程序文本。 ● 编译、构建、运行、调试程序。 6．实验结果 程序设计：
一、教科书内容和课程学习目标 1．教科书内容 本章继第一章“有理数”和第二章“整式及其加减”之后，属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域。 人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学基本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用。从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。 本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题。其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即根据问题中的等量关系建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”，是本章始终渗透的主要数学思想。讨论一元一次方程的解法时，会直接应用“合并同类项”“去括号”等法则，而有理数运算和整式加减运算是解一元一次方程的基础知识。 全章共包括四节： 3．1 从算式到方程 这一节分为两个小节． 3.1.1 一元一次方程 在小学阶段，数学课中用算术方法解应用题是重要内容，此外还有关于最简单的方程的内容．本小节先通过一个具体行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生认识到方程是更方便、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步． 算式表示用算术方法进行计算的程序，列算式是依据问题中的数量关系，算式中只能含已知数而不能含未知数．列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系），它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破．正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性． 本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解等基本概念，并且对于“根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程”的分析问题过程进行了归纳． 3.1.2 等式的性质
年级：七年级上册学科：数学科著作人： 项目设计内容备注课题人教课标版七年级上册第三章3.3《解一元一次方程--去分母》 教学 目标 1、学会解一元一次方程的方法，掌握一元一次方程解法的一般步骤。 2、通过自主学习，让学生理解去分母解方程的方法，了解数学中的“化 归”思想。 3、通过学生观察方程，发现并解决问题，培养他们主动获取知识的能 力及概括能力 重点去分母解一元一次方程，掌握一元一次方程解法的一般步骤 难点用去分母的方法解一元一次方程。 使用 多媒 体 多媒体课件 教学 过程 教师活动学生活动说明或 设计意 图 温 故 知 新 ， 导 入 新 课 创设情境，引入新课 问题英国伦敦博物馆保存着 一部极其珍贵的文物——纸莎草文 书。这是古代埃及人用象形文字写在 一种特殊的草上的著作，它于公元 1700年左右写成,至今已有三千七百 多年。这部书中记载有关数学的问 题，其中有如下一道著名的求未知数 的问题: 问题：一个数，它的三分之二， 它的一半，它的七分之一，它的全部， 加起来总共是33 教师提问 1、能不能用方程解决这个问题? 2、能尝试解这个方程吗? 3、不同的解法有什么各自的特点? 解：设这个数为，由题意得： 我们得到的这一方程和前面我 们学习过的方法有什么不同？能用 前面学过的解一元一次方程的方法 求出该方程的解吗？ 数学的历史是辉煌的，让学生了 解数学的渊源，在历史的背景下 进行数学的探求，有益于提高学 生学习的兴趣。 解：设这个数为，由题意得：
例题教学，巩固提高 方法一 这个方程大部分同学是 按“合并同类项，系数化为1”的步 骤求解。 方法二 也有同学会去分母 根据等式性质2，等式两边同乘以同 一个数，结果仍相等，要是方程中得 分母去掉，显然只要乘各分母的最小 公倍数42。 把方程两边同乘42，得到：42 （）=33×42 即42×+42×+42× +42×=33×42 为了更全面的讨论问题，再以方 程为 例，归纳解有分数系数的一元一次方 程的步骤。 例解方程 要去掉方程中的分母，就要找到一个 数，这个数就是方程中各分母的最小 先由学生自己做题会得出 两种方法 方法一 这个方程大部分同 学是按“合并同类项，系数化为 1”的步骤求解 方法二 也有同学会去分母 根据等式性质2，等式两边同乘 以同一个数，结果仍相等，要是 方程中得分母去掉，显然只要乘 各分母的最小公倍数42。 把方程两边同乘42，得到：42 （）=33×42 即42×+42×+42× +42×=33×42 让学生总结解一元一次方 程的一般步骤为: （1) 去分母; (2) 去括号; (3) 移项;
一维定态薛定谔方程 的应用 授课人： 物理科学与技术学院
势 阱 日常生活中的各种井（阱） 物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名 水井 窨井 陷阱 U x O a U
() U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念 这样的势能函数称为 一维无限深势阱
建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( )： 令： 2 22mE k =得通解： ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到 无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+=
利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?，(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??， 0?=π n k a =()1,2,3n =???，
北师大版七年级上册《求解一元一次方程1》教学案 一、教学目标 1.进一步熟悉利用等式的基本性质解一元一次方程的基本技能． 2.在解方程的过程中分析、归纳出移项法则，并能运用这一法则解方程． 3.在理解移项法则的基础上，能灵活应用移项法则熟练解简单的一元一次方程. 二、教学重难点 重点：移项法则. 难点：移项法则变形的推理过程及应用. 三、教学过程 （一）新课引入 师：重建后的台儿庄古城，古色古香，金碧辉煌，令人向往。老师要求外地的老师到台儿庄古城游玩，其中男教师有8人，他们比女教师的5倍少2人，你能帮我算算女教师来了多少人么？ 生1：设女教师x人，男教师的人数可以表示为5x-2，由此，可列方程5x-2=8.（教师板书） 【教师板书课题：5.2求解一元一次方程（1）】 （二）探索新知 师：同学们，如何利用等式的基本性质来求解方程8 x 2 - 5= 解方程：8 x. - 5= 2 解：方程两边同时加上2，得2 + x． = - 2 8 2 5+ 也就是 5x= 8+2. 方程两边同时除以5，得x＝2. 师：我们发现，方程①8 x可变形为方程②5x= 8+2，在这变形过程中，哪一项发生了 - 5= 2 变化？ 生：（齐答）-2. 师：对，是如何变化的？ 生：改变符号后，从方程的左边移到了方程的右边。 师：（课件动画演示变化过程）这种变形我们称为移向。谁能说说移向的定义么？ 生：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项。 师：我们知道了什么是移项，那么下面的移项是否正确，如果不正确，应当怎样改正？(1) 5y＋8=9y
解：移项，得 5y －9y=8； (2) 2x ＋3=x －1 解：移项，得 2x+x = - 3+1； 师：现在，同学们能告诉老师移项时应注意什么问题么？ 生：移项是从等号的一边移到另一边。 （学生回答时教师板书） 师：我们掌握了移项的方法，就可以尝试利用移项求解方程825=-x 师：两种方法哪种更简便？ 生：移项。 师：移项的依据是什么？ 生：等式的基本性质1. （三）课堂展示，体验成果 课堂展示（一） 师：我们可以仿照移项的方法求解下面两个方程。（投影出示 （1）3x ＝5x -14； （2）5x -3＝2x+7 ． 课堂展示（二） 32 141+-=x x （四）畅谈收货，知识升华 师：课上到这里，老师相信大家收货很多，那就敞开心扉说一说吧！ 生：我学会了利用移项求解一元一次方程的方法； 生：移项是从等号的一边移到另一边，通常习惯把未知项移到方程的左边，常数项移到方程 的右边； 生：移项时要变号； 生：求解一元一次方程的步骤是：移项、合并同类项、系数化为1 （五）分层检测，当堂达标 基础题 1、下列移项正确的是（） A.由155=-x ，得515-=x B.由123--=x x ，得123=+x x C.由x x 437=-，得734=--x x D.由x x 3248+=-，得x x 3428+=- 2、如果x x 352-=，那么2x+ =5 3、方程x x 536+=的解是 . 4、解下列方程： （1）1136=-x （2）x x 3.15.67.05.0-=-
第五章一元一次方程 第一节认识一元一次方程（1）教学设计 一、教学目标 1．通过对多种实际问题中数量关系的的分析，感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型． 2．通过观察，归纳一元一次方程的概念，理解方程解的概念．二、教学重难点 重点：结合问题情境抽象出方程的模型，了解一元一次方程概念．难点：实际问题的数学化过程． 三、教学过程 第一环节游戏激趣 【内容】 师生互动：请你随意想一个人的年龄. （1）把这个人的年龄乘2加3，把结果告诉老师，老师就能猜出你想的那个人的年龄. （2）把这个人的年龄乘2加3，再把所得结果乘2减6，说出最终结果，看谁能更快猜出那个人的年龄． 【设计意图】 （1）生动有趣的游戏拉近了师生间的距离，激发学生的学习兴趣． （2）自然唤起学生对方程的回忆，为本节课做好学前准备．
（3）两个问题复杂程度逐渐加大，促使习惯使用算术方法解决问题的学生体会方程解法的优越性． 【学情预设】 第（1）个游戏中，学生多数会使用算术解法，方程解法的优越性不明显．第（2）个游戏中，若学生使用算术解法会比较慢．通过第二个游戏，学生能体会出用方程解法更简便． 【教学策略】 1．第（1）个游戏结束后，请学生先独立思考猜数的方法，再全班交流，无论学生用算术解法还是方程解法，教师都要给予肯定，此问题中两种解法的简便程度没有明显的差别． 2．第（2）个游戏让学生说出结果，教师和同学们一起猜，看谁猜得又对又快，选出最快的学生来展示解法，若没有学生用方程解法，则教师展示方程解法． 3．利用学生的方程解法引出本节课要讲的方程．一个是逆向思维，一个是顺向思维，当题目较复杂时．方程思考起来更容易．第二环节创设情境 【内容】 国庆假期，小华和小彬两家人一起结伴去青岛西海岸生态观光园游玩． （1）一进大门，两人就看见了一片菊花的海洋．这次菊展有红 多少种金色的菊花呢？
教学过程设计 （一）引导观察形成概念 问题:观察下面的不等式，它们有哪些共同特征？ x-7＞263x＜2x＋１x＞50-4x＞3 学生回答，教师可以引导学生从不等式中未知数的个数和次数两个方面去观察不等式的特点，并与一元一次方程的定义类比． 师生归纳获得：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一次不等式． 【设计意图】引导学生通过观察给出不等式，归纳出它们的共同特征，进而得到一元一次不等式的定义，培养学生观察、归纳的能力． （二）通过类比研究解法 练习：利用不等式的性质解不等式x-7＞26 学生尝试独立完成练习 教师结合解题过程，指出：由x-7＞26可得到x＞26+7，也就是说解不等式和解方程一样，也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向． 设计意图：通过解简单的一元一次不等式，让学生回忆利用解方程的过程，教师通过简化练习中的解题步骤，让学生明确不等式和解方程一样可以“移项”，为下面类比解方程形成解不等式的步骤作好准备． 设问1：解一元一次方程的依据和一般步骤是什么？ 学生回忆解一元一次方程的依据是等式的性质．一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为１． 设问2：解一元一次不等式能否采用类似的步骤？ 学生讨论解一元一次不等式是否可以采用类似的步骤，教师再指出：利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集．设计意图：通过回忆解一元一次方程的依据和一般步骤，让学生思考解一元一次不等式能否采用同样步骤，从而获得解一元一次不等式的思路． （三）例题讲解规范步骤
例：解下列不等式，并在数轴上表示解集 （1）2（1+x）＜3（2）≥ 设问（1）：解一元一次不等式的目标是什么？化成最贱简形式（x＞a或x＜a） 设问（2）：你能类比解一元一次方程的步骤，解第（1）小题吗？ 由学生独立完成，老师评讲 设问（3）对比不等式≥与2（1+x）＜3的两边，它们在形式上有什么不同？ 设问（4）：怎样将不等式≥变形，使变形后的不等式不含分母？ 小组合作交流，老师点拨 设问（5）：你能说出解一元一次不等式的基本步骤吗？ 学生回答，教师总结：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1． 设问（6）：对比第（1）小题和第（2）小题的解题过程，系数化为1时应注意些什么？ 学生回答，教师再强调：要看未知数系数的符号，若未知数的系数是正数，则不等号的方向不变，若是负数，则不等号的方向要改变． 【设计意图】通过解具体的一元一次不等式，引导学生明确解不等式以化归思想为指导，比较原不等式与目标形式（x＞a或x＜a）的差异，思考如何依据不等式的性质将原不等式通过变形转化为最简形式，以获得解一元一次不等式的步骤．（四）辨别异同深化认识 设问1：解一元一次不等式和解一元一次方程有哪些相同和不同处？ 相同之处：基本步骤相同：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．基本思想相同：都是运用化归思想，都要变为最简形式． 不同之处：解法依据不同：解不等式是依据不等式的性质，解方程依据等式的性质．最简形式不同：解一元一次不等式：最简形式是x＞a或x＜a，一元一次
消元——二元一次方程组的解法（代入消元法） 学情分析: 因为学生已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。 三维目标 知识与技能 1、会用代入法解二元一次方程组 2、初步体会二元一次方程组的基本思想---“消元” 过程与方法: 通过对方程组中的未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养学生观察能力，体会化归思想。 情感态度与价值观 : 通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识和探究精神。 教学重点： 用加减消元法解二元一次方程组。 教学难点： 理解加减消元思想和选择适当的消元方法解二元一次方程组。 教学过程 (一）创设情境，激趣导入
在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y场)，可 以列方程组 x y22 2x y40 += ? ? += ?表示本章引言中问题的数量关系。如果只设一 个未知数(设胜x场)，这个问题也可以用一元一次方程________________________[1]来解。 分析：[1]2x＋(22－x)=40。 观察 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2] [2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。这正是下面要讨论的内容。 （二）新课教学 可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(22－x)＝40。解这个方程，得x＝18。把x＝18代入y=22－x，得y＝4。从而得到这个方程组的解。 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。[3] [3]通过对上面具体方程组的讨论，归纳出“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想，这是从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转
学情分析 根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，极力倡导了新课程的自主探究、合作交流的学习方法。通过对学生原有知识水平的分析，创设情境，使数学回到生活，鼓励学生思考，探索情境中的所包含的数量关系，学生在经历“建立方程模型”这一数学化的过程后，理解学习方程和一元一次方程的意义，注重培养学生数学表达能力和归纳能力。 在学习这一课时时，学生已经具备了必要的知识储备，如方程的概念、等式的基本性质等。大部分学生此时已经会解简单一元一次方程，部分学生会解复杂的一元一次方程，但一些学生面对分母为小时的一元一次方程可能还无从下手。 效果分析 下面从各环节入手分别分析其教学效果: 一、温故知新,点明本章学习目标环节 本环节通过让学生通过回忆列方程解决问题的步骤,为本章的进一步学习奠定好思维步骤基础,进而提出本章的学习目标,目的是让学生对全章的学习内容从整体上作个了解从效果看本环节达到了教学目的。 二、分析归纳
本环节意在引导学生学会观察,归纳方程的共性,体会一元一次方程的特点，全体学生基本都能很好解决。为帮助学生掌握教师从几个方面做了引导。 三、经历探索过程 本环节旨在让学生通过验证具体实例，进而总结出解法及步骤、技巧，从效果来看,大部分学生能规范的解决此类问题。 四、对应训练 从学生回答问题的结果来看,对一元一次方程的基本解法步骤掌握的较好。 五、应用提高 通过进一步巩固练习,学生基本上都能掌握了求解该类一元一次方程方法。 课后反思 这节课整体环节比较流畅，学生的参与热情与参与度都比较高。在知识回顾上大部分学生没有问题，如：一元一次方程求解步骤。但课堂的细微之处也存在一些问题需要改正。下面我对整节课具体分析如下几点： 一、应加强数学课堂教学紧密联系生活 学习内容来自学生生活实际，在学生已有的经验的基础上学习，可使学习更有效。因为，学习内容贴近学生知识经验，符合学生心理特征，容易形成知识结构，同时也充分体现了学习生活化的理念，体现了现代教育思想所倡导的“数学课堂教学应向学生提供与生活实际
§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例 （一）一维运动自由粒子的薛定谔方程 波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程． 将（16.2.14）式分别对t 和x 求导，然后从这两式消去E 、p 、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程： ψ-=?ψ?)/iE (t 即ψ=?ψ?E t i （16.3.1） ψ=?ψ ?22)/ip (x 2 ψ=ψ ?-2222p ????? ?????<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v 方程（16.3.3）中不含有能量E 和动量p ，表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程． 请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式?． 这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明． （二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程?? 上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x ，t ）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t ）分离成空间部分u （x ）和时间部分f （t ）两函数的乘积的特解，即 〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ（x,t ）=u （x ）f （t ）（16.3.4） 将此式代入（16.3.3）式得： 22 2dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -= 两边除以ψ=uf 得： 22 2dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -= 此式左边是时间t 的函数，右边是坐标x 的函数．已知t 与x 是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E ，即 ? 郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版. ? 郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版. ? 周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版.
《二元一次方程组》教学设计 一．教学目标： 1.理解二元一次方程（组）及其解的概念, 能判别一组数是否是二元一次方程（组）的解； 2.会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组； 3.通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力,了解变与不变的辩证统一的思想. 二．教学重点、难点： 重点：（1）掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义； （2）判断一组数是不是某个二元一次方程组的解. 本节课的教学难点是： 从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想. 三、教学过程设计 （一）教学流程 本节课设计了六个教学环节： 第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：深度自学；第三环节：教师释疑解难；第四环节：深度探究第五环节深度展示第六环节：限时作业（二）教学过程 第一环节：情境引入（5分钟） 在我国史书《孙子算经》中有一道著名的数学题，流传至今，那就是鸡兔同笼问题（多媒体出示图片及问题），学生读出。师设出鸡有x只，学生依据文字列出一元一次方程，借助所列的方程复习一元一次方程的相关知识，为学生学习二元一次方程（组）做好必备知识，师进一步分析文字得出里面存在两个等量关系，由此导入新课，并指出二元一次（组）在现实生活中的应用广泛，是常用的数学模型。 并出示本节课的目标。（学生读出目标） 第二环节：深度自学（10分钟） 设计意图：由于本节课的知识点不是太难，学生完全可以通过自己自学就能基本学会，所以本节课采用先学后教的方式展开学习，我提前把教材知识细化，
设计出精细的自学题组，为学生顺利自学做好服务。同时，也便于培养学生独立学习的能力，与同伴合作学习的能力。 内容：知识点一 二元一次方程的定义 1、阅读教材2-3页， 完成下列问题： 实例1 阅读老牛和小马的对话，完成下列问题; 解：设老牛驮x 个包裹，小马驮y 个包裹。 老牛的包裹数比小马多2个，由此可得方程① ， 若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛有 个包裹，小马有 个包裹， 由此可得方程②： 。 实例2：阅读公园买门票问题，完成 下列问题： 解：设他们中有x 个成年人，有y 个儿童， 由此我们可以得到方程③ 和④ 。 2、根据以上你所列的四个方程，能不能类比所学过的方程，给它们下个定义呢？ 含有 未知数，并且所含未知数的 的次数都是 的方程叫做二元一次 方程。 自学检测: 1.下列各式中，是二元一次方程的是( ) A.x+2y=3z B.xy=1 C.x+y=1 D.x-y 2=2008 2、若2x a -1+3y b+1=5是关于x,y 的二元一次方程，则a= ,b= 知识点二 二元一次方程组的定义： 1、共含有 个未知数____个___次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程 组。 实例1的两个方程组成的方程组为 ，实例2 的两个方程组成的 组为 自学检测二 下列方程组中是二元一次方程组的有( )个。 （1） （2） （3） （4） 知识点三 二元一次方程解的定义： 适合一个二元一次方程的________未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个 ???3x =2y +5x +y =3x-7???x =5x +y =6???x =2y +1xy =1????? x -y =11x +=1y
教学过程设计 一、创设情境，导入新课：教学设计 用数学家—解析几何的创立者笛卡尔说过的话引入新课：任何问题都可以转化为数学问题任何数学问题都可以转化为代数问题任何 代数问题都可以转化为方程问题。说名方程的重要性和运用的广泛性，并通过大屏幕显示笛卡尔的图像，激发学生的学习兴趣和学习欲望。 二、梳理本章知识结构 大屏幕出示部分优秀的的学生的知识结构图，对优秀的作品加以表扬。并让个别学生上讲台进行知识梳理。 设计目的：本环节的设计旨在锻炼学生的系统知识的能力，表达能力。并且树立榜样，那些图文并茂的知识结构图值得同学们学习。并且对接下来的学习起到了承上启下的作用 三、典型例题: 例题精讲一：周末小颖和妈妈去逛超市，小颖让妈妈先走，妈妈以80m/min的速度行进，走了一段时间后，小颖骑车从家出发，骑自行车以240m/min的速度按原路去追，只用5分钟就追上了妈妈，小 颖出发之前，妈妈走了多长时间？（小颖出发前，妈妈走了多远？）学生活动：学生先独立思考。然后画线段图，找出等量关系，列方程。其中一名学生上黑板板演。在学生独立分析的过程当中，一号小组长完成的最快，他的任务完成以后，就会充分发挥组长的作用，先给2号检查，如果2号正确，2号给4号检查。1号再给3号检查，如果2，3，4号都不会做，1号给他们3人讲解，如果3号4号不会，
可以进行一对一辅导，1号帮3号，2号帮4号，也可以由1号讲解，组长灵活处理。总之要尽可能的确保4人都能完成任务。最后让上黑板板演的同学在讲台上讲解一遍。 教师活动：在学生们合作的时候，老师并不是无事可做，在旁边听1号2号是如何帮助3号，4号。必要时做出适当的指导，帮1号2号快速担任起一个小教师的角色。 设计意图：分析追及问题，能画出线短图，进行图形语言、符号语言与文字语言之间的相互转化，理解途中的等量关系，培养学生思维的灵活性，进一步列出方程、解决问题，既能娴熟使用线段图又能用方程的思想解决问题。红笔部分的问题，是学生们完成后，老师再出示，目的是培养学生的问题意识，发展他们的发散思维。 这种小组合作的模式，既能帮助差生解决问题，使他们不至于被优等生拉下很多，并且还能让他们学会感恩。又能促进1号2号优等生的快速发展，提高他们的分析问题解决问题的能力，并且培养了他们的责任感。真是百利而无一害。也正符合我市推行的“托底培优”工程。 例题精讲二：小颖和妈妈来到了超市，商场为了促销，对服装商品作调价，按标价的八折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元。求商品的标价。 师生共同活动：出示本例题之后，师生共同复习有关销售的几个公式，公式的掌握不是靠死记硬背，老师可以举一个简单例子，学生容易理解和接受。接下来的学生活动模式同上一个例题。
一元一次方程的解法复习 1、什么是一元一次方程 (你们一定记得!)（1）方程的两边都是整式 （2）只含有一个未知数（3）未知数的指数是一次. 挑战记忆 判断下列各式中哪些是一元一次方程？ （1）5x=0 （2）1+3x （3）y2=4+y （4）x+y=5 （5）（6）3m+2=1–m X 41=× √×××√
观察探究 强化练习 解方程 3141 1 36 x x -- =- 2(31)141 x x -=-- 解：去分母，得 去括号，得62141 x x -=-- 移项，得64112 x x +=-+ ∴ 1 102, 5 x x == 即 去分母得2(31)6(41) x x -=-- 去括号，得62641 x x -=-+ 移项，合并同类项，得109 x= 下面方程的解法对吗？若不对，请改正。 不对 两边同时除以10,得 9 10 x= 火眼金睛 （1）学生独立完成； （2）小组合作交流； （3）归纳总结； 及时纠 正， 合作探究对应训练例：解下列方程： 解：原方程可化为： 注意:如果分母 不是整数的方程 可以应用分数的 基本性质转化成 整数，这样有利 于去分母。 5.0 2 5.1 6.0 5.1= --x x 5.0 2 5.1 2 5= --x x 去分母, 得5x –（1.5 -x）= 1 去括号，得5x –1.5 + x = 1 移项, 得5x+ x = 1 + 1.5 合并同类项,得6x= 2.5 两边同除以6, 得x= 12 5 此题还有其它的 解法吗？ 生板书。指导个别 学生，
中考链接出示标准答案，学生 自己批改。及时纠错纠错，教师强调易错点。 课堂小结 步骤具体做法依据注意事项 去分母去括号移项 合并同类项系数化1 在方程两边都乘以各分母的 最小公倍数 等式 性质2 不要漏乘不含分母的项 一般先去小括号，再去中括号， 最后去大括号 分配律去 括号法则 不要漏乘括号中的每一项 把含有未知数的项移到方程一 边，其它项都移到方程另一边， 注意移项要变号 移项法 则 1）移动的项一定要变号， 不移的项不变号 2）注意移项较多时不要漏项 把方程变为ax=b （a≠0 )的最简形式 合并同类项 法则 2）字母和字母的指数不变 将方程两边都除以未知数系数a， 得解x=b/a 等式性 质2 解的分子，分母位置不要颠 倒 1）把系数相加 相信你能行 达标检测 学生出示答案 师指点对特殊学生进行指导。