第七届物理实验研究论文竞赛申报书作品名称扭摆测物体转动惯量中近似方法的分析
申报者姓名张施展学号16009311 一卡通号213092742
申报者联系电话156******** E-mail zhangshizhan1991@https://www.doczj.com/doc/3613808636.html, 论文摘要：
对在推导转动惯量的测量公式时采用的近似方法和其对测量结果带来的影响进行分析，并指出如何减小其影响。
研究背景介绍：
在之前扭摆测物体转动惯量的必做实验中使用了近似方法，但实验课上并未对此进行展开讨论，也没有对其带来的影响进行分析。本文着重分析了各种近似对实验结果
的影响并提出了减小影响的措施及注意事项，加深了对本实验原理及数据处理的理解及
认识。
主要结论：
通过本文分析可以看出，三线扭摆法测定物体转动惯量的近似方法不可避免的带来一定误差，然而通过对某些量的控制（本实验中为最大摆角θ），可以将其影响降至
一个非常低的水平。但是如果需要更加精确的测量，则必须对计算公式进行改进，从而
大大降低误差，甚至避免此误差。
参考文献：
[1]王菊香.三线摆周期的近似公式[J]廊坊师范学院学报2001，12（17）：28-30.
[2]陈文清，陈林峰.三线扭摆法测刚体转动惯量所用近似方法的分析[J]洛阳工业高等专科学校学报，2004，9（14）：20-22.
竞赛诚信申明
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扭摆测物体转动惯量中近似方法的分析
张施展
（东南大学 电气工程学院，南京 210096）
摘 要： 对在推导转动惯量的测量公式时采用的近似方法和其对测量结果带来的影响进行分析，并指出如何减小其影响。
关键词： 三线扭摆 转动惯量 近似方法 实验结果
The Analysis of Measuring Method to the Result in the
Experiment of Tri-linear Pendulum
Zhang Shi Zhan
(Electrical Engineering School , Southeast University, Nanjing 210096 )
Abstract: Derivation of moment of inertia in the measurement formula used approximate methods and their impact on the
measurement results were analyzed and pointed out how to reduce their impact.
key words: Three-wire torsion pendulum Moment of inertia Approximation Experimental results
转动惯量是表征刚体转动特性的物理量，是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体质量的大小、转轴的位置和质量的分布等有关。对于形状简单的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状复杂的刚体数学方法计算就非常困难，一般用实验方法测定。测量刚体转动惯量的方法有多种如：扭摆法、转动惯量仪测定法等，三线扭摆法是其中之一。由于三线扭摆具有结构简单、操作简便、比较实用等优点，因此许多大学物理实验教材都选用该实验方法。但在推导转动惯量的测量公式时，都采用了近似方法。本文将分析和讨论这些近似方法对测量结果带来的影响。
作者简介：张施展，1991年，男，本科生，zhangshizhan1991@https://www.doczj.com/doc/3613808636.html,
1 刚体转动惯量测量公式的推导及所用的近似方法
图-1 三线摆 图-2 三线摆的几何参数
三线摆如图-1所示，有一均匀圆盘，在小于其周界的同心圆周上作一内接等边三角形，从三角形的三个
顶点引出三条悬线对称地连接在置于上部的一
个水平小圆盘的下面，小圆盘可以绕自身的垂直轴
转动。当均匀盘（以下简称悬盘）水平、三条悬线等长时，轻轻转动上部小圆盘，由于悬线的张力作用，悬盘即绕上下圆盘的中心连线轴OO ˊ周期地反复扭转运动。当悬盘离开平衡位置转过一个小角度 θ时，整个悬盘的位置也随之升高h ，如图-2所示。
下面分析三线扭摆的运动。设m 0为悬盘的质量，R 为下圆盘悬线接点距OO ˊ轴的距离，J 0为下圆盘绕中心轴OO ˊ转动的转动惯量，r 为上圆盘悬线接点距OO ˊ轴的距离，l 为悬线长度，H 为上、下两圆盘间的距离；某时刻下圆盘离开平衡位置的角度为 θ，下圆盘升高的距离为h ，转动的角速度为
ωω? ，升降运动的速度为
v v ?
，g
为重力加速度。如果忽略摩擦阻力，根据机械能守恒定律有:
1J ω （1）
在悬线足够长，且悬盘作小角度转动时，平动动能
1远小于转动动能
1。略去式（1）中平动动能并对时间求导，则有
d （2）
由几何关系知：
（3）
因为
2
得
，
在偏角很小时
得 （4）
而 , 所以 h ，
（5）
将式（5）代入式（2）后可得
d
显然，上式是一个简谐运动方程，该振动周期平方
为
2T （6）
由此可得悬盘绕转轴的转动惯量
（7）
由实验测出m 0、g 、R 、r 、H 和T 0后，利用式（7）
便可以计算出下圆盘的转动惯量。
在我之前的必做实验中所得数据如表1所示。（m 0=0.51134kg ，H=346.5mm ，r=23.3mm ，R=79.9mm ，T 0=1.630s ）
被测物体
J 0
J 0实验值 J 0理论值
百分误差/ %
悬盘
表1 实验结果
? 2 近似计算对测量结果影响的分析
? 2.1 忽略平动动能的影响
三线摆在一个确定的平衡位置做扭摆运动时，三线摆的下圆盘的质心也在做升降运动，升降运动
的速度为v d =，由式（4）可得
dh v d
= (8)
则平动动能为：
1E = (9)
由式（9）可知，三线摆悬盘的平动动能由扭转角θ（角位移）和转动角速度两者共同决定。当三线摆下圆盘离开平衡位置的角位移为最大角位移时，有ω= 0 ，E = 0 。当三线摆下圆盘回到平衡位置时，有sin θ= 0 ，E = 0 。平动动能取最大值的位置在平衡位置到最大角位移之间的某一扭转角处。三线摆的下圆盘的平动动能与下圆盘的转动动能之比为：
0m v （10）
由式（10）可知，该比值与摆角有关。在我之前的必做实验中三线摆的数据为：H=346.5mm ，r=23.3mm ，R=79.9mm 。表2给出了不同扭转角下平动动能与转动动能之比的数值。 o θ 5
10
15
20
动能/%
0.0069
0.027
0.061 0.106
表2 不同摆角平动动能与转动动能之比
综合上面所述，即使当三线摆下圆盘离开平衡位置
的最大角位移为20°时，平动动能与转动动能之比也小于0.106%，故这一近似对测量结果的影响不大。
? 2.2 采用H = BC ≈ BC 1近似的影响
采用H = BC ≈BC 1 近似所引起的误差为：
（11）由式
（11）可知，该比值也与摆角有关。根据实验中三线摆的数据为：H=346.5mm ，r=23.3mm ，R=79.9mm 。
表3给出了不同扭转角下的误差。 o
θ 5 10 15 20 误差/%
0.0059
0.024
0.053
0.094
表3 不同摆角下的误差
由表2可知，即使最大角位移θ为20°，误差也只有 0.094%。故这一近似对测量结果的影响也不大。
? 2.3 采用
近似的影响
在推导式（5）的过程中，采用了 的近似，
由此引起的误差为：
θ? （12）
设三线摆下圆盘离开平衡位置的最大角位移θ，当θ
取不同值时，由此引起的误差如表4所示。 o θ 5
10
15
20
误差/% 0.063
0.25
0.53
0.99
表4 不同摆角下的误差
由表4可知，三线摆下圆盘离开平衡位置的最大角位移
θ对采用近似影响较大。当最大角位移θ为15°时，由
此引起的误差达到0.53%，已不可忽略。
? 2.4 采用近似方法对测量结果的综合影响
式（10）、（11）、（12）反映了3种近似下对测量
结果的影响，就每一项而言，对测量结果的影响都不大，但综合起来就不得不考虑其影响了。影响主要来自两个方面，一是三线摆下圆盘离开平衡位置的最大
角位移θ，二是对平动动能的忽略。其中以式（12）的影响较大。当最大角位移θ为15° 时， 综合3项影响，
由此引起的误差为0.644%已不可忽略。
? 3 减小近似产生误差的措施
由上述分析可知，式（10）、（11）、（12）反映的3种近似方法对测量结果的影响是不可消除的，只能尽量减小它们的影响，其途径是减小三线摆悬盘离开平衡位置的最大角位移。由表2、表3和表4可知，只要最大角位移θ小于5°，就能很好地满足要求。在精度要求不太高的情况下，最大角位移小于15°即可。
? 4 结束语
通过本文分析可以看出，三线扭摆法测定物体转动惯量的近似方法不可避免的带来一定误差，然而通过对某些量的控制（本实验中为最大摆角θ），可以将其影响降至一个非常低的水平。但是如果需要更加精确的测量，则必须对计算公式进行改进，从而大大降低误差，甚至避免此误差。
?参考文献：
[1]王菊香.三线摆周期的近似公式[J]廊坊师范学院学报2001，12（17）：28-30.
[2]陈文清，陈林峰.三线扭摆法测刚体转动惯量所用近似方法的分析[J]洛阳工业高等专科学校学报，2004，9（14）：20-22.