2018济南历下区九年级第一次模拟考试 (2018.4)
数学试题
一． 选择题（共12小题,每小题4分,共48分）
1. 济南市某天的气温：-5~8°C ，则当天的最高气温与最低气温的温差为（ ） A. 13 B. 3 C. -13 D. -3
2．在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4. 2014年底，国务院召开了全国青少年校园足球工作会议，明确由教育部正式牵头负责校园足球工作.2018年2月1日，教育部第三场新春系列发布会上，王登峰司长总结前三年的工作时提到：校园足球场地，目前全国校园里面有5万多块，到2020年要达到85000块.其中85000用科学计数法可表示为（ ）
A. 51085.0?
B. 4105.8?
C. 31085-?
D. 4
105.8-? 5．如图，AB ∥CD ，E 是AB 上一点，EF 平分∠BEC 交CD 于点F ，若∠BEF=50°，则 ∠CFE 的度数是（ ）
A ．35°
B ．45°
C ．55°
D ．65° 6. 下列运算结果正确的是（ ）
A. 2322=-a a
B. 632a a a =?
C. 6
3
2)(a a -=- D. a a a =÷2
2
7. 如图所示，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并
延长交圆于点C ，连接BC ．若∠A=26°，则∠ACB 的度数为（ ） A. 32° B. 30° C. 26° D. 13°
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：一百马，
一
百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个.大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大
马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9. 若3=
x 是关于x 的方程0342=+-m x x 的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A. 9
B. 4
C. 34
D. 33
10. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上， OC 是△OAB 的中线，点B ，C 在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，则△OAB 的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
11. 如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，试求电线杆的高度为（ ） A. 322+ B. 324+ C. 232+ D. 234+
12．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB→BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是5
2
，则矩形ABCD 的面积是（ ） A ．
B ．
C ．6 D. 5
二．填空题（共6小题, 每小题4分,共24分） 13. 分解因式：=-2
2
y x
14. 已知扇形AOB 的半径OA=4，圆心角为90°，则扇形AOB 的面积为 15. 一次函数b kx y +=的图像如图所示，则当0>+b kx 时，x 的取值范围为
16. 菱形ABCD 中，∠A=60°，其周长为32，则菱形的面积为
17．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕，若AE=2，则sin ∠BFD 的值为 ．
15题图 17题图
18．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） ①当x=1.7时，[x]+（x ）+[x ）=6； ②当x=﹣2.1时，[x]+（x ）+[x ）=﹣7； ③方程4[x]+3（x ）+[x ）=11的解为1＜x ＜1.5；
④ 当﹣1＜x ＜1时，函数y=[x]+（x ）+x 的图象与正比例函数y=4x 的图象有两个交点． 三. 解答题（共9小题,共78分） 19. (本题满分6分)
先化简，再求值：()()x y y y x 22
++-，其中3,2==
y x
20. (本题满分6分)
解方程： x
x x --=-21
122
x
y
–1
1
2
3
–1–2–3–4
1234O
21．(本题满分6分)
如图所示，在?ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE∥CF．
22．(本题满分8分)
如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．
23．(本题满分8分)
“食品安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面的两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为°；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）若对食品安全知识达到“了解”程度的学生中，男、女生的比例恰为2：3，现从中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的
概率．
24．(本题满分10分)
为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；
（2）已知2017年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2018年达到1440人．如果2017年至2018年图书借阅总量的增长率不低于2015年至2017年的年平均增长率，那么2018年的人均借阅量比2017年增长a%，求a的值至少是多少？
如图，在直角坐标系中，直线x y 21-=与反比例函数x
k
y =的图象交于关于原点对称的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是2． (1) 求反比例函数的表达式； (2) 将直线x y 2
1
-
=沿x 轴向右平移6个单位后，
与反比例函数在第二象限内交于点C. 动点P 在y 轴正半轴运动，当线段PA 与线段PC 之差达到最大时，求点P 的坐标.
以四边形ABCD 的边AB 、AD 为边分别向外侧作等腰三角形ABF 和ADE. （1）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），以边AB 、AD 为斜边分别向外侧作等腰直角
三角形ABF 和ADE ，连接EB 、FD ，线段EB 和FD 的数量关系是 ； （2）当四边形ABCD 为矩形时（如图2），以边AB 、AD 为斜边分别向矩形内侧、外侧作
等腰直角三角形ABF 和ADE ，连接EB 、FD ，线段EF 和BD 具有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）四边形ABCD 为平行四边形时，以边AB 、AD 为斜边分别向平行四边形内侧、外侧
作等腰三角形ABF 和ADE ，且△EAD 与△FBA 的顶角都为α，连接EF 、BD ，交点为G.请用α表示出∠EGD,并说明理由.
G
F
E
D
C
B
A
A B
C
D
E
F
A
B
C D
E
F
G
如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为（3，0），顶点坐标为（1，4）．连接BC. （1）求二次函数的解析式和直线BC 的解析式；
（2）点M 是直线BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点N ，交x 轴与点P.
①如图1，求线段MN 长度的最大值；
②如图2，连接AM ，QN ，QP.试问：抛物线上是否存在点Q ，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y
P N
M
C
B
A O x
y
Q
P N
M
C
B
A
O
x
y
P N
M
C
B
A
O
图1 图2 备用图
历下区九年级期末数学试题答案一、
选择题： ACABD CACDB BD
二、填空题：13．(x +y )(x -y ) 14.4 15. x>1 16. 332 17.
2
1
18.②③
三、解答题
19. 解：原式=xy y y xy x 2+++2222- ……2分 =222+y x ……4分 将2=x ，3=y 代入得：原式=8=)3(×2+)2(22 ……6分
20. 解：方程两边同乘以（x -2）得：1+2=2-x x ……2分 解得：x=-1 ……4分 经检验，x=-1是原方程的根.
∴原方程的解是：x=-1 ……6分 21.证明：四边形ABCD 是平行四边形，
， ……2分 ， ……3分
又∵DE=BF
≌
， ……4分 ， ……5分
∴AE ∥CF ……6分 22. 证明：(1) ，， ……1分 ，
， ……2分
，
平分． ……3分
是切线，
， ……4分 ，
， ……5分
，， ……6分
，
． ……8分
23. (1) 60；90 ; ……2分
……3分
(3)300=60
15
+5×900 ……4分
(4) 分别用A 、B 表示两名女生，分别用D 、E 表示两名男生，由题意，可列表：
第一次\第二次 A B C D A （A,B ） （A,C ） （A,D ）
B （B,A ）
（B,C ） （B,D ） C （C,A ） （C,B ） （C,D ） D
（D,A ） （D,B ）
（D,C ）
由已知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有8种， ∴P （恰好抽到1个男生和1个女生）3
2
=128=. ……8分 24.解：设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x ， ……
1分
根据题意得:， ……
3分 即，
解得：
舍去 ……5分
答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为； ……
6分
5
……6分
本 ……7分
本 ……8分 本 ……9分
．
故a 的值至少是． ……10分
25.解：
令一次函数
中
，则
， ……
1分 解得：，即点A 的坐标为
． ……
2分 点
在反比例函数
的图象上，
， ……
3分
反比例函数的表达式为
． ……
4分
连接AC ，根据三角形两边之差小于第三边知：当A 、C 、P 不共线时，PA-PC 取得最大值. ……5分 设平移后直线于x 轴交于点F ，则F （6，0） 设平移后的直线解析式为 ， 将F （6，0）代入得：b=3 ∴直线CF 解析式： …… 6分 令 3= ，解得：2=8=21 -（舍）x x ∴C （-2，4） …… 8分 ∵A 、C 两点坐标分别为、C （-2，4） ∴直线AC 的表达式为 ， 此时，P 点坐标为P （0，6）. …… 10分 26.解：（1）EF=BD ， (3) 分 （2）EF=2BD ． (4) 分 证：∵△AFB 为等腰直角三角形 ∴AB=2F A ，∠FAB=45° 同理∴AD=2AE ，∠EAD=45° ∴∠BAD+∠FAD=∠EAD+∠DAF ， 即 ∠ BAD= ∠ FAE ……5分 ∵ AB= 2 F A, AD= 2 AE ∴ AE AD AF AB = 2= ……6分 ∴△BAD ∽△FAE ∴2==AE AD FE BD ； 即：EF=2BD …… （3）解：∠DGE = 2 α °180- ……8分 ∵△AFB 为等腰三角形，∴FB=F A 同理∴ED=EA ，∴ 1==FB FA ED EA 又∵∠BFA=∠DEA= ∴?BFA ∽?DEA ……9分 ∴ AB AD FA EA = ,∠FAB=∠EAD ∴AB FA AD EA =,∠FAB+∠FAD =∠EAD+∠FAD ∴∠BAD=∠FAE ∴△BAD ∽△FAE ∴∠BDA=∠FEA ……11分 又∵∠AHE=∠DHG ∴∠DGE=∠EAD= 2 α °180= 2∠°180--AED ……12分 27.解：（1）由题意设4+)1(=2 -x a y ， ……1分 将B(3，0)代入得：4+)13(=02 -a ， 解得：a=-1 (2) 分 ∴二次函数解析式为4+)1(=2 --x y (3) 分 ∴C 点坐标C （0，3） ∴BC 的直线解析式：4-+=x y (4) 分 （2）①由题意设P （m ，0），则M （m,-m+4）,N （-m, 4+)1(2 --m ） (5) 分 ∴MN=4+)1(2 --m -（-m+4）=4 9+23=3+22）-（--m m m (6) 分 ∵a=-1<0, ∴当m=23时，MN 取最大值4 9 . (7) 分 ②存在.(只得此结论，后面没有求出或求错QR 的长度，得1分) 设点P 坐标为，则 ． 作 ，垂足为R ， H ， =， ．……8分 点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为点的坐标为点的坐标为． 在中，， 时，NQ取最小值此时Q点的坐标为； (10) 分 点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为． 同理，， 时，NQ取最小值此时Q点的坐标为． 综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或．……12分
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