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高等数学下册试题

一、填空题

1. 平面01=+++kz y x 与直线112

z y x =

-=平行的直线方程是___________ 2. 过点

)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3.

设

k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧

),(b a ____________

设平面

0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则

__________________,_______,===D B A

设直线)

1(22

1-=+=-z y m x λ与平面

025363=+++-z y x 垂直，则

___________________,==λm

7. 直线?

?==01y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________

8. 过点

)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________ 9.

曲面2

22y x z +=与平面5=z 的交线在

xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1

n n

x ∞

=∑的收敛半径是____________

11.

过直线 1 3222x z y --=+=-且平行于直线

1 1 3

023x y z +-+==的平面方程是_________________

12. 设),2ln(),(x y

x y x f +=则__________

)0,1('=y f 13. 设),arctan(xy z =则__

__________,__________=??=??y z x z

14. 设

,),(22y x y x xy f +=+则=),('y x f x ____________________ 15. 设

y x

z =

则=dz _____________

16. 设

,),(3

2y x y x f =则=-)2,1(|dz ______________

17. 曲线

t t z t y t x cos sin ,sin ,cos +===，在对应的0=t 处的切线与平面0=-+z By x 平行，则

=B __________

18. 曲面2

2y x z +=在点

)2,1,1(处的法线与平面01=+++z By Ax 垂直，则==B A ________,

______________

19.设

,0,1{-

，

}1,1,3

，则

a?=________，b

a?=____________

20.求通过点

)4,1

,2(

和

z轴的平面方程为________________

21.求过点

)0,1,0(

且垂直于平面

-y

的直线方程为_______________

22.向量d

垂直于向量

,3,2[-

和

]3,2

,1[-

，且与

]1,1

,2[-

的数量积为

-，则向量d

=___________________

23.向量

7-分别与b

7-垂直于向量b

+与b

-，则向量a

与

的夹角为_______________

24.球面

与平面

x的交线在xOy面上投影的方程为______________

25.点

)1,`1

,2(

到直线

l：?

的距离

d是_________________

26.一直线l过点)0,2,1(0

且平行于平面

：

-z

，又与直线

l：1

-x

相交，则直线

l的方程是__________________

27.设

__________

则

∧?

28.设知量

b,a

满足

{}

1,1

，则

__________

b,a=

?∧?

29.已知两直线方程

，

L:2=

，则过1

且平行2

的平面方程是

__________________

30.若

，

()

$a,b

，则

，

a ____________

31.

z y则

______________.

=_________________

32.设

()()()__

__________

2,1

sin

=则

33.设

()1

ylnx

x lny

则

__________

du=

34.由方程

xyz2

确定

()y

在点

()1,0,1-

全微分

dz______

35.

()2

，其中

()u f

可微，则

__________

36.曲线?

在

xOy

平面上的投影曲线方程为 _________________

37.过原点且垂直于平面

-z

的直线为__________________

38.过点

,1,3

和

)5,0,3(

且平行于

轴的平面方程为 _________________

39.与平面

-z

垂直的单位向量为______________

40.

)

(

(u)

可微，则

__________

41.已知

ln y

，则在点

)1,2(

处的全微分

_______

__________

42.曲面

-xy

z z

在点

)0,2,1(

处的切平面方程为

_________

__________

43. 设()y x z z .= 由方程

02=+--z

xy e z e ，求x z

??=________________ 44. 设

()()xy x g y x f z ,2+-=，其中()t f 二阶可导，()

v u g ,具有二阶连续偏导数有

y x z 2???=___________________

45. 已知方程y z ln

z x = 定义了()y x z z .=，求22

x z ??=_____________

46. 设()z y x f u ..=，()0..2=Φz e x y

，x y sin =，其中f ，Φ都具有一阶连续偏导数，且0z ≠???

，求

dx dz

=______________________ 47. 交换积分次序

??-221

0),(y y

dx y x f dy _______________________________

48. 交换积分次序dx

y x f dy dx y x f dy y

??-+21

100

),(),(=___________________

49.

_________==??dxdy xe I D

其中

}

10,10),({≤≤≤≤=y x y x D

50. =

I ________)23(=+??dxdy y x D

，其中D 是由两坐标轴及直线

2=+y x 所围

51.

=I ________

=++??dxdy y x

，其中D 是由

2≤+y x 所确定的圆域

52.

I _

__________222=--??

dxdy y x a D

，其中D ：222a y x ≤+

53.

I ________)6(=+??dxdy y x D

，其中D 是由

1,5,===x x y x y 所围成的区域

54.

?-2

x y dy

dx ＝

_____________________

55.

__________)(2

=+?

?-x

x dy y x dx

56. 设L 为

=+y x ，则→

→

→-+-=j x x i y xy F )4()22(2

按L 的逆时针方向运动一周所作的功为.___________

57.

曲线()???+==1,2,7y 3x z 2x

y 2

2在点处切线方程为______________________

58.

曲面2

2y 2x z +=在（2，1，3）处的法线方程为_____________________

59.

∑∞

=11n p

n ，当p 满足条件时收敛

60. 级数

()

∑

∞

=---1

221n n

n n 的敛散性是__________

61. n

n n

∑∞

=1在x=-3时收敛，则n

n n

x a

∑∞

在

62. 若

()

∑∞=1

ln n n

a 收敛，则a 的取值范围是_________

63. 级数)

)1(1(

n n n n -+∑∞

=的和为

64.

求出级数的和()()∑∞

=+-1

12121

n n n =___________

65.

级数

∑∞

=02)3(ln n n

n 的和为 _____

66. 已知级数∑∞

n n

的前n 项和

1+=

n n

s n ，则该级数为____________

67.

幂级数n

n n x n ∑

∞

=12的收敛区间为

68.

∑∞

=--11212n n n x 的收敛区间为，和函数

)(x s 为 69.

幂级数∑∞

=≤<0)10(n p n

p n x 的收敛区间为

70.

级数∑∞

=+0

11n n a 当a 满足条件时收敛

71. 级数()

24n

n x n ∞

=-∑

的收敛域为 ______

72. 设幂级数0

n a x

∞

=∑的收敛半径为3，则幂级数1

(1)

n n

n na x ∞

+=-∑的收敛区间为 _____

73. 231

)(2++=

x x x f 展开成x+4的幂级数为，收敛域为

74. 设函数

)21ln()(2x x x f --=关于x 的幂级数展开式为 __________，该幂级数的收敛区间为 ________

75. 已知

1ln ln ln =++x z z y y x ，则=

????????z y y x x z ______

76. 设

y x z )

1(2

++= y

,那么=

??x z _____________，=??y z _____________

77. 设D 是由2=xy 及3=+y x 所围成的闭区域，则=

??D

dxdy _______________

78. 设D 是由1||=+y x 及1||=-y x 所围成的闭区域，则=

??D

dxdy _______________

79. =

+?C

ds y x )(2

________________,其中

C 为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x

80. =

-?L

dx y x )(2

________________,其中L 是抛物线2

x y =上从点

()0,0到点()4,2的一段弧。

二、选择题

1.已知a

与

b都是非零向量，且满足b

，则必有（）

(A)

-b

a； (B)0

a； (C)0

a (D)0

2.当a

与

b满足（）时，有b

；

(A)⊥

a b

；(B)λ

a b

(

λ为常数)；(C)a∥b；(D)?=

a b a b

．

3.下列平面方程中，方程( )过y

轴；

(A)

； (B)

； (C)

x； (D) 1

x．

4.在空间直角坐标系中，方程

所表示的曲面是( )；

(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面

5.直线

-z

与平面

-z

的位置关系是( )．

(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π

4； (D) 夹角为

．

6.若直线(2a

+5)

-2)

+4=0与直线(2-

)

+3)

-1=0互相垂直，则（）：

(A). a

=2 (B).

=-2 (C).

=2或

=-2 (D).

=±2或

7.空间曲线?

在

xOy

面上的投影方程为( )

(A)

； (B)

； (C)

；(D)

8.设

()2

1cos

f x

≠

，则关于

()

f x

在0点的6阶导数

()()

是（）

(A)．不存在 (B)．

(C)．

(D)．

9.设

)

由方程

)

-bz

所确定，其中

)

可微，

为常数，则必有（）

(A)

(B)

(C)

(D)

10.设函数

()

()()

≠

0,0

sin

，则函

()y x f,

在

()0,0

处（）(A)．不连续 (B)．连续但

不可微 (C)．可微 (D)．偏导数不存在

11.设函数()y x f,

在点

()

处偏导数存在，则

()y x f,

在点

()

处 ( )

(A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立

12.设

()dt

x y x t

=22

，则

( )

(A).e-x4y2

(B).

e-x4y2

2xy (C).

e-x4y2

(-2t) (D).

e-x4y2

(-2x2y)

13.已知()y x f,

在

()b a,

处偏导数存在，则

()()()

→h

lim

(A).0 (B).

()b a

(C).

()b a

(D).

()b a

14.设

≠

)

(

，则在

)0,0(

点关于

)

叙述正确的是（）

(A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在(C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在

15.函数

()()()0,0

在

≠

极限( )

(A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立

16.设

arctan

，则

()

(A)

)

(

+xy

(B)

)

(

(C)

)

(

)

(

sec

(D)

)

(

+xy

17.关于x

的方程

有两个相异实根的充要条件是( )

(A).-

18.函数

()

()()

≠

0,0

sin

，则函

()y x f,

在

()0,0

处（）

(A).不连续(B)．连续但不可微(C).可微(D).偏导数不存在

19.设

sin

，则

?f(x,y)

= ( )

(A).

sin

cos

()

()22

(B)．

sin

(C).

sin

(D).

cos

20.函数

在点

()0,0

处 ( )

(A).不连续 (B)．连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值

21.设

z ln

,则

= ( )

(A).0 (B)．1 (C).x 1

(D).

12+y y 22. 设

()22z x yf z x -=+则 z ?z ?x

+ y ?z ?y

= ( ) (A).x (B)．y (C).z (D).

(

2z x yf -

23. 若函数()

y x f ,在点()00,y x 处取极大值，则 ( )

(A).

()0,00='y x f x ,

()0

,00='y x f y

(B)．若

()00,y x 是D 内唯一极值点，则必为最大值点

(C).()[]()()()0,,0,,,000000200<''<''?''-''y x f y x f y x f y x f xx yy xx xy

且

D 、以上结论都不正确

24. 判断极限()=+→→y

x x

y x 0

0lim

(A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定

25. 判断极限()

=+→→2220

0lim y x y x y x

(A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定 26. 设()y x f ,可微，()4

3,x x x f =，则()(

)='3,1x f

(A).1 (B)．-1 (C).2 (D).-2 27. 设

()x e yz z y x f 2,,=，其中()y x g z ,=是由方程0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则

()(

)=-'1,1,0x f

(A).0 (B)．-1 (C).1 (D).-2 28. 设

()z y x f ,,是k 次齐次函数，即()()z y x f t tz ty tx f k ,,,,=，其中k 为某常数，则下列结论正确的是（）

(A)

()z y x f k z f z y f y x f x

t ,,=??+??+?? (B)．()z y x f t z f z y f y x f x k ,,=??+??+?? (C).

()z y x kf z f z y f y x f x

,,=??+??+?? (D).()z y x f z f

z y f y x f x ,,=??+??+??

29. 已知()

d x y I D

??+=22sin cos ，其中D 是正方形域：

10,10≤≤≤≤y x ，则( )

(A).21≤≤

I B ．21≤≤I (C).20≤≤I (D).20≤≤I 30. 设()()dudv

v u yf xy y x f D ??+=,4,2，其中D 是由,0,==x x y 以及1y =围成在，则()()=''y x f xy ,

(A).x 4 (B)．

y 4 (C).x 8 (D).y 8

31. 设(){}0,|,222≥≤+=y a y x y x D ，

(){}0,0,|,2

221≥≥≤+=x y a y x y x D ，则下列命题不对的是：（） (A).

????=1

22D D

yd x yd x σ

σ (B)．

????=1

22D D

d xy yd x σ

(C).????=1

2D D

d xy d xy

σ (D).0

2=??D

d xy σ

32. 设

()y x f ,是连续函数，当0→t 时，()()

22,t o dxdy y x f t y x =??

≤+，则

()(

)=0,0f

(A).2 (B)．1 (C).0 (D).21

33. 累次积分

()rdr

r r f d ?

?θπ

θθθcos 0

sin ,cos 可写成（）

(A).

()dx

y x f dy y y ??-2

0, (B)．

()dx

y x f dy y ??-210

(C).()dy y x f dx ??1

, (D).

()dy

y x f dx x x ??-20

34. 函数

()()224,y x y x y x f ---=的极值为（）

(A).极大值为8 (B)．极小值为0 (C).极小值为8 (D).极大值为0 35. 函数

xy z =在附加条件1=+y x 下的极大值为（）

(A).21 (B)．21-

(C).41

D ．1

36. ()

=??+σd e D

y x ，其中D 由

≤+y x 所确定的闭区域。

(A).1

-+e e (B)．1

--e e (C).2

--e

e (D).0

37.

????+=+=D

dxdy

y x I dxdy y x I 2231)()(与，其中

2)1()2(2

2≤-+-y x D ：的大小关系为:（）。

(A). 21

I I = (B). 21I I > (C). 21I I < (D). 无法判断

38. 设

),(y x f 连续,且

??+=D

dudv

v u f xy y x f ),(),(,其中D 由

1,,02

===x x y y 所围成,则

)(

),(=y x f

(A).

xy (B). xy 2 (C). 1+xy (D).

81+

39.

d y x y x ??

≤++1

2222的值是( )

(A) 35π (B) 65π

(D) 11

10π

40. 设D 是

≤+y x 所围成区域, 1D 是由直线1=+y x 和x 轴, y 轴所围成的区域，则 ()()

=++??dxdy y x D

(A)

()dxdy

y x D ??++1

14 (B) 0 (C)

()dxdy

y x D ??++1

12 (D) 2

41. 半径为a 均匀球壳

)1(=ρ对于球心的转动惯量为（）

(A) 0 (B)42a π (C) 44a π (D) 4

6a π

42. 设椭圆L ：1342

2=+y x 的周长为l ，则?=+L ds y x 2)23(（）

(A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12

43. 下列级数中收敛的是（）

（A ）∑∞

=+188

4n n

（B ）

∑∞

=-1848n n n n （C ）

∑∞

=+1842n n

n (D)

∑∞

=?1842n n

44. 下列级数中不收敛的是（）

（A）

)

∑∞

=（B）

∑∞

（C）

∑∞

(

（D）

∑∞

(

45.下列级数中收敛的是（）

（A）∑∞

n n

（B）

∑∞

(

（C）

∑∞

（D）

∑∞

)(1

(

46.∑∞

为正项级数，下列命题中错误的是（）

(A)如果

lim1<

∞

→

n u

，则

∑∞

收敛。 (B)

lim1>

∞

→

n u

，则

∑∞

发散

，则

∑∞

收敛。 (D)如果

，则

∑∞

发散

47.下列级数中条件收敛的是（）

（A）

(

∑∞

（B）

(

∑∞

(C）

(

∑∞

（D）

(

∑∞

48.下列级数中绝对收敛的是（）

（A）

(

∑∞

（B）

∑∞

(

（C）

∑∞

(

（D）

∑∞

(

49.当

)

(

∑∞

收敛时，

∑∞

与

∑∞

（）

（A）必同时收敛（B）必同时发散（C）可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛

50.级数∑∞

收敛是级数

∑∞

收敛的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

51.∑∞

为任意项级数，若

且

lim=

∞

→

，则该级数（）

（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定52.下列结论中，正确的为（）

（A）若∑∞

发散，则

∑∞

n n

发散

(≠

；（B）若

∑∞

收敛，则

∑∞

n n

发散

(≠

（C）若∑∞

收敛，则

∑∞

100

)

(

收敛；

（D）若∑∞

与

∑∞

发散，则

∑∞

)

(

发散

53.函数

)

(

的麦克劳林展开式前三项的和为（）

（A）

；（B）

；（C）

；（D）

54.设

n n

a a

，

,1,2,3,

n n

a a

q n

==???

，则下列命题正确的是（）．

（A ）若1

n a ∞

=∑条件收敛，则1

n p ∞=∑与1

n q

∞

=∑都收敛；

（B ）若1

n a ∞

=∑绝对收敛，则1

n p ∞

=∑与1

n q

∞

=∑都收敛；

（C ）若1

n a ∞=∑条件收敛，则1

n p ∞

=∑与1

n q

∞=∑的敛散性都不定；

（D ）若1

n a

∞=∑绝对收敛，则1

n p ∞

=∑与1

n q

∞=∑的敛散性都不定.

55. 设 , 则（）

(A) 与都收敛. (B) 与都发散.

56. 75、若在处收敛, 则此级数在

处（）

(A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定

57. 设幂级数的收敛半径为3, 则幂级数

的必定收敛的区间为（）

(A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2)

58. 若幂级数n

n n

∑∞

的收敛半径为R ，则幂级数()

n n

x a 21

-∑∞

=的收敛开区间为（）（A ）

()R R ,

- （B ）

()R R +-1,

1 （C ）()∞+∞-, （D ）()R R +-2,2

59. 级数∑

∞

=--1

)5(n n

x 的收敛区间（）

（A ）（4，6）（B ）

[)6,4 （C ）(]6,4 （D ）[4，6]

60. 若级数∑∞

=--1

12)2(n n n a x 的收敛域为[

)4,3，则常数a =（）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）以上都不对

61. 若幂级数()

n n x a 11-∑∞

=在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（）（A ）条件收敛（B ）绝对收敛（C ）发散（D ）敛散性不能确定 62. 函数

)(x e

x f -=展开成x 的幂级数为（）

（A ）∑∞

2!n n n x （B ）∑∞

=?-0

2!)1(n n

n n x （C ）∑∞=0

!n n

n x （D ）∑∞

=?-0

!)1(n n

n n x

63. 函数

()24

1x x x f -=

展开成x 的幂级数是（）

（A ）n

n x

∑

∞

= （B ）n

n n

)1(∑∞

=- （C ）n

n x

∑

∞

= （D ）n

n n x 22

)1(∑

∞

64．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（）

（A）3

，

2π

（B）

，

（C）6

，

（D）

2π

，

65．向量

()

与

轴垂直，则（）

（A）

（B）

（C）

（D）

66．设

()()1,1,1

,1,1-

，则有（）

（A）

a//（B）b

a⊥（C）3

,π=??

?∧b

（D）

,π

?∧b

67．直线?

与直线

关系是( )．

(A) 垂直； (B) 平行； (C) 重合； (D) 既不平行也不垂直．

68．柱面

x的母线平行于（）

（A）y

轴（B）

轴（C）

z轴（D）zox面

69．设

均为非零向量，则（）

（A）

b=（B）)

//(c

（C）

)

⊥

（D）

70．函数

()x y

的定义域为（）

（A）

,0≥

≥y

（B）

,0≤

≤

≥

≥y

x或

（C）

,0<

（D）

,0>

或

,0<

71．

()

，则

()

（A）

（B）

（C）

（D）

72．下列各点中，是二元函数

()x

的极值点的是（）

（A）()1,3-

（B）

()1,3

（C）

()1,1-

．（D）

()1,1-

73．

?-dy

dx x2

（）

（A）

3π

（B）

2π

（C）

4π

（D）

74．设D是由2

，

所围成的闭区域，则

??dxdy

（）

（A）3

（B）

（C）

（D）0

75．设D是由π

≤

≤y

x0,1

所确定的闭区域，则

()=

??dxdy

cos

（）

（A） 2 （B）π2

（C）

（D）0

三、计算题

1、下列函数的偏导数

（1）

56y

；（2）

)

ln(2

；

（3）

；（4）

)

(

cos

)

sin(2xy

；

（5）

)

sin

(cos

e y

z x+

；（6）

tan

；

（7）

z cos

sin?

；（8）

1(+

；

（9）

)

ln(y

；（10）

arctan

；

（11）

)

e z

；（12）

(13)

；（14）

z y

；

（15）

∑

1（i

为常数）；（16）

=∑

,且为常数。

（17）

z y

=-,

sin

,2t

z y

=-,

sin

；求

2．设

)

，求

)4,3(

及

)4,3(

。

3．设

e y

，验证

。

4．求下列函数在指定点的全微分：

（1）

)

(xy

，在点

)2,1(

；

（2）

)

ln(

)

，在点

)4,2(

；

（3）

sin

)

(

，在点

)1,0(

和

。

5．求下列函数的全微分：

（1）

；（2）

z e

；

（3）

；（4）

；

（5）

；（6）

)

ln(2

。

6．验证函数

≠

)

(

在原点

)0,0(

连续且可偏导，但它在该点不可微。

7．验证函数

≠

sin

)

(

)

(

的偏导函数

)

(

x在原点（0，

0）不连续，但它在该点可微。

8．计算下列函数的高阶导数：

（1）

z arctan

，求

；

（2）

)

cos(

)

sin(y

，求

；

（3）

z e

=，求2

；

（4）

)

ln(cz

，求

；

（5）

p b

(

)

，求

；

（6）

tan(2

，求

?++

。

（7）

y sin

，求

u3d；

9.计算下列重积分:

（1）,其中是矩形闭区域:,

（2）,其中是矩形闭区域: ,

（3）,其中是顶点分别为 (0,0),和的三角形闭区域.（4）,其中是由两条抛物线,所围成的闭区域.（5）,其中是由所确定的闭区域.

（6）改换下列二次积分的积分次序

①

②

③

（7）

（8）

（9）,其中是由圆周所围成的区域.

（10）,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.

（11）,其中是由直线,及曲线所围成的闭区域

（12）,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.

（13）,其中是由直线,,,所围成的闭区域.

（14）,其中是圆环形闭区域:

（15）,其中是平行四边形闭区域,它的四个顶点是,,和. （16）,其中是由两条双曲线和,直线和所围成的在第一象限内的闭区域. （17）,其中是由轴,轴和直线所围成的闭区域

（18）,其中为椭圆形闭区域

（19）化三重积分为三次积分,其中积分区域分别是

(1)由曲面及平面所围成的闭区域在一卦限内的闭区域。

(2)由曲面(c>0),,所围成的在第一卦限内的闭区域.

（20）计算,其中为平面,,, 所围成的四面体.（21）计算,其中是由平面,,,以及抛物柱面所围成的闭区域.（22）计算,其中是由锥面与平面所围成的闭区域. （23）利用柱面坐标计算下列三重积分

(1),其中是由曲面及

所围成的闭区域

(2),其中是由曲面

及平面所围成的闭区域

（24）利用球面坐标计算下列三重积分

(1),其中是由球面所围成的闭区域.

(2),其中闭区域由不等式, 所确定.

25.选用适当的坐标计算下列三重积分

(1),其中为柱面及平面

,,所围成的在第一卦限内的闭区域

(2),其中是由球面

所围成的闭区域

(3),其中是由曲面

及平面所围成的闭区域.

(4),其中闭区域由不等式

,所确定.

26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积

(1)及

(含有轴的部分).

(2)及

二.曲线积分

1．计算下列对弧长的曲线积分

(1),其中为圆周,

(2),其中为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段

(3),其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界.

(4),其中为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

(5),其中为曲线,,上相应于从0变到2的这段弧.

(6),其中为折线,这里,,,依次为点(0,0,0),(0,0,2),

(1,0,2),(1,3,2).

(7),其中为摆线的一拱,

(8),其中为曲线,

2．计算下列对坐标的曲线积分

(1),其中是抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧

(2),其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行).

(3),其中为圆周(按逆时针方向绕行).

(4),其中为曲线,,上对应从0到的一段弧.

(5),其中是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线

(6),其中是抛物线上从点到点(1,1)的一段弧.

3.计算,其中是

(1)抛物线上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.

(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段

(3)先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线.

(4)曲线,上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.

4.把对坐标的曲线积分划成对弧长的曲线积分,其中为

(1)在面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)

(2)沿抛物线从点(0,0)到点(1,1)

(3)沿上半圆周从点(0,0)到点(1,1)

5.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性.

(1),其中是由抛物面和所围成的区域的正向边界曲线.

(2),其中是四

个顶点分别为(0,0),(2,0),(0,2)和(2,2)的正方形区域的正向

边界.

6.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积

(1)星形线,

(2)椭圆

7.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关,并计算积分值

(1)

(2)

8.利用格林公式,计算下列曲线积分

(1),其中为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界

(2),其中为正向星形线

(3),其中为在抛物面上由点(0,0)到的一段弧

(4),其中是在圆周上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧

9.验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求这样的一个

(1)

(2)

(3)

第三部分级数

1. 判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

2. 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

3. 用比值审敛法判别下列级数的收敛性

（1）

（2）

（3）

4．用根值审敛法判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3),其中,,,均为

正数.

5.判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

6.判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?

(1)

(2)

(3)

(4)

7.求下列幂级数的收敛区间

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

高等数学下试题及参考答案

高等数学下试题及参考答案内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =

2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是（） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

高数上试题及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

同济版高等数学下册练习题附答案

第八章测验题一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠，则平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 .

高等数学下册期末考试题及答案

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

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《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

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第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

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高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++??∑ds y x )122（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数∑∞ =+1)1(1n n n 的与为。二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件就是( ) (A)),(y x f 在),(00y x 处连续; (B)),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时,就是无穷小; (D)0)()(),(),(lim 2200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A)y x +; (B)x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω= zdV I 等于( ) (A)4 ???20201 03cos sin ππ ???θdr r d d ;

高数下册试题库

高等数学下册试题库一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+= -且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+= =的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________ )0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则____________,__________ =??=??y z x z 14. 设,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________

高等数学习题集[附答案及解析]

WORD 格式第一章函数与极限 §1 函数必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。二、证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

WORD 格式 §2 初等函数必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

大一下高数练习题

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为 () A.0 B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 C.不能确定其敛散性

6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。

2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4 、

5、6、0 7、三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则

高等数学下册试题及答案解析

高等数学下册试题及答案解析一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z = ) 0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 . 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为 . 4、设曲线L 的参数方程表示为), ()()(βαψ?≤≤? ? ?==x t y t x 则弧长元素=ds . 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 = ++?? ∑ ds y x )122 （ . 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 . 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑ ∞ =+1)1(1n n n 的和为 . 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在) ,(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在) ,(00y x 处连续；（B ） ) ,(y x f x '， ) ,(y x f y '在 ) ,(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当 0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2 200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x . 2、设 ), ()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 . 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分 ???Ω =zdV I 等于（）（A ）4 ???20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；（B ） ? ??20 1 2sin π π??θdr r d d ；

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高等数学习题集第二章导数与微分 §1 导数概念必作习题 P105-107 1，4，5，6，9，12 必交习题一、设函数)(x f 在2=x 处连续，且32 )( lim 2=-→x x f x ，求)2(f '。二、确定b a ,的值，使函数???>+≤=1 1)(2x b ax x x x f ，，在1=x 处可导。

三、求下列函数)(x f 的)0()0(+-''f f 和，并问)0(f '是否存在？ (1)?? ?≥+<=0),1ln(0,sin )(x x x x x f ； (2)?? ? ??=≠+=0,00,1)(1x x e x x f x 四、在抛物线2x y =上取横坐标为3121==x x 和的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线可平行于这割线？

高等数学习题集 §2 函数的和、差、积、商的求导法则 §3 反函数的导数复合函数的求导法则必作习题 P111 2，3，4，5； P118-119 1(单数号题)，2(双数号题)，3(单数号题) 必交习题一、求下列函数的导数： (1)2ln x x x y -=； (2)x x y sin cos 1-=； (3)x x x y tan )1(+=； (4)x e y 1tan = (5)x x y 1 231arccos ---=； (6)2|11 ='-+=x y x x y ，求。

二、设x d cx x b ax x f cos )(sin )()(+++=，确定d c b a ,,,使x x x f cos )(='。三、求垂直于直线0162=+-y x ，且与曲线5323--=x x y 相切的直线方程。四、设)232 3(+-=x x f y ，又2arctan )(x x f ='，求0 =x dx dy 。

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《高等数学(下册)》第八章练习题一、填空题 1.________________ )sin(==dz xy z 则，设 2.设),cos(2y x z =，则 =??)2 ,1(π x z 3.函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4.设xy e z =，则=dz 5.设 y z ln z x =，则 =?zx z 二、选择题 ) 2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在是),(y x f 在该点连续的( ). (a)充分条件， (b)必要条件， (c)充要条件， (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f + =，则＝（）)1,1(-' x f . （A ），31 （B ），31- （C ），65 （D ）.65- 三、计算题方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 13 2 ???==x z x y 2、设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求 .,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,2 22 z y x e u ++=而y x z sin 2=,求 x u ??. 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线和法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。

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--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章函数与极限 §1 函数必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。二、证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

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