导数应用练习题答案
1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。
2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 2
1(2)()[2,2]1f x x =
-+；
(3)()[0,3]f x =； 2
(4)()1
[1,1]x f x e =--
解：2
(1)()23
[1,1.5]f x x x =---
该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-， 使()410f ξξ'=-=，解出14
ξ=。 解：2
1(2)()[2,2]1f x x =
-+
该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1
(2)5
f =
，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-， 使22
2()0(1)f ξ
ξξ-'=
=+，解出0ξ=。
解：(3)()[0,3]f x =
该函数在给定闭区间上连续，其导数为()
f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =，
(3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈，
使()0
f ξ'==，解出2ξ=。
解：2
(4)()e 1
[1,1]x f x =--
该函数在给定闭区间上连续，其导数为2
()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2
()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。
2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。
3
(1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2]
f x x
=；
32(3)()52
[1,0]
f x x x x =-+--
解：3
(1)()[0,](0)f x x
a a =>
该函数在给定闭区间上连续，其导数为2
()3f x x '=，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(0,)a ξ∈，使()(0)()(0)f a f f a ξ'-=-，即3
2
03(0)a a ξ-=-
，解出ξ=。 解：(2)()ln [1,2]
f x x
=
该函数在给定闭区间上连续，其导数为1
()f x x
'=
，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(1,2)ξ∈，使(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即1
ln 2ln1(21)ξ
-=
-，解出1
ln 2
ξ=
。 解：32
(3)()52
[1,0]
f x x x x =-+--
该函数在给定闭区间上连续，其导数为2
()3101f x x x '=-+，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(1,0)ξ∈-，使(0)(1)()(01)f f f ξ'--=+， 即2
2(9)(3101)(01)ξξ---=-++
，解出ξ=
。
3.不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个实根及根所在的范围。 答案：有三个根，分别在(1,2),(2,3),(3,4)
4证明：当1x ≥时，恒等式2
22arctan arcsin 1x
x x π+=+成立 证：设2
2()2arctan arcsin
1x
F x x x
=++ 当1x ≥时，()F x 连续，当1x >时，()F x 可导
且22
2222
2
2(1)2222
()01(1)11x x x F x x x x x +-?'==-=++++ 即当1x ≥时，()F x C ≡，即()(1)24
2
F x F π
π
π==?+
=
故当1x ≥时，2
22arctan arcsin
1x
x x
π+=+ 5设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，证明在(0,1)内存在一点c ， 使 ()2()()cf c f c f c ''+=．
证明：令2()(1)()F x x f x =-，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且因(0)0f =，则(0)0(1)F F == 即()F x 在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)c ∈使()0F c '= 又2
()2(1)()(1)()F x x f x x f x ''=-+-，即2
2(1)()(1)()0c f c c f c '-+-= 而(0,1)c ∈，得()2()()cf c f c f c ''+=
6.已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0f f ==，证明在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()
()f f ξξξ
'=-
．
证明：令()()F x xf x =，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0(1)F F == 即()F x 在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)ξ∈使()0F ξ'=
又()()()F x f x xf x ''=+，即()()0f f ξξξ'+=，故()
()f f ξξξ
'=-．
7.证明不等式：2121sin sin x x x x -≤-
证明：设函数()sin f x x =，，12,x x R ?∈，不妨设12x x <，
该函数在区间12[,]x x 上连续，在12(,)x x 上可导，由拉格朗日中值定理有
2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-，12()x x ξ<<即2121sin sin cos ()x x x x ξ-=-，
故2121sin sin cos ()x x x x ξ-=-，由于cos 1ξ≤，所以有2121sin sin x x x x -≤-
8.证明不等式：1
1()()(1,0)n n n n nb
a b a b na a b n a b ---<-<->>>
证明：设函数()n
f x x =，在[,]b a 上连续，在(,)b a 内可导，满足拉格朗日定理条件，故
1()n n n a b n a b ξ--=-，其中0b a ξ<<<，因此111n n n b a ξ---<<
有1
11()()()n n n nb
a b n a b na a b ξ----<-<- 所以1
1()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-
9.利用洛必达法则求下列极限：
0e e (1)lim x x x x
-→-； 解：00e e e +e lim
lim 21
x x x x
x x x --→→-== 1
ln (2)lim
1
x x
x →-； 解：111
ln lim lim 111
x x x
x x →→==-
3232132(3)lim 1
x x x x x x →-+--+；
解：3223
22113236lim lim 1321
x x x x x x
x x x x x →→-+-==∞--+-- 2
ln()
2(4)lim tan x x x ππ
+
→
-； 解：222222
1
ln()cos 2cos (sin )22lim lim lim lim 01tan 1cos 2
x x x x x x x x x x x x ππππππ
π++++→→→→
--
?-====-
(5)lim (0,e
n
ax
x x a n →+∞>为正整数）
解：1!
lim lim
lim 0e e e n n ax ax n ax
x x x x nx n a a -→+∞→+∞→+∞===?? 0
(6)lim ln (0)m
x x x m +
→>； 解：1
00001
ln lim ln lim lim lim 0m m m m x x x x x x x x x x mx m ++++---→→→→====-- 011
(7)lim()e 1
x x x →--；
解：0000011e 1e 1e 11
lim()lim lim lim lim e 1(e 1)e 1e e e e 22
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====---++++
1
(8)lim(1sin )x
x x →+；
解：11sin sin 0
lim(1sin )lim(1sin )
e x x x x
x x x x ?→→+=+=
sin 0
(9)lim x
x x +
→； 解：21
2
000001
ln sin sin sin lim sin ln lim
lim lim
lim
sin 0cos cos sin sin cos 0
lim e
e
e e
e
e 1x x x x x x
x x x
x x x
x
x x x x
x
x x
x x --+
++++
→→→→→+
?
-?--?→=======
10.设函数ln(1)0()1
kx x f x x
x +?≠?
=??-=?，若()f x 在点0x =处可导，求k 与(0)f '的值。
解：由于函数在0x =处可导，因此函数在该点连续，由连续的概念有 00ln(1)lim
lim (0)1x x kx kx
k f x
x →→+====-，即1k =-
按导数定义有
200000ln(1)1
11
()(0)ln(1)111(0)lim lim lim lim lim 022(1)2
x x x x x x f x f x x x x f x x x x x →→→→→-+-+--+--'======--- 11.设函数21cos 0
()0110
e 1
x
x
x x f x k
x x x -?>??
==???-<-?，当k 为何值时，()f x 在点0x =处连续。 解：函数连续定义，0
lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+
→→==， 00000011e 1e 1e 11
lim ()lim ()lim lim lim lim e 1(e 1)e 1e e e e 22
x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x ------→→→→→→---=-=====---++++ 20
1cos 1lim ()lim 2x x x f x x ++
→→-==，而01
(0)lim ()2
x f k f x →===
； 即当1
2
k =时，函数()f x 在0x =点连续。
12.求下列函数的单调增减区间：
2(1)365y x x =++；
解：660y x '=+=，有驻点1x =-，
由于当1x <-时，0y '<，此时函数单调减少； 由于当1x >-时，0y '>，此时函数单调增加；
42(3)22y x x =-+；
解：3
2
444(1)y x x x x '=-=-，令0y '=，有0,1,1x x x ===-，
当1x <-时，0y '<，此时函数单调较少；当10x -<<时，0y '>，此时函数单调增加； 当01x <<时，0y '<，此时函数单调较少；当1x >时，0y '>，此时函数单调增加
2
(3)1x y x
=+；
解：22
22
2(1)2(1)(1)
x x x x x y x x +-+'==++，令0y '=，有0,2x x ==-，此外有原函数知1x ≠-， 当2x <-时，0y '>，此时函数单调增加；当21x -<<-时，0y '<，此时函数单调减少； 当10x -<<时，0y '<，此时函数单调减少；当0x >时，0y '>，此时函数单调增加；
13.证明函数2
ln(1)y x x =-+单调增加。
证明：2
22
2(1)1011x x y x x -'=-
=≥++， 等号仅在1x =成立，所以函数2
ln(1)y x x =-+在定义区间上为单调增加。 14.证明函数sin y x x =- 单调减少。 解：cos 10y x '=-≤，
等号仅在孤立点2(0,1,2)x n n π==±±L L 成立，所以函数sin y x x =-在定义域内为单调减少。
15.证明不等式：1
3(0,1)x x x
>-
>≠
证明：设1()3f x
x =+
，在1x =时，(1)0f =，且2211()f x x x '==， 当1x >时，()0f x '>，函数单调增加，因此()(1)0f x f >=； 当01x <<时，()0f x '<，函数单调减少，因此()(1)0f x f >=；
所以对一切0x >，且1x ≠，都有()0f x >，即1
3(0,1)x x x
>->≠
16.证明：当0x ≠时，1x
e x >+ 解：设()1x
f x e x =--
()1x f x e '=-，当0,()0(),x f x f x '>>?↑所以0,()(0)0x f x f >>=
所以0,1x
x e x >>+
当0,()0(),x f x f x '<= 所以0,1x x e x <>+
0,1.x x e x ∴≠>+
17.证明：当0x >时， ln(1)1x x x
+>+ 解：设()ln(1)1x f x x x
=+-
+ 22
11()1(1)(1)
x f x x x x '=
-=+++，当0,()0(),x f x f x '>>?↑ 所以0,()(0)0x f x f >>=，0 , ln(1)1x
x x x
>+>
+即 18.证明方程3
310x x -+=在(0,1)内只有一个实根。
证明：令3
()31f x x x =-+，()f x 在[0,1]上连续，且(0)1,(1)1,f f ==-
由零点定理存在(0,1)ξ∈，使()0f ξ=，所以ξ是方程3
310x x -+=在(0,1)内的一个根。
又因为22
()333(1)f x x x '=-=-，当(0,1)x ∈时()0f x '<，函数单调递减，
当x ξ>时，()()0f x f ξ<=，当x ξ<时，()()0f x f ξ>=，所以在(0,1)内只有ξ一个实根 或用罗尔定理证明只有一个实根 。
19.求下列函数的极值：
32(1)37y x x =-+；
解：2
363(2)y x x x x '=-=-，令2
363(2)0y x x x x '=-=-=，解出驻点为0;2x x ==，函数在定义域内的单调性与极值见图表所示：
2101234
10
10
20
f x ()
x
2
2(2)1x
y x =
+；
解：22
2(1)(1)
(1)
x x y x +-'=
+，驻点为1,1x x ==-，函数的单调性与极值见表
2(3)e x y x -=；
解：e (2)x
y x x -'=-，驻点为0,2x x ==， 二阶导数为2
e (42)x
y x x -''=-+， 显然22(0)2,(2)e y y ''''==-
，函数在0x =点取极小值0，在2x =处取极大值24e
。
(4)3y =
解：13
23(2)
y x '=-
-，函数在2x =处不可导，以此点为界划分区间并给出函数单调性与极值。
(5)(y x =-
解：函数导数为13
523x y x
-'=，解出驻点为2
5
x =
，不可导点为0x =，函数在各个区间的单调性见表格所示。
3
2
(6)(1)x y x =-
解：23
(3)
(
1)x x y x -'=-，驻点为0,3x x ==，不可导点为1x =，划分区间并判断增减性与极值
x
20. 设2
ln(1)y x =+，求函数的极值，曲线的拐点。 解：2
201x
y x
'=
=+， 解出0x =，0, 0 ,x y y '<<↓ 0, 0 ,x y y '>>↑ ，极小值(0)0f =
222
2(1)
0(1)x y x -''=
=+，解出1x =±，
拐点
21.利用二阶导数，判断下列函数的极值：
2(1)(3)(2)y x x =--；
解：(37)(3)y x x '=--，2(3
8)y x ''=-，驻点：7
3
x =
，3x =， 73
20x y
=''=-<，因此在73x =
点函数取极大值427
； 320x y =''=>，因此在3x =点函数取极小值0；
(2)2e e x x y -=+
解：22e 1e x x
y -'=，2e e x x
y -''=+，驻点为ln 22
x =-， 由于1ln 22
0x y =-''=>，因此在ln 2
2
x =-
处函数取得极小值。
22.曲线32
y ax bx cx d =+++过原点，在点(1,1)处有水平切线，且点(1,1)是该曲线的拐点，求,,,a b c d 解：因为曲线3
2
y ax bx cx d =+++过原点，有0d =， 在点(1,1)处有水平切线，(1)320f a b c '=++=，
点(1,1)是该曲线的拐点，()62f x ax b ''=+，(1)620f a b ''=+=， 又因为点(1,1)在曲线上，1a b c d +++= 联立方程组解出1,3,3,0a b c d ==-==
23.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
42(1)25
[2,2]y x x =-+-；
解：3
444(1)(1)y x x x x x '=-=+-，令0y '=，得驻点为0,1,1x x x ===-，
计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为(2)13,(1)4,(0)5,(1)4,(2)13y y y y y -=-====， 比较上述函数值，知最大值为(2)(2)13y y -==； 最小值为(1)(1)4y y -==。
2(2)ln(1)
[1,2]y x =+-；
解：2
21
x
y x '=
+，令0y '=，得驻点为0x =，计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为(1)ln 2,(0)0,(2)ln5y y y -===，比较上述函数值，知最大值为(2)ln 5y =；最小值为(0)0y =
2
1
(3)[,1]12
x y x
=
-+； 解：2
(2)(1)x x
y x +'=
+，令0y '=，得驻点为0,2x x ==-，计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为
111
(2)4,(0)0,(),(1)222
y y y y -=-=-==，比较上述函数值，
知最大值为11
()(1)22
y y -==；最小值为(0)0y =。
(4)[0,4]y x =+
解：0y '=
>，函数单调增加，计算端点处函数值为(0)0,(4)6y y ==，
知最大值为(4)6y =；最小值为(0)0y =
24.已知函数3
2
()6(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[1,2]-上的最大值为3，最小值为29-，求,a b 的
值。
解：2
()312f x ax ax '=-，令2
()3123(4)0f x ax ax ax x '=-=-=，解出驻点为0,4x x ==（舍），
且(1)7f b a -=-，(0)f b =，(2)16f b a =- 因为0a >，所以(0)(1)(2)f f f >->
故(0)3f b ==为最大值，(2)16f b a =-为最小值，即(2)1629f b a =-=-，解出2a =。
25. 欲做一个底为正方形，容积为3
108m 的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？ 解：设底面正方形的边长为x ，高为h ，则表面积为2
4S x xh =+， 又体积为2
V x h =，有2V
h x
=
得2
24432V S x x x x =+=+，2d 43220d S x x x
=-=，解出6x =，3h =
即取底面边长为6，高为3时，做成的容器表面积最大。
26.欲用围墙围成面积为2
216m 的一块矩形土地，并在正中间一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？
解：所用的建筑材料为32L x y =+，其中面积216xy =，因此有432
3L x x
=+， 2d 432
30d L x x
=-=，解出12x =，即当取宽为12x =米，长为18y =米时所用建筑材料最省。
27.某厂生产某种商品，其年销量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件的库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完成后，立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？
解：设100万件分x 批生产，生产准备费及库存费之和为y ，则
100000025000
10000.0510002y x x x x =+
?=+
， 2
25000
10000y x
'=-=，解出5x =， 问5批生产，能使生产准备费及库存费之和最小。
28.确定下列曲线的凹向与拐点：
23(1)y x x =-；
解：2
23,26y x x y x '''=-=-， 令10,y x ''==
2(2)ln(1)y x =+；
解：2
222
222,1(1)
x x y y x x -'''==++， 令0,1y x ''==±
13
(3)y x =；
解：2533
12,39y x y x --'''==-=， 令,0y x ''=不存在点
2
2(4)1x
y x
=
+； 解：222223
224(3)
,(1)(1)
x x x y y x x --'''==++，
令0,0,y x x ''===
(5)e x y x =；
解：(1+),(2+)x
x
y e x y e x '''==， 令0,=2y x ''=-
(6)e
x
y -=
解：,0x x
y e y e
--'''=-=>，
所以e x
y -= 在 (,)-∞+∞内是凹的，无拐点。
29.某化工厂日产能力最高为1000吨，每天的生产总成本C （单位：元）是日产量x （单位：吨）的函数：
()10007[0,1000]C C x x x ==++∈
（1）求当日产量为100吨时的边际成本；（2）求当日产量为100吨时的平均单位成本。 解：（1）边际成本()7C x
'=+
25
(100)79.510C '=+=
（2）平均单位成本()1000()7C x AC x
x x =
=+(100)100050
(100)72210010010C AC ==++= 30.生产x 单位某产品的总成本C 为x 的函数：2
1()11001200
C C x x ==+，求（1）生产900单位时的总成本和平均单位成本；（2）生产900单位到1000单位时的总成本的平均变化率；（3）生产900单位和1000
单位时的边际成本。 解：（1）21
(900)110090017751200
C =+=，
(900)1775
1.97900900C == （2）(1000)(900)
1.581000900
C C -=-
（3）边际成本为()600
x
C x '=，
9001000
(900) 1.5,(1000) 1.67600600
C C ''====
31．设生产x 单位某产品，总收益R 为x 的函数：2
()2000.01R R x x x ==-，求：生产50单位产品时的总收益、平均收益和边际收益。
解：总收益(50)200500.0125009975R =?-?=，
平均收益
()2000.01R x x x =-，(50)
2000.0150199.550
R =-?=， 边际收益()2000.02R x x '=-， (50)2000.0250199R '=-?=
32.生产x 单位某种商品的利润是x 的函数：2
()50000.00001L x x x =+-，问生产多少单位时获得的利润最大？
解：()10.00002=0L x x '=-，解出50000x = 所以生产50000个单位时，获得的利润最大？
33.某厂每批生产某种商品x 单位的费用为()5200C x x =+，得到的收益是2
()100.01R x x x =-，问每批
生产多少单位时才能使利润最大？
解：2
()()()50.01200L x R x C x x x =-=--， 令()50.02=0L x x '=-，解出250x = 所以每批生产250个单位时才能使利润最大。
34.某商品的价格P 与需求量Q 的关系为105
Q
P =-
，求（1）求需求量为20及30时的总收益R 、平均收益R 及边际收益R '；（2）Q 为多少时总收益最大？
解：总收益函数2(Q)Q (10)Q=10Q 55
Q Q R P ==--
平均收益函数()()105
R Q Q R Q Q =
=-， 边际收益函数2(Q)=105
Q
R '-， （1）400900
(20)200=120,(30)300=12055R R =-
=-， (20)20(30)30
(20)10=6,(30)10=4205305R R R R ==-==-，
4060
(20)=10=2,(30)=10=2,55R R ''---
(2) 2(Q)=10=0,5
Q
R '-解出Q=25时总收益最大。
35.某工厂生产某产品，日总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元。该商品的需求函数为502Q P =-，求Q 为多少时，工厂日总利润L 最大？ 解：成本函数()20010C C Q Q ==+，
2
50()()(20010)1520022
Q Q L Q PQ C Q Q Q Q -=-=-+=--，
令()15Q=0L Q '=-，解得Q=15， 所以Q=15，总利润L 最大。
高二数学（文）选修1-1 导数及其应用 回扣练习
一、 选择题
1．下列求导运算正确的是（ ） A 、3
211)1(x
x x -='+
B 、21
(log )ln 2x x ￠= C 、2(cos )2sin x x x x ￠=- D 、 3(3)3log x x e ￠=
2、已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．－1 D ．1 3．函数3y x x =+的递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),(+∞-∞
D ．),1(+∞
4．(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞
5．已知3)2(3
123
++++=
x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( ) A. 21>-=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）
A ．2
p B ．p C ．p 2 D ．无法确定 7．函数x
x y 142+=单调递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),2
1(+∞ D ．),1(+∞ 8．函数x
x
y ln =
的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．
3
10 9．函数x x x f sin 2)(-=在),(+∞-∞上 （ ） A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值 D ．有最小值 10．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）
A 、极大值5，极小值－27
B 、极大值5，极小值－11
C 、极大值5，无极小值
D 、极小值－27，无极大 二、 填空题 11、函数y =
x
x
sin 的导数为_________________； 12．函数2cos y x x =+在区间[0,]2
π
上的最大值是 。
13．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 。
14、曲线x y ln =在点M(e,1)处的切线的方程为_______________； 三、 解答题
15. 已知函数bx ax x x f --=23)(的图象与x 轴切于点（1，0），求)(x f 的极大值与极小值
16． 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。
18.命题p ：方程22
12x y m
+
=是焦点在y 轴上的椭圆, 命题q ：函数m x m mx x x f --+-=
)34(23
4)(23
在(,)-∞+∞上单调递增, 若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围．
19、已知函数c bx ax x x f +++=33)(23在2=x 处有极值，其图象在1=x 处的切线 与直线0526=++y x 平行.（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当]3,1[∈x 时，241)(c x f ->恒成立，求实数c 的取值范围。
高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十） 一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点 （2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ．y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ，则点P 的横坐标的取值范围为（ ） A ． []0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--???? D ．1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）． A ． n B ．1n - C ． (1)2 n n - D ． 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．2
7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ） A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f （x ）的图象如图所示，则导函数 y=f'（x ）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D． (－2,0)∪(0,2) 12.设f （x ）=cosx ﹣sinx ，把f （x ）的图象按向量=（m ，0）（m ＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f′（x ）的图象，则m 的值可以为（ ）
导数练习题带答案
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导数及其应用 一、选择题 1.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 2.已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ． 2 13.设函数()f x ＝x 3 ﹣x 2 ，则)1(f '的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．5 4.已知函数???>+<+=) 0()0(1)(x a x x a x f x ，若)(lim 0 x f x →存在，则= -)2(' f A.2ln 4 B. 45 C.2- D.2ln 4 15.设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速 度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 6.已知函数1)(2 3--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞Y D ．) 3,3(-7.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215 243 s t t t =-+，那么速度为零的时 刻是 （ ） A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末 8.下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ． dx x ?+1 0)1( C ．dx ?1 01 D ．dx ?1021 9.1 1lim 10 0-+→x x x 的值是 A.不存在 B.0 C.2 D.10
a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围
导数及应用 《导数及其应用》单元测试卷 一、 选择题 1．已知物体的运动方程是 s 1 t 4 4t 3 16t 2 （ t 表示时间， s 表示位移），则瞬时速度为 4 0 的时刻是：（ ） A ． 0 秒、 2 秒或 4 秒 B ． 0 秒、 2 秒或 16 秒 C ． 2 秒、 8 秒或 16 秒 D ． 0 秒、 4 秒或 8 秒 2．下列求导运算正确的是（ ） A ． ( x 1 ) 1 1 B ． (log 2 x) 1 x x 2 x ln 2 C ． (3x ) 3x log 3 e D ． x 2 cos x 2sin x 3．曲线 y x 3 2x 4 在点 (13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 120° 4．函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（ ） s s s s O tO tO t O t A ． 1 B ． C ． D ． 6．设函数 f (x) 2x 1(x 0), 则 f ( x) （ ） x A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 7．如果函数 y=f ( x ) 的图像如右图，那么导函数 y=f ( x ) 的图像可能是 （ ） 8．设 f ( x) x ln x ，若 f '(x 0 ) 2 ，则 x 0 （ ） A ． e 2 B ． e C ． ln 2 D ． ln 2 2
高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．
5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0 《导数及其应用》强化训练试题 一、选择题 1．已知2)(x x f =，，则=')3(f = ( C ) A 0 B x 2 C 6 D 9 2.满足()()1 0f x dx f a =?，其中的函数()21f x x =+，则a 的值是（ B ） A 112-或 B 12 C 13 D 113 -或 3.曲线()ln 32y x =-在点（1，0）处的切线方程是（ C ） A 74y x =+ B 72y x =+ C 33y x =- D 2y x =- 4．函数f (x )＝3x 3－x 的极大值、极小值分别是（ D ） A 1，－1 B 132，612 - C 1，－17 D 29，29- 5．()2402cos 1x dx π -=? ( A ) A 12 B 1 C 12 - D －1 6. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 ( C ) A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3 -∞ 7．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ A ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 8．已知函数()y xf x '=的图象如图1所示，则函数y=f (x)的图象可能为 （ C ） 二、填空 9.某物体做直线运动，其运动规律是()2v t t =- ( t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在[]1,4 上的路程为 3/2 . 10. 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程是__4x-y-3=0__ 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 导数及其应用综合检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为() A．v＝2sin t＋2t cos t＋1 B．v＝2sin t＋2t cos t C．v＝2sin t D．v＝2sin t＋2cos t＋1 3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是() A．4 B．5 C．6 D．7 4．函数y＝x|x(x－3)|＋1() A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1 B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1 C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1 D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3 5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是() A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x) ＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(0,3) 8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④ 9．(2010·湖南理，5)??2 4 1x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞， ＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4 导数练习题（B ） 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++=在区间 （1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2 ()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 《导数及其应用》单元测试 一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共计70 分） 1、函数()cos sin f x x x x =+的导数()f x '= ； 2、曲线2 4x y =在点(2,1)P 处的切线斜率k =_________ ___； 3、函数13)(2 3+-=x x x f 的单调减区间为_________ __ _____； 4、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =__________ ______； 5、函数3 2 ()32f x x x =-+的极大值是___________； 6、曲线3 2 ()242f x x x x =--+在点(1,3)-处的切线方程是________________； 7、函数93)(2 3 -++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =_______ __； 8、设曲线2 ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ____________； 9、已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为2 1 ，则切点的横坐标为_____________； 10、曲线3 x y =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 ； 11、已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ， 则M m -=___________； 12、设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ； 13、已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中)(x f '是函数))(的导函数x f ， 下面四个图象中)(x f y =的图象大致是______ ______； ① ② 14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形， 记2 (S =梯形的周长） 梯形的面积 ，则S 的最小值是___ ____。 导数及其应用专题训练 (时间:100分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是() A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1 2.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.函数f(x)=-的图象大致为() 4.已知函数f(x)=a x+x2-x ln a,对任意的x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒 成立,则a的取值范围为() A.[e2,+∞) B.[e,+∞) C.[2,e] D.[e,e2] 5.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),若f'(x)-f(x)<-3,f(0)=4,则不等式f(x)>e x+3的解集是() A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,0) 6.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线方程是() A.y=-2x+3 B.y=x C.y=3x-2 D.y=2x-1 7.若正项递增等比数列{a n}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),则a6+λa7的最小值为() A.-2 B.-4 C.2 D.4 8.已知函数f(x)为R内的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-e x+1-m cos x,记a=-2f(- 2),b=-f(-1),c=3f(3),则a,b,c之间的大小关系是() A.b 导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程： （1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式； （Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值； 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 （2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ） 3 （A ） （B ） （C ） （D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间 （2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 第三章导数及其应用单元测试 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后 的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。 1．函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0 B．C．D． 2．函数的单调递减区间是（） A．B．C．D． 3．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 （） 4．点P在曲线 上移动，设 点P处切线倾斜角为α， 则α的取值范围是 （）A．[0,] B．0,∪[,π C．[,πD．(, 5．已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为（） A．B．C．D． 6．函数的单调递增区间是（）A． B．(0,3) C．(1,4) D． 7．已知函数时，则（） A．B． C．D． 8．设函数的导函数，则数列的前n项和是 （）A．B．C．D． 9．设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为（）A．[-,+∞] B．(-∞,-3) C．(-∞,-3)∪[－,+∞] D．[－,] 10．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时，(x-1)＜0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则（） A ．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 11．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） A．B．C．D． 12．如图所示的是函数的大致图象，则等于（）A．B． C．D． 第Ⅱ卷 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。 13．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________． 14．已知曲线交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点，则△ABP的面积为； 15．函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为， 则不等式的解集为_____________ 16．若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞）上的最大值为,则a的值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。 17．（12分）已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R)． （1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a． 高二数学选修2-2导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 》 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ） ． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2π e C ．],1[2π e D ．),1(2π e 8.07622 3 =+-x x 在区间)2,0(内根的个数为 （ ） ] A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 导数单元测试题 11.29 一、填空题 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是_______ 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是________ 3．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则实数b 的范围是_______ 4．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为______ 5．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________ 6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是_______ 7．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为________ 8．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的______________条件 9． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 10．函数()ln f x x x =的单调递增区间是＿＿＿＿． 导数及其应用 专项训练 一、选择、填空题 1、若2 1(1)ln (21),0, ()2ln , x a a x a x x a f x x x x x a ?--+++?≤． 是(0,)+∞上的减函数，则实数a 的取值范 围是（ ） A ．[1,e] B ．[e,)+∞ C ．3 2 (0,]e D ．32 [1,e ] 2、设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()()()f x f x x R >∈，2 (2)f e =（e 为自然对数的底数），则不等式2 (2ln )f x x <的解集为（ ） A ．)e B ． C. (0,)e D ．(1,)e 3、若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为 ． 4、已知函数f （x ）＝（e x ﹣a ）（x +a 2）（a ∈R ），则满足f （x ）≥0恒成立的a 的取值个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5、函数1221 ()(1)2 x f x e ax a x a -=-+-+在（一∞，十∞）上单调递增，则实数a 的范围是（ ） A. {1} B. (－1，1) C. (0. 1) D. {－1，1} 6、设过曲线f(x)= －e x －x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g(x)＝a x+2cosx 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为 7、曲线()2 a f x x x =+ 在点()()1,1f 处的切线与直线20x y +-=垂直,则实数a = . 8、已知函数1ln )(2++=x a x x f ，若1x ?，[)+∞∈,32x ，)(21x x ≠，[]2,1∈?a ， m x x x f x f <--1 221) ()(， 则实数m 的最小值为（ ） A ．3 20- B ．2 9 - C ．419- D ．3 19 - 9、曲线x y = 在点)2,4(处的切线的斜率为 10、函数13)(23-+=x ax x f 存在唯一的零点0x ，且0x 0<，则实数a 的取值范围是 ． 11、曲线()1x y ax e =+在点()01， 处的切线的斜率为2-，则a =________． 12、已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是 _______________。高二数学导数及其应用练习题及答案
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