《用比例解决问题》评课稿
黄倩
教学内容中隐藏着怎样的“模”？
正比例和反比例是重要的数学模型，体现了基本的函数思想，在数学思想层面上对以前所学过的许多数学问题（如单位量不变的数学问题、总量不变）的数学问题进行模型化，对学生代数思维的发展十分有益。比例的应用，是在更高水平上对一些特殊的实际问题以及原来遇到过的数学问题运用代数方法进行分析与解答，要求学生具备综合运用各方面知识的能力，在数学思想方法的层面上具有重要的教育教学价值。
教学活动中需要帮助学生建立怎样的“模”？
本册教材中用正、反比例解决问题，突破了单一的算术思维，使学生尝试用新的思路来解决同样的问题，进一步丰富问题解决的策略，提高思维水平，形成初步的代数思维，理解和掌握运用等式、方程等方法来解决问题，促进问题解决策略与方法的多样化。
采用什么方法，策略来建模？
比例的知识以及用比例解决问题的内容一般都可以用以前学过的知识与方法加以解决，而当用比例去解决时，其思维的过程与方式发生了变化，不是像以前那样直接思考怎么计算，而是需要思考题目中什么量是相等或不变的，即从关系与结构的角度去分析与解决问题。这样的内容，能更好地促进学生代数思维的发展，有利于学生体会数学知识之间的内在联系和发展脉络，学会融会贯通地运用知识。比例知识，特别是正、反比例的知识，反映了生活和数学中最基本、最常见的数量关系和变化规律，是重要的数学模型，蕴涵了基本的函数思想。它既是现实问题的抽象，又是解决问题的工具。通过比例知识的学习，能使学生更深地体会数学与生活之间的联系。通过分析关系、抽象建模、问题解决等学习过程，能使学生更好地经历数学思考的过程，积累数学活动的经验，更好地掌握数学思想方法。
（1）重视呈现真实的问题情境，体现数学与生活的密切联系，展示数学知识的抽象和建模过程，促进基础知识的建构。比例知识与生活有着密切的联系，在现实生活中可以找到大量的有关比例的原型。教材在编写时充分体现了这一特点，例如，比例知识是在大、中、小三面国旗的情境中引出的，既真实又为学生所熟悉，还隐含了“形状相同”这一重要的表象经验。再如，用正比例解决问题采用的是“李奶奶家交水费”的问题，用反比例解决问题创设的是“普通白炽灯与节能灯用电时间比较”的情境，符合学生的生活经验，便于学生理解量与量之间的关系。
同时，教材在编排时努力体现知识的形成和抽象过程，促进学生对知识的理解和模型的掌握。例如，正比例的意义，教材虽篇幅不大，但仔细观察可以发现，知识形成的过程非常完整：理解情境，观察数量——发现关联，探索规律——对应观察，计算比值——明确规律，表征关系——揭示概念，字母表征。学生既经历了知识的发现、抽象、表征、建模的过程，又很好地理解了知识的本质。
在例题中创设了求埃菲尔铁塔模型的高度、求轨道交通部分线路的长度、求水费的多少等真实情境；而在习题的编写中，应用性的情境就更多了：求兵马俑的高度，求汽车的油耗，求高铁跑完全程的时间，求铺房间所用地砖的块数，求姐姐的零花钱等，都很好地体现了知识的应用价值，促进了学生应用意识的提高，也为学生展现问题解决的思维过程和掌握完整的问题解决步骤提供了较好的经验支持。
需要学生清楚地表述：在这个问题中，正方形地砖边长的变化与所需要的块数的变化之
间有小学数学精品教案 5 / 7 怎样的关系？这种关系的背后原因是什么？在这个问题中直接相关的量到底是哪两种？那个不变的量是什么？如何清晰地把它们之间的关系表达出来？它们成什么比例？……像这样的实例，你还能举出一些吗？通过这样的讨论与交流，让学生理解清楚每一个问题（特别是那些数量关系较隐蔽的问题）中，相关联的是哪两种量？它们之间存在怎样的关系？然后作出正确的判断，使学生根据量与量之间的本质关系扎实有效地掌握概念。
这样教学正比例的意义时，务必要让学生经历“理解情境，观察数量——发现关联，探索规律——对应观察，计算比值——明确规律，表征关系——揭示概念，字母表征”这一过程，再结合其他相关联的量之间的变化关系，并通过正比例关系图象的观察与研究，让学生体会正比例关系的本质特征和量与量之间的一一对应关系，从而真正理解正比例的意义。在这样的过程中，学生通过不断抽象、推理、模型化，数学思想越来越丰富，研究数学、建构知识等数学基本活动经验也得到了有效的积累。的教学过程对儿童的数学学习会有怎样的影响？
另外，在教学小学数学精品教案 6 / 7 用正、反比例解决问题时，要注意以下两点：（1）理解解决问题的关键是什么；（2）要让学生充分经历问题解决的完整过程。关于第（1）点，要让学生明确解决问题的关键是根据题目的情境与数量关系正确判断哪个量是一定的，这个“一定的量”是一个“比值”还是一个“积”，在把握了这个关键以后就能很快地判断出题目中“两种相关联的量”成什么比例；关于第（2）点，要让学生体会到，用比例解决问题需要经历“阅读题目，理解题意，获取有效数学信息——分析表征数量关系，明确其中不变的量——判断相关联的两种量成什么比例，列方程解答——得数检验，思路回顾和方法反思”这样一个完整的过程，并有意识地将这个过程加以突出和强化，帮助学生形成有条理的、严谨的思维，获得问题解决的经验。
比例是小学阶段数与代数的最后一单元学习内容，这个内容的特点是应用性强、综合性强、内容情境不新但采用新的思维方式和数学模型，需要学生在较高水平层面上学习。教学时，需要对知识之间的关系进行梳理、比较，找出它们的联系和区别，如比和比例之间的联系和区别、比的基本性质与比例的基本性质之间的比较与区别、比和比例尺之间的联系和区别等。有些知识之间既有一定的联系，又有本质的区别，分属于不同的知识领域，如比和比例。有些知识之间是一般与特殊的关系，属于同类知识，如比和比例尺。用正、反比例解决问题时，所解决的问题是以前用算术方法解决过的“归一”“归总”问题，用新方法解决旧问题，对学生而言，也是一种挑战。教学时，要通过问题解决方法的回忆与比较，使学生明确：用以前的方法解决时，必须先求出“单一量”是多少才能求出结果，而现在只要判断相关联的两个量成什么比例关系，列出比例式，再解比例即可，无需求出具体的比值；以前重点思考“单一量”是多少，现在重点思考问题中的两种量成什么比例关系。通过这样的沟通与比较，可以使学生更清楚地了解知识、方法之间的联系与差别，促进学生构建良好的认知结构和方法系统。
用比例解决问题是除法、分数、比、方程等知识的综合与提升，学习完本单元后，学生会以更广的视野和更高的思维水平审视和发展这些知识。
（1）有利于学生完善认知结构，提升学习水平，进一步牢固掌握基础知识和基本技能。从知识层面讲，比例的知识与除法、分数、等式与方程等密切相关，有着内在的联系。通过比例知识的学习可以极大地拓展和丰富学生对以前所学知识的理解，促进认知结构的完善。（2）有利于丰富学生的问题解决策略与方法，提高问题解决能力。四年级以前，学生主要运用算术思维解决问题，其思维过程基本上是这样的：想要解决题目中的问题，需要确定利用哪些信息，根据什么数量关系，列出什么算式。五年级通过简易方程的学习，学生初步体会了从分析等量关系的角度来思考、解决问题。而本册教材中用正、反比例解决问题，突破了单一的算术思维，使学生尝试用新的思路来解决同样的问题，进一步丰富问题解决的策略，提高思维水平，形成初步的代数思维，理解和掌握运用等式、方程等方法来解决问题，促进问题解决策略与方法的多样化。
（3）有利于学生从关系与结构的角度去分析和解决问题，促进代数思维的发展。比例的知识以及用比例解决问题的内容一般都可以用以前学过的知识与方法加以解决，而当用比例去解决时，其思维的过程与方式发生了变化，不是像以前那样直接思考怎么计算，而是需要思考题目中什么量是相等或不变的，即从关系与结构的角度去分析与解决问题。这样的内容，能更好地促进学生代数思维的发展，有利于学生体会数学知识之间的内在联系和发展脉络，学会融会贯通地运用知识。
（4）有利于促进学生积累基本的数学活动经验和掌握基本的数学思想方法。比例知识，特别是正、反比例的知识，反映了生活和数学中最基本、最常见的数量关系和变化规律，是重要的数学模型，蕴涵了基本的函数思想。它既是现实问题的抽象，又是解决问题的工具。通过比例知识的学习，能使学生更深地体会数学与生活之间的联系。通过分析关系、抽象建模、问题解决等学习过程，能使学生更好地经历数学思考的过程，积累数学活动的经验，更好地掌握数学思想方法。
1、平行线的概念：第五章相交线与平行线 5.2.1平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥ b 。 2、两条直线的位置关系 （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 （2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） （3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 a 如左图所示，∵ b ∥ a ，c ∥ a b ∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这c 两条直线都平行。 【典型例题】 类型一、两条直线的位置关系 1.同一平面内的两条直线若相交，那么有交点，若平行则交点. 2.在内，两条直线的位置关系只有、两种. 3.下列叙述的图形是平行线的是（） A.在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线. B.在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线. C.在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线. D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 4.在同一平面内的两条直线的位置可能是( ) A.相交或垂直 B.垂直或平行 C.平行或相交 D.相交或垂直或平行 类型二、平行线的画法：一落二靠三移四画 5.读下列语句,并画出图形. (1)直线AB、CD 是相交直线,点P 是直线AB、CD 外的一点,直线EF 经过点P 与直线AB 平行,与直 线CD 相交于点E； (2)点P 是直线AB 外一点,直线CD 经过点P,且与直线AB 平行. 6.读下列语句，并作图： （1）如图(1)，过A 点画AF∥CE 交BC 于F； （2）如图(2)，过C 点画CE∥AD 交BA 的延长线于E. 类型三、平行公理及其推论 7.如图5.2.1-2,∵AB∥CD(已知),过点F 可画EF∥AB,∴EF∥DC, 理由是.
博途教育学科教师辅导讲义(一） 学员姓名: 年级：七年级日期：2013.3.2 辅导科目：数学学科教师：刘云风时间：课题七下第一章平行线的判定及其性质 授课课时 2课时 教学目标1、复习平行线的判定和性质，体会几何说理的过程。 2、灵活运用平行线的判定和性质，提高分析和解决问题的能力。 3、激发学生学习数学的兴趣，体会合作学习的快乐与成功。 教学内容 平行线的判定及其性质 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：平行线的判定和性质的灵活运用。 掌握平行线的判定和性质之间的区别与联系。 ◆教学难点：平行线的判定和性质的灵活运用。 〖教学过程〗 复习回忆知识检索 1、填表 平行线的平行线的 ，两直线平行。，两直线平行。，两直线平行。两直线平行，。两直线平行，。两直线平行，。 平行公理：经过一点，一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与平行，那么这两条直线。
【知识要点】 一.余角和补角: 1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ += 90o∴αβ 与互为角2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ += 180o∴αβ 与互为角 二.余角和补角的性质:同角或等角的余角相等. 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质:对角相等. 四.“三线八角”：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线行. 2、内错角相等, 两直线平行. 3、同旁内角互补, 两线平行. 4、同平行于一条直线的两条直线平行. 5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1.两直线平行,同位角相等； 2.两直线平行,内错角相等； 3.两直线平行,同旁内角互补. 【典型例题】 一、余角和补角 例1. 如图所示， 互余的角有__________________________________；互补的角有__________________________________； 1 2 3 4
第五章 相交线与平行线 5.2.1 平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。 2、两条直线的位置关系 （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 （2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） （3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如左图所示，∵b ∥a ，c ∥a ∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这 两条直线都平行。 【典型例题】 类型一、两条直线的位置关系 1.同一平面内的两条直线若相交，那么有_________交点，若平行则______交点. 2.在______内，两条直线的位置关系只有______、________两种. 3.下列叙述的图形是平行线的是（ ） A.在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线. B.在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线. C.在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线. D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 4. 在同一平面内的两条直线的位置可能是( ) A.相交或垂直 B.垂直或平行 C.平行或相交 D.相交或垂直或平行 类型二、平行线的画法：一落 二靠 三移 四画 5. 读下列语句,并画出图形. (1)直线AB 、CD 是相交直线,点P 是直线AB 、CD 外的一点,直线EF 经过点P 与直线AB 平行,与直线CD 相交于点E ； (2)点P 是直线AB 外一点,直线CD 经过点P ,且与直线AB 平行. 6.读下列语句，并作图： （1）如图 (1)，过A 点画AF ∥CE 交BC 于F ； （2）如图 (2)，过C 点画CE ∥AD 交BA 的延长线于E . 类型三、平行公理及其推论 7. 如图5.2.1-2,∵AB ∥CD (已知),过点F 可画EF ∥AB ,∴EF ∥DC , 理由是________________________. a b c
平行线四大模型 平行线的判定与性质 l、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行． 判定方法l： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简称：同位角相等，两直线平行． 判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简称：同旁内角互补，两直线平行， 如上图： 若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同 旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质． 性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角相等 性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：两直线平行，内错角相等 性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补
本讲进阶平行线四大模型 模型一“铅笔”模型 点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三“臭脚”模型 点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型 点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
平行线的判定（复习讲义）01 【知识点讲解】 一、知识点：平行线的判定 1、判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平 行，即同位角相等，两直线平行。 如图：如果∠1＝∠2，那么AB∥CD。 2、判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平 行，即内错角相等，两直线平行。 如图：如果∠2＝∠3，那么AB∥CD。 3、判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线 平行，即同旁内角互补，两直线平行。 如图：如果∠2＋∠4＝180°，那么AB∥CD。 4、在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，即：若a、b、c为同一平面内三 条直线，且a⊥b，a⊥c，则b∥c。 例：如图，直线AB、CD被直线EF所截。 1)若∠1＝80°，∠2＝100°，由此你可以判定AB和CD平行吗？说明理由； 2)若∠2＝100°，∠3＝100°，由此你可以判定AB和CD平行吗？说明理由。 解： 1)可以； 2)可以。
【知识点复习】 一、 知识点：平行线的判定 1、如图，下列条件中能判定直线1l ∥2l 的是( C ) A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠5 C. ∠1＋∠3＝180° D. ∠3＝∠5 2、如图，已知直线c 与a 、b 分别交于点A 、B ，且∠1＝120°，则当∠2＝ 时，直线a ∥b( B ) A. 60° B. 120° C. 30° D. 150° 3、如图所示，直线a 与直线b 被直线c 所截，b ⊥c ，垂足为点A ，∠1＝70°。若使 直线b 与直线a 平行，则可将直线b 绕着点A 顺时针旋转( D ) A. 70° B. 50° C. 30° D. 20° 4、如图，小明在两块含30°角的直角三角板的边缘画直线AB 和CD ，得到AB ∥CD ，这是根据 内错角相等 ，两直线平行。 三、题型分析 题型一：平行线判定方法的综合运用 例1：如图所示，点E 在BC 的延长线上，下列条件中不能判定AB ∥CD 的是( A ) A. ∠3＝∠4 B. ∠1＝∠2 C. ∠B ＝∠DCE D. ∠D ＋∠DAB ＝180°
平行线的性质与判定培优讲义 教师寄语： . 努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧， 每个梦想都会超越你的目标。——佚名 【知识精要】: 1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。 2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。 即，两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论： （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 4．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 5．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________ .⑵两条直线被第三条直线所截，如果错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：_______________________. 6．在同一平面，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 7．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑵两条平行直线被第三条直线所截，错角相等.简单说成：__________ ⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁角互补.简单说成：__________________。. 【例题精析】: 例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。
平行线的性质和判定培 优讲义 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
平行线的性质与判定培优讲义 教师寄语： . 努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧， 每个梦想都会超越你的目标。——佚名 【知识精要】: 1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。 2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。 即，两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论： （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 4．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 5．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________ .⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：_______________________. 6．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 _______ .
7．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________ ⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。. 【例题精析】: 例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 例2．已知：如图(2)， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。 G
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. 角是平面几何图形中最活跃的元素，前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识．当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识,它们在角的计算与证明中有广泛的应用． 与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面： 1． 由角定角 已知角的关系→(判定)两直线平行→(性质）确定其他角的关系. 2．由线定线 已知两直线平行→（性质)角的关系行→（判定)确定其他两直线平行． .平行线判定方法： （１） 同位角 相等，两直线平行。 . (2) 内错角相等,两直线平行。 （3） 同旁内角互补，两直线平行。 (４） 垂直于同一直线的两直线平行 （5) 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。 平行线的性质： （1)两直线平行,同位角相等。 (２) 两直线平行,内错角相等。 (3） 两直线平行， 同旁内角互补。 【基础训练】 1.下列命题正确的有 (填序号 ) (1)两条直线被第三条直线所截,一定有同位角,所以这两条直线一定平行. (2)两直线不平行，同旁内角不互补. （3）如图，若1l ∥2l ，则∠1＋∠2=１８０°. (4）如图,ＡＤ∥BC ,则∠B +∠C =１80°． (５）平行线的同位角的平分线互相平行. 2．下列说法正确的是( ） A .经过一点有一条直线与已知直线平行 B .经过一点有无数条直线与已知直线平行 C .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 Ｄ.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3.下列说法正确的有( ) ①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与ＣD 没有交点,则AB ∥C Ｄ；④若a ∥b ,b ∥c ,则a 与c 不相交.⑤两条射线或线段互相垂直是指它们所在的直线互相垂直. A .1个 Ｂ．2个 C .3个 D ．4个
平行线的判定和性质（综合篇） 一、重点和难点： 重点：平行线的判定性质。 难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。 二、例题： 这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。 上述类型题目大致可分为两大类。 一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。 另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。 例1．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7 分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a//c。 法（一）证明：∵d是直线（已知） ∴∠1+∠4=180°（平角定义） ∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知） ∴∠3=∠4（等角的补角相等） ∴a//c（同位角相等，两直线平行） ∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等） 法（二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠3=180°（等量代换） ∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等） ∴∠5+∠6=180°（等量代换） ∴a//c （同旁内角互补，两直线平行） ∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。 例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。 分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而 ∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。因此又可得AD//BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推
龙文教育学科教师辅导讲义（第 1 讲） 课 题 同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的判定 教学目标 1、了解同位角、内错角、同旁内角的概念。 2、结合图形识别同位角、内错角、同旁内角。 3、掌握平行线的判定方法。 重点、难点 教学重点：1、已知两直线和截线，判断同位角、内错角、同旁内角。 2、能运用所学过的平行线的判定方法，进行简单的推理和计算． 教学难点：使学生将知识条理化、系统化，能正确地运用。 考点及考试要求 1、同位角、内错角、同旁内角 2、平行线的判定 教学内容 练习一 1、指出下图中哪些互为同位角，哪些是内错角，哪些是同旁内角？ 2、 如图所示，∠1、∠2为同位角的是（ ） A. B. C. D. 3、如图2，∠BDE 的同位角是 ，内错角是 ，同旁内角是 ；∠ADE 与∠DGC 是直线 被 所截 4、如图所示， (1)∠B 和∠ECD 可看成是直线AB 、CE 被直线______所截得的______ 角； (2)∠A 和∠ACE 可看成是直线______、______被直线______所截得的______角。 5、如图，直线AB 、CD 被DE 所截，则∠1和________是同位角，∠1和_________是内错角，∠1和________是同旁内角。 与两直线的位置关系 与截线的位置关系 同位角 两直线同侧 截线的同旁 内错角 两直线之间 截线异侧 1 4 3 2 8 5 6 7
1、如图，∠1与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？∠2与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ 2、如图，若直线a、b被直线c所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间 是属于哪种特殊位置关系的角Array (1)∠1与∠2是______；(2)∠5与∠7是______； (3)∠1与∠5是______；(4)∠5与∠3是______； (5)∠5与∠4是______；(6)∠8与∠4是______； (7)∠4与∠6是______；(8)∠6与∠3是______； (9)∠3与∠7是______；(10)∠6与∠2是______． 考点二：平行线的判定 1．平行线的判定方法1： 语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单地说：同位角相等，两直线平行。 几何叙述：∵∠1＝∠5 ∴l1∥l2 （同位角相等，两直线平行） 2.平行线的判定方法2： 语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单地说：内错角相等，两条直线平行。 几何叙述：∵∠3＝∠5 ∴l1∥l2 （内错角相等，两直线平行） 3.平行线的判定方法3： 语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单地说：同旁内角互补，两条直线平行。 几何叙述：∵∠3+∠6=180° ∴l1∥l2 （同旁内角互补，两直线平行） 练习二
同位角、内错角、同旁内角及平行线的判定讲 义 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
龙文教育学科教师辅导讲义（第 1 讲） 课 题 同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的判定 教学目标 1、了解同位角、内错角、同旁内角的概念。 2、结合图形识别同位角、内错角、同旁内角。 3、掌握平行线的判定方法。 重点、难点 教学重点：1、已知两直线和截线，判断同位角、内错角、同旁内角。 2、能运用所学过的平行线的判定方法，进行简单的推理和计算． 教学难点：使学生将知识条理化、系统化，能正确地运用。 考点及考试要求 1、同位角、内错角、同旁内角 2、平行线的判定 教学内容 练习一 1、指出下图中哪些互为同位角，哪些是内错角，哪些是同旁内角？ 2、 如图所示，∠1、∠2为同位角的是（ ） A. B. C. D. 3、如图2，∠BDE 的同位角是 ，内错角是 ，同旁内角是 ；∠ADE 与∠DGC 是直线 被 所截 4、如图所示， (1)∠B 和∠ECD 可看成是直线AB 、CE 被直线______所截得的______ 角； (2)∠A 和∠ACE 可看成是直线______、______被直线______所截得的______角。 5、如图，直线AB 、CD 被DE 所截，则∠1和________是同位角，∠1和_________ 是内错角，∠1和________是同旁内角。 与两直线的位置关系 与截线的位置关系 同位角 两直线同侧 截线的同旁 内错角 两直线之间 截线异侧 同旁内角 两直线之间 截线同侧 1、如图，∠1与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？∠2与哪个角是内错角， 与哪个角是同旁内角它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的 1 4 3 2 8 5 6 7
平行线的性质与判定培优讲义 【知识精要】: 1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。 2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。 即，两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论： （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 4．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 5．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________ .⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：_______________________. 6．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 7．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________ ⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成： __________________。. 【例题精析】: 例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。
目录 Contents 第1讲平行线四大模型 (1) 第2讲实数三大概念 (17) 第3讲平面直角坐标系 (33) 第4讲坐标系与面积初步 (51) 第5讲二元—次方程组进阶 (67) 第6讲含参不等式（组） (79)
1平行线四大模型 知识目标 目标一熟练掌握平行线四大模型的证明 目标二熟练掌握平行线四大模型的应用 目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造 秋季回顾平行线的判定与性质 l、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行． 判定方法l： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简称：同位角相等，两直线平行． 判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简称：同旁内角互补，两直线平行， 如上图： 若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同 旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质． 性质1：
87 654 321 A B C D E 教师辅导讲义 学员姓名： 年 级：七年级 课时数： 辅导科目：数学 授课时间： 课 题 平行线及其判定及性质 教学目标 1.理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的两种位置关系； 2.掌握平行公理及其推论，会按要求画平行线； 3.掌握平行线的判定方法，并会运用这些方法进行简单的推理证明； 教学内容 知识回顾 写出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角 同位角： 内错角： 同旁内角： 新课知识 一、平行线的判定 知识点1：平行线的判定1
用该符号语言表示：如图， ∵∠1=∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 两直线平行的判定方法1： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单地说: 同位角相等,两直线平行. 例1.如图，直线a,b都与直线c相交，若∠1=120°，,2=60°，则a∥b.在下列括号中填写推理理由. ∵∠1=120°（）. ∴∠3=60°（）. 又∵∠2=60°（）. ∴∠2=∠3（）. ∴a∥b 知识点2：平行线的判定2 思考：下图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗?写出你的推理过程. 解：∵∠1=∠7 ( ) ∠1=∠3( ) ∴∠7=∠3( )
∴AB∥CD( ) 用该符号语言表示：如图， ∵∠2=∠3（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 两直线平行的判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单地说: 内错角相等,两直线平行. 知识点3：平行线的判定3 下图中，如果∠4+∠7=180°，能得出AB∥CD? 解: ∵∠4+∠7=180 °（） ∠4+∠3=180°（） ∴∠7=∠3（） ∴AB∥CD（） 用该符号语言表示：如图， ∵∠2+∠4=180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 两直线平行的判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单地说: 同旁内角互补,两直线平行.
平行线与相交线的判定与性质讲义 一．知识再现： 平行线的判定： 判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角相等，两直线平行。 平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 二．例题评析 1.如图1－18，直线a∥b，直线AB交a与b于A，B，CA平分∠1，CB平分∠2，求证：∠C=90°. 2.如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2． 3.如图1－25所示．若∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n-1，问AA1与BA n是否平行？
4.如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ． 三．知识点专练 知识点1：平行和角平分线、三角形 1如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠， 若172∠=，则2∠= . A B C D E F 1 2 3 2如图，已知//,30,AD BC B DB ∠=平分,ADE ∠则DEC ∠为（ ）. （A ）30 （B ）60 （C ）90 （D ） 120 A D B E C 3如图，已知：AB ∥CD ，AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，请说明：AE ⊥CF. A B D C E 知识点2：方程与角
1.一个角的余角等于这个角的补角的 13，求这个角. 2如图,直线AB,CD 相交于O 点,OM ⊥AB. (1)若∠1=∠2,求∠NOD;(2)若∠1= 14∠BOC,求∠AOC 与∠MOD. M N 1 O A B D C 2 知识点3：平行中的模型 1如图，AB//CD ，若∠ABE =130，∠CDE =152，则∠BED = . A C B D E 2如图，已知AB //CD ，（1）你能找到∠B 、∠D 和∠BED 的关系吗？ （2）如果∠B =46，∠D =58，则∠E 的度数是多少？ A B C E 知识点4：填写简单证明 1如图，直线AB 、CD 被EF 所截，若已知AB //CD ，试完成下面填空. ∵AB //CD （已知）， ∴1∠=∠ （两直线平行， ） 又∵23∠=∠，（ ）
同位角内错角同旁内角及平行线的判定讲义标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
龙文教育学科教师辅导讲义（第 1 讲） 课 题 同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的判定 教学目标 1、了解同位角、内错角、同旁内角的概念。 2、结合图形识别同位角、内错角、同旁内角。 3、掌握平行线的判定方法。 重点、难点 教学重点：1、已知两直线和截线，判断同位角、内错角、同旁内角。 2、能运用所学过的平行线的判定方法，进行简单的推理和计算． 教学难点：使学生将知识条理化、系统化，能正确地运用。 考点及考试要求 1、同位角、内错角、同旁内角 2、平行线的判定 教学内容 练习一 1、指出下图中哪些互为同位角，哪些是内错角，哪些是同旁内角？ 2、 如图所示，∠1、∠2为同位角的是（ ） A. B. C. D. 3、如图2，∠BDE 的同位角是 ，内错角是 ，同旁内角是 ；∠ADE 与∠DGC 是直线 被 所截 4、如图所示， (1)∠B 和∠ECD 可看成是直线AB 、CE 被直线______所截得的______ 角； (2)∠A 和∠ACE 可看成是直线______、______被直线______所截得的______角。 5、如图，直线AB 、CD 被DE 所截，则∠1和________是同位角，∠1和_________ 是内错角，∠1和________是同旁内角。 与两直线的位置关系 与截线的位置关系 同位角 两直线同侧 截线的同旁 内错角 两直线之间 截线异侧 同旁内角 两直线之间 截线同侧 1、如图，∠1与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？∠2与哪个角是内错角， 与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ 2、如图，若直线a 、b 被直线c 所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间1 4 3 2 8 5 6 7 D
平行线的判定（提高）知识讲解 【学习目标】 1.熟练掌握平行线的画法； 2.掌握平行公理及其推论； 3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】 要点一、平行线的画法及平行公理 1.平行线的画法 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 2.平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点二、平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】 类型一、平行公理及推论 1．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的个数为：( ) . A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】B 【解析】正确的是：（1）(3). 【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别． 举一反三： 【变式】下列说法正确的个数是() . （1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d. （2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直. （3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等. （4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行． A．1个 B .2个C．3个D．4个 【答案】B 2.证明：平行于同一直线的两条直线平行． 【答案与解析】 已知：如图，a//c,b//c．求证：a//b． 证明：假设直线a与直线b不平行，则直线a与直线b相交，设交点为A，如图． a//c,b//c， 则过直线c外一点A有两条直线a、b与直线c平行， 这与平行公理矛盾，所以假设不成立． ． a//b 【总结升华】本题采用的是“反证法”的证明方法，反证法证题的一般步骤： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立．
龙文教育学科教师辅导讲义（第 1 讲） 课 题 同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的判定 教学目标 1、了解同位角、内错角、同旁内角的概念。 2、结合图形识别同位角、内错角、同旁内角。 3、掌握平行线的判定方法。 重点、难点 教学重点：1、已知两直线和截线，判断同位角、内错角、同旁内角。 2、能运用所学过的平行线的判定方法，进行简单的推理和计算． 教学难点：使学生将知识条理化、系统化，能正确地运用。 考点及考试要求 1、同位角、内错角、同旁内角 2、平行线的判定 教学内容 考点一：同位角、内错角、同旁内角 叫做同旁内角。 的同侧，这样的一对角之间且在直线和直线这两个角分别在直线和叫做内错角。 的两侧，这样的一对角线之间，且在直和直线这两个角分别在直线和叫做同位角。的同侧，这样的一对角方且在直线上 和直线这两个角分别在直线和），如图（EF CD AB 63EF CD AB 64EF AB 511∠∠∠∠∠∠CD 练习一 1、指出下图中哪些互为同位角，哪些是内错角，哪些是同旁内角？ 1 4 3 2 8 5 6 7
2、如图所示，∠1、∠2为同位角的是（） A. B. C. D. 3、如图2，∠BDE的同位角是，内错角是，同旁内角是； ∠ADE与∠DGC是直线被所截 4、如图所示， (1)∠B和∠ECD可看成是直线AB、CE被直线______所截得的______角； (2)∠A和∠ACE可看成是直线______、______被直线______所截得的______角。 5、如图，直线AB、CD被DE所截，则∠1和________是同位角，∠1和_________是内错角，∠1和________是同旁内角。 总结同位角、内错角、同旁内角的位置特征 与两直线的位置关系与截线的位置关系 同位角两直线同侧截线的同旁 内错角两直线之间截线异侧 同旁内角两直线之间截线同侧 1、如图，∠1与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？∠2与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ D E A B C 2 1
同位角、内错角、同旁内 角及平行线的判定讲义 Revised by Liu Jing on January 12, 2021
龙文教育学科教师辅导讲义（第 1 讲） 课 题 同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的判定 教学目标 1、了解同位角、内错角、同旁内角的概念。 2、结合图形识别同位角、内错角、同旁内角。 3、掌握平行线的判定方法。 重点、难点 教学重点：1、已知两直线和截线，判断同位角、内错角、同旁内角。 2、能运用所学过的平行线的判定方法，进行简单的推理和计算． 教学难点：使学生将知识条理化、系统化，能正确地运用。 考点及考试要求 1、同位角、内错角、同旁内角 2、平行线的判定 教学内容 练习一 1、指出下图中哪些互为同位角，哪些是内错角，哪些是同旁内角？ 2、 如图所示，∠1、∠2为同位角的是（ ） A. B. C. D. 3、如图2，∠BDE 的同位角是 ，内错角是 ，同旁内角是 ；∠ADE 与∠DGC 是直线 被 所截 4、如图所示， (1)∠B 和∠ECD 可看成是直线AB 、CE 被直线______所截得的______角； (2)∠A 和∠ACE 可看成是直线______、______被直线______所截得的______角。 5、如图，直线AB 、CD 被DE 所截，则∠1和________是同位角，∠1和_________是内错角，∠1和________是同旁内角。 与两直线的位置关与截线的位置关系 1 4 3 2 8 5 6 7
1、如图，∠1与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？∠2与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的 2、如图，若直线a、b被直线c D 角之间是属于哪种特殊位置关系的角 (1)∠1与∠2是______；(2)∠5与∠7是______； (3)∠1与∠5是______；(4)∠5与∠3是______； (5)∠5与∠4是______；(6)∠8与∠4是______； (7)∠4与∠6是______；(8)∠6与∠3是______； (9)∠3与∠7是______；(10)∠6与∠2是______． 考点二：平行线的判定 1．平行线的判定方法1： 语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单地说：同位角相等，两直线平行。 几何叙述：∵∠1＝∠5 ∴l1∥l2 （同位角相等，两直线平行） 2.平行线的判定方法2： 语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单地说：内错角相等，两条直线平行。 几何叙述：∵∠3＝∠5 ∴l1∥l2 （内错角相等，两直线平行）
平行线的判定与性质（讲义） ? 课前预习 1. 回顾余角、补角、对顶角有关内容，回答下列问题： （1）若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=______； （2）若∠1与∠2互为补角，则∠1+∠2=______； （3）若∠1与∠2互为对顶角，则____________． 2. 在同一平面内，_________________________叫做平行线． 3. 如图，三根木条相交成∠1，∠2．固定木条b ，c ，转动木条a ，当转动到a ∥ b 时，用量角器测量一下∠1，∠2的度数，你会发现∠1_____∠2．（填“＞”、“＜”或“＝”） c ? 知识点睛 1. 同位角、内错角、同旁内角： a b 123 4567 8c a b c 41238567 2. 平行线的判定： ①____________相等，两直线平行； ②____________相等，两直线平行； ③____________互补，两直线平行． 3. 平行线的性质： ①两直线平行，____________相等； ②两直线平行，____________相等； ③两直线平行，____________互补． ? 精讲精练 1. 如图所示： 1 3 5 6 a c d
（1）∠1和∠2是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角； （2）∠3和∠4是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角； （3）∠1和∠5是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角； （4）∠6和∠4是同位角吗？ （5）∠1和∠4是内错角吗？ （6）∠5和∠6是同位角吗？ 2. 如图所示： （1）∠NOP 和∠OMD 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角； （2）∠BON 和∠DMN 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角； （3）∠AOM 和∠CMO 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_________角． 3. 如图，在所标识的角中，是内错角的是（ ） A ．∠1和∠B B ．∠1和∠3 C ．∠3和∠B D ．∠2和∠3 4. 如图，判断正误： ①∠1和∠4是同位角； （ ） ②∠1和∠5是同位角； （ ） ③∠1和∠3是内错角； （ ） ④∠1和∠2是同旁内角． （ ） 5. 如图，若∠1=∠A ，则______∥______， 理由是：___________________________________________． 若∠1=∠DFE ，则______∥______， 理由是：___________________________________________． A Q D P B O M C A N 54 3 2 1 D C 34B 1 A 2