数学实验1
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MATLAB数学实验报告1Matlab数学实验报告⼀、实验⽬的通过以下四组实验,熟悉MATLAB的编程技巧,学会运⽤MATLAB的⼀些主要功能、命令,通过建⽴数学模型解决理论或实际问题。
了解诸如分岔、混沌等概念、学会建⽴Malthu模型和Logistic 模型、懂得最⼩⼆乘法、线性规划等基本思想。
⼆、实验内容2.1实验题⽬⼀2.1.1实验问题Feigenbaum曾对超越函数y=λsin(πx)(λ为⾮负实数)进⾏了分岔与混沌的研究,试进⾏迭代格式x k+1=λsin(πx k),做出相应的Feigenbaum图2.1.2程序设计clear;clf;axis([0,4,0,4]);hold onfor r=0:0.3:3.9x=[0.1];for i=2:150x(i)=r*sin(3.14*x(i-1));endpause(0.5)for i=101:150plot(r,x(i),'k.');endtext(r-0.1,max(x(101:150))+0.05,['\it{r}=',num2str(r)]) end加密迭代后clear;clf;axis([0,4,0,4]);hold onfor r=0:0.005:3.9x=[0.1];for i=2:150x(i)=r*sin(3.14*x(i-1));endpause(0.1)for i=101:150plot(r,x(i),'k.');endend运⾏后得到Feigenbaum图2.2实验题⽬⼆2.2.1实验问题某农夫有⼀个半径10⽶的圆形⽜栏,长满了草。
他要将⼀头⽜拴在⽜栏边界的桩栏上,但只让⽜吃到⼀半草,问拴⽜⿐⼦的绳⼦应为多长?2.2.2问题分析如图所⽰,E为圆ABD的圆⼼,AB为拴⽜的绳⼦,圆ABD为草场,区域ABCD为⽜能到达的区域。
问题要求区域ABCD等于圆ABC的⼀半,可以设BC等于x,只要求出∠a和∠b就能求出所求⾯积。
(1)参数方程:z=2^2^/2^2^sin y x y x ++(-8<=x<=8,-8<=y<=8) (2)程序:[X,Y]=meshgrid(-8::8);r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;Z=sin(r)./r;Mesh(x,y,z)Axis square(3)程序的输出结果:3:球面,椭球面,双叶双曲面,单叶双曲面1球面: (4):参数方程:⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos *sin *sin *cos *sin *R z R y R x 0π<=θ<2* 0<=ϕ<π (5)程序:u=[0:pi/60:2*pi];v=[0:pi/60:pi];[U,V]=meshgrid(u,v);R=3;X=R*sin(v).*cos(u);Y=R*sin(v).*sin(u);Z=R*cos(v);Surf(x,y,z);axis equal;(3)程序输出结果:2椭球面: (1)参数方程:⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos *sin *sin *cos *sin *c z b y a x 0<=θ<2*π 0<=ϕ<=π (2)程序:ezsurf(‘3*sin(u)*cos(v) ,’3*sin(u)*sin(v)’,’1*cos(u)’,[0,pi,0,2*pi]);(3)程序的输出结果:3单叶双曲面: (1)参数方程:⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕtan sin *sec *cos *sec *z a y a x 0<=θ<2*π -π/2<ϕ<π/2 (2)程序:ezsurf(‘3*sec(u)*cos(v),’3*sec(u)*sin(v)’,’5*tan(u)’,[-pi/2,pi/2,0,2*pi]);axis auto(3)输出程序结果:4双叶双曲面: (1)参数方程:⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕsec *sin *tan *cos *tan *c z b y a x 0<=θ<2*π -π<ϕ<3*π/2,ϕ≠π/2(2)程序:ezsurf(‘3*tan(u)*cos(v)’,’3*tan(u)*sin(v)’,’5*sec(u)’,[-pi/2,3*pi/2,0,2*pi]);axis auto(4) (3)输出程序结果:抛物螺线: (1)参数方程:⎪⎩⎪⎨⎧===2^*sin **cos **t c z t t b y t t a x 0<T<+∞ (2)程序:ezplot3(‘2*t*cos(t)’,’2*t*sin(t)’,’t.^2/3’,[0,50]);(3)输出程序结果:(5)马鞍面: (1)参数方程:z=x^2/9-y^2/4 (-25<=x<=25,-25<=y<=25)(2)程序:[X,Y]=meshgrid(-25:1:25);Z=X.^2/9-Y.^2/4;Surf(X,Y,Z)Title(‘马鞍面’)grid off(3)输出程序结果:(6)黎曼函数:(1)程序:n=100;x=[];y=[];k=1;for q=2:nfor p=1:q-1if gcd(q,p)==1 %利用函数gcd(m,n)可求m和n的最大公约数x(k)=p/q;y(k)=1/q;k=k+1;endendendplot(x,y,’.b’); axis([0,1,0,1])(2)程序输出结果:。
实验一 常微分方程1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较: (1) ,(0)1,13y x y y x '=+=<<Euler 法:function [t,y]=euler(Fun,tspan,y0,h) t=tspan(1):h:tspan(2); y(1)=y0;for i=1:length(t)-1y(i+1)=y(i)+h.*feval(Fun,t(i),y(i)); end t=t'; y=y';function f=Fun(x,y) % 常微分方程的右端函数 f=x+y;>> [x,y]=euler('Fun',[0,3],1,0.1)>> [x,y] ans =0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.2200 0.3000 1.3620 0.4000 1.5282 0.5000 1.7210 0.6000 1.9431 0.7000 2.1974 0.8000 2.4872 0.9000 2.8159 1.0000 3.1875 1.1000 3.6062 1.2000 4.0769 1.3000 4.6045 1.4000 5.1950 1.5000 5.8545 1.6000 6.5899 1.7000 7.4089 1.8000 8.3198 1.9000 9.3318 2.0000 10.4550 2.1000 11.7005 2.2000 13.0805 2.3000 14.6086 2.4000 16.2995 2.5000 18.1694 2.6000 20.2364 2.7000 22.5200 2.8000 25.0420 2.9000 27.8262 3.0000 30.8988ode45:>> [x,y]=ode45('Fun',[0,3],1) ans =0 1.0000 0.0502 1.0528 0.1005 1.1109 0.1507 1.17460.2010 1.2442 0.2760 1.3596 0.3510 1.4899 0.4260 1.63610.5010 1.7996 0.5760 1.9817 0.6510 2.1838 0.7260 2.4074实验一 常微分方程0.8010 2.6544 0.8760 2.9264 0.9510 3.2254 1.0260 3.55351.1010 3.9131 1.1760 4.3065 1.2510 4.7364 1.3260 5.20561.4010 5.7172 1.4760 6.2744 1.5510 6.8810 1.6260 7.54061.7010 8.2574 1.7760 9.0359 1.8510 9.8808 1.9260 10.79742.0010 11.7912 2.0760 12.8683 2.1510 14.0351 2.2260 15.29862.3010 16.6664 2.3760 18.1466 2.4510 19.7478 2.5260 21.47962.6010 23.3522 2.6760 25.3764 2.7510 27.5641 2.8260 29.92812.9010 32.4820 2.9257 33.3694 2.9505 34.2796 2.9752 35.21343.0000 36.1711解析解:>> y=dsolve('Dy=x+y','y(0)=1','x') y =2*exp(x) - x - 1(2) 20.01()2sin(),(0)0,(0)1,05y y y t y y t ''''-+===<< Euler 法:实验一常微分方程function f=Fun(t,y)% 常微分方程的右端函数f=[y(2);0.01*y(2)^2-2*y(1)+sin(t)];>> [t,y]=euler('Fun',[0,5],[0,1],0.2)ode45:>> [t,y]=ode45('Fun',[0,5],[0,1])t =0 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0005 0.0007 0.0010 0.0012 0.00250.0037 0.0050 0.0062 0.0125 0.0188 0.0251 0.0313 0.0627 0.0941 0.12550.1569 0.2819 0.4069 0.5319 0.6569 0.7819 0.9069 1.0319 1.1569 1.28191.4069 1.5319 1.6569 1.7819 1.90692.0319 2.1569 2.2819 2.4069 2.53192.6569 2.7819 2.90693.0319 3.1569 3.2819 3.4069 3.5319 3.6569 3.78193.90694.0319 4.1569 4.2819 4.4069 4.5319 4.6569 4.7427 4.8285 4.91425.0000y =0 1.0000 0.0001 1.0000 0.0001 1.0000 0.0002 1.0000 0.0002 1.00000.0005 1.0000 0.0007 1.0000 0.0010 1.0000 0.0012 1.0000 0.0025 1.00000.0037 1.0000 0.0050 1.0000 0.0062 1.0000 0.0125 1.0000 0.0188 1.00000.0251 0.9999 0.0313 0.9998 0.0627 0.9987 0.0941 0.9965 0.1253 0.99340.1564 0.9893 0.2786 0.9632 0.3966 0.9220 0.5085 0.8662 0.6126 0.79670.7072 0.7146 0.7908 0.6210 0.8620 0.5176 0.9198 0.4058 0.9632 0.28760.9915 0.1647 1.0043 0.0392 1.0013 -0.0869 0.9826 -0.2117 0.9485 -0.33310.8996 -0.4490 0.8365 -0.5578 0.7605 -0.6577 0.6725 -0.7471 0.5742 -0.8246实验一 常微分方程0.4669 -0.8889 0.3525 -0.9393 0.2327 -0.9748 0.1095 -0.9950 -0.0154 -0.9996-0.1398 -0.9887 -0.2619 -0.9624 -0.3798 -0.9212 -0.4916 -0.8657 -0.5957 -0.7970-0.6904 -0.7161 -0.7742 -0.6242 -0.8460 -0.5228 -0.9046 -0.4134 -0.9491 -0.2978-0.9789 -0.1777 -0.9934 -0.0549 -0.9945 0.0300 -0.9883 0.1146 -0.9748 0.1985-0.9543 0.28092. 求一通过原点的曲线,它在(,)x y 处的切线斜率等于22,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1.58,1.60会发生什么?function f=Fun(x,y) % 常微分方程的右端函数 f=2*x+y.^2;>> [x,y]=ode45('Fun',[0,1.57],0) x =0 0.0393 0.0785 0.1178 0.1570 0.1963 0.2355 0.2748 0.3140 0.3533 0.3925 0.4318 0.4710 0.5103 0.5495 0.5888 0.6280 0.6673 0.7065 0.7458 0.7850 0.8243 0.8635 0.9028 0.9420 0.9813 1.0205 1.0598 1.0990 1.1383 1.1775 1.2168 1.2560 1.2953 1.3345 1.3738 1.4130 1.4248 1.4367 1.4485 1.4604 1.4722 1.4840 1.4959 1.5077 1.5140 1.5203 1.5265 1.5328 1.5376 1.5424 1.5472 1.5519 1.5543 1.5567 1.5591 1.5614 1.5631 1.5647 1.5664 1.5681 1.5685 1.5690 1.5695 1.5700 y =实验一 常微分方程0 0.0015 0.0062 0.0139 0.0247 0.0386 0.0556 0.0758 0.09920.1259 0.1559 0.1895 0.2266 0.2675 0.3124 0.3615 0.4152 0.4738 0.5378 0.6076 0.6841 0.7679 0.8601 0.9620 1.0751 1.2014 1.3434 1.5045 1.6892 1.9037 2.1557 2.4577 2.8282 3.3003 3.9056 4.7317 5.9549 6.4431 7.0116 7.6832 8.4902 9.4821 10.7170 12.3090 14.4551 15.9220 17.7080 19.9390 22.8164 25.6450 29.2282 33.9673 40.5910 44.9434 50.3088 57.1229 66.1087 74.3108 84.7123 98.4901 117.7875 124.9206 132.9699 142.1268 152.641500.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6若x 上限增为1.58,1.60,则超出运算的范围,发生溢出。
第一次练习题1. 求032=-x e x 的所有根。
(先画图后求解)>> fplot('[exp(x)-3*x^2,0]',[-5,5]);>> grid on>> fsolve('exp(x)-3*x^2',-1) Equation solved.fsolve completed because the vector of function values is near zero as measured by the default value of the function tolerance, and the problem appears regular as measured by the gradient. <stopping criteria details> ans =-0.4590Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.ans =-0.4590fsolve('exp(x)-3*x^2',1)Equation solved.fsolve completed because the vector of function values is near zeroas measured by the default value of the function tolerance, andthe problem appears regular as measured by the gradient.<stopping criteria details>ans =0.9100>> fsolve('exp(x)-3*x^2',4)Equation solved.fsolve completed because the vector of function values is near zeroas measured by the default value of the function tolerance, andthe problem appears regular as measured by the gradient.<stopping criteria details>ans =3.7331求得此方程的三个根2. 求下列方程的根。
一个有趣的数学小实验摘要 如今不少南京市民家烧开水既可以用电也可以用天然气,那么到底选择哪种更经济划算呢?近日,我就做了一次“用天然气烧水省钱还是用电烧水省钱”的有趣数学小实验。
结果发现,平底壶烧水在“峰时”用天然气比用电划算;在“谷时”用电比用天然气划算;天然气烧水时用中火比用大火更省钱。
关键词 平底壶 天然气 峰时 谷时一、实验的起因当,当,当,听见有人敲门我问一了句“谁呀,有什么事?”“收费!”门外的声音回答到,妈妈一听,马上跑了出去,回来时拿着收费单子和爸爸抱怨说“这个月怎么又是这么多钱啊!”我一听到妈妈的话就明白了,我们家每个月的开支中水费、电费、天然气费就要花不少钱,全是因为没有做到节约,浪费现象比较严重。
比如家里一直用天然气烧水,而那个水壶的报警器早就坏了,现在水烧开了不自动报警了,经常是水开了没人知道,等想起来去看水时,水只剩一半了,又得重新烧一壶,如此反复下去,浪费许多时间不说,更重要的是浪费了许多能源和钱。
想到这里我再也坐不住了,让爸爸去重新买个水壶,这样可以每月节省不少家用开支。
爸爸说现在家里烧开水既可以用电也可以用天然气,可以买电水壶也可以买普通水壶,如果我们考虑要节能省钱,那么到底选择哪种更经济划算呢?这倒把我难住了,我还从来没有考虑到这个问题,我赶紧上网去查,网上有的人认为用电划算,原因是电水壶的热损失少,热效率高于燃气,但也有认为煤气烧水会快一点,电水壶虽然也快,但是瓦数太高了,用电比较多,一个月电费合起来也会很贵。
我茫然了,想来想去,决定亲自实验一下,让爸爸去把两种水壶都买回来,我来做个对比实验,用实验数据来解答这个问题。
二、实验的工具某品牌型号一只4升平底电水壶(功率为1.5千瓦);一只4升平底水壶;电子计时器。
三、实验过程先将水壶装满4升水,将天然气调到最大档,用大火开始烧,记录天然气表的起始刻度,用电子计时器记录烧水的起始时间。
水烧开后鸣叫,此时记录天然气表的最终刻度和终止时间。
第四章 实验视角下的函数研究(下)从从属关系看,三角函数属于函数范畴.但它又有其特殊性,因此开设独立章节,专题对它的运算、图象及其性质展开研究.第1节 三角函数定义及同角三角函数关系验证在初中阶段学习了锐角的三角函数定义.以锐角α为直角三角形的一个内角,则对边邻边,邻边对边,斜边邻边,斜边对边====ααααcot tan cos sin . 根据这个定义,我们提出了这样的疑问:如果锐角α的大小没有改变,而改变了它所在的直角三角形的大小,对应的三角函数值会发生改变吗?如果会,这样的定义就是不合理的,三角函数值的计算也是不可行的.下面,验证这个疑问.【实验1】锐角三角函数定义合理性的验证 【探究步骤】1.在GGB 中点击“参数”工具,设定参数α,把参数类型设置为“角度”,范围设置为]900[,; 2.在x 轴正半轴任取一点A ,并作出坐标原点O ;3.点击“定值角度”工具,然后依次点击点O A ,,在弹出的对话框中,设定角度为α,GGB 将作出满足条件的角α终边上一点'A ;4.作出射线'OA ;5.在射线'OA 上取一点C ,过点C 作CD 垂直x 轴于D ; 6.隐藏多余元素,作出OCD Rt ∆;7.设定精确度为“保留5位小数”,测量边CD OC OD ,,的长度; 8.计算CDODOD CD OC OD OC CD ,,,的值,设置颜色为红色; 9.拉动点C ,改变OCD Rt ∆的大小.注意到,只要角α的大小没有改变,CDODOD CD OC OD OC CD ,,,都没有改变.【说明】步骤3中的“定值角度”,可以使得所作的角和滑杆对应的参数α相等,也可以根据需要作出诸如3022+ααα,,之类的角.【思考】本例为什么不直接过点'A 作x 轴的垂线,而要在射线'OA 上任选一点C 来作垂线呢? 通过本例的探究说明:CDODOD CD OC OD OC CD ,,,这些比值只与角α的大小有关,而与OCD Rt ∆的大小无关.由此,可以认定这样定义锐角的三角函数值是合理的.【实验2】验证坐标法定义三角函数的合理性高中阶段,为了满足研究三角函数的需要,引入了任意角三角函数的定义.因为角度的任意性,已经无法在直角三角形中定义三角函数,因此,教材引入了任意角三角函数的坐标法定义.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为角α的顶点,x 轴非负半轴为角α的始边,根据角α的大小,作出它的终边.在终边上任取异于原点的任意一点),(y x P ,并设r OP =,定义:yx x y r x r y ====ααααcot tan cos sin ,,,.特别地,如果取点P 为终边与单位圆122=+y x 的交点,则yxx y x y ====ααααcot tan cos sin ,,,.对于任意角三角函数的坐标法定义,以下两点是存疑的:(1)坐标法定义的三角函数对于锐角α,其数值与【实验1】的相应数值相等吗?如果不是,则坐标法定义就失去其合理性;(2)如果在任意角α的终边上取两个不同点,其计算结果一致吗? 给出以下探究: 【探究步骤】首先验证存疑点(1):在【实验1】所作课件的基础上,作以下修改: 1.在锐角α终边OC 上任取一点P ,并测量距离OP ,设之为r ; 2.在指令栏内输入“r P y /)(”,得到测量值,并把它的名称改为“αsin ”; 3.点击代数栏中的αsin 计算结果不放,把它拉到算式OCCD的边上,设置颜色为蓝色,以方便比对;4.用同样的方法,求出αααcot ,tan ,cos 的值,并逐一放置到对应式子的边上;5.拉动滑杆α,改变角度α的大小,观察角α改变的过程中,两种定义所得的相应三角函数值是否总是相等.观察发现,无论锐角α为何值,这两种定义相应的三角函数值总是相等的.对于存疑点(2)的验证比较简单,拉动点P ,使之在终边上自由移动,移动过程中,注意观察角α的三角函数值是否发生改变.观察,点P 移动过程中,角α的三角函数值并未发生改变,这说明角α的三角函数值只与角α的大小有关,而与终边上所取的点P 的位置无关,从而证明了利用单位圆定义三角函数的合理性.我们从代数层面验证了应用坐标法定义任意角三角函数的合理性.下面给出任意角三角函数的几何直观表示.为了直观表示出任意角的三角函数,教材引入了三角函数线的概念,三角函数线的本质就是有向线段. 在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为角α的顶点,x 轴非负半轴为角α的始边,根据角α的大小,作出它的终边.设终边与单位圆122=+y x 相交于点P ,作PM 垂直x 轴于点M ,设角α的终边(或终边的反向延长线)与过点)01(,A 的x 轴垂线相交于点T .定义有向线段MP 为正弦线,有向线段OM 为余弦线,有向线段AT 为正切线.以上定义的三角函数线如何直观表示角α的三角函数值呢?教材采用以下方法:首先定义三角函数线的正方向与坐标轴的正方向相同,引入有向线段的数量,如果三角函数线的方向为正方向,则数量为正,反之为负,并定义数量的绝对值等于有向线段的长度.关于三角函数线还有更简单的理解.我们可以把向量MP 的纵坐标、OM 横坐标、AT 的纵坐标分别定义为角α的正弦值、余弦值和正切值.下面给出应用三角函数线定义任意角三角函数合理性的验证.【实验3】验证三角函数线定义三角函数的合理性 【探究步骤】1.按以上定义在单位圆中作出任意角α的三角函数线;2.点击“向量”工具,然后依次点击点P M 、,作出向量MP ,用同样的方法作出向量OM 、AT ; 3.设点P 的坐标为()y x ,,由单位圆中任意角的三角函数定义,计算出xyx y ===αααtan ,cos ,sin ; 4.设置精确度为小数点后5位,把以上算得的三角函数值分别和向量MP 的纵坐标、OM 横坐标、AT的纵坐标作比较;5.拉动点P ,观察以上对应数值是否逐一相等.经观察,无论点P 在什么位置,代数法定义的三角函数值和三角函数线的数量总是相等的.这证明了用三角函数线表示三角函数值的合理性和正确性.【思考】你能仿照上例作正切线的方法,作出余切线吗?【实验4】验证同角三角函数关系式教材给出了单位圆中任意角的三角函数定义后,重点研究了同角三角函数的关系式,给出了两个重要关系:1cos sin ,cos sin tan 22=+=ααααα 前者称为商数关系,后者称为平方关系. 如果在【实验2】基础上再给出以下定义:yx y x ===αααcot ,1csc ,1sec , 并分别称它们为角α的正割、余割和余切.那么同角三角函数将会有更多关系被发现. 首先,根据定义,容易找到的是倒数关系:1cot tan ,1sec cos ,1csc sin =⋅=⋅=⋅αααααα其次,还可以得到两个商数关系:ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==. 另外,还有三个平方关系:αααααα222222csc cot 1,sec tan 1,1cos sin =+=+=+这是因为αα2222222sec 11tan 1==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x y x x y 同理αα2222222csc 11cot 1==+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y y y x y x 通过数学实验对以上结果进行验证:【探究步骤】1.在【实验3】课件的基础上,分别计算出角α的6个三角函数值; 2.分别计算上述等式的左边和右边;3.改变角α的大小,观察对任意的α值,左右两边是否相等.经检验,以上等式对于等式有意义的角α都是成立的,从而验证了同角三角函数关系式的正确性.【实验5】三角函数拓展研究 【探究问题1】如果α为锐角,探究αααtan ,sin ,的大小关系. 【探究步骤】1.把角度的度量单位改为弧度;2.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为角α的顶点,x 轴非负半轴为角α的始边,作出锐角α的终边.设终边与单位圆122=+y x 在第一象限的圆弧交于点P ,角α的终边(或终边的反向延长线)与过点)01(,A 的x 轴垂线相交于点T ,作正弦线MP ,余弦线OM ,正切线AT ;3.测量出)20(tan ,sin ,παααα<<的大小;4.拉动点P ,观察αααtan ,sin ,的大小关系. 观察发现,只要20πα<<,总有αααtan sin <<.【思考】 只要20πα<<,总有αααtan sin <<,这是为什么呢?能给出证明或者几何方面的直观解释吗?事实上,只要20πα<<,总有OAT OAP OAP S S S ∆∆<<扇形(详见本题配套课件中的图形).即αααtan 2121sin 21<<,从而得到αααtan sin <<. 【探究问题2】拉动点P ,使得点P 与点A 无限靠近,观察αα与sin 的值,你会发现什么? 经过观察,可以发现,若0→α,则αα≈sin .为了说明这个问题,在【探究问题1】的基础上,给出以下探究. 【探究步骤】在【探究问题1】课件的基础上,作以下修改:1.设定参数⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα; 2.点击“定值角度”工具,然后依次点击点O A ,,在弹出的对话框内输入角度α; 3.作出角α终边与圆弧的交点P ; 4.测量P 的纵坐标,则)(sin P y =α;5.把精确度调整到小数点后15位,计算ααsin -的值;6.点击“按钮”工具,在弹出的对话框中设置按钮名称为“0→α”,并在脚本框中输入代码“2/αα=”.每点击一次按钮,角度α将变成原来的21,这样经过若干次的点击,角度α很快就趋近于0了,在点击的过程中,注意观察ααsin -的值的变化.可以注意到,当0→α时,0sin →-αα.即当0→α时,αα≈sin .【探究问题3】 若21sin =α,求角α. 这是最简单的三角方程,初中阶段只研究锐角三角函数时,显然答案只有一个,6πα=.但高中阶段把角度的范围扩大到了任意角,那么,在R ∈α的条件下,方程21sin =α的解又是什么呢? 【探究步骤】1.打开本节【实验3】课件;2.拉动点P 从点A 起,沿逆时针方向旋转,旋转过程中,注意观察αsin 的数值变化.我们观察到,当角α的终边在第一、第二象限时,0sin >α,当角α的终边在第三、第四象限时,0sin <α,要使21sin =α成立的角α只能是一、二象限角. 再次重复刚才的实验,进一步观察,又可以发现:当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πα时,αsin =y 单调递增,其函数值从0增大到1,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππα,2时,αsin =y 单调递减,其函数值从1减少到0.以上实验结果表明:当[]πα,0∈,有且只有两个α值满足21sin =α. 第三次重复以上实验,发现在[]πα,0∈,能使得21sin =α成立的α是65,6ππ,考虑到当角α终边转过整数圈回到65,6ππ终边位置时,仍满足21sin =α,满足条件的角α应表示为:)(652,62Z ∈+=+=k k k ππαππα或,即)(6)1(Z ∈-+=k k k ππα.【拓展探究1】 若21cos =α,求角α. 【拓展探究2】 若1tan =α,求角α.结合【实验3】课件,作自主探究. 【探究问题4】 若21sin >α,求角α的取值范围. 本题可在【探究问题3】的基础上继续深入,由【探究问题3】可知:当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πα时,αsin =y 单调递增,其函数值从0增大1,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππα,2时,αsin =y 单调递减,其函数值从1减少到0.以上实验结果表明:当[]πα,0∈,满足21sin >α的角α的范围是656παπ<<.考虑到角α终边转过整数圈回到⎪⎭⎫ ⎝⎛65,6ππ时,不等式仍然成立.因此满足21sin >α的角α取值范围是)(652,62Z ∈⎪⎭⎫⎝⎛++k k k ππππ. 【拓展探究3】 若21sin <α,求角α的取值范围. 【拓展探究4】 若21cos <α,求角α的取值范围. 【拓展探究5】若1tan >α,求角α的取值范围.以上拓展探究问题,请读者结合【实验3】课件作自主探究.。
“离散数学”实验报告(实验1)专业班级学号姓名目录一.实验目的; ....................................... - 1 -二.实验内容; ....................................... - 2 -1. 逻辑联接词的运算 ..................................................................................................... - 2 -2. 求任意一个命题公式的真值表 ................................................................................. - 2 -三.实验环境; ....................................... - 2 -四. 实验原理和实现进程(算法描述);................. - 2 -1.实验原理 ....................................................................................................................... - 2 -2.实验进程 ....................................................................................................................... - 3 -五.实验数据及结果分析;.............................. - 7 -题A:................................................................................................................................ - 7 - B,C题:............................................................................................................................ - 9 - 六. 源程序清单; ................................... - 13 -A题部份源代码: .......................................................................................................... - 13 - tt:printf("***************************************\n");其他收成和体会。
数学实验1重庆大学学生实验报告实验课程名称数学实验开课实验室DS1422学院计算机学院年级2013专业班物联网2班学生姓名卢锦晔学号20135195开课时间2014 至2015 学年第2学期总成绩教师签名数学与统计学院制开课学院、实验室:DS1422实验时间:2015 年3月30 日课程名称数学实验实验项目名称MATLAB软件入门实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师肖剑成绩实验目的[1] 熟悉MATLAB 软件的用户环境;[2] 了解MATLAB 软件的一般目的命令;[3] 掌握MATLAB 数组操作与运算函数;[4] 掌握MATLAB 软件的基本绘图命令;[5] 掌握MATLAB 语言的几种循环、条件和开关选择结构。
通过该实验的学习,使学生能灵活应用MATLAB 软件解决一些简单问题,能借助MATLAB 软件的绘图功能,对函数的特性进行探讨,广泛联想,大胆猜想,发现进而证实其中的规律。
实验内容1.MATLAB 软件的数组操作及运算练习;2.直接使用MATLAB 软件进行作图练习;3.用MATLAB 语言编写命令M-文件和函数M-文件。
基础实验一、问题重述1.设有分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯⨯⨯⨯22322333S O R E A ,其中E,R,O,S 分别为单位阵、随机阵、零阵和对角阵,试通过数值计算验证⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=22S 0RS R E A 。
2.某零售店有9种商品的单件进价(元)、售价(元)及一周的销量如表1.1,问哪种商品的利润最大,哪种商品的利润最小;按收入由小到大,列出所有商品及其收入;求这一周该10种商品的总收入和总利润。
表1.1货号1 2 3 4 5 6 7 8 9 单件进价7.15 8.25 3.20 10.30 6.68 12.03 16.85 17.51 9.30 单件售价11.10 15.00 6.00 16.25 9.90 18.25 20.80 24.15 15.50 销量 568 1205 753 580 395 2104 1538 810 6943.建立一个命令M-文件:求所有的“水仙花数”,所谓“水仙花数”是指一个三位数,其各位数字的立方和等于该数本身。
例如,153是一个水仙花数,因为153=13+53+33。
4.编写函数M-文件sq.m :用迭代法求a =x 的值。
求平方根的迭代公式为)a (211n n n x x x +=+迭代的终止条件为前后两次求出的x 的差的绝对值小于10-5。
5. 近景图 将x 的取值范围局限于较小的区间内可以画出函数的近景图,用于显示函数的局部特性。
局部放大 在绘图时,把x 的范围逐渐缩小,可把函数的细节部分展现的很清楚.特别是观察极限问题时,这种方法比较便利.远景图 函数的远景图,是把x 的范围取得比较大,使我们能够在大范围内观察函数图像.当研究x 趋向于∞时,这种方法给我们带来方便.1)比较函数 33)(,)(,)(x x h x x x g x x f =+== 在x →0时函数的性态。
观察到什么现象?从观察到的现象,反映了什么结论。
2)在日常生活中我们有这样的经验:与幂函数相比,指数函数是急脾气,对数函数是慢性子。
这就是说,当x →∞时,再小的指数函数也比幂函数变化快,再大的对数函数也比幂函数变化慢。
当x →∞时,比较10x y =与 x y 1.1= 的大小.当x →∞时,比较 001.0x y =与 x y lg 1000= 的大小.3)在同一个坐标下作出y 1=e x ,y 2=1+x,y 3=1+x+(1/2)x 2,y 4=1+x+(1/2)x 2+(1/6)x 3这四条曲线的图形,要求在图上加各种标注,观察到什么现象?发现有什么规律?同时用subplot 分别在不同的坐标系下作出这四条曲线,为每幅图形加上标题。
4).作出下列曲面的3维图形,)sin(22y x z +π=;5). 作出函数y=x 4-4x 3+3x+5 (x ∈[0,6])的图形,用小红点标出其在[0,6]之间的最小值点,并在最小值点附近标出该最小值点的坐标值;二、实验过程(一般应包括实验原理或问题分析,变量说明、程序、调试情况记录、图表等,实验结果及分析)1.➢源程序:E=eye(3,3)R=rand(3,2)O=zeros(2,3)a=[3 2]S=diag(a)A=[E R;O S]B=[E R+R*S;O S^2]IfB==A^2disp('right')elsedisp('wrong’)end➢运行结果:E =1 0 00 1 00 0 1R =0.2785 0.9649 0.5469 0.1576 0.9575 0.9706O =0 0 0 0 0 0a =3 2S =3 00 2A =1.0000 0 0 0.27850.96490 1.0000 0 0.54690.15760 0 1.0000 0.95750.97060 0 0 3.0000 00 0 0 02.0000B =1.0000 0 0 1.11402.89470 1.0000 0 2.18750.47280 0 1.0000 3.83002.91180 0 0 9.0000 00 0 0 04.0000Right分析:在该题中应该注意’*’与’.*’的区别,避免不必要的错误。
题中涉及的矩阵函数有eye、Rand、zeros、diag等,还有矩阵合并和结果输出的有关知识。
2.➢源程序:a=1:9b=[7.15 8.25 3.20 10.30 6.68 12.03 16.85 17.51 9.30]c=[11.10 15.00 6.00 16.25 9.90 18.25 20.80 24.15 15.50]d=[568 1205 753 580 395 2104 1538 810 694]x=c.*dprofit=(c-b).*df=sum(x)g=sum(profit)[income,number]=sort(x)➢运行结果:➢分析:此题最重要的部分是sort函数的应用,实现数组元素的排序和输出其在数组中对应的位置。
另外,从中我还学会了利用数组对一系列的数据进行运算处理。
3.➢计算程序for a=1:1:9for b=0:1:9for c=0:1:9A=a*100+b*10+c;if A==a^3+b^3+c^3disp(A)endendendend➢最终结果:153 370 371 407➢分析:此题使我进一步熟悉了循环语句for、while 等的基本格式和应用方法,值得注意的是每一个循环语句或条件语句的出现,必定要对应的出现一个end,这一点很容易忽视。
4.➢源程序:function f=sq(a)if a>=0x=eps;y=1/2*(x+a/x);while (abs(x-y)>=10^(-5))x=yy=1/2*(x+a/x)endf=xelsedisp('their exist errors')end➢运行结果调用sq(16),输出结果是4.0000➢分析:此题要求掌握利用循环语句进行迭代,实现开方方程的求解,另外x的取值有一定的讲究,在该题题设的情况下,很显然x>=0,但从迭代公式的形式可以得到,x不能等于0,这就要求x从一个较为接近0的数开始取,于是就得引用eps(计算机能辨别的最小值)。
5.(1)➢源程序:x=-1:0.0001:1;y1=x;y2=x.^3;y3=y1+y2;plot(x,y1,x,y2,x,y3)➢运行结果分析当x→0时,f(x)与g(x)很接近,而h(x)与前两个函数都不接近。
(2)➢源程序:x=linspace(5000,8000,500);y1=x.^10;y2=1.1.^x;Subplot(1,2,1),plot(x,y1),xlabel('x');ylabe l('y)'); grid;title('y=x^1^0');Subplot(1,2,2),plot(x,y2),xlabel('x');ylabe l('y)'); grid;title('y=1.1^x');➢运行结果分析:从上图可以看出来指数函数变化快➢源程序:x=linspace(5000,8000,500);y1=x.^0.001;y2=1000.*log(x);Subplot(1,2,1),plot(x,y1),xlabel('x');ylabe l('y)'); grid;title('y=x^0.001');Subplot(1,2,2),plot(x,y2),xlabel('x');ylabe l('y)'); grid;title('y=1000.*log(x)');➢运行结果分析:由以上函数图形可知对数函数变化比幂函数慢。
(3)➢源程序:x=linspace(0,2.50);y1=exp(x);y2=1+x;y3=1+x+0.5.*x.^2;y4=1+x+0.5.*x.^2+1./6.*x.^3;plot(x,y1,'b.'),gtext('y1=exp(x)');hold on, plot(x,y2,'y-'),gtext('y2=1+x');plot(x,y3,'g:'),gtext('y3=1+x+0.5.*x.^2');plot(x,y4,'m--'),gtext('y4=1+x+0.5.*x^2+1./ 6.*x.^3');hold off➢作图结果(4)➢作图程序x=-10:0.6:10;y=x;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=sin(pi.*sqrt(X.^2+Y.^2));surf(X,Y,Z)xlabel('x')ylabel('y')zlabel('z')title('z=sin(pi*sqrt(x.^2+y.^2)')shading flat➢作图结果➢分析:在该题中,需要用到三维作图相关函数meshgrid、mesh、surf,注释函数xlabel、ylabel、zlabel、title和开方函数sqrt,最后还涉及到了幂函数等。
通过这道题,我充分运用并巩固了作图方面的基础知识。
(5)➢作图程序x=0:0.1:6;y=x.^4-4.*x.^3+3.*x+5;plot(x,y)[y1,x1]=min(y);hold onplot(x(x1),y1,'r.','MarkerSize',20)hold offa=['x=',num2str(x(x1))];b=['y=',num2str(y1)];min=char(a,b);text(x(x1),y1+50,min)➢作图结果6.自由发挥:自己提出问题,实验探索,广泛联想,发现规律,大胆猜想。