函数定义域的几种求法
函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。
求函数定义域的几种方法有：
1、根据函数的表达式或方程求解法
这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集，
从而求出函数定义域。
例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域；
由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。
2、根据函数的几何图形特征求解法
这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。
例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y
的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这
个函数的定义域为 x>0。
3、根据定义求解法
例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。
4、根据解析学原理求解法
对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但
可以非常准确的求解函数定义域的方法。
例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ，
并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。根据等式 y - 1 =
0 我们可以得到
|x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。
高中常见的四种函数的定义域求法 定义域的范围是指使得函数有意义的x 的范围，如果一个函数是由若干个基本函数构成，只需要把每个基本函数有意义的时候x 范围求解出来，最终求这几个基本函数的x 的范围的交集即可，高中常见的四种函数的定义域求法一一讲解下。 一、母版题 （1）求 x y =的定义域范围. 解题思路：平方根具有双重非负性，所以定义域范围x ≥0. （2）求 x 1y =的定义域范围. 解题思路：分母等于0时，式子无意义，故分母不等于0，所以定义域范围x ≠0. （3）求 0x y ）（=的定义域范围. 解题思路：00无意义，所以定义域范围x ≠0. （4）求 log x a y =的定义域范围. 解题思路：对数函数真数必须大于0，所以定义域范围x ＞0. 以上四种是最常见的定义域求解题目，主要可以归纳为四句话： 1. 平方根具有双重非负性. 2. 分数分母不等于0. 3. 0的0次方无意义. 4. 对数函数真数务必大于0.
二、子版题（母版题＋形式变化） 主要是整体化原则的应用，x y =、x 1 y =、0x y ）（=、log x a y =这四个基本函数里的x 是一个整体，可以为任意函数，只需要这个整体满足：平方根具有双重非负性，分数分母不 等于0，0的0次方无意义.对数函数真数务必大于0. 1. 二次根式型函数x y =求定义域 （1）求 x -1y =的定义域范围. 解题思路：只需要把1-x 当做一个整体，要使得二次根式有意义，内部整体大于等于0，所以只需要1-x ≥0（按照一元一次不等式思路求x 范围）.求出x 范围即为定义域范围。 （2）求 23y 2+-=x x 的定义域范围. 解题思路：只需要把232+-x x 当做一个整体，要使得二次根式有意义， 内部整体大于等于0，所以只需要232+-x x ≥0（按照一元二次不等式 的解题思路，求x 范围）.求出x 范围即为定义域范围。 2. 反比例型函数分数型函数x 1y =求定义域 （1）求 1-x 1y =的定义域范围. 解题思路：只需要把x-1当做一个整体，要使该式子得有意义，分母不为0即可，所以只需要x-1≠0（按照一元一次不等式的解题思路，
函数定义域的几种求法 函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。 求函数定义域的几种方法有： 1、根据函数的表达式或方程求解法 这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集， 从而求出函数定义域。 例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域； 由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。 2、根据函数的几何图形特征求解法 这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。 例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y 的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这 个函数的定义域为 x>0。 3、根据定义求解法 例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。 4、根据解析学原理求解法 对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但 可以非常准确的求解函数定义域的方法。 例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ， 并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。根据等式 y - 1 = 0 我们可以得到 |x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。
8种求定义域的方法 在数学领域中，关于定义域的求解方法有许多种。下面将介绍其中的 八种方法。 方法一：根据函数公式求取定义域。 对于一些简单的函数，可以通过函数的公式直接求取定义域。例如对 于一个分式函数，如f(x)=1/(x-2)，由于分母不能为0，所以定义域为{x，x≠2}。 方法二：分析函数的基本性质。 有些函数拥有特定的性质，根据这些性质可以求得函数的定义域。例 如对于多项式函数，常数函数和指数函数，它们都定义在实数域上，因此 定义域为实数集。 方法三：考虑函数中的根。 对于包含根的函数，定义域不能使这些根使得函数的值出现未定义的 情况。例如对于开方函数f(x)=√(x-3)，由于根号下的值不能为负，所 以定义域为{x，x≥3}。 方法四：考虑函数的分段定义。 对于分段定义的函数，需要分别考虑每个分段的定义域。例如对于函 数f(x)=，x，分段定义为{x当x>=0时；-x当x<0时}，因此定义域为实 数集。 方法五：考虑函数的限制条件。
有时函数在定义域上有一些限制条件。例如对于对数函数f(x) = ln(x)，由于对数函数只对正数有定义，所以定义域为{x ， x > 0}。 方法六：考虑函数的参数限制。 对于含有参数的函数，需要考虑参数的限制条件。例如对于双曲正弦 函数f(x) = sinh(x)，由于双曲正弦函数对所有实数都有定义，所以定 义域为实数集。 方法七：考虑函数的复合性质。 对于复合函数，需要分析组成函数的定义域。例如对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域是f(x)的定义域。例如对于函数f(g(x)) = 1/x，如果g(x) = sin(x) + 2，由于sin(x)的定义域为实数集，所以g(x)的 定义域与f(x)的定义域保持一致。 方法八：考虑函数的图像。 对于一些函数，通过画出函数的图像可以直观地确定定义域。例如对 于一个二次函数f(x)=x^2+1，通过函数的图像我们可以看到函数的定义 域为实数集。 综上所述，我们介绍了八种常见的求取函数定义域的方法。根据函数 的公式、基本性质、根、分段定义、限制条件、参数限制、复合性质和图 像可以得到函数的定义域。
函数定义域求解的常见类型 重庆市涪陵五中 邓云华 关键词:函数定义域 求解 类型 摘要:函数的定义域是函数三大要素之一，因此，会求函数的定义域是学好函数的关键，而“定义域优先”的思想又是研究函数的前提. 在高中数学学习中,许多同学不习惯建立“定义域优先”这一数学理念,即使建立了“定义域优先”这一数学理念,又不知怎样来求函数的定义域？在此,笔者归纳一下认为求函数的定义域主要有以下五种常见类型。 第一类：已知函数解析式求定义域 函数定义域通常由问题实际背景确定，如果给出解析式y=f(x)，而未指出它的定义域，则函数定义域就是指使这个解析式有意义的实数x 集合。常见的解析式有： 1、分式型：() ()01≠?=x f x f y 2、 根式型：()()0≥?=x f x f y 3、零次幂型:()[]()00≠?=x f x f y 4、对数型:) (log )(x f y x ?= 解：∵ ???≠+>-0 10x x x ∴ ()()0,11,-? -∞-∈x 例2：求函数)1(log 22 1-=x y 的定义域 解：∵ ()?????>-≥-0 101log 2221x x ∴ ???-<>≤-11112x x x 或 ∴ ()() 2,11,2?--∈x 第二类：求复合函数定义域 原理１：若f(x)定义域［a,b ］（f 对x ∈[a,b]作用），则复合函数f[g(x)]中：a ≤g(x)≤b 解出x 的范围即为f[g(x)]定义域。 例3：若f(x)定义域[0,4]，求f(x 2)定义域 解：∵ 402≤≤x ∴ []2,2-∈x ∴ f(x 2)定义域为：[]2,2- 原理２：若复合函数f[g(x)]的定义域［a,b]（g 作用于x ∈[a,b]），则令t=g(x)，那么f(x)的定义域为g(x)值域 例4：已知f(x ２-2)定义域[1,+∝]，求f(x)定义域 解：∵ 1≥x ∴ 122 -≥-x 定义域 求例x x x x f -+=||)1()(:10
求函数定义域的方法（一） 1。使分式的分母不为零的x的取值是函数定义域的一部分； 2。偶次根式中，使被开方数非负的x的取值是函数定义域的一部分； 3。使对数的真数大于零的x的取值是函数定义域的一部分； 4。使对数的底数大于零且不等于1的x的取值是函数定义域的一部分； 5。正切函数tanf(x)中，使f(x)不等于k*180度+90度的x的取值是函数定义域的一部分； 6。[ f(x)]0中使f(x)不等于零的x的取值是函数定义域中的一部分； 7。抽象函数求定义域的方法： （1）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求f（x2+1）的定义域。（其中x2表示x的平方） （2）已知函数f（2x-1）的定义域为[0，1），求f（1-3x）的定义域。 解：（1）∵函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x ∴-1≤x2≤0 ∴x=0 ∴f（x2+1）的定义域为{0} （2）∵函数f（2x-1）的定义域为[0，1），即0≤x＜1 ∴-1≤2x-1＜1 ∴f（x）的定义域为[-1，1），即-1≤1-3x＜1 ∴0＜x≤2/3 ∴f（1-3x）的定义域为（0，2/3] 现在我的问题是：为什么函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x？说解此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约的条件是一致的，即都在同一取植范围内。那么，这个对应法则是什么，又是如何产生这个对应法则的？ 抽象函数的意思就是对应法则没有给出。 你所注意的是函数的定义域和值域。比方说，函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x，这是因为此时对应法则施加的对象是x2+1而不是x！！所以此时可以将x2+1看成是一个整体，令x2+1=t,则f(x2+1)=f(t),此时可以把f(x2+1)看成关于变量t的函数。实际上，这是一个复合函数即 y=f(t),t=g(x)=x2+1，以后你会学到的。所以，这里说的整体法很重要，跟参考书上是一个意思。 第2题目更是体现了这一点。因为函数f（2x-1）的定义域为[0，1）是对于变量x而言，所以应先算出2x-1在[0，1）的值域，显然-1≤2x-1＜1 ，所以对于函数f（1-3x）有-1≤1-3x＜1 ∴0＜x≤2/3 ，f（1-3x）的定义域为（0，2/3] 当然是关于变量x的。 1/1
8种求定义域的方法 定义域是数学中常用的一个概念，指函数能够接受的输入值的集合。求函数的定义域，即要找出函数的全部合法输入。 以下是常见的求解函数定义域的8种方法： 方法一：检查函数表达式中的分式，确定分母是否为零。如果分母为零的取值在实数范围内，那么该取值不属于该函数的定义域。 例子1：对于函数f(x) = 1/(x-1)，x-1=0，得到x=1。所以定义域是R- {1}。 方法二：检查函数表达式中的平方根、立方根等根式，确定根式内的值是否为负数。如果根式内的值为负数，那么该取值不属于该函数的定义域。 例子2：对于函数g(x) = √(x+2)，根式内的x+2≥0，所以定义域是[-2，+∞)。 方法三：检查函数表达式中的对数。对于以e为底的指数函数来说，取值只能是正数。对于以其他底数a（a>0 且a≠1）的对数函数来说，取值只能是大于0且底数a不能等于1的数。 例子3：对于函数h(x) = log3(x)，x>0且x≠1。所以定义域是(0, +∞)。 方法四：检查函数表达式中的三角函数。注意到三角函数是周期性的，并且在某些点处不连续。所以要考虑到函数在一个周期内的定义域，并将所有周期内的定义域取并集。
例子4：对于函数i(x) = sin(x)，它的定义域是R。 方法五：检查函数表达式中的指数。有些指数函数定义在整个实数集合上，而有些定义域只在实数集合的部分区间上。 例子5：对于函数j(x) = e^x，定义域是R。 方法六：当函数表示为两个函数的复合时，可以分别求出两个函数的定义域，并找出它们的交集作为最后的定义域。 例子6：对于函数k(x) = arcsin(x^2)，x^2≤1，即-1≤x≤1。所以定义域是[-1, 1]。 方法七：设函数为二次函数，可以通过求解一元二次不等式的解集来确定函数的定义域。 例子7：对于函数l(x) = 2x^2 + 3x - 1，由2x^2 + 3x - 1≥0得到x≥(-3+√17)/4 或x≤(-3-√17)/4。所以定义域是(-∞, (-3-√17)/4] U [(-3+√17)/4, +∞)。 方法八：如果函数被定义为由一段函数描述，可以分别找出每一段函数的定义域，并找出它们的交集作为最后的定义域。 例子8：对于函数m(x) = x-1 + 2，分为x-1≥0 和x-1<0两段。对于x-1≥0，定义域是[1, +∞)；对于x-1<0，定义域是(-∞, 1]。所以定义域是(-∞, +∞)。 以上是求解函数定义域的八种常见方法。不同的函数可能需要采用不同的方法来
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得 或 。③ 由②解得 或 ④ ③和④求交集得 且 或x>5。 故所求函数的定义域为
。 例2 求函数 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得 ③ 由②解得 ④ 由③和④求公共部分，得 故函数的定义域为 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知 的定义域，求 的定义域。 （2）其解法是：已知 的定义域是［a，b］求 的定义域是解 ，即为所求的定义域。 例3 已知 的定义域为［－2，2］，求 的定义域。 解：令 ，得 ，即 ，因此 ，从而 ，故函数的定义域是 。 （2）已知 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由 ，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为 。 即函数f(x)的定义域是 。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数 的定义域为R求实数m的取值范围。 分析：函数的定义域为R，表明 ，使一切x∈R都成立，由 项的系数是m，所以应分m=0或 进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R；
实用标准 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例 1求函数 y x 22x15 | x 3 |8 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 x 22x150① | x 3 |8 0② 由①解得x3或 x 5 。③ 由②解得x5或 x11④ ③和④求交集得x3且 x11或x>5。 故所求函数的定义域为{ x | x 3且 x11}{ x | x5} 。 例 2求函数 y sin x 1 的定义域。16x 2 解：要使函数有意义，则必须满足 sin x0① 16x 20② 由①解得2k x2k，k Z③ 由②解得 4 x4④ 由③和④求公共部分，得 4x或 0x 故函数的定义域为(4， ](0， ] 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。 （ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。 例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 2 1) 的定义域。 解：令 2 x 21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而 3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。 （ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。 其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。 例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。 即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例 5已知函数 y mx 26mx m8 的定义域为R求实数m的取值范围。 分析：函数的定义域为R，表明mx26mx 8m 0 ，使一切x∈R都成立，由 x 2项文档大全
函数定义域的求法整理 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ???≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤Y 且。 例2 求函数2x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ???>-≥②①0x 160x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， Y 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定
求函数的定义域方法 求函数的定义域是在数学中经常遇到的问题，定义域是指函数所能接受的输入值的范围。确定函数的定义域需要根据函数的性质和条件进行分析和推导。本文将介绍几种常见的方法来求函数的定义域。 一、有理函数的定义域求解方法： 有理函数是指由多项式函数与多项式函数的商所构成的函数。对于有理函数来说，定义域包括所有使得分母不等于零的实数，因为分母等于零会导致函数的值无定义。因此，我们可以通过求解分母不等于零的条件来确定有理函数的定义域。 例如，对于函数f(x) = (x + 2)/(x - 1)，我们需要求解分母不等于零的条件：x - 1 ≠ 0。解得x ≠ 1，所以函数的定义域为R - {1}，即除去1的所有实数。 二、根式函数的定义域求解方法： 根式函数是指由开方运算构成的函数。对于根式函数来说，由于不能对负数开方，所以要使函数的值有定义，被开方的数必须大于等于零。 例如，对于函数g(x) = √(x - 2)，我们需要求解x - 2 ≥ 0。解得x ≥ 2，所以函数的定义域为[x ≥ 2]。 三、指数函数和对数函数的定义域求解方法：
指数函数和对数函数是指以底数为常数的指数和对数所构成的函数。对于指数函数来说，底数必须大于零且不能等于1，因为底数为1时函数的值无定义。对于对数函数来说，底数必须大于零且不能等于1，且对数的真数必须大于零，因为对数的真数小于等于零时函数的值无定义。 例如，对于函数h(x) = 2^x，底数2大于零且不等于1，所以函数的定义域为R。对于函数i(x) = log(x + 3)，底数为10大于零且不等于1，且x + 3大于零，所以函数的定义域为(-3, +∞)。 四、三角函数和反三角函数的定义域求解方法： 三角函数和反三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。对于三角函数来说，角度或弧度的取值范围是整个实数集。对于反三角函数来说，其定义域要根据函数的性质和条件进行分析。 例如，对于函数j(x) = sin(x)，x可以取任意实数，所以函数的定义域为R。对于函数k(x) = arcsin(x)，由于反正弦函数的取值范围是[-π/2, π/2]，所以函数的定义域为[-1, 1]。 总结： 求函数的定义域是数学中常见的问题，需要根据函数的性质和条件进行分析和推导。常见的方法包括求解分母不等于零的条件、被开方数大于等于零的条件、指数和对数的底数大于零且不等于1、三角函数的自变量取值范围等。通过掌握这些方法，我们可以准确地
求函数的定义域的基本方法有以下几种： 1、已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： ●分式中的分母不为零； ●偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于一； ●对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ●正切函数 ●余切函数 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 例1（2000上海）函数的定义域为。 分析：对数式的真数大于零。 解：依题意知： 即 解之，得 ∴函数的定义域为 点评：对数式的真数为，本来需要考虑分母，但由于 已包含的情况，因此不再列出。 2、代入法求抽象函数的定义域。
已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。 例2若函数的定义域为，则的定义域为。 分析：由函数的定义域为可知：；所以 中有。 解：依题意知： 解之，得 ∴的定义域为 点评：对数式的真数为，本来需要考虑，但由于已包含 的情况，因此不再列出。 3、应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范 围。 实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积； （2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）； （3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设； （4）路程问题中，要考虑路程的范围。
例3、(2004上海) 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 分析：总面积为，由于，于是，即。又，∴的取值范围是。 解：由题意得 xy+x2=8,∴y==(0 函数定义域的求法整理(整理详细版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数定义域的求法整理 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8|3x |15 x 2x y 2 -+--=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ⎩⎨⎧≠-+≥--②① 08|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ⎩⎨⎧>-≥②① 0x 160x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项的系数是m ，所以应分m=0或0m ≠进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R ； 当0m ≠时，08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是 1 m 00)8m (m 4)m 6(0m 2≤<⇒⎩⎨⎧≤+--=∆> 综上可知1m 0≤≤。 求函数定义域的几种类型函数的定义域是函数自变量的取值范围，是函数研究的基础。在求解函数定义域时，需要根据函数的特性，确定自变量的取值范围。本文将从以下几个方面探讨函数定义域的几种类型。 一、与分式有关的函数定义域 分式函数的定义域是分母不等于0的实数的集合。因此，在求解分式函数的定义域时，需要找出分母等于0的实数，并将其排除在外。例如，函数f(x) = 1/(x-2)的定义域为{x|x≠2}。 二、与根式有关的函数定义域 根式函数的定义域是被开方数大于等于0的实数的集合。因此，在求解根式函数的定义域时，需要找出被开方数小于0的实数，并将其排除在外。例如，函数 f(x) = √(x-1)的定义域为{x|x≥1}。 三、与对数有关的函数定义域 对数函数的定义域是真数大于0的实数的集合。因此，在求解对数函数的定义域时，需要找出真数小于或等于0的实数，并将其排除在外。例如，函数f(x) = log2(x-1)的定义域为{x|x>1}。 四、与三角函数有关的函数定义域 三角函数的定义域是全体实数，但在实际问题中，需要对自变量的取值范围进行限制。例如，正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数，但在实际问题中，通常将自变量的取值范围限制在一个周期内。正切函数的定义域为 {x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，需要对自变量的取值范围进行限制，排除使正切函数无意义的点。 五、与实际问题有关的函数定义域 在实际问题中，自变量的取值范围常常受到实际问题的限制。例如，在研究物体运动时，自变量的取值范围应该是使得物体存在的时间和位置都有意义的实数集 合。在研究人口问题时，自变量的取值范围应该是使得人口数量和时间都有意义的实数集合。因此，在求解与实际问题有关的函数定义域时，需要考虑实际问题的限制条件。 综上所述，在求解函数定义域时，需要根据函数的特性，确定自变量的取值范围。常见的函数定义域类型包括与分式有关的函数定义域、与根式有关的函数定义域、与对数有关的函数定义域、与三角函数有关的函数定义域以及与实际问题有关的函数定义域。在求解函数定义域时，需要注意排除使函数无意义的点，并考虑实际问题的限制条件。 函数定义域几种类型及其求法 函数的定义域是指函数的自变量取值范围，也就是使函数有意义的输入值的集合。在数学中，函数的定义域可以分为几种常见的类型，如下所述。 1.实数定义域（R）：函数的定义域是实数集合R。这意味着函数可以接受任何实数作为输入。例如，常见的函数如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都具有实数定义域。在这种情况下，不需要做额外的计算来确定函数的定义域，因为它已经明确了。 2.有理数定义域（Q）：函数的定义域是有理数集合Q。有理数是可以表示为两个整数的比值的数。例如，分式函数如有理函数、整式函数等可以具有有理数定义域。在这种情况下，我们需要找到函数中的分母，并解方程找到满足分母不为零的有理数值。 3.整数定义域（Z）：函数的定义域是整数集合Z。这意味着函数只能接受整数作为输入。例如，阶跃函数、周期函数、模函数等可以具有整数定义域。在这种情况下，函数的定义域可以通过阅读函数定义或观察函数图形来确定。 4.正数定义域（P）：函数的定义域是正数集合P。这意味着函数只能接受正实数作为输入。例如，根式函数如平方根、立方根等可以具有正数定义域。在这种情况下，我们需要找到函数中的根号，并解方程找到满足根号内值大于等于零的正数值。 5.范围限定定义域：有时函数的定义域可能会根据问题的特定要求而受到限制。例如，函数表示一个物理过程，其定义域可以是非负实数集合[0,∞)，因为负时间或未来时间不具有实际意义。 确定函数的定义域的方法可以通过以下几种方式： 1.查看函数的公式或定义：有时，函数的定义域可以通过检查函数的 公式或定义来确定。例如，当函数是一个分式或根式函数时，分母、根号 内值的限制可以帮助我们确定定义域。 2.解方程：对于一些函数，可以通过解方程来确定定义域。例如，对 于有理函数，需要找到使得分母不为零的解。 3.观察函数图形：有时，通过观察函数的图形可以直观地确定定义域。例如，对于三角函数和周期函数，可以在图上观察到周期性。 4.注意特殊情况和排除无意义的输入：在确定函数的定义域时，还需 要注意一些特殊情况和排除无意义的输入。例如，对于对数函数，底数不 能为零或负数；对于平方根函数，根号内的值不能为负数。 总之，函数的定义域是使函数有意义的自变量取值范围。它可以是实数、有理数、整数、正数，也可能是根据问题需要确定的范围限定定义域。确定函数定义域的方法可以通过查看函数的公式或定义、解方程、观察函 数图形或注意特殊情况和排除无意义的输入。 函数定义域几种类型及其求法 河北省承德县一中 黄淑华 一、已知函数解析式型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1、求函数8 31522-+--=x x x y 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足⎪⎩ ⎪⎨⎧≠-+≥--08301522x x x 即⎩⎨⎧-≠≠-<>11535x x x x 且或 解得1135-≠-<>x x x 且或 即函数的定义域为{ }1135-≠-<>x x x x 且或。 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。 （一）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。 其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为所求的定义域。 例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域。 解：22≤≤-x ，2122≤-≤-∴x ，解得33≤≤-x 即函数)1(2-x f 的定义域为{}33≤≤-x x （二）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。 其解法是：已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的定义域。 例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域。 解：21≤≤x ，422≤≤∴x ，5123≤+≤∴x 。 即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。 三、逆向思维型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例4、已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R 求实数m 的取值范围。 函数定义域地求法整理 一、常规型 即给出函数地解析式地定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量地不等式或不等式组,解此不等式（或组）即得原函数地定义域. 例1 求函数8 |3x |15x 2x y 2-+--=地定义域. 解：要使函数有意义,则必须满足 ⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥. ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5. 故所求函数地定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且. 例2 求函数2x 161 x sin y -+=地定义域. 解：要使函数有意义,则必须满足 ⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数地定义域为]0(]4(ππ--，， 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式地函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数地定义域求另一个抽象函数地解析式,一般有两种情况. （1）已知)x (f 地定义域,求)]x (g [f 地定义域. （2）其解法是：已知)x (f 地定义域是［a,b ］求)]x (g [f 地定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求地定义域. 例3 已知)x (f 地定义域为［－2,2］,求)1x (f 2-地定义域. 解：令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数地定义域是 }3x 3|x {≤≤-. （2）已知)]x (g [f 地定义域,求f(x)地定义域.函数定义域的求法整理(整理详细版)
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函数定义域几种类型及其求法
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