相似三角形（2）
教学目标：
1．知识目标：能识别基本图形母子三角形并能熟练应用
2．能力目标：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用
3．情感目标：
教学重难点
重点：让学生能识别基本图形母子三角形并能熟练应用
难点：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用
【知识要点】
一、直角三角形相似
1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
基本图形（母子三角形）举例：
1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．
结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =
△BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =
△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =
2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC
结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =
【例题解析】
类型一：三角形中的母子型
【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=2,:BCD ABC S S =2∶3,则
CD=______.
2.D 是 Rt △ABC 直角边BC 上的一点,且满足∠CAD =∠B,若AC= 2，BD = 3, 求CD 的长.
D C
B A
【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B
求AC 的长. A D C
B A D
C B
D C
B
A
【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ?=2
【练】已知CD 是ABC ?的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ??∽
类型二：直角三角形中的母子型
【例1】如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =?
H
G F
E
D C B A
【练】如图,RtΔABC 中,∠ACB=90°
,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则
AD=____,CD=_______.
【例2】如图,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.
C
B
A D
类型三：四边形中的母子型
【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =?。 H D A C B
G
2.如图，菱形ABCD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，求证：212
AD DE DB =
?。 E
D A
C B F
【练】如图，P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BP=BQ ，BH ⊥PC
于H ，求证：QH ⊥DH ．
类型四：圆中的母子型
【例1】1.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，
求证：2EB DE AE =?。
D O A
B C
E
2.如图，PA 切⊙O 于A ，AB 为⊙O 的直径，M 为PA 的中点，连BM 交⊙O 于C ，
求证：（1）2AM MC MB =? （2）∠MPC=∠MBP 。
C
O A
P B
M
【练】1.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于D ，弧AC=弧CE ，AE 交CD 于F ，求证：2CE AF AE =?。 F
O B A
C D E
2.如图，点A 是⊙O 上一点，以A 为圆心的圆交⊙O 于B 、C 两点，E 为⊙O 上一点，AE 与BC 相交于点D ，求证：2AB AD AE =?
D C
O A
B
E
3.如图，点O 是四边形AEBC 外接圆的圆心，点O 在AB 上，点P 在BA 的延长线上，且∠PEA ＝∠ADE ，CD ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点D 。
（1）求证：PE 是⊙O 的切线；
（2）若D 为劣弧BE 的中点，且AH ＝16，BH ＝9，求EG 的长．
【家庭作业】
1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （ ）
A 、1.24cm
B 、1.26cm
C 、1.28cm
D 、1.3cm
2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）条线段的长，就可以求其他线段的长.
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3、在Rt ABC 中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，若
34
AC AB =，则BD CD =（ ） A 、34 B 、43 C 、169 D 、916
4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1,3
DE AC ADE CDE ⊥∠=∠，则EDB ∠=（ ） A 、22.5 B 、30 C 、45 D 、60
5、ABC ?中，90A ∠=，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ，22:AB AC = 。
6、如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，
AC=6，AD=3.6，则BC= ．
7、已知如图：90CAB ∠=，AD CB ⊥，ACE ?，ABF ?是正三角形，求证：DE DF ⊥
D
E
F
A B C
8、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点E 是弧CB 的中点，EF ⊥AC 于F. （1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）连接CE 、AE 、CO ，AE 交CO 于N ，若
CE=6，AE=8，求AN NE
的值.
母子型相似三角形 【知识要点】 一、直角三角形相似 1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 基本图形(母子三角形）举例: 1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，C Ｄ为斜边AB 上的高． 结论:（1）△ＡCD ∽△C ＢD ，△BDＣ∽△BCA ，△CDA∽△BCA (2）△ACＤ∽△ＣBD 中，2 CD AD BD = △BＤＣ∽△ＢＣＡ中，2 BC BD AB = △CDA∽△BCA 中，2 AC AD AB = 2、条件:如图，已知∠ＡCD=∠ＡB Ｃ 结论:△AＣD ∽△ABC 中，2 AC AD AB = 【例题解析】 类型一:三角形中的母子型 【例1】1.如图，ΔABＣ中，∠A=∠ＤBC ，BC= ,SΔＢCD ∶SΔABC=2∶3,则ＣD ＝_＿____. D C B A 【练】如图，D 是 △ＡBC 的边ＡB 上一点,连结CD ．若AD ＝ ２,B Ｄ = 4, ∠ACD ＝∠B 求AC 的长. 【例2】如图,在△ABC 中，A Ｄ为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交ＡD 于E,交BC 的延长线 于Ｆ,求证： FC FB FD ?=2 A D C B A D C B
【练】已知C Ｄ是ABC ?的高,,DE CA DF CB ⊥⊥，如图３-１，求证：CEF CBA ??∽ 类型二：直角三角形中的母子型 【例１】．如图，在△AＢC 中，AD 、B Ｅ分别为B Ｃ、ＡC 边上的高,过Ｄ作AB 的垂线交A Ｂ 于F,交BE 于G,交AC 的延长于H ，求证：2 DF FG FH =? H G F E D C B A 【练】如图５,R ｔΔABＣ中,∠AC Ｂ=９０°,CD ⊥AB,AC ＝8，ＢC=6,则ＡＤ=____，CD ＝__＿___＿. 【例2】如图1,∠AD Ｃ＝∠ＡＣB ＝９０°,∠１=∠B,AC=5,AB=6,则ＡD=＿___＿_． A 【练】如图,CD 是 Rt △ＡBC 斜边上的高.若A Ｄ= 2，BD = 4, 求C Ｄ的长. 类型三:四边形中的母子型 【例1】1.如图,矩形ＡB ＣＤ中，B Ｈ⊥A Ｃ于H ，交ＣD 于G,求证:2 BC CG CD =?。 H A E A C B F 2.如图,菱形ＡB ＣD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交ＢD 于E,求证: 21 2AD DE DB = ?。 类型四：圆中的母子型 【例1】1.如图,△ABC 内接于⊙Ｏ,∠B ＡC 的平分线交B Ｃ于Ｄ,交⊙O 于Ｅ，
《相似三角形的性质》教案 课标要求 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 教学目标 知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力． 情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识． 教学重点 相似三角形性质定理的理解与运用． 教学难点 探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题． 教学流程 一、情境引入 三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等． 问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？ 引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系． 二、探究归纳 回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？ 探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少． 图1
图2 问题1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．AD 和A ′D ′的比是多少？ 追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？ 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠B ＝∠B ′ ∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形 ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′ ∴==''''AD AB k A D A B 问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ？ 结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 问题3：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，对应线段的比呢？ 推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 问题4：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们的周长有什么关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比． 思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？ 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′． 2122 ABC A B C BC AD S BC AD k k k S B C A D B C A D ?'''??==?=?=''''''''? 结论：相似三角形面积比等于相似比的平方． 三、应用提高 例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ．若△ABC 的边
相似三角形基本类型一、“X”型. B C B C 二、“子母”，“A型”，“斜A ”. B B B （双垂直K型）三、“K”型
C B （三垂直K 型） A C D B C A B D 四、共享型 A B E C D
A B E B B 1.在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE. A B E
1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证∠ABE=∠ACD. A B D 2. A B P 3.如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为斜边并且在AB 的 同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ，连结AE 交CD 于点M ，连结BD 交CE 于点N ，给出以下三个结论：①MN ∥AB ；②1MN ＝1AC ＋1 BC ；③M N≤14AB ，其中正确结论的个数 是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
F E C B B' C' 4．如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ， CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ； （2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全 等三角形，并说明理由． 5.
A D B 6.在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为_________. A B C D 7. 0 90A E ∠=∠=°, 1 2 EDB C ∠= ∠. (1)当AB=AC 时,①∠EBF=_________.
A C B C' A' 第6章第5节相似三角形的性质（2） 【教学目标】 1．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；了解性质定理的探索过程和证明方法. 2．会运用图形的相似性质解决一些简单的实际问题； 3．经历探索性质定理的形成过程，使学生体验从特殊到一般的认知规律，以及由观察—猜想—论证—归纳的数学思维过程. [设计意图]重视数学对象的逻辑关系和内部联系，引导学生积极体验数学结论的理和美的要求. 【教学重难点】 重点：探索得出相似三角形对应线段的比等于相似比；并会运用性质解决实际问题. 难点：由特例归纳出一般结论. [设计意图]教师通过对重难点的把握，提高学生合作探究、解决问题的能力，让学生体会到由特殊到一般的数学研究方法，并能够运用到数学学习过程中. 【教学过程】 本节课的内容结构是：对应高（已有经验）---对应中线（特例1）---对应角平分线（特例2）---其他对应线段（通例）---位置对应线段（一般结论）---现实问题（应用） 一、设置情境，引出问题 远古的时候，有一位国王非常聪明，他把国家治理得井井有条，一片繁荣景象.他还酷爱数学，每日早朝之时，必先考考各位大臣的聪明才智.有一天，国王说：我有两块形状相同的三角形土地，一块是4亩，一块是16亩，现在我想把每块土地都分割成两块三角形形状，我只有一个要求就是-----分割线之比是1:2,各位大臣有多少种方法？办法高明者奖励黄金10两,白银10两.
[设计意图]调动学生学习兴趣,激发其探究欲望.情境的设置既引导学生回顾已学的相似三角形性质,又引发学生要继续探索其他性质的需要. 分析题意可以得到解决问题的办法就是:找到相似三角形中哪些线段的比等于相似比. 二、合作探究，形成新知 问题1:△ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，AD 和''A D 分别是△ABC 和△'''A B C 的中线， 那么 ?'' AD A D = 问题2: △ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，AD 和''A D 分别是△ABC 和△'''A B C 的角 平分线，那么 ?'' AD A D = [设计意图] 在探索相似三角形对应中线、对应角平分线性质时，迁移了相似三角形对应高的证明方法，对学生来讲，这两个结论证明并不难，因为有了上节课的经验.将典型特例作为引导性材料,让学生直观感知性质,形成性质的“模式直观”. 问题3:角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n 等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n 等分线,结论还成立吗? [设计意图]适度铺垫，让学生拾阶而上.有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质.
相似三角形（2） 教学目标： 1．知识目标：能识别基本图形母子三角形并能熟练应用 2．能力目标：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用 3．情感目标： 教学重难点 重点：让学生能识别基本图形母子三角形并能熟练应用 难点：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用 【知识要点】 一、直角三角形相似 1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似 2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 基本图形（母子三角形）举例： 1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =g △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =g △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =g 2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC 结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =g 【例题解析】 类型一：三角形中的母子型 【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠ DBC,BC=2,:BCD ABC S S V V =2∶3,则CD=______. 2.D 是 Rt △ABC 直角边BC 上的一点,且满足∠CAD =∠B,若AC= 2，BD = 3, 求CD 的长. D C B A A D C B A D C B
求AC的长. D C B A 【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FC FB FD? = 2 【练】已知CD是ABC ?的高，, DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ?? ∽ 类型二：直角三角形中的母子型 【例1】如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长于H，求证：2 DF FG FH =? H G F E D C B A 【练】如图,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.
一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ． 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的 中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== ''''''''（k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的 角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B C 'C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
相似三角形模型分析大全 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型 B
（四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型：
二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形
第二部分相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OE OA OC? = 2． 例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABC DEB∠ = ∠． 求证：（1）DA DE DB? = 2；（2）DAC DCE∠ = ∠． C D E B
例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
相似三角形的性质及应用练习卷 一、填空题 1、已知两个相似三角形的相似比为 3，则它们的周长比为 ； 2、若△ABC ∽△A ′B′C′，且 AB 3 A B 4 ，△ABC 的周长为 12cm ， △ 则A ′B′C′的周长为 ； 3、如图 1，在△ABC 中，中线 BE 、CD 相交于点 G ，则 DE BC S = ； △GED ： △S GBC = ； 4、如图 2，在△ABC 中， ∠B=∠AED，AB=5，AD=3，CE=6，则 AE= ； 5、如图 3，△ABC 中，M 是 AB 的中点，N 在 BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ， △则 ∽△ ， 相似比为 ， BN NC = ； ， 6、如图 4，在梯形 ABCD 中，AD∥BC =4：9，则 ：S = △S ADE △：S BCE △S ABD △ABC ； 7、如图 5，在△ABC 中，BC=12cm ，点 D 、F 是 AB 的三等分点，点 E 、G 是 AC 的三等分点，则 DE+FG+BC= ； D A E D A E M A A E D F D A E G B C C B C B C B 8、两个相似三角形的周长分别为 5cm 和 16cm ，则它们的对应角的平分线的比为 ； 9、 两个三角形的面积之比为 2：3 ，则它们对应角平分线的比为 ，对应边的高的比 为 ；对应边的中线的比 周长的比 图 5 C 10、已知有两个三角形相似，一个边长分别为 2、3、4，另一个三角形最长边长为 12，则 x 、y 的 值为 ； 二、选择题 11、下列多边形一定相似的为（ ） A 、两个矩形 B 、两个菱形 C 、两个正方形 D 、两个平行四边形 12、在△ABC 中，BC=15cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，另一个和它相似的三角形的最短边是 5cm ，则最长 边是（ ） A 、18cm B 、21cm C 、24cm D 、19.5cm 13、如图，在△ABC 中，高 BD 、CE 交于点 O ，下列结论错误的是（ ） A A 、CO·CE=CD·CA B 、OE·OC=OD·OB E D C 、AD·AC=AE·AB D 、CO·DO=BO·EO O B C B G 图 4 N 图 2 图 1 图 3
相似与相似三角形 一、选择题 1.若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c的值等于（） A.-3 B.-5 C.-7 D.-15 2.下列说法中正确的是（） A.两个平行四边形一定相似 B.两个菱形一定相似 C.两个矩形一定相似 D.两个等腰直角三角形一定相似 3.如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=3，DA=5，CF=4，则FB等于（） A. B. C.5 D.6 4.下列说法中正确的是（） A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似 C.两个等边三角形相似 D.两个锐角三角形相似 5.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF. 下列结论：①∠BAE=30°；②△ABE∽△AEF；③3CF=CD；④S△ABE=4S△ECF． 正确结论的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
6.下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（） A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D． = 7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（） A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1 8.如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，则位似中心的坐标为（） A.（0，0） B.（1，1） C.（2，2） D.（3，3） 9.如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4. 则下列结论：①AF：FD=1：2；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（） A.①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③ 二、填空题 10.如图，已知：l1∥l2∥l3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC= .
相似三角形性质2 知识精要 一、相似三角形的性质 1、（定义）：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2、性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 3、性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比。 4、性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 二、相似三角形的应用 热身练习 一、填空题： 1、两个相似三角形的面积之比为9：16，它们的对应高之比为3：4 。 2、地图比例尺为1：2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。 3、如果两个相似三角形最长边为35和14，它们的周长差为60，那么这两个三角形的周长分别为____100、40 __ 4、如图4，已知DE∥BC，AD：DB=2：3，那么S△ADE：S△ECB=4：15 。 5、两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 二、选择题： 1、如图，在ABCD中，AC与DE交于点F,AE：EB=1：2，S △AEF=6cm2，则S△CDF的值为（D ） A．12cm2B．15cm2C．24cm2D．54cm2 2、若菱形的周长为16cm，相邻两角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（B ） A．32B．32C．32D．3 2 3、东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实 际距离的比为（B ） A．1：5000000 B．1：500000 C．1：50000 D．1：5000
三、解答题： 1、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=3：5， 求：（1）S△AOD：S△BOC的值；（2）S△AOB：S△AOD的值． 参考答案：（1）9：25 （2）5：3 2、如图，已知：△ABC∽△A′B′C′,且AB：A′B′=3：2，若AD与A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的对应中线。 (1)你发现还有哪些三角形相似? (2)若AD=9cm,则A＇D＇的长是多少？ (3）若AD分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD与△A′B′D′成立吗？ 故两个相似三角形的所有对应线段之比＝______，面积之比=_____。 参考答案：（1）△ABD∽△A′B′D′, △ACD∽△A′C′D′；（2）A＇D＇为6cm；（3）成立3：2、9：4。 精解名题 例1、已知梯形ABCD的周长为16厘米，上底CD=3厘米，下底AB=7厘米，分别延长AD和BC交于P，求△PCD的周长。 参考答案：∵AB∥CD ∴PD PA PC PB =设PD=3x ,PC=3y 3 7 PD PC CD PA PB AB === 3x CD PA AB = PA=7x ,PB=7y AD+BC=4x+4y=6 PD+PC=9 2 △PCD的周长为 15 2
学员学校：年级：初三课时数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课类型T-手拉手模型C-子母型相似 教学目标1. 掌握字母型相似基本性质和构建 2. 探索、拓展类习题练习 授课日期及时段 年月日—— 教学内容
知识结构 母子型相似三角形 【知识要点】 一、直角三角形相似 1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 基本图形（母子三角形）举例： 1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB = 2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC 结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB = A D C B A D C B
【例1】1.如图,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______. 【练】如图，D 是△ABC的边AB上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC的长. D C B A 【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FC FB FD? = 2
【练】已知CD是ABC ?的高，, DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ?? ∽ 类型二：直角三角形中的母子型 【例1】.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE 于G，交AC的延长于H，求证：2 DF FG FH =? H G F E D C B A 【练】如图5,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______. 【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b = ．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=．
相似三角形的性质（第2课时） 一、教学目标 1．掌握相似三角形的性质定理2、3． 2．学生掌握综合使用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想． 4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 三、重点及难点 1．教学重点：是性质定理的应用． 2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等相关知识的综合使用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 ［复习提问］ 叙述相似三角形的性质定理1． ［讲解新课］
让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． ∽， 同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题． “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象． 性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方． ∽， 注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这个点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． 例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=1 5cm，，求BC、AB、、． 此题学生一般不会感到有困难．
例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比． 教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法． 解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为． ∽∽且，． ． 学生在使用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而 ［小结］ 1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3． 2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题． 七、布置作业 教材P247中A组4、5、7． 八、板书设计
母子型相似三角形 （三）母子型 A B C D C A D 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别 交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证： FC FB FD ?=2． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB A C D E B
3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB ·DF=AE · DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。 求证：∠=?GBM 90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积． A C B P D E （第25题图） G M F E H D C B A
第一部分相似三角形知识要点大全 知识点1.．相似图形的含义 把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到． （2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同． （3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？ 分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变． 解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同． 例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)． 解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥． 知识点2．比例线段 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c b d =（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作a c b d =（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段 有顺序性． （2）在比例式a c b d =（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d 是第四比例项． （3）如果比例内项是相同的线段，即a b b c =或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。 (4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求a b ． 分析：求a b 即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比． 例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=3 2 dm，求c的长度． 分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c． 知识点3．相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系． （2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性． 例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？ 分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1 3 ，再根据相似
相似三角形性质（二） 知识精要 一、相似三角形的性质 1、（定义）：相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 2、性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 3、性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比． 4、性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 二、相似三角形的应用 热身练习 一、填空题： 1、两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为 ． 2、地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm ，面积为1002 cm ，实际周长为 m ，实际面积为 2 m ． 3、如果两个相似三角形最长边为35和14，它们的周长差为60，那么这两个三角形的周长分别为______． 4、如图，已知DE ∥BC ，:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S ??= ． 5、两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为 ，面积比为 ． 二、选择题： 1、如图，在 ABCD 中， AC 与DE 交于点F ，:1:2AE EB =，6AEF S ?=2 cm ，则CDF S ?的值 为（ ） A ．122 cm ； B ．152 cm ； C ．242 cm ； D ．542 cm ． 2、若菱形的周长为16cm ，相邻两角的度数之比是1:2，则菱形的面积是（ ）
A ．432 cm ； B ．832 cm ； C ．1632 cm ； D ．2432 cm ． 3、东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（ ） A ．1:5000000； B ．1:500000； C ．1:50000； D ．1:5000． 三、解答题： 1、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，:3:5AD BC =． 求：（1）:AOD BOC S S ??的值；（2）:AOB AOD S S ??的值． 2、如图，已知：△ABC ∽△'''A B C ，且:''3:2AB A B =，若AD 与''A D 分别是△ABC 与△'''A B C 的对应中线． （1）你发现还有哪些三角形相似? （2）若9AD =cm ，则''A D 的长是多少？ （3）若AD 与''A D 分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD 与△'''A B D 相似成立吗？ 故两个相似三角形的所有对应线段之比=______，面积之比=_________． 精解名题 例1、已知梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于P ，求△PCD 的周长．
母子型相似三角形
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 母子型相似三角形 （三）母子型 A B C D C A D 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别 交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证： FC FB FD ?=2． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB A C D E B
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB ·DF=AE ·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于 H ， EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使 DG=EF ，M 是AH 的中点。 求证：∠=?GBM 90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积． A B P D E （第25题图） G M F E H D C B A