第十一单元 第六节随机数与几何概型
一、选择题
1．在区间[0,3]上任意取一点，则此点坐标不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79 【解析】 依题意，此点坐标不大于2的区间为[0,2]，区间长度为2，而区间[0,3]的长
度为3，所以此点坐标不大于2的概率是23
. 【答案】 C
2．(精选考题·宁波质检)在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正
方形，这个正方形的面积介于36 cm 2与49 cm 2之间的概率为( )
A.110
B.15
C.310
D.25
【解析】 点P 的区域长度为10 cm ，所求事件构成的区域长度为6 cm 到7 cm ，其长度
为1 cm ，∴P ＝110
. 【答案】 A
3.
如图是一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )
A.2π
B.1π
C.12 D ．1－2π
【解析】 扇形面积S ＝14×π×22＝π，弓形面积S 1＝π－12×22＝π－2，∴P ＝π－2π
＝1－2π
. 【答案】 D
4.
如图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在锐角∠xOT 内的概率是( )
A.13
B.14
C.15
D.16
【解析】 OA 等可能地落在平面内，构成区域为(0°，360°)，所求事件区域为(0°，
60°)，∴P ＝60360＝16
. 【答案】 D
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1内任意取点，则该点落在四棱锥B1－ABCD内的概率是( )
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5
【解析】不妨设长方体的长、宽、高分别为a
，b，c，则该点落在四棱锥B1－ABCD内的概率为
P＝
VB1－ABCD
VABCD－A1B1C1D1
＝
1
3
abc
abc
＝
1
3
.
【答案】 B
6．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
A.
1
4
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
【解析】如右图所示，任取一组平行线进行研究，由于圆心落在平行线间任一点是等可能的且有无数种情况，故本题为几何概型．因为圆的半径为1 cm，所以圆心所在的线段长度仅能为1 cm，所以P＝
1
3
.
【答案】 B
7．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A.
π
4
B．1－
π
4
C.
π
8
D．1－
π
8
【解析】如图所示，点构成的区域为长方形ABCD，所求事件构成的区域为图中阴影部
分，∴P＝
2－
π×12
2
2
＝1－
π
4
.
【答案】 B
二、填空题
8.
右图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________．
【解析】
S
10
＝
138
300
，∴S＝4.6.
【答案】 4.6
9.
在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是________．
【解析】 设A
＝“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，取圆内接等边三角形BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一个点在劣弧
C D 上时，|BE |>|BC |，而劣弧C D 的弧长是圆的周长的13. ∴P ＝13
. 【答案】 13
10．从[1,10]中任取两个实数，两数之和大于10的概率是________．
【解析】 设两数为x ，y ，则(x ，y )满足的区域为{ 1≤x ≤10，1≤y ≤10，如图正方形ABCD ，∵x ＋y >10，
∴所求事件(x ，y )满足的区域为{ 1≤x ≤10，1≤y ≤10，x ＋y >10，
如图多边形BCDEF ，∴P ＝S BCDEF S ABCD ＝4981
.
【答案】
4981
三、解答题
11．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明的父亲离开家去工作的时间在早上7：00到8：00之间，问小明的父亲在离开家前能得到报纸的概率是多少？
【解析】 设事件A ＝“小明的父亲离开家前能得到报纸”，在平面直角坐标系内，以x 和y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x ≤y ，而(x ，y )的所有可能结果是边长为1的正方形ABCD ，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示．
则S 阴＝12－12×12×12＝78
，S 正方形ABCD ＝1， ∴P ＝S 阴S 正方形ABCD ＝7
81＝78
. 12．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1＜0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}．
(1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠?的概率；
(2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ≠?的概率；
【解析】 (1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共9组．
令函数f (x )＝ax ＋b .2x －1，x ∈[－1,0]，
则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x .
因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )＞0，
即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．
f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b
2
－1. 要使A ∩B ≠?，只需－a ＋b a
－1＜0，即2a －b ＋2＞0.
所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7组．
所以A ∩B ≠?的概率为79
. (2)
因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.
由(1)可知，要使A ∩B ＝?，
只需f (x )min ＝－a ＋b 2
－1≥0?2a －b ＋2≤0，所以满足A ∩B ＝?的(a ，b )对应的区域是图中的阴影部分，所以S 阴影＝12×1×12＝14
. 所以A ∩B ＝?的概率为P ＝1
44＝116
.
江苏省2020年高考数学的命题研究与预测 一、填空题 1、题组（一） 1．已知集合{} 240A x x x x =-∈,Z ≤，2{|log (1),}B y y x x A ==+∈，则A B =I ． 2．若(3)a i i b i +=+，其中a b ∈R ，，i 是虚数单位，则a b -= ． 3．双曲线C ：x 24－y 2 m ＝1(m ＞0)的离心率等于2，则该双曲线渐近线的斜率是________． 4．设等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若2580a a +=，则 5 3 S S 的值为_____． 5．已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，给出下列命题： ①α∥β?l ⊥m ； ②α⊥β?l ∥m ； ③l ∥m ?α⊥β； ④l ⊥m ?α∥β． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有你认为正确命题的序号） 2、题组（二） 1．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数 字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ． 2．已知a 、b 、c 为集合A ＝{1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示算 法框图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数a ＝5的概率是________． 3．已知f (x )＝sin x ，x ∈R，g (x )的图象与f (x )的图象关于点? ?? ??π4，0对称，则在区间 [0,2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的范围是 ． 4．已知函数x x x f 23 1)(3 += ，对任意的]33[， -∈t ，0)()2(<+-x f tx f 恒成立，则x 的取值范围是 ． 5．设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()2()f x x g x =+在[0,1]上的值域为[1,3]-， 甲 8 9 9 8 0 1 2 3 3 7 9 乙
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座21）—几何概型及随机模拟 一．课标要求： 1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义； 2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。 二．命题走向 本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。 预测07年高考： （1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，； （2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。 三．要点精讲 1．随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 2．随机数的产生方法 （1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数； （2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。 3．几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）=积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。 5．几种常见的几何概型 （1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度 （2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为： P=g 的面积/G 的面积 （3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为： P=v 的体积/V 的体积
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
3.3.2几何概型及均匀随机数的产生 一、教材分析 1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，其概率计算原理通俗、简单，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积. 2.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率. 二、教学目标 （1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； （4）了解均匀随机数的概念； （5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题． 三、教学重点难点 1、几何概型的概念、公式及应用； 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 四、学情分析 五、教学方法 1．自主探究，互动学习 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法； 2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．七、课时安排：1课时 七、教学过程 1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。 2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 3、例题分析：
2017年江苏省高考数学预测卷（2） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）． 1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为． 3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|=． 4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为． 5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为． 6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则=． 8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为．
9．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为． 10．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=?+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为． 12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是． 13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C 的离心率为． 14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=． （Ⅰ）求tanA及角B的值； （Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值． 16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD． （Ⅰ）求证：AF∥平面PEC； （Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题44 几何概型（学生版） 一．选择题（共13小题） 1．（2019?全国）在Rt ABC ?中，AB BC =，在BC 边上随机取点P ，则30BAP ∠
则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为() A．4n m B． 2n m C． 4m n D． 2m n 5．（2016?新课标Ⅰ）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是() A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 6．（2016?新课标Ⅱ）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为() A． 7 10 B． 5 8 C． 3 8 D． 3 10 7．（2015?福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数 1,0 ()1 1,0 2 x x f x x x + ? ? =? -+< ?? … 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于() A． 1 6 B． 1 4 C． 3 8 D． 1 2 8．（2015?陕西）设复数(1)( z x yi x =-+，) y R ∈，若||1 z?，则y x …的概率为() A． 31 42π +B． 11 2π +C． 11 2π -D． 11 42π - 9．（2015?山东）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“ 1 2 1 1log()1 2 x -+ 剟”发生的概率为() A． 3 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 1 4 10．（2014?陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为() A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5
几何概型 【考点梳理】 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝ 构成事件A 的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 【考点突破】 考点一、与长度(角度)有关的几何概型 【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ， CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．23 D ．45 (2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． [答案] (1) C (2) 1 3 [解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2 P ′在C ''B 上发生”． 又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π 6 . 故所求事件的概率P ＝ C D l l ''B 'B ＝π6·1π2 ·1＝13 . 【类题通法】 1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置． 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】 1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．1 3 B ．12 C ．23 D ．34 [答案] B [解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1 2 .故选 B. 2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与 AB 交于点M ，则AM 第三章 3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产生 A 级 基础巩固 一、选择题 1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( ) A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性 B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型． 答案：A 2．有下列四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 解析：A 中奖概率为38，B 中奖概率为14，C 中奖概率为13，D 中奖概率为1 3. 答案：A 3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( ) A ．0.008 B ．0.004 C ．0.002 D ．0.005 答案：D 4．在2016年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.9 10 解析：记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，则A 所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P (A )＝110 . 答案：A 5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为( ) A.π16 B.π8 C.π4 D. π2 解析：该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心、1为半径的14圆内．所以所求的概率为14 π12 ×2×2＝π8 . 答案：B 二、填空题 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A 1-ABC 内的概率是________． 解析：P ＝VA 1-ABC VABCD -A 1B 1C 1D 1＝1 6 . 答案：1 6 7．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为 9 10 ，那么该台每小时约有________分钟的广告． 解析：60×??? ?1－910＝6(分钟)． 答案：6 8．有一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m 的概率是________． 解析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点． 如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的1 3，于是事件A 发生的概率 P (A )＝13 . 答案：1 3 三、解答题 9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m 、宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率． 第十一单元 第六节随机数与几何概型 一、选择题 1．在区间[0,3]上任意取一点，则此点坐标不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79 【解析】 依题意，此点坐标不大于2的区间为[0,2]，区间长度为2，而区间[0,3]的长 度为3，所以此点坐标不大于2的概率是23 . 【答案】 C 2．(精选考题·宁波质检)在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正 方形，这个正方形的面积介于36 cm 2与49 cm 2之间的概率为( ) A.110 B.15 C.310 D.25 【解析】 点P 的区域长度为10 cm ，所求事件构成的区域长度为6 cm 到7 cm ，其长度 为1 cm ，∴P ＝110 . 【答案】 A 3. 如图是一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( ) A.2π B.1π C.12 D ．1－2π 【解析】 扇形面积S ＝14×π×22＝π，弓形面积S 1＝π－12×22＝π－2，∴P ＝π－2π ＝1－2π . 【答案】 D 4. 如图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在锐角∠xOT 内的概率是( ) A.13 B.14 C.15 D.16 【解析】 OA 等可能地落在平面内，构成区域为(0°，360°)，所求事件区域为(0°， 60°)，∴P ＝60360＝16 . 【答案】 D 5．在长方体ABCD－A1B1C1D1内任意取点，则该点落在四棱锥B1－ABCD内的概率是( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 【解析】不妨设长方体的长、宽、高分别为a ，b，c，则该点落在四棱锥B1－ABCD内的概率为 P＝ VB1－ABCD VABCD－A1B1C1D1 ＝ 1 3 abc abc ＝ 1 3 . 【答案】 B 6．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【解析】如右图所示，任取一组平行线进行研究，由于圆心落在平行线间任一点是等可能的且有无数种情况，故本题为几何概型．因为圆的半径为1 cm，所以圆心所在的线段长度仅能为1 cm，所以P＝ 1 3 . 【答案】 B 7．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( ) A. π 4 B．1－ π 4 C. π 8 D．1－ π 8 【解析】如图所示，点构成的区域为长方形ABCD，所求事件构成的区域为图中阴影部 分，∴P＝ 2－ π×12 2 2 ＝1－ π 4 . 【答案】 B 二、填空题 8. 右图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________． 【解析】 S 10 ＝ 138 300 ，∴S＝4.6. 【答案】 4.6 9. 江苏省高考数学预测卷（1） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）． 1．已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，3，4}，N={x|x2+2x＞3}，则M∩N= ．2．已知复数z满足i?z=3﹣4i（其中i为虚数单位），则|z|= ． 3．某校为了解800名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取50名同学进行检查，将学生从1～800进行编号，现已知第17组抽取的号码为263，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为． 4．函数f（x）=ln（x+1）+的定义域是． 5．袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两人总分和为X，则X=3的概率是． 6．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为． 7．将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为． 8．已知双曲线x2+ny2=1（n∈R）与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为． 9．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a2与a7的等比中项，S5=50，则S8等于． 10．若x，y满足不等式则的最大值是． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=0，则椭圆的离心率为． 12．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若2f（x）﹣f'（x）＜2，f（0）=2018，则不等式f（x）＞2017e2x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为．13．在平面内，，动点P，M满足，，则 的最大值是． 14．已知函数，关于x的方程f（x）=m（m∈R）有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4则x1x2x3x4的取值范围为． 专题二十 几何概型 1.长度类几何概型 例1：已知函数()2 2f x x x =--，[]5,5x ∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概 率是（ ） A ．1 10 B ．2 3 C ．3 10 D ．4 5 【答案】C 【解析】先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --≤?-≤≤， 从而在数轴上[]1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，∴ 3 10P = ，故选C ． 2．面积类几何概型 （1）图形类几何概型 例2-1：如图所示，在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，图中阴影部分是以AB 为直径的半圆，现在向矩形ABCD 内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ） A ．1000 B ．2000 C ．3000 D ．4000 【答案】C 【解析】在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，面积为22a ，半圆的面积为21 2a π， 故由几何概型可知，半圆所占比例为4π ，随机撒4000粒豆子， 落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C ． （2）线性规划类几何概型 例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ） A ．1 4 B ．1 3 C ．3 4 D ．7 16 【答案】D 【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ， 则所有基本事件构成的区域 满足024 024x y ≤≤≤≤??? ， 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A 满足 0240246x y x y ?≤≤? ≤≤??-≤? ，作出对应的平面区域如图所示： 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为()18187 1242416 S P A S Ω ?==- =?阴，故选D ． （3）利用积分求面积 例2-3：如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ） 3.3 几何概型 3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生 一、教学目标： 1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； （4）了解均匀随机数的概念； （5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题． 2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。 二、重点与难点： 1、几何概型的概念、公式及应用； 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学． 四、教学设想： 1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。 2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个 基本事件出现的可能性相等． 3、例题分析： 课本例题略 例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型， 还是几何概型。 2010年江苏省高考数学试题预测最后一讲 2 2010年江苏省高考数学试题预测 集合、函数 1.充要条件关键是分清条件和结论，注意从集合角度解释，若B A ?， 则A 是B 的充分条件；若B A ?，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。注意利用逆否命题的等价性判断。 2．单调性、奇偶性的定义都可以理解为恒成立问题。注意单调区间 不连续，不能写成在并集上单调。 已知函数23()log log 3f x a x b x =-+，若)2010 1(f ，则)2010(f 的值为 ． 3、倒到序相加法在函数中的运用： 已知122()x f x +=则 )2010()2009()2008()2007()2008()2009(f f f f f f +++-+-+-＝ 4．幂函数()f x x α=图象规律：①化为根式求定义域②第一象限五种 情况③通过奇偶性作其他象限图象。注意零指数幂的底数范围与对称性，()0f x x αα=>，抛物线型，1α>开口向上，01α<<开口向右，0α<双曲线型。 已知幂函数223()m m y x m Z --=∈的图像与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，则m = 5、利用导数研究函数的最值（极值、值域）、单调性；利用导数处 理不等式恒成立问题（利用单调性、极值、最值求参数取值范 围）；利用导数证明不等式；利用导数研究方程的根的个数（要 判断极值点与x 轴的位置关系以及单调性）；因此要特别注意 导数与不等式很成立问题、不等式有解问题、根的分布问题结 合，经常要构造函数研究其单调性，注意定义域。 ★注意熟练掌握指数函数、对数函数、分式函数、三角函数、复 合函数的导数 6、求函数的值域的方法：二次函数型常用配方法（注意讨论开口方 向、对称轴是否属于定义域）； 一次分式型：分离系数法（然后再函数的单调性法及不等式的性质） 、数形结合（转化为动点与定点连线的斜率去解决）； 二次分式型：分离系数法（注 意换元法）（再用函数的单调性如)0(＞k x y x k -=及不等式的性质，特别注意是否适合对勾函数)0(＞k x y x k +=）；无理式型常用代数换元 、三角换元法（注意新元的范围的确定）；三角函 全国高考数学复习微专题：几何概型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 几何概型 一、基础知识： 1、几何概型： 每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 2、对于一项试验，如果符合以下原则： （1）基本事件的个数为无限多个 （2）基本事件发生的概率相同 则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率 3、几何概型常见的类型，可分为三个层次： （1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。 （2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题） （3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解 二、典型例题： 例1：已知函数()[]22,5,5f x x x x =--∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（ ） A. 110 B. 23 C. 310 D. 45 思路：先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x -- 3.3几何概型 331 —3.3.2几何概型及均匀随机数的产生 一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念; （2）掌握几何概型的概率公式： 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成__的区域长度（面积或体__积） （3 ）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； （4）了解均匀随机数的概念； （5 ）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数 学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。 二、重点与难点： 1、几何概型的概念、公式及应用； 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中. 三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法， 掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学. 四、教学设想： 1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果 的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8 00至9: 00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中 的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。 2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2 ）几何概型的概率公式： 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等. 3、例题分析： 课本例题略 例1判下列试验中事件A发生的概度是古典概型， 2018年江苏高考预测试题(三) (限时：120分钟) 参考公式 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n n i ＝1 (x i －x )2，其中x ＝1 n n i ＝1x i . 棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积V ＝1 3Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高． 数学Ⅰ试题 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中模 线上) 1．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(?R A )∩B ＝________. {－2，－1} [因为集合A ＝{x |x ＞－1}，所以?R A ＝{x |x ≤－1}， 则(?R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1} ＝{－2，－1}．] 2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模等于________． 5 [因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以x ＋y i ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i ) i (－i )＝4－3i ，故|x ＋ y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.] 3．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示： 若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 30 [由题意8 40＝n 40＋10＋40＋60 ， 解得n ＝30.] 4．如图1所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________． 图1 1－2 π [设OA ＝OB ＝2，如图，由题意得S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ， 所以S 空白＝S △OAB ＝1 2×2×2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝1 4×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2. 所以P ＝ S 阴影 S 扇形OAB ＝π－2π＝1－2π.] 5．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ? ???? x ＋π3(x ∈[0,2π))的图象和直线y ＝12的交点 的个数是________. 【导学号：56394125】 2 [令y ＝sin ? ????x ＋π3＝1 2，解得x ＋π3＝π6＋2k π，或x ＋π3＝5π6＋2k π，k ∈Z ； 即x ＝－π6＋2k π，或x ＝π 2＋2k π，k ∈Z ； ∴同一直角坐标系中，函数y 的图象和直线y ＝1 2 在x ∈[0,2π)内的交点为? ????π2，12和? ???? 11π6，12，共2个．] 6．如下是一个算法的伪代码，则输出的结果是________． 第6讲几何概型 一、选择题 1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为() A.4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 解析在区间[－2，3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的 概率为P＝3 5. 答案 B 2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆 中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1 3，则阴影部分的 面积是() A.π 3 B.π C.2π D.3π 解析设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率， 得S S′＝ 1 3，则S＝3π. 答案 D 3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log1 2? ? ? ? ?x＋ 1 2 ≤1”发生的概率为() A.3 4 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 4 解析由－1≤log1 2? ? ? ? ? x＋ 1 2≤1， 得1 2≤x＋ 1 2≤2， 解得0≤x≤3 2，所以事件“－1≤log1 2 ? ? ? ? ? x＋ 1 2≤1”发生的 概率为3 2 2＝ 3 4，故选A. 答案 A 4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π2 B.π4 C.π6 D.π8 解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积 ＝ 12π×121×2＝π 4. 答案 B 5.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B.1－π12 C.π6 D.1－π6 解析 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A . 则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部. ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝2 3π.∴P (A )＝23－23π2 3 ＝1－π12. 答案 B 6.已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4 时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角 概率论例题 例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数。试求（1）（X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。 解：X 可能的取值是0，1，2，…..，k ，…，n ，... P{X =k }= ! k e k λ λ- Y 可能的取值是0，1，2，…，r ，…，k P{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}= ! k e k λ λ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k 当r>k 时，P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布 P{Y = r }=∑+∞ ===0 },{k r y k x P =∑+∞ ====0 }/{}{k k x r y P k x P =∑ +∞ =--r k r k r r k k q p C e k λλ! =∑+∞ =--+--r k r k r q r r k k k k p e )(!) 1()1(! 1) (λλλ =∑+∞=---r k r k r rq r k r p e )()! (1!1)(λλ =rq r e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律 ∑+∞ ==0 }{r r y P = 1 ？ 例2. 解 因为η只取非负值，所以当0y ≤时， 2()() () F y P y P y ηηξ=<=< = 当 0y >时 2()()()) F y P y P y y y ηηξξ=<=<=< 2 2 2 2 12()t t t dt dt dt ξ--=== 2 20 u u y y e - -= =? ? 所以 20 ,0()0,0u y y F y y η-?>?=??≤?? 1 y --?人教版高中数学必修三 习题：第三章3.3几何概型
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