金融资产（交易性、可供出售、持有至到期、贷款及应收款项）
一、单项选择题
1.下列项目中，不影响企业所有者权益项目金额的是（）。
A.购买交易性金融资产支付的相关交易费用
B.购买持有至到期投资支付的佣金
C.可供出售金融资产公允价值上升
D.贷款和应收款项计提的资产减值准备
2.下列关于交易性金融资产的说法中，不正确的是（）。
A.在活跃市场上有报价、公允价值能够可靠计量的投资才能划分为交易性金融资产
B.在持有交易性金融资产期间取得的利息或现金股利，应当确认为投资收益
C.交易性金融资产的公允价值变动计入公允价值变动损益
D.处置交易性金融资产时影响损益的金额等于影响投资收益的金额
3.2013年2月2日，甲公司支付500万元取得一项股权投资作为交易性金融资产核算，支付价款中包括已宣告尚未发放的现金股利20万元，另支付交易费用5万元。甲公司该项交易性金融资产的入账价值为（）万元。
A.480
B.500
C.485
D.505
4.2013年12月20日，大海公司从二级市场购入于2013年1月1日发行的面值为100万元，票面利率为5%的乙公司债券，支付价款108万元（含相关交易费用0.2万元），大海公司将购入的乙公司债券作为交易性金融资产核算。2013年12月31日，乙公司债券的市场价格为150万元。2014年4月4日，大海公司将所持有乙公司债券以160万元的价格全部出售，并支付相关交易费用0.3万元。乙公司于每年3月15日发放上年度债券利息。不考虑其他因素，则大海公司处置乙公司债券时应确认的投资收益金额是（）万元。
A.56.9
B.51.9
C.60
D.51.7
5.2013年5月20日，甲公司以银行存款300万元（其中包含乙公司已宣告但尚未发放的现金股利5万元）从二级市场购入乙公司100万股普通股股票，另支付相关交易费用2万元，甲公司将其划分为交易性金融资产。2013年12月31日，该股票投资的公允价值为320万元。假定不考虑其他因素，该股票投资对甲公司2013年营业利润的影响金额为（）万元。
A.23
B.25
C.18
D.20
6.2012年1月1日，甲公司从证券市场上购入乙公司分期付息、到期还本的债券10万张，以银行存款支付价款1058.91万元，另支付相关交易费用10万元。该债券系乙公司于2011年1月1日发行，每张债券面值为100元，期限为3年，票面年利率为5%，购入债券的实际年利率为4%，每年1月5日支付上年度利息。甲公司拟持有该债券至到期。则2012年1月1日，甲公司购入该债券的初始入账金额为（）万元。
A.1010
B.1068.91
C.1018.91
D.1160
7.甲公司2013年1月1日购入乙公司于当日发行且可上市交易的债券100万张，支付价款10200万元，另支付手续费32.7万元。该债券期限为5年，每张面值为100元，票面年利率为6%，于每年12月31日支付当年度利息。甲公司管理层拟持有至到期，将其划分为持有至到期投资核算。已知（P/A,5%,5）=4.3295,（P/A,7%,5）=4.1002,（P/F,5%,5）=0.7835,（P/F,7%,5）=0.7130则甲公司该项持有至到期投资对应的实际利率为（）。
A.7%
B.5.46%
C.5%
D.5.64%
8.2012年1月1日，甲公司从二级市场购入丙公司面值为300万元的债券，支付的总价款为290万元（其中包括已到付息期但尚未领取的利息5万元），另支付相关交易费用1万元，甲公司将其划分为可供出售金融资产。该资产入账对应的“可供出售金融资产——利息调整”科目的金额为（）万元。
A.9（借方）
B.9（贷方）
C.14（借方）
D.14（贷方）
9.甲公司2010年1月1日支付价款2000万元(含交易费用)从活跃市场上购入某公司5年期债券，面值为2500万元，票面年利率为4%，按年支付利息(即每年利息为100万元)，本金最后一次支付，甲公司将其划分为持有至到期投资核算。合同约定，该债券的发行方在遇到特定情况时可以将债券赎回，且不需要为提前赎回支付额外款项。假设在2012年1月1日，甲公司因无法控制的原因预计本金的50%(即1250万元)将会在该年年末收回，而其余50%本金将于2014年年末付清，甲公司仍维持原投资意图。则以下不正确的会计处理是（）。
A.债券发行方2012年赎回50%后，甲公司应将剩余部分重分类为可供出售金融资产
B.债券发行方2012年赎回50%后，甲公司应将剩余部分继续作为持有至到期投资
C.甲公司预计本金的50%会在2012年年末赎回时，应调整2012年期初摊余成本
D.调整后2012年期初摊余成本与原摊余成本之间的差额计入当期损益
10.下列各项中，不应计入相关金融资产或金融负债初始入账价值的是（）。
A.发行长期债券发生的交易费用
B.取得交易性金融负债发生的交易费用
C.取得贷款发生的交易费用
D.取得可供出售金融资产发生的交易费用
11.信达公司于2012年1月1日从证券市场上购入B公司于2011年1月1日发行的债券，作为可供出售金融资产核算，该债券期限为3年，票面年利率为5%，每年1月5日支付上年度的利息，到期一次归还本金和最后一期利息。购入债券时的实际年利率为4%。信达公司购入债券的面值为2000万元，实际支付价款为2127.81万元，另支付相关交易费用10万元。假定按年计提利息。不考虑其他因素，则信达公司该项可供出售金融资产的初始入账价值为（）万元。
A.2127.81
B.2137.81
C.2037.81
D.2027.81
12.A公司于2013年1月1日从证券市场上购入B公司于2012年1月1日发行的分期付息到期还本债券，A公司将其划分为可供出售金融资产核算，该债券面值为3000万元,期限为5年,票面年利率为5%,每年年末支付本年度的利息，到期日为2016年12月31日。，实际支付价款为3080.89万元，另支付相关交易费用28万元。购入债券时的实际年利率为4%。假定按年计提利息。2013年12月31日，该债券的公允价值为3090万元（不含应收利息）。不考虑其他因素，则2013年12月31日，该项可供出售金融资产应确认资本公积的金额为（）万元。
A.9.53
B.64.99
C.35.87
D.6.75
13.2013年1月1日，甲公司按面值购入乙公司当日发行的的5年期不可赎回债券，将其划分为持有至到期投资。该债券面值为1000万元，票面年利率为10%，分期付息、到期一次还本。2013年12月31日，该债券的公允价值上涨至1180万元。假定不考虑其他因素，2013年12月31日甲公司该债券投资的账面价值为（）万元。
A.1000
B.1100
C.1180
D.1280
14.2013年1月1日甲公司从二级市场上购入A公司于当日发行的分期付息、到期还本的债券作为可供出售金融资产进行核算，该债券期限为3年，票面年利率为5%，每年1月5日支付上年度的利息，到期日为2015年12月31日。购入债券时的实际年利率为4%。甲公司购入债券的面值为1000万元，实际支付价款1021.26万元，另支付相关交易费用6.5万元。假定按年计提利息。2013年12月31日，该债券的公允价值为1080万元。不考虑其他因素的影响，则甲公司2013年12月31日应确认的资本公积的金额为（）万元。
A.0
B.61.13
C.52.24
D.20
15.信达公司将应收账款出售给某银行。该应收账款的账面余额为600万元，已计提坏账准备60万元，售价为420万元，双方协议规定不附追索权。信达公司根据以往经验，预计与该应收账款有关的商品将发生部分销售退回，金额为46.8万元（货款40万元，增值税销项税额为6.8万元），实际发生的销售退回由信达公司负担。信达公司将此应收账款出售给银行时应确认的营业外支出金额为（）万元。
A.52
B.31.2
C.73.2
D.-79
二、多项选择题
1.对于以摊余成本计量的金融资产，下列各项中影响摊余成本的有（）。
A.取得时所付价款中包含的应收未收利息
B.已偿还的本金
C.初始确认金额与到期日金额之间的差额按实际利率法摊销形成的累计摊销额
D.已发生的减值损失
2.下列关于金融资产重分类的说法中，正确的有（）。
A.交易性金融资产不能重分类为其他任何类别的金融资产
B.可供出售金融资产不能重分类为持有至到期投资
C.以公允价值计量且其变动计入当期损益的金融资产可以重分类为可供出售金融资产
D.持有至到期投资满足一定条件时可以重分类为可供出售金融资产
3.下列各项中，属于取得金融资产时发生的交易费用的有（）。
A.融资费用
B.支付给券商的手续费
C.债券的折价
D.支付给咨询公司的佣金
4.关于金融资产的计量，下列说法中正确的有（）。
A.可供出售金融资产应当按取得该金融资产的公允价值和相关交易费用之和作为初始确认金额
B.交易性金融资产持有期间公允价值变动计入投资收益
C.持有至到期投资在持有期间应当按照摊余成本和实际利率计算确认利息收入，计入投资收益
D.可供出售金融资产持有期间公允价值变动计入公允价值变动损益
5.下列有关贷款和应收款项的表述中，正确的有（）。
A.企业应按发放贷款的本金和相关交易费用之和作为初始确认金额
B.一般企业对外销售商品或提供劳务形成的应收债权，通常应按从购货方应收的合同或协议价款作为初始确认金额
C.贷款采用实际利率法，按照摊余成本进行后续计量
D.贷款和应收账款在活跃市场中没有报价，公允价值不能可靠计量
6.下列有关可供出售金融资产的说法中，不正确的有（）。
A.可供出售金融资产在资产负债表日按公允价值计量，不确认资产减值损失
B.可供出售债务工具投资发生的减值损失，不得通过损益转回
C.可供出售金融资产发生减值时，原直接计入所有者权益中的因公允价值下降形成的累计损失应转出
D.可供出售金融资产处置时，结转的资本公积影响当期损益
7.下列事项中，不应终止确认的金融资产有（）。
A.企业以不附追索权方式出售金融资产
B.企业采用附追索权方式出售金融资产
C.贷款整体转移并对该贷款可能发生的信用损失进行全额补偿等
D.企业将金融资产出售，同时与买入方签订协议，在约定期限结束时按当日该金融资产的公允价值回购
8.2010年1月1日，A银行发放给B企业5年期贷款2500万元，实际支付款项为2407.73万元，合同年利率为10%，A银行于每年年末收取当年利息。A银行初始确认的实际年利率为11%。2011年12月31日，有客观证据表明B企业发生严重财务困难，A银行据此认定对B企业的贷款发生减值，并预计2012年和2013年每年12月31日将收到利息250万元，2014年12月31日贷款到期时仅收到本金1500万元。则下列关于A银行该项贷款的说法中，正确的有（）。
A.2010年1月1日该贷款的初始入账价值为2407.73万元
B.2010年度A银行应确认的利息收入为250万元
C.2010年12月31日该贷款的摊余成本为2422.58万元
D.2011年12月31日，A银行应计提的贷款损失准备金额为914.14万元
9.企业发生的下列事项中，影响“公允价值变动损益”科目金额的有（）。
A.交易性金融资产持有期间公允价值变动
B.可供出售金融资产持有期间公允价值变动
C.公允价值模式计量的投资性房地产持有期间的公允价值变动
D.持有至到期投资持有期间的公允价值变动
10.下列交易事项中，应记入“资本公积——其他资本公积”科目核算的有（）。
A.资产负债表日，可供出售金融资产公允价值上升
B.确认的可供出售金融资产减值损失
C.资产负债表日，交易性金融资产公允价值上升
D.持有至到期投资重分类为可供出售金融资产时公允价值与原账面价值的差额
三、综合题
1.甲公司为提高闲置资金的使用效率，2013年度进行了以下投资：
（1）1月1日，购入乙公司于当日发行且可上市交易的债券50万张，支付价款4795.06万元。该债券期限为5年，每张面值为100元，实际年利率为7%，票面年利率为6%，于每年12月31日支付当年度利息。甲公司有充裕的现金，管理层拟持有该债券至到期。
12月31日，甲公司收到2013年度利息300万元。根据乙公司公开披露的信息，甲公司估计所持有乙公司债券的本金能够收回，未来年度每年能够自乙公司取得利息收入200万元。
（2）4月10日，购买丙公司首次公开发行的股票100万股，共支付价款300万元。甲公司取得丙公司股票后，对丙公司不具有控制、共同控制或重大影响。丙公司股票的限售期为1年，甲公司取得丙公司股票时没有将其直接指定为以公允价值计量且其变动计入当期损益的金融资产，也没有随时出售丙公司股票的计划。
12月31日，丙公司股票公允价值为每股5元。
（3）5月15日，从二级市场购买丁公司股票200万股，共支付价款920万元。取得丁公司股票时，丁公司已宣告尚未发放现金股利，每10股派发现金股利0.6元。
甲公司取得丁公司股票后，对丁公司不具有控制、共同控制或重大影响。甲公司管理层拟随时出售丁公司股票。
12月31日，丁公司股票公允价值为每股4.2元。
已知，（P/A，7%，4）=3.3872，（P/S，7%，4）=0.7629。
本题中不考虑所得税及其他因素。
要求：
（1）判断甲公司取得乙公司债券时应划分的金融资产类别，说明理由，并编制甲公司取得乙公司债券时的会计分录。
（2）计算甲公司2013年度因持有乙公司债券应确认的投资收益金额，并编制相关会计分录。
（3）判断甲公司持有的乙公司债券2013年12月31日是否应当计提减值准备，并说明理由。如应计提减值准备，计算减值准备金额并编制相关会计分录。
（4）判断甲公司取得丙公司股票时应划分的金融资产类别，说明理由，并编制甲公司2013年12月31日确认所持有丙公司股票公允价值变动的会计分录。
（5）判断甲公司取得丁公司股票时应划分的金融资产类别，说明理由，并计算甲公司2013年度因持有丁公司股票应确认的损益。
（答案中的金额单位用万元表示，计算结果保留两位小数）
2.星宇公司的财务经理李某在复核2013年度财务报表时，对以下交易或事项会计处理的正确性提出质疑：
（1）1月10日，从市场购入150万股甲公司发行在外的普通股，准备随时出售，以赚取差价，每股成本为5元。另支付交易费用10万元，对甲公司不具有控制、共同控制或重大影响。12月31日，甲公司股票的市场价格为每股6.8元。相关会计处理如下：
借：可供出售金融资产——成本 760
贷：银行存款 760
借：可供出售金融资产——公允价值变动 260
贷：资本公积——其他资本公积 260
（2）3月20日，按面值购入乙公司发行的分期付息、到期还本债券10万张，支付价款1000万元。该债券每张面值100元，期限为3年，票面年利率为6%，利息于每年年末支付。星宇公司将购入的乙公司债券分类为持有至到期投资，10月25日将所持有乙公司债券的50%予以出售，收到银行存款850万元，并将剩余债券重分类为可供出售金融资产，重分类日剩余债券的公允价值为850万元。除乙公司债券投资外，星宇公司未持有其他公司的债券。相关会计处理如下：
借：可供出售金融资产 850
银行存款 850
贷：持有至到期投资 1000
投资收益 700
（3）5月1日，购入丙公司发行的认股权证100万份，成本300万元，每份认股权证可于两年后按每股5元的价格认购丙公司增发的1股普通股。12月31日，该认股权证的市场价格为每份2.5元。相关会计处理如下：
借：可供出售金融资产——成本 300
贷：银行存款 300
借：资本公积——其他资本公积50
贷：可供出售金融资产——公允价值变动50
（4）6月15日，从二级市场购买丁公司发行在外普通股50万股，占丁公司5%的表决权，成本为360万元（公允价值），投资时丁公司可辨认净资产公允价值为8000万元（各项可辨认资产、负债的公允价值与账面价值相同）。对丁公司不具有控制、共同控制或重大影响，不准备近期出售。相关会计处理如下：
借：长期股权投资——成本 400
贷：银行存款 360
营业外收入40
本题不考虑所得税及其他因素。
要求：根据以上资料，判断星宇公司上述业务的会计处理是否正确，同时说明判断依据；如果星宇公司的会计处理不正确，编制更正的会计分录。（有关会计差错更正按当期差错处理）
参考答案与解析
一、单项选择题
1.【答案】B
【解析】选项A，购买交易性金融资产支付的相关交易费用，影响投资收益金额；选项B,购买持有至到期投资时支付的佣金，应计入资产的初始投资成本；选项C，可供出售金融资产公允价值上升，应计入资本公积——其他资本公积；选项D，贷款和应收款项计提的资产减值准备，应计入资产减值损失，影响当期损益金额。选项C直接影响所有者权益项目；选项A和D通过损益最终影响所有者权益项目中的留存收益。
2.【答案】D
【解析】选项D，交易性金融资产持有期间存在公允价值变动，那么处置交易性金融资产时影响损益的金额就不等于处置时影响投资收益的金额，因为公允价值变动损益的结转影响投资收益金额，但不影响损益金额。
3.【答案】A
【解析】交易性金融资产的入账价值=500-20=480（万元）。
4.【答案】A
【解析】大海公司处置乙公司债券时应确认的投资收益金额=（160-0.3）-（108-0.2-5）=159.7-102.8=56.9（万元）。
5.【答案】A
【解析】甲公司该项交易性金融资产在2013年的会计处理如下：
购入时
借：交易性金融资产——成本 295
投资收益 2
应收股利 5
贷：银行存款 302
期末公允价值变动时：
借：交易性金融资产——公允价值变动25
贷：公允价值变动损益25
因此，该项交易性金融资产对甲公司2013年营业利润的影响金额为23万元（25-2），选项A正确。
6.【答案】C
【解析】该债券系乙公司于2011年1月1日发行且每年1月5日支付上年度利息的债券投资，故甲公司2012年1月1日支付的价款中包含已到付息期但尚未发放的利息50万元（10×100×5%）。则2012年1月1日甲公司购入该债券的初始入账金额=1058.91-50+10= 1018.91（万元）。
提示：持有至到期投资的初始入账价值按公允价值和交易费用之和计量，实际支付款项中包含的已到付息期但尚未领取的利息，应当确认为应收项目。
7.【答案】B
【解析】利率为5%时，未来现金流量现值=100×100×6%×4.3295+100×100×0.7835=10432.7（万元），利率为6%时，未来现金流量现值为10000万元。计算实际利率时，采用插值法，即（5%-r）/（5%-6%）=（10432.7-10232.7）/（10432.7-10000），r=5.46%。
8.【答案】D
【解析】会计分录如下：
借：可供出售金融资产——成本 300
应收利息 5
贷：银行存款 291
可供出售金融资产——利息调整14
从上述分录可知，“可供出售金融资产——利息调整”科目应为贷方14万元，选项D正确。
9.【答案】A
【解析】甲公司预计提前收回该债券部分金额是因为无法控制的原因，因此，甲公司未改变投资意图，不需对该投
资进行重分类，选项A错误。
10.【答案】B
【解析】发行长期债券发生的交易费用计入长期债券的初始入账价值；取得交易性金融负债发生的交易费用计入投资收益；取得贷款发生的交易费用计入其初始入账价值；取得可供出售金融资产发生的交易费用计入其初始入账价值。
11.【答案】C
【解析】2012年1月1日，信达公司该项可供出售金融资产的入账价值=2127.81-2000×5%+10=2037.81（万元）。
12.【答案】D
【解析】2013年1月1日，可供出售金融资产的入账价值=3080.89+28=3108.89（万元）；2013年12月31日该项可供出售金融资产的摊余成本=期初摊余成本×（1+实际利率）-应收回的利息=3108.89×（1+4%）-3000×5%=3083.25（万元）；2013年年末该项可供出售金融资产的公允价值为3090万元，故应确认资本公积的金额=3090-3083.25=6.75（万元）。
13.【答案】A
【解析】持有至到期投资期末应按摊余成本计量，而不是按公允价值计量，由于按照面值购入，所以实际利率和票面利率相等，2013年12月31日甲公司该债券投资的账面价值为1000（万元）。
14.【答案】B
【解析】2013年1月1日，甲公司该项债券投资的初始入账价值=1021.26+6.5=1027.76（万元），2013年12月31日，甲公司该项债券投资的摊余成本=1027.76×（1+4%）-1000×5%=1018.87（万元），其公允价值为1080万元，故应确认的资本公积金额=1080-1018.87=61.13（万元）。
15.【答案】C
【解析】信达公司出售该项应收账款时应确认的营业外支出=600-420-60-46.8=73.2（万元）。
会计处理为：
借：银行存款 420
坏账准备60
其他应收款46.8
营业外支出73.2
贷：应收账款 600
二、多项选择题
1.【答案】BCD
【解析】金融资产的摊余成本，是指该金融资产的初始确认金额经下列调整后的结果：
（1）扣除已偿还的本金；
（2）加上或减去采用实际利率法将该初始确认金额与到期日金额之间的差额进行摊销形成的累计摊销额；
（3）扣除已发生的减值损失。
2.【答案】AD
【解析】企业在初始确认时将某项金融资产划分为以公允价值计量且其变动计入当期损益的金融资产后，不能再重分类为其他类别的金融资产，其他类别的金融资产也不能再重分类为以公允价值计量且其变动计入当期损益的金融资产，选项A正确，选项C不正确；持有至到期投资和可供出售金融资产在满足一定条件时可以进行重分类，选项D正确，选项B不正确。
3.【答案】BD
【解析】交易费用，是指可直接归属于购买、发行或处置金融工具新增的外部费用。新增的外部费用，是指企业不购买、发行或处置金融工具就不会发生的费用，包括支付给代理机构、咨询公司、券商等的手续费和佣金及其他必要支出，不包括债券溢价、折价、融资费用、内部管理成本及其他与交易不直接相关的费用。
4.【答案】AC
【解析】选项B，交易性金融资产持有期间公允价值变动计入公允价值变动损益；选项D，可供出售金融资产持有期间公允价值变动计入资本公积。
5.【答案】ABCD
6.【答案】AB
【解析】选项A，可供出售金融资产发生减值时，应确认资产减值损失；选项B，可供出售金融资产减值损失转回时，如果该项金融资产为债务工具的应通过损益转回，为权益工具的应通过权益转回。
7.【答案】BC
【解析】下列情况表明企业保留了金融资产所有权上几乎所有风险和报酬，不应当终止确认相关金融资产：（1）企业采用附追索权方式出售金融资产；（2）企业将金融资产出售，同时与买入方签订协议，在约定期限结束时按固定价格将该金融资产回购；（3）企业将金融资产出售，同时与买入方签订看跌期权合约（即买入方有权将金融资产反售给企业），但从合约条款判断，该看跌期权是一项重大价内期权；（4）企业（银行）将信贷资产整体转移，同时保证对金融资产买方可能发生的信用损失进行全额补偿。
8.【答案】ACD
【解析】2010年1月1日该贷款的初始入账价值为2407.73万元，选项A正确；2010年度A银行应确认的利息收入=2407.73×11%=264.85（万元），选项B不正确；2010年12月31日该贷款的摊余成本=2407.73×（1+11%）-2500×10%=2422.58（万元），选项C正确；2011年12月31日计提减值准备前该贷款的摊余成本=2422.58×（1+11%）-2500×10%=2439.06（万元），2011年12月31日预计未来现金流量的现值=250/（1+11%）+250/（1+11%）2+1500/（1+11%）3=1524.92（万元），小于其账面价值即摊余成本，故应计提的贷款损失准备金额=2439.06-1524.92=914.14（万元），选项D正确。
9.【答案】AC
【解析】选项B，可供出售金融资产持有期间公允价值变动记入“资本公积——其他资本公积”科目核算；选项D，持有至到期投资持有期间的公允价值变动不做处理。
10.【答案】AD
【解析】可供出售金融资产确认的减值损失，应记入“资产减值损失”科目核算，选项B不正确；资产负债表日交易性金融资产的公允价值变动记入“公允价值变动损益”科目核算，选项C不正确。
三、综合题
1.【答案】
（1）甲公司应将取得的乙公司债券划分为持有至到期投资。
理由：甲公司有充裕的现金，且管理层拟持有该债券至到期。
甲公司取得乙公司债券时的会计分录：
借：持有至到期投资——成本5000
贷：银行存款4795.06
持有至到期投资——利息调整204.94（5000-4795.06）
（2）2013年应确认投资收益=4795.06×7%=335.65（万元）。
借：应收利息300（5000×6%）
持有至到期投资——利息调整 35.65
贷：投资收益335.65
借：银行存款 300
贷：应收利息 300
（3）2013年12月31日摊余成本=4795.06+35.65=4830.71（万元）；2013年12月31日未来现金流量现值=200×（P/A，7%，4）+5000×（P/S，7%，4）=200×3.3872+5000×0.7629=4491.94（万元）；
未来现金流量现值小于2013年12月31日摊余成本，所以应计提减值准备；应计提减值准备=4830.71-4491.94=338.77（万元）。
借：资产减值损失338.77
贷：持有至到期投资减值准备338.77
注：持有至到期投资确认减值时，按照原实际利率折现确定未来现金流量现值。
（4）甲公司应将购入丙公司股票划分为可供出售金融资产。
理由：持有丙公司限售股权对丙公司不具有控制、共同控制或重大影响，且甲公司取得丙公司股票时没有将其指定为以公允价值计量且其变动计入当期损益的金融资产，也没有随时出售丙公司股票的计划，所以应将该限售股权划
分为可供出售金融资产。
2013年12月31日确认所持有丙公司股票公允价值变动的会计分录：
借：可供出售金融资产——公允价值变动 200
贷：资本公积——其他资本公积 200（100×5-300）
（5）甲公司购入丁公司的股票应划分为交易性金融资产。
理由：有公允价值，对丁公司不具有控制、共同控制或重大影响且甲公司管理层拟随时出售丁公司股票，所以应划分为交易性金融资产。
2013年因持有丁公司股票应确认的损益=200×4.2-（920-200÷10×0.6）=-68（万元）。
2.【答案】
（1）星宇公司将持有的甲公司股票，划分为可供出售金融资产核算的处理不正确。因为购入时准备随时出售，赚取差价，应该划分为交易性金融资产核算。更正分录如下：
借：交易性金融资产——成本 750
投资收益10
贷：可供出售金融资产——成本 760
借：资本公积——其他资本公积 260
交易性金融资产——公允价值变动 270
贷：公允价值变动损益 270
可供出售金融资产——公允价值变动 260
（2）星宇公司将剩余乙公司债券重分类为可供出售金融资产的会计处理不正确。重分类日，按照该债券投资的公允价值作为可供出售金融资产的入账价值，与其账面价值的差额计入所有者权益。更正分录如下：
借：投资收益 350
贷：资本公积——其他资本公积 350
（3）星宇公司将持有的丙公司认股权证划分为可供出售金融资产的处理不正确。因为认股
权证属于衍生工具，所以不能划分为可供出售金融资产，应划分为交易性金融资产核算。更正分录如下：
借：交易性金融资产——成本 300
贷：可供出售金融资产——成本 300
借：公允价值变动损益50
贷：资本公积——其他资本公积50
借：可供出售金融资产——公允价值变动50
贷：交易性金融资产——公允价值变动50
（4）星宇公司持有丁公司的股票划分为长期股权投资的处理是不正确的。对被投资方不具有控制、共同控制或重大影响，且公允价值能够可靠计量的股权投资，应划分为金融资产，由于不准备近期出售，所以应该划分为可供出售金融资产核算。
更正分录如下：
借：可供出售金融资产——成本 360
营业外收入40
贷：长期股权投资——成本 400
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从 的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。 图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。 图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地， 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） 图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===
2 初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 a b c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项， d b 、 c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a c b d ②合比性质： a c b d ad bc a b c d b d ③等比性质： a c ? b d m (b d ? n n ≠ 0) a c ? m a b d ? n b 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥ l 3 。 AB 则 BC DE ， AB EF AC DE ， BC DF AC EF ，? DF
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F， EO延长线交AB于G．求证：．
5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：．
11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
相似三角形例题解析 编辑：启慧 为了帮助同学们复习，天之骄学习研究部的老师参考多种学习资料精心选编了这套相似三角形总结专题，供同学们查漏补缺。若有疑问，请速与我们联系。 相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。 一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽△EGC ∽△EAB 。 分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已 明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以 △AGD ∽△EGC 。再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。 评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计 A B C D E F G 12 3 4A D
算也是一种常用的方法。 证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD平分∠ABC，则∠DBC=36° 在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD 例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC 分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。 证明：在△CBE和△ABD中， ∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD ∴△CBE∽△ABD
新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
相似三角形 一．选择题 1．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（） A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB 2．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（） A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD 3．如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（） A．2处 B．3处 C．4处 D．5处 5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一定有（） A．△ADE∽△ECF B．△BCF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF 6．在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）
A． B． C． D． 7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（） A．18 B．C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正确的是（） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ ：S 11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S △DEF =4：25，则DE：EC=（） △ABF
相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一：相似三角形的判定与性质： 例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？ （3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由 例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B： 1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，3 3 AD,AE=3，求AF的长。 A B C D F
考点二：射影定理： 例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。 例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF= 1 4 AD，EG⊥CF于点G， （1）求证：△AEF∽△BCE；（2）试说明：EG2=CG·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE． （１）求证：四边形AFCE是菱形； （２）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． A B C D E F G
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题 相似三角形（附答案） 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证： △ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．
5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=bc 。如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a =。 ②合比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a ±=±。 ③等比性质：如果d c b a ==???=n m (b+d+???+n ≠0)，那么 b a n d b m c a =+???+++???++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从 的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|＝4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求 抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|＝|QP|, 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5、如图5,已知三点A(－7,0),B(7,0),C(2,－12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题 例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形． 例2 已知：如图， ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2cm 6=?AEF S ，求CDF S ?． 例3 如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?． 例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ （1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似． 例5 如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法． 例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．
例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）． 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由． 例9 根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由： （1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ． （3）?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ． 例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据． 例11 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 ．
知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或n m b a = ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a = （或 a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比 例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） （2）比例性质
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC 例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三 角形？请证明你的结论。 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ?AC=BC ?FE 例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900 ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ， 交BA 的延 长线于点D 。 求证：（1）MA 2 =MD ?ME ；（2）MD ME AD AE = 22 例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且 3 1 ==AD AF AB EB 。求证：∠AEF=∠FBD 例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC 例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD 例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG 例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF A B C D E F G A B C D E M 12 A B C D E F G 1 234 A B C D A B C D E F K A B C D E F A B C D S P R Q O A B C D E F A B C D E F O 123 A B C D F G E