《有理数的乘方》典型例题
例1 计算：
（1）4
)3(-；（2）3
)8(-；（3）4
)3
1
(-
分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值． 解 （1）.81)3()3()3()3()3(4
=-?-?-?-=- （2）.512)8()8()8()8(3
-=-?-?-=- （3）.81
1)31()31()31()31()3
1(4
=
-?-?-?-=- 说明：（1）4)3(-不能写成4
3-或（－3）×4，同理3
)8(-和4
)3
1(-也不能如此书写；（2）观察该题可以发现负数的乘方，当指数是偶数时其乘方的值为正，当指数为奇数时其乘方的值为负．由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号，再计算正数的乘方． 例2 计算：
（1）3
)7(--；（2）4
5.0-
分析 （1）中只要求出3
)7(-，就可求出3
)7(--； （2）中需注意的是4
4
)5.0(5.0-≠-．
解 （1）3437)7()7(3
3
3
==--=-- （2）0625.05.04
=-
例3 计算1210
4)25.0(?-的值．
分析 直接求10
)
25.0(-和12
4
比较麻烦，但细观察可以发现
个
个1212
1010104444 25.025.025.0)25.0(???=??==-．
这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了．
解 12
10
4)25.0(?-
1210425.0?=
个
个1210444 25.025.025.0???????=
)44( )425.0()425.0()425.0(10????????=
个
16 11110????=
个
.16=
说明： 当发现一个题算起来比较麻烦时，我们就应该细观察、多动脑，尽可能找出简便的方法来． 例4 选择题：
（1）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数平方的数共（ ）个． A ．18 B ．19 C ．10 D ．9
（2）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数立方的数共有（ ）个． A ．7 B ．8 C ．10 D ．12
分析 （1）绝对值小于100的整数共199个；0，±1，±2，…，±99，由于任何整数的平方都是非负
数
，
所以
满
足
题意
的数
应
在0
，1
，…，99中寻
找．819,648,497,366,255,164,93,42,11,002
2
2
2
2
2
2
2
2
2
==========，而100102
=（不合题
意），所以共计10个数．
（2）负整数的立方仍然是负数，且可以看做与正数的立方是成对的，比如有6443
=，就有
64)4(3-=-，只有03是个特殊情况，因此，在所给范围内可写成整数立方的数的个数必为奇数．
解 （1）选C （2）选A ．
说明：（1）从课本中用黑体字给出的乘方的符号规律地可以知道，负数不可能等于某个有理数的偶数次幂，但可能是某个负数的奇数次幂．
（2）第（2）问还可以怎样给出呢？如果把其中的“D ”改为13个，你又怎样解出呢？要学会给自己提出问题，要学会经常与同学一起研究问题．
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列命题:(1)如果，那么点是线段的中点;(2)相等的两个角是对顶角;(3)直角三角形的两个锐角互余;(4)同位角相等;(5)两点之间，直线最短.其中真命题的个数有( )
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】A
【解析】由等腰三角形的判定、对顶角的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、线段的性质对各选项分别判断即可．．
【详解】解：（1）如果AC=BC，那么点C不一定是线段AB的中点，如在等腰△ABC中，AC=BC，则点C不是线段AB的中点，故（1）中的命题是假命题；
（2）相等的两个角不一定是对顶角，故（2）中的命题是假命题；
（3）直角三角形的两个锐角互余，故（3）中的命题是真命题；
（4）如果两直线不平行，被第三条直线所截，则形成的同位角不相等，故（4）中的命题是假命题；（5）两点之间，线段最短，故（5）中的命题是假命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查命题和定理、等腰三角形的判定、对顶角相等的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、线段的性质等知识．解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假．
264）
A．±2 B．±4 C．4 D．2
【答案】D
【解析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．根据算术平方根的定义可知64的算术平方根是8，而8的立方根是2，由此就求出了这个数的立方根．
【详解】∵64的算术平方根是8，8的立方根是2，
∴这个数的立方根是2.
故选D.
【点睛】
本题考查了立方根与算术平方根的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握立方根与算术平方根的定义. 3．下列命题中，错误的是（）
A3是 3 的一个平方根B3是 3 的算术平方根
C．3 的平方根就是 3 的算术平方根D． 3的平方是 3
【答案】C
【解析】根据平方根及算术平方根的定义逐项分析即可.
【详解】A、3是3的一个平方根，说法正确，故本选项错误；
B、3是3的算术平方根，说法正确，故本选项错误；
C、3的平方根是±3，3的算术平方根是3，原说法错误，故本选项正确；
D、-3的平方是3，说法正确，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根及算术平方根的知识，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根只有一个．
4．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，那么∠3的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】C
【解析】延长AC交FB的延长线于点D，根据平行线性质定理即可解答.
【详解】解：如图，延长AC交FB的延长线于点D，
∵AE∥BF，
∴∠4＝180°﹣∠1＝70°，
∴∠3＝∠2﹣∠4＝60°．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线性质定理，两直线平行，同旁内角互补.
5．有一个计算器，计算2时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（ ） A ．102 B ．10（2-1）
C ．1002
D ．2-1
【答案】B
【解析】由于计算器显示结果的位数有限，要想在原来显示的结果的右端再多显示一位数字，则应该设法去掉左端的数字“1”.
对于整数部分不为零的数，计算器不显示位于左端的零. 于是，先将原来显示的结果左端的数字“1”化为零，即计算21-. 为了使该结果的整数部分不为零，再将该结果的小数点向右移动一位，即计算
(
)
10
21-. 这样，位于原来显示的结果左端的数字消失了，空出的一位由原来显示结果右端数字“7”
的后一位数字填补，从而实现了题目的要求.
根据以上分析，为了满足要求，应该在这个计算器中计算(
)
1021-的值.
故本题应选B. 点睛：
本题综合考查了计算器的使用以及小数的相关知识. 本题解题的关键在于理解计算器显示数字的特点和规律. 本题的一个难点在于如何构造满足题目要求的算式. 解题过程中要注意，只将原结果的左端数字化为零并不一定会让这个数字消失. 只有当整数部分不为零时，左端的零才不显示. 另外，对于本题而言，将结果的小数点向右移动是为了使该结果的整数部分不为零，要充分理解这一原理.
6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是( )
A ．9=4+5
B ．25916=+
C ．361521=+
D ．491831=+
【答案】C
【解析】本题先根据已知条件，得出三角数前面是1，3，6，10，15，21，1，依次差增加1，再从中找出规律，即可找出结果．
【详解】解：根据题目中的已知条件结合图象可以得到三角形数是这样的， 三角形数1，3，6，10，15，21，1，后面的数与前面的数的差依次增加1，
正方形数 1 ,4 ,9 ,16 ,25 ,36 ,49，
则25=10+15，36=15+21，49=21+1．
故选：C．
【点睛】
本题考查图形的变化类问题，在解题时找出规律是解题的关键．
7．任何一个三角形的三个内角中，至少有_____
A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角
【答案】B
【解析】三角形内角和=180°，故三个内角中，至少有两个锐角．故选B
8．如图所示，内错角共有（）
A．4对B．6对C．8对D．10对
【答案】B
【解析】根据内错角的定义可得：
如图所示：
内错角有∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6，∠6和∠8，∠5和∠7，∠2和∠9,共计6对. 故选B.
9．2-1等于( )
A．2 B．1
2
C．-2 D．-
1
2
【答案】B
【解析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案
【详解】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，原式=1 2
【点睛】
本题考查负整数指数幂.
10．下列运算结果正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【详解】解：A、，故该选项计算错误；
B、，故该选项计算错误；
C、，故该选项计算正确；
D、x和x2不是同类项，不能合并，故该选项计算错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．二、填空题题
11．如图，一个长方形窗框ABCD被EF分成上下两个长方形，上部分长方形又被分成三个小长方形，其中G，H为AD的四等分点（G在H左侧）且AG HD
=．一晾衣杆斜靠在窗框上的PG位置，P为BC 中点．若4
BC=，PG分长方形BEFC的左右面积之比为:a b，则PG分长方形AEFD的左右面积之比为________．（用含a，b的代数式表示）
【答案】7
9 a b a b
-+
【解析】根据梯形的面积公式列代数式即可得到结论．【详解】∵BC＝4，P为BC中点，
∴AD＝EF＝4，PB＝PC＝2，
∵G，H为AD的四等分点，
∴AG＝1，DG＝3，
∵PG分长方形BEFC的左右面积之比为a：b，
∴[1
2
BE?（EQ＋BP）]：[
1
2
BE?（FQ＋PC）]＝a：b，
∴（EQ＋2）：（4?EQ＋2）＝a：b，
∴EQ＝62
a b
a b
-
+
，
∴FQ＝4?EQ＝4?62
a b
a b
-
+
=
62
b a
a b
-
+
，
∴PG分长方形AEFD的左右面积之比为：[1
2
AE?（AG＋EQ）]：[
1
2
AE?（DG＋FQ）]＝（1＋
62
a b
a b
-
+
）：
（3＋62
b a
a b
-
+
）＝
7
9
a b
a b
-
+
，
故答案为：7
9
a b
a b
-
+
．
【点睛】
本题考查了列代数式及分式的运算，梯形面积的计算，正确识别图形是解题的关键．
12．一个角为60°，若有另一个角的两边分别与它平行，则这个角的度数是________．
【答案】60°或120°．
【解析】根据题意作图，可得：∠2与∠3的两边都与∠1的两边分别平行，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数，即可求得答案．
【详解】解：如图：∠2与∠3的都两边与∠1的两边分别平行，
即AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1+∠A＝180°，∠3+∠A＝180°，
∴∠3＝∠1＝60°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝120°，
故答案为：60°或120°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解此题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用与数形结合思想的应用．
13．在一次“学习强国”知识竞答活动中，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，要使得分超过140分，至少需要答对_______.道题. 【答案】2
【解析】设小明应答对x 道题，则答错（或不答）（20?x ）道题，根据总分＝10×答对题目数?5×答错（或不答）题目数结合得分要超过140分，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】设小明应答对x 道题，则答错（或不答）（20?x ）道题， 依题意，得：10x?5（20?x ）＞140， 解得：x ＞1． 故答案为：2． 【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 14．若x 2+y 2＝10，xy ＝2，则(x+y)2＝ ． 【答案】1
【解析】应用完全平方公式，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：∵x 2+y 2＝10，xy ＝2， ∴（x+y ）2＝x 2+y 2+2xy ＝10+2×2＝1． 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：()2
222a b a ab b ±=±+． 15．如图，要测量河两岸相对两点A 、B 间的距离，先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ，使CD BC =，再在过点D 的垂线上取点E ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，可证明EDC ≌ABC ，所以测得ED 的长就是A 、B 两点间的距离，这里判定EDC ≌ABC 的理由是______．
【答案】ASA
【解析】分析：根据垂直的定义、全等三角形的判定定理解答即可． 详解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ， ∴∠ABD=∠EDC=90°， 在△EDC 和△ABC 中，
ABC EDC BC DC
ACB ECD ∠∠??
??∠∠?
＝＝＝， ∴△EDC ≌△ABC （ASA ）． 故答案为：ASA ．
点睛：本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 16．如图，△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于
1
2
AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为______.
【答案】65°
【解析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C ＝∠CAD ，进而可得出结论.
【详解】解：∵△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝30°， ∴∠BAC ＝180°﹣55°﹣30°＝95°. ∵直线MN 是线段AC 的垂直平分线， ∴∠C ＝∠CAD ＝30°，
∴∠BAD ＝∠BAC ﹣∠CAD ＝95°﹣30°＝65°
.
故答案为：65°. 【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 17．如图a 是长方形纸带，15DEF ∠=?，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的CFE
∠的度数是___．
【答案】135°
【解析】试题分析：根据图示可知∠CFE=180°﹣3×15°=135°．故答案为135°． 考点：翻折变换（折叠问题）． 三、解答题
18．在平面直角坐标系xOy 中，如图正方形ABCD 的顶点A ，B 坐标分别为()1,0A -，()3,0B ，点E ，
F 坐标分别为(),0E m ，()3,0F m ，且12m -<≤，以EF 为边作正方形EFGH .设正方形EFGH 与
正方形ABCD 重叠部分面积为S
.
（1）①当点F 与点B 重合时，m 的值为______；②当点F 与点A 重合时，m 的值为______. （2）请用含m 的式子表示S ，并直接写出m 的取值范围.
【答案】（1）①1；②1
3-；（2）()()
22222612
140340112213m m m m m S m m m m m ?
?-+≤≤?
???-≤
??<
???
. 【解析】（1）①②根据点F 的坐标构建方程即可解决问题．
（2）分四种情形：①如图1中，当1≤m≤2时，重叠部分是四边形BEGN ．②如图2中，当0＜m ＜1时，重叠部分是正方形EFGH ．③如图3中，-1＜m ＜1
3-时，重叠部分是矩形AEHN ．④如图4中，当13
--≤m ＜0时，重叠部分是正方形EFGH ．分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1）①当点F 与点B 重合时，由题意3m=3， ∴m=1．
②当点F 与点A 重合时，由题意3m=-1， ∴m=13
-， 故答案为1，13
-．
（2）①当12m ≤≤时，如图1.
3BE m =-，32HE EF m m m ==-=. ()22326S BE HE m m m m =?=-=-+.
②当01m ≤<时，如图2.
32EF m m m =-=.
()2
2224S EF m m ===.
③当
1
1
3
m
-<<-时，如图3.
()11
AE m m
=--=+，32
HE EF m m m
==-=-.
()2
2122
S AE HE m m m m
=?=-+=--
④当
1
3
m
-≤<时，如图4.
32
EF m m m
=-=.
()2
22
24
S EF m m ==-=.
综上，
()()22222612
14
0340112213m m m m m S m m m m m ?
?-+≤≤?
???-≤
??<
???
. 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．将一个直角三角形纸板ABC 放置在锐角△PMN 上，使该直角三角形纸板的两条直角边AB ，AC 分别经过点M ，N ． （发现）
（1）如图1，若点A 在△PMN 内，当∠P=30°时，则∠PMN+∠PNM=______°，∠AMN+∠ANM=______°，∠PMA+∠PNA=______°．
（2）如图2，若点A 在△PMN 内，当∠P=50°时，∠PMA+∠PNA=______°． （探究）
（3）若点A 在△PMN 内，请你判断∠PMA ，∠PNA 和∠P 之间满足怎样的数量关系，并写出理由． （应用）
（4）如图3，点A 在△PMN 内，过点P 作直线EF ∥AB ，若∠PNA=16°，则∠NPE=______．
【答案】（1）150，90，60；（2）40；（3）∠PMA+PNA+∠P=90°；（4）106°
【解析】（1）先判断出∠AMN+∠ANM=90°，进而得出∠PMN+∠PNM=180°-∠P=150°，即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； （3）同（1）的方法即可得出结论；
（4）由（3）知，∠PMA+PNA+∠MPN=90°，进而求出∠PMA+∠MPN=74°，即可求出∠FPM+∠MPN=74°，最后用平角的定义即可得出结论．
【详解】解：（1）∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴∠AMN+∠ANM=90°，
在△PMN中，∠P=30°，
∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P=150°，
∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=150°，
∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=150°-90°=60°，
故答案为：150，90，60；
（2）∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴∠AMN+∠ANM=90°，在△PMN中，∠P=50°，
∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P=130°，
∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=130°，
∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=130°-90°=40°，
故答案为40；
（3）∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴∠AMN+∠ANM=90°，在△PMN中，
∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P，
∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=180°-∠P，
∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=180°-∠P-90°=90°-∠P，即：∠PMA+PNA+∠P=90°，
（4）由（3）知，∠PMA+PNA+∠MPN=90°，
∵∠PNA=16°，
∴∠PMA+∠MPN=90°-∠PNA=74°，
∵EF∥AB，
∴∠PMA=∠FPM，
∴∠FPM+∠MPN=74°，
即：∠FPN=74°，
∴∠NPE=180°-∠FPN=106°，
故答案为：106°．