计算行列式常用的7种方法

计算行列式的方法总结行列式涉及的方面很多，例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分，所以各种类型解行列式的方法一定要掌握好，才能写好行列式，下面是计算行列式的方法总结，一起来看看吧！计算行列式的方法总结(一)首先，行列式的性质要熟练掌握性质1行列互换，行列式的值不变。

性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。

推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。

性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。

推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行(列)。

推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例，则该行列式的值为零。

性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素，其余各行(列)与原行列式相同。

性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。

行列式展开法：行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。

行列式展开定理：定理1：n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数余子式乘积之和。

定理2：行列式D的.某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零。

(二)几种特殊行列式的值有关行列式的若干个重要公式：为便于考生综合复习及掌握概念间的联系，现将以后各章所涉及的有关行列式的几个重要公式罗列于下：2017考研数学：行列式的计算行列式是线性代数的一部分，题目比较灵活，下面小编为同学们简单讲一下行列式的几种计算方法，希望同学们可以有所启发，弄清楚这种类型题。

对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。

三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。

在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的性质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式，再进行展开。

行列式的几种计算方法
空格
行列式是线性代数的基本概念，它具有重要的应用价值。

它的计算方法也有很多，下面主要介绍几种行列式计算的方法。

一、展开式法
把行列式的每一行的元素乘以其所在的代数余子式的值，再将所有的积相加，得到的结果就是行列式的值。

这种方法理论上可以计算任何n阶的行列式，但当n阶较大时，展开比较繁琐，耗时也较长。

二、余子式法
计算第i行列式的方法是：取行列式的第i行，取其余行，去掉第i列，再找出这些行的代数余子式，再将每一行所对应的代数余子式乘以该行第i位置上的元素，再将所有的乘积之和，得到的结果就是行列式的值。

三、乘法法
若用行列式的乘法法来计算三阶行列式，则将行列式的三行分别乘以它们的代数余子式，将结果相加。

其中要用到符号乘，只要熟悉符号乘的规则，就可以简单地进行计算。

四、分块法
分块法是将行列式分解成几个临时的小行列式，再用余子式或展开式算出小行列式的值，再将小行列式的值按一定的规则组合起来，就得到原行列式的值了。

分块法优点是计算过程不复杂，缺点是分解成的小行列式的值计算比较复杂。

五、行变换法
用行变换法计算行列式的方法是：先将行列式的几行或几列进行线性变换，使行列式某一行或某一列为0，再将变换后的行列式化简为方阵或三角阵，再求解，之后再换回原行列式，则可以得出原行列式的值。

以上就是常用的几种行列式计算方法，不同的方法各有优劣，使用者可根据具体情况选择合适的方法用于行列式计算。

行列式的计算方法总结行列式是数学中一类特殊的数值，它可以用于解决各种数学问题，如线性方程组的解、二次行列式的特征根以及三角形的面积等。

它的计算方法也颇为多样，各种行列式的计算方法可以归纳总结如下：第一种是规则式子求行列式的方法，即规则式子求行列式的值。

这种方法包括常见的拆分积式法，它可以用来计算简单行列式，其解算步骤如下：把行列式的第一行和其他所有行有序的放在一起，按列乘以每列的分量，然后把乘积相加，即可求出行列式的值。

另一种常用的计算行列式的方法是运用行列式的转置法则，这也是一种简单的计算行列式的方法，它的解算步骤如下：先把行列式的行和列都交换一下，然后把交换后的新行列式进行上面第一种规则式子求行列式的求值，便可求出行列式的值。

此外，还有多元函数求行列式的方法，以及行列式求导、求偏导数的方法。

多元函数求行列式的方法就是将行列式用多元函数的形式表示出来，然后用函数定义求和解决之。

行列式求导、求偏导数的方法就是将行列式的变量替换为一个新的变量，然后进行积分，并求出偏导数，最终得到行列式的值。

最后一种常用的计算行列式的方法是拆解行列式的方法，这是一种比较复杂的行列式计算方法。

它的解算步骤如下：先把行列式拆解成几个子行列式，然后逐步把子行列式拆解为更小的子行列式，最终得到一个最小子行列式，将其值替换到初始行列式中计算，即可求出该行列式的值。

以上是行列式的计算方法总结，由于行列式的类型众多，其计算方法也多如牛毛，仅有上述几种计算方法是不够的，若想解决复杂的行列式计算，还需要运用其他更加复杂的计算方法，如克莱姆法、罗宾逊法、孟加拉法等。

此外，计算行列式还需要掌握矩阵运算的基础知识，运用高等数学知识，才能解决复杂的行列式计算问题。

总之，行列式的计算是一件非常有技巧性的事情，找到合适的计算方法，解决行列式计算的难题，有助于提高数学的解题能力。

行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。

下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。

一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。

以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。

但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。

二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。

行列式计算的方法
计算行列式的方法取决于矩阵的大小。

下面我将介绍几种常见的行列式计算方法：
1. 二阶行列式计算：
对于一个2x2的矩阵，行列式的计算方法如下：
行列式的值= (a*d) - (b*c)
其中，矩阵为：
| a b |
| c d |
2. 三阶及以上的行列式计算（展开法）：
对于一个n阶(n>=3)的矩阵，行列式的计算可以通过展开法来进行，也叫做代数余子式展开法。

具体步骤如下：
a. 选择第一行或第一列作为展开的基准行或基准列；
b. 逐个选取基准行或基准列上的元素，相应的去掉所在行和所在列，得到一个(n-1)阶的矩阵；
c. 对每个选取的元素，计算其代数余子式（即去掉该元素所在行和所在列后，剩余矩阵的行列式值），并与该元素相乘；
d. 将所有计算得到的代数余子式相乘，并按照正负号规律求和，得到最终的行列式值。

3. 其他行列式计算方法：
当矩阵较大时，使用展开法计算行列式会非常繁琐。

此时可以考虑使用高斯消元法、LU分解、特征值等方法来化简计
算。

这些方法相对复杂，需要一定的线性代数知识和计算能力。

总之，行列式的计算方法根据矩阵的大小和具体要求选择不同的方法，以便高效地得到结果。

行列式计算方法解析1.化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。

三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号。

例1计算N 阶行列式ab bb a b b b aD n=解()[]abb a bb b n a Dn1111-+=()[]ba b a b b b n a ---+=0011()()11n a n b a b -=+-⎡⎤⎣⎦-2.利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n 阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。

例2 计算n 阶行列式n ab b ca b ccaD =，其中0,≠≠bc c b解 将n D 的第一列视为（a-c ）+c,0+c,……,0+c,据行列式的性质，得0000n a c c b b a c b b c b b c a b a b c a b cca ca ccaD -+-+==++()()11n n n a c c a bD D --∴=-+- (1)由b 与c 的对称性，不难得到()()11n n n a b b a c D D --=-+- (2)联立（1），(2）解之，得()()()1n nn b c b c a c a b D -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦---例3 计算n 阶行列式00010001000000n a b ab a b ab a b a b ab a bD +++=++解 将n D 按第一行展开，得()11000000001n n ab a b a b ab a bab a bD D -+=+-++于是得到一个递推关系式 ()12n n n a b ab D D D --=+-，变形得()112n n n n b a b D D D D ----=- ，易知()()2312334n n n n n n b b b D D D D DD aa------=-=-()()()22212n n n b ab b a b a b D D aaa --⎡⎤==-==⎢⎥⎣⎦--++所以 1nn n b D D a -=+，据此关系式再递推，有()11222nn n n n n n bb b ba aa a D D D ----=++=++1122111n n n n n n n n b b a a a a b b a a b b D -----==++++=++++如果我们将 n D 的第一列元素看作a+b,1+0,……0+0,按第一列拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式1nn n b D D a -=+，同样可n D 的值。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它是由矩阵中的元素所组成的一种特定的数学对象。

行列式的计算方法有多种，包括代数余子式展开、三角形法则、拉普拉斯展开、性质和定理等。

以下将详细介绍行列式的几种计算方法。

一、代数余子式展开法代数余子式展开法是通过矩阵元素分解成代数余子式相乘的形式来计算行列式值的方法。

我们需要了解代数余子式的概念。

1. 代数余子式的概念在矩阵A中，元素a_ij的代数余子式A_ij的值为A_ij=(-1)^(i+j)*M_ij，其中M_ij 代表去掉第i行和第j列后所构成的方阵的行列式值。

2. 代数余子式展开法的步骤（1）选择一行或一列，以此行或列的元素a_ij为基准。

（2）计算a_ij的代数余子式A_ij，并根据代数余子式展开法将行列式分解成代数余子式相乘的形式。

（3）累次计算代数余子式A_ij相乘的值并求和，得到行列式的值。

对于3阶行列式A的计算，可以按照如下步骤进行代数余子式展开法的计算：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|选择第一行元素a11为基准进行代数余子式展开，展开式为：A = a11*M11 - a12*M12 + a13*M13M11、M12、M13分别代表去掉第一行和第一列，第一行和第二列，第一行和第三列所构成的2阶方阵的行列式值。

根据代数余子式展开法的原理，可以得到行列式的值。

二、三角形法则三角形法则是用于计算行列式的一种方法。

它的基本思想是通过变换矩阵的行列式来简化计算过程，将需要计算的矩阵通过一系列的初等变换转化为上、下三角形矩阵，再利用三角形矩阵的行列式计算方法来计算原矩阵的行列式。

计算三角形矩阵A'的行列式值为a11*a22'*a33'。

三、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种通过对矩阵的某一行或某一列进行展开，将行列式转化为子行列式的求和形式来计算行列式值的方法。

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 00100201000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)00n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n nD =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

行列式的几种计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，通常用来表示线性方程组的解的情况。

行列式的计算方法有多种，下面将介绍几种常见的计算方法。

1. 代数余子式法：代数余子式法是一种常用的计算行列式的方法。

对于一个n阶矩阵A=[a_{ij}]，可以通过以下步骤计算行列式的值：1) 对于矩阵A的任意元素a_{ij}，求出它的代数余子式M_{ij}，即将第i行和第j列的元素划去，剩下的元素按原来的顺序排列成一个(n-1)阶矩阵，然后计算这个矩阵的行列式。

2) 根据代数余子式的符号规律，得到每个代数余子式的符号。

即当i+j为偶数时，代数余子式的符号为正；当i+j为奇数时，代数余子式的符号为负。

3) 将每个代数余子式与对应的元素相乘，得到n个乘积，并将这些乘积相加，即可得到行列式的值。

3. 克拉默法则：克拉默法则是一种特殊的行列式计算方法，适用于线性方程组的求解。

对于一个n阶矩阵A=[a_{ij}]和一个n维向量B=[b_1，b_2，...，b_n]，假设该线性方程组的解存在且唯一，可以通过以下步骤计算行列式的值：1) 对于矩阵A，计算它的行列式D。

2) 对于矩阵A的每一列，将向量B替换到对应的列下，形成一个新的矩阵A'。

然后计算新矩阵A'的行列式D'。

3) 行列式D'除以行列式D，即可得到线性方程组的解。

4. 特殊矩阵的行列式计算方法：对于一些特殊的矩阵，可以使用特定的计算方法来求解行列式。

常见的特殊矩阵包括对称矩阵、三角矩阵、反对称矩阵等。

对于对称矩阵，可以通过正交相似变换将其对角化，然后计算对角矩阵的行列式。

对于三角矩阵，行列式的值等于对角线上元素的乘积。

对于反对称矩阵，行列式的值等于0。

行列式的计算方法包括代数余子式法、拉普拉斯展开法、克拉默法则和特殊矩阵的行列式计算方法。

不同的方法适用于不同的情况，根据具体的矩阵形式选择合适的计算方法，可以有效地计算行列式的值。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中一种重要的概念，它可以通过不同的计算方法来求解。

下面将介绍几种常用的行列式计算方法。

1. 代数余子式展开法代数余子式展开法是求解行列式的一种常用方法。

对于一个n阶行列式A，可以选择任意一行或一列展开，然后按照一定的规律计算各个元素的代数余子式，并与原矩阵对应元素相乘再求和，得到最终的行列式的值。

假设我们选择第i行展开，则有：det(A) = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + … + a_{in}A_{in}a_{ij}表示矩阵A的第i行第j列的元素，A_{ij}表示矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式。

2. 公式法对于2阶和3阶的行列式，可以直接使用公式来计算。

对于2阶行列式A，有：对于3阶行列式A，有：det(A) = a_{11}·a_{22}·a_{33} + a_{12}·a_{23}·a_{31} +a_{13}·a_{21}·a_{32} - a_{13}·a_{22}·a_{31} - a_{11}·a_{23}·a_{32} -a_{12}·a_{21}·a_{33}3. 初等变换法对于某些特殊形式的矩阵，可以通过初等变换将其转化为简单的行阶梯形或对角形矩阵，从而方便计算行列式的值。

一般来说，可以通过初等行变换将矩阵A转化为行阶梯形矩阵U，即U =E_k·E_{k-1}·…·E_2·E_1·A，其中E_i是一个初等矩阵。

然后，行列式的值可以通过计算行阶梯形矩阵的对角线元素的乘积得到，即det(A) = u_{11}·u_{22}·…·u_{nn}，其中u_{ii}是U的第i行第i列元素。

4. 递推关系法递推关系法是一种递归地求解行列式的方法。